概率论与数理统 第五章大数定律与中心极限定理 第一节 大数定律 第二节 中心极限定理
第五章 大数定律与中心极限定理 第一节 大数定律 第二节 中心极限定理
概率论与数理统计 第一节大数定律 切比雪夫不等式 设随机变量X存在有限方差D(),则对任意正数ε，有 P明x-0≥4≤X0或x-F<≥ X) 定义5.1设随机变量1，Y,,Ym,…是一个随机变量 序列，a是一个常数若对于任意正数有 lim PY,-a<)=1, 则称序列Y1,Y,,Y,…依概率收敛于，记为 YnP→a. 上一页 下一页 返回
第一节 大数定律 定义5.1 上一页 下一页 返回
概率论与数理统计 定理5.1 (切比雪夫大数定理)设X1,X2,…,X, 是相互独立的随机变量序列，各有数学期望 E(X),E(X2),…及方差D(X),D(X2),…. 并且D(X)<1(i=1,2,),1为与无关的常数。 则对于任意正数，有 P哈2名空ix)=1 上一页 下一页 返回
定理5.1 上一页 下一页 返回
概率论与数理统计 定理5.2（切比雪夫定理的特殊情况设随机变量 X,X2,…,Xn,…相互独立，且具有相同的数学 期望和方差：E(X)=4,D(Xx)=o2(k=1,2,…) 作前个随机变量的算术平均 y=12x 1nk-1 则对于任意正数有 lim P{Y,-u<a=1 上一页 下一页 返回
定理5.2 上一页 下一页 返回
概率论与数理统计 定理5.3 (伯努利大数定律)以n4是n次独立重复试 验中事件A出现的次数.D是事件A在每次试验中发生的 概率(00有： mP%- e-0或mr-1 证明：设X,表示第i次试验中事件A出现的次数， =1,2,n,则X,X2,Xn相互独立且均服从参数为p的 0-1)分布，故有EX)=p,DX=p(1-p )i=1,2,.,n 且”4=∑X;，由契比雪夫大数定律知，对于任意 的&>0，有mP-2=imP2x-22线=0 上一页 下一页 回
或 证明：设Xi表示第i 次试验中事件A出现的次数， i=1,2,…,n,则X1 ,X2 ,…,Xn相互独立且均服从参数为p的 (0-1)分布，故有 E(Xi )=p, D(Xi )=p(1-p) i=1,2,…,n 且 ，由契比雪夫大数定律知，对于任意 的 ，有 （伯努利大数定律）以nA是n次独立重复试 验中事件A出现的次数. p是事件A在每次试验中发生的 概率 (00有: 定理5.3 上一页 下一页 返回
概率论与数理统计 定理5.4（辛钦大数定律）设随机变量X1,X2…,X… 相互独立，服从同一分布，且具有数学期望EX,=4 =1,2,…),则对于任意正数，有 阳r2X1 上一页下一页 返回
(辛钦大数定律)设随机变量X1 ,X2 ,…,Xn ,… 相互独立,服从同一分布，且具有数学期望E(Xi )= (i=1,2,…) ，则对于任意正数,有 定理5.4 上一页 下一页 返回
概率论与数理统计 第二节中心极限定理 定理5.5（独立同分布的中心极限定理）设随机变量 X,X2,Xm…相互独立，服从同一分布，且具有数学 期望和方差，E=4,DX=o2≠0(k=1,2,…)则随 机变量 ∑Xk-EC∑X)∑Xe-n4 y=k=1 k=1 k=1 11 D(∑X) no k=1 的分布函数Fm),对于任意x,有 ∑X-n lim F (x)lim P k=1 ≤x=」 dt n-yoo 11>00 no 2元 上一页 下一页 返回
(独立同分布的中心极限定理)设随机变量 X1 ,X2 ,…,Xn ,…相互独立,服从同一分布,且具有数学 期望和方差，E(Xk )=, D(Xk )= 20( k=1,2,…).则随 机变量 定理5.5 的分布函数Fn (x) , 对于任意x ,有 第二节 中心极限定理 上一页 下一页 返回
概率论与数理统计 定理5.6（李雅普诺夫定理）设随机变量X1,X2,Xn…相 互独立，它们具有数学期望和方差： E(X)=Mk D(Xk)=6≠0(k=1,2,…) 设B2=∑o,若存在正数6，使得当n→oo时， k=1 lim 1 B26 ∑EX-426}→0 k=1 上一页 下一页 返回
(李雅普诺夫定理)设随机变量X1 ,X2 ,…,Xn ,…相 互独立,它们具有数学期望和方差: 定理5.6 上一页 下一页 返回
概率论与数理统计 2X-E(2X)∑X-∑ 则随机变量Z= k=1 k=1 =1 VD∑) Bn k=1 的分布函数Fm(x)对于任意x,满足 2 m以=mPr日含X.4s对-元 _dt Il-xo0 k三1 上一页 下一页 返回
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率论与数理统计 定理5.7设随机变量X服从参数为n,p(0<p<1) 的二项分布，则 (①)（拉普拉斯定理）局部权限定理： 当no时， 1 _(k-np)2 P{X=k}≈ 2p4 2npq -pp号 其中p+q=1,k=0,1,2…,n,p(x)= [-e 2 ()(德莫弗-拉普拉斯定理)积分极限定理： 对于任意X,有1im{- 上一页列下一页 返回
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