北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第1章 函数、极限与连续 3函数的极限

第3为 第一章 岛数的极限 对y=∫(x),自变量变化过程的六种形式 () X→00 (4)x→x (2)x->+0 (5)x→x, (3)x->-00 (6)x→x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第一章 第3节 自变量变化过程的六种形式: 函数的极限

第3为 第一章 岛数的极限 一、x→oo时函数的极限 二、x→x时函数的极限 三、函数极限的性质 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第一章 第3节 函数的极限 一、x→∞时函数的极限 二、x→x0时函数的极限 三、函数极限的性质

一、x→o时函数的极限 定义1设函数f(x)当x大于某一正数时有定义，若 V8>0,3X>0,当x>X时，有f(x)-AX A-8<f(x)<A+8 几何解释： f(x) 二8 直线y=A为曲线y=(x)的水平近线 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 4- 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 − X X A+  A− O x y y = f (x) A 定义1 设函数 大于某一正数时有定义, 若 X  0, 则称常数 时的极限, f x A x = → lim ( ) 几何解释: x  −X 或x  X A−  f (x)  A+ 记作 直线 y = A 为曲线 的水平渐近线 .   0, A 为函数 一、x→∞时函数的极限

例1.3.1用定义证明 lim =0 x>ooX 1 证： X X 故Ve>0,欲使 -0,只要x 取X=1,当x>X时，就有 <8 E 因此 1im1=0 X→00X 注：y=0为y= 的水平渐近线， x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例1.3.1 用定义证明 0. 1 lim = x→ x 证: 0 1 − x x 1 = 取 , 1  X = 因此 注: 就有 故   0, 欲使 只要 O x y x y 1 =

两种特殊情况： 1imf(x)=A二8>0,3X>0,当x>X时，有 X>+00 f(x)-A0,3X>0,当x<-X时，有 X→一00 f(x)-A<8 几何意义：直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线 例如，=8w=1- y42 都有水平新近线y=0, 又如f(x)=1-2x,g(x)=1+2x 都有水平渐近线y=1. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS --0 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 x 1 1− x 1 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 . 两种特殊情况 : f x A x = →+ lim ( )   0, X  0, 当 时, 有 f (x) − A     0, X  0, 当 x  −X 时, 有 f (x) − A   几何意义 : 例如， 都有水平渐近线 y = 0; 都有水平渐近线 y =1. 又如

二、x→x时函数的极限 引例.测量正方形面积.（真值：边长为xo;面积为4） 直接观测值 确定直接观测值精度δ： 边长x x-x<δ 间接观测值 任给精疲6，要求x2-A<6 面积x2 A Xo BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、x→x0时函数的极限 引例. 测量正方形面积. (真值: 边长为 面积为A ) 边长 面积 直接观测值 间接观测值 任给精度  , 要求 x − A   2 确定直接观测值精度  : x − x0   0 A x

定义2设函数f(x)在点x的某去心邻域内有定义， 若Ve>0,8>0,当00,38>0，当x∈U(xo,δ) x→X0 时，有f(x)-A<8 几何解释： A+8 yy=f(x) 这表明： 4- 极限存在 函数局部有界 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定义2 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 ,   0,   0, 当 0  x − x0   时, 有 f (x) − A   则称常数 A 为函数 当 时的极限, f x A x x = → lim ( ) 0 或 即 当 时, 有 若 记作 极限存在 函数局部有界 A +  这表明: A −  几何解释: O A x0 x y y = f (x)

例1.3.2证明：1imC=C(C为常数) x→x0 证： |f(x)-A=C-C=0 故V8>0,对任意的δ>0，当0<x-x<8时， 总有 C-C=0<8 所以 lim C=C x-→X0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例1.3.2 证明: 证: f (x) − A 故   0, 对任意的   0, 当 时 , 所以 总有

例1.3.4证明：当x>0时1im√x=x 证： 阳-=--+ x-Xo x-X0 V8>0,欲使f(x)-A<6,只要x-x0<√x6,且 x≥0.而x≥0可用x-x0≤x0保证.故取 ò=mm&o,√x&},则当0<x-x,<δ时，必有 x-xo <8 所以 limx=√xo x Xo x→x0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例1.3.4 证明: 当 证: 0 0 1 x x x  −   0, 欲使 且 而 可用 所以 只要 0 0 lim x x x x = → 时 故取 min  , , 0 0  = x x  则当 0  x − x0   时, 保证 . 必有 O x 0 x x

三、函数极限的性质 定理1（唯一性）如果1imf(x)存在，则极限是唯 →X0 的 定理2（有界性） 如果1imf(x)=A,则存在常数 0 M0和>0，使得当0<x-x,<肘 有|f(x)长M BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 三、函数极限的性质 定理1(唯一性) 如果 存在，则极限是唯一 的. 0  x − x0   定理2(有界性) 如果 则存在常数 M>0和δ>0，使得当 时， 有