第1为 第八章 二重积分的桡念与性质 一、两个实例 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的性质 第1节 一、两个实例 二、二重积分的概念 二重积分的概念与性质 第八章
一、两个实例 z=f(x,y)》 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体 底：xOy面上的闭区域D 顶：连续曲面z=f(x,y)20 侧面：以D的边界为准线，母线平行于z轴的柱面 求其体积 解法：类似定积分解决问题的思想 分割，近似，求和，取极限 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 解法: 类似定积分解决问题的思想: 一、两个实例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xOy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “分割，近似，求和，取极限” D
(1)分割” 用任意曲线网分D为n个小闭区域 z=∫(x,y〉 △o1,Ao2,…,△on 以它们为底把曲顶柱体分为n个f(,7,) 小曲顶柱体 (2)近似” (5,7) △0 在每个△o,中任取一点(5，刀)，则 △V≈f(5,7,)△o,(i=1,2,…,n (3)"求和 V=∑AW≈∑f(5,7,)Ao 1 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 D (1)“分割” 用任意曲线网分D为 n 个小闭区域 n , , , 1 2 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 (2)“近似” 在每个 (3)“求和” = n i i i i f 1 ( , ) ( , ) i i f V f ( , ) (i 1,2, ,n) i i i i = 中任取一点 则 小曲顶柱体 i ( , ) i i
(4)"取极限” 定义△o,的直径为 (Ao,)=mx{P☑R∈△o,} 令2=max{2(Ao,)} ≤i≤n z=f(x,y) V=m∑f5n,)Ao λ→0 f(5,7 i=1 (5,7,) △O1 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 (4)“取极限” ( i ) = max P1 P2 P1 ,P2 i 令 max ( ) 1 i i n = = → = n i i i i V f 1 0 lim ( , ) ( , ) i i f i ( , ) i i
2.平面薄板的质量 有一个平面薄片，在xOy平面上占有闭区域D,其面密 度为4(x,y)∈C,计算该薄片的质量M 若4(x,y)=4(常数)，设D的面积为o,则 M=u·O 若4(x,y)非常数，仍可用 “分割，近似，求和，取极限 解决 1)分割” 用任意曲线网分D为n个小区域△o1,Ao2,…,△om, 相应把薄片也分为小块 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 2. 平面薄板的质量 有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有闭区域 D , 度为 计算该薄片的质量 M . 设D 的面积为 , 则 M = 若 非常数 , 仍可用 其面密 “分割，近似，求和，取极限” 解决. 1)“分割” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 , , , , 1 2 n 相应把薄片也分为小块 . D y O x
2)近似” 在每个△σ，中任取一点(5,7，)，则第i小块的质量 AM;≈4(5,7)△o(=1,2,…,n) 3)求和” M=∑AM,=∑u(5n)Aa 4)取极限” 令元=max{(△o,)} (5,7) l≤isn M=lim】 2>0 4(5,7，)△o1 i=1 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 y x 2)“近似” 在每个 i 中任取一点 ( , ), i i 3)“求和” ( , ) . 1 = n i i i i 4)“取极限” max ( ) 1 i i n = 令 lim ( , ) . 1 0 = → = n i M i i i i ( , ) i i 则第 i 小块的质量 O
两个问题的共性： (1)解决问题的步骤相同 分割，近似，求和，取极限 (2)所求量的结构式相同 曲顶柱体体积 V=lim 2->0 ∑f(5,n,)△o· i= 平面薄片的质量 M=lm∑4(5,7，)△o 0 i=1 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “分割，近似，求和，取极限” lim ( , ) . 1 0 = → = n i i i i V f = → = n i M i i i 1 0 lim ( , ) 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量:
二、二重积分的概念 定义设f(x,y)是定义在有界闭区域D上的有界函数， 将区域D任意分成n个小闭区域△o(i=1,2,…,n), 任取一点(5,7，)∈△0，若存在一个常数I,使 I lim ∑f(5,n,)Ao,tnfx,)dc 0 则称f(x,y)可积，称1为f(x,y)在D上的二重积分 积分和 被积表达式 f(x,y)do x,y称为积分变量 积分区域 被积函数 面积元素 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、二重积分的概念 定义 设 f (x, y) 将区域 D 任意分成 n 个小闭区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 则称 f (x, y) 可积 , 称I为 f (x, y) 在D上的二重积分. x, y称为积分变量 积分和 积分区域 被积函数 被积表达式 面积元素 记作 是定义在有界闭区域 D上的有界函数
如果f(x,y)在D上可积，可用平行坐标轴的直线来划 分区域D,这时△o,=△x,△y,因此面积 元素do也常记作dxdy,二重积分记作 )dxdy. 实例1中曲顶柱体体积 V=∬fx,y)do=nfx,y)dxdy 实例2中平面薄板的质量 M=(d=()dxdy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 = D V f (x, y)d 实例1中曲顶柱体体积: = D M (x, y)d 实例2中平面薄板的质量: 如果 f (x, y) 在D上可积, 元素d也常记作 dxdy, 二重积分记作 ( , )d d . D f x y x y 分区域 D , 这时 因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 = D f (x, y)d x d y = D (x, y)d x d y y O x
二重积分存在定理： 定理1.若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，则 f(x,y)在D上可积 定理2.若有界函数∫(x,y)在有界闭区域D上除去有 限个点或有限条光滑曲线外都连续，则f(x,y)在D上可 积 例如f(x,y)= 上二重积分存在；但f(x,y)= 在D上 x-V 二重积分不存在 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二重积分存在定理: 若函数 定理2. 定理1. 在D上可积. 限个点或有限条光滑曲线外都连续 , 积. 在有界闭区域 D上连续, 则 若有界函数 在有界闭区域 D 上除去有 例如, x y x y f x y − − = 2 2 ( , ) 在 D : 0 x 1 0 y 1 上二重积分存在 ; x y f x y − = 1 但 ( , ) 在D 上 二重积分不存在 . y 1 x 1 D O