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北京邮电大学出版社:21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源(PPT课件讲稿)第11章 微分方程 1微分方程的基本概念

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第7为 第十一章 微分方程的基本橇念 几何问题 引例 物理问题 微分方程的基本概念 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 微分方程的基本概念 第1节 微分方程的基本概念 引例 几何问题 物理问题 第十一章

例11.1.1 曲线通过点(1,0),在该曲线上任一点处的 切线斜率为2x,求这曲线的方程 解:设所求曲线方程为y=yx),则有如下关系式 2x dx y-=0 由①得y=∫2xdx=x2+C (C为任意常数) 由②得C=-1,因此所求曲线方程为y=x2-1. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例11.1.1 一曲线通过点(1,0) ,在该曲线上任一点处的 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: x x y 2 d d = ① (C为任意常数) 由 ② 得 C = -1, 2 因此所求曲线方程为 y x = −1. 1 0 x y = = ② 由 ① 得 切线斜率为 2x , 求这曲线的方程

例11.1.2列车在平直路上以20m/s的速度行驶,制动时 列车获得加速度-0.4m/s2,问列车开始制动后多长时间 列车才能停住?并问在这段时间里列车行驶了多少路 程? 解:设列车在制动后t秒行驶了s米,求s=s() d -0.4 已知 dt =0, dt t=07 =20 由前一式两次积分,可得s=-0.2+Ct+C2 利用后两式可得 C1=20,C2=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例11.1.2 列车在平直路上以 的速度行驶, 列车获得加速度 问列车开始制动后多长时间 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 已知 0 , s t=0 = 由前一式两次积分, 可得 1 2 2 s = − 0.2t +C t +C 利用后两式可得 求 s = s (t) . 制动时 列车才能停住?并问在这段时间里列车行驶了多少路 程?

把C1,C的值代入,得:v=-0.4t+20, s=-0.22+20t 20 令v=0,得t=。 =50s. 0.4 再把1=50代入,得到列车在制动阶段行驶的路程 s=-0.2×502+20×50=500m. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 s=-0.2t 2+20t. 令v=0,得 再把t=50代入,得到列车在制动阶段行驶的路程 把C1,C2的值代入,得:v=-0.4t+20

微分方程的基本概念 凡表示未知函数、未知函数的导数(或微分)与自变 量之间的关系的方程,叫做微分方程 常微分方程 分类 偏微分方程 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫做微分方程的阶 般地,n阶常微分方程的形式是 F(x,y,y,…,ym)=0 或ym=f(x,y,y,…,ym-)(n阶显式微分方程 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 常微分方程 偏微分方程 凡表示未知函数、未知函数的导数(或微分)与自变 量之间的关系的方程,叫做微分方程. 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫做微分方程的阶. ( , , , , ) 0 ( )  = n F x y y  y ( , , , , ) ( ) ( −1) =  n n y f x y y  y ( n 阶显式微分方程) 微分方程的基本概念 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 分类 或

微分方程的解一 使方程成为恒等式的函数 通解一解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同 特解一不含任意常数的解,其图形称为积分曲线. 定解条件一确定通解中任意常数的条件 n阶方程的初始条件(或初值条件) xo)=0,y(x)=%,,y-(x)=w-D BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 ( 1) 0 0 ( 1) 0 0 0 0 ( ) , ( ) , , ( ) − − =  =  = n n y x y y x y  y x y — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): 的阶数相同. 特解 微分方程的解 — 不含任意常数的解, 定解条件 其图形称为积分曲线

例11.1.3 验证函数y=Ce+C2e2x(C,C2为常数) 是微分方程y"-3y+2y=0的通解,并求满足初始条件 yx0=0,yx0=1的特解 解:y'=Ce+2Ce2x,y"=Ce+4C2e2 y"-3y'+2y=(Ce+4Ce)-3(Ce+2Ce)+2(C,e+C,e2x) =(C1-3C1+2C)e+(4C,-6C3+2C2)e2=0, 把条件x=0时,y=0代入,得0=C+C2 把条件x=0时,y=1代入,得1=C+2C2, ∴.C=-1,C3=1. 故求特解为y=-e+e2x, BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例11.1.3 验证函数 是微分方程 的通解, 0 0 , x y = = 0 ' 1 x y = = 的特解. 解: 把条件x=0时,y=0代入,得 把条件x=0时,y′=1代入,得 ( , ) C1 C2为常数 故所求特解为 2 . x x y e e = − + 并求满足初始条件

作业 P211 2(1),(4) 3(1)月 4(2),(3);5(2) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS ©-e-0C-①8 第2节目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 作业 P211 2 (1),(4); 3(1); 4 (2),(3) ; 5(2); 第2节

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