概率论与数理统道 第四章 随机变量的数字特征 第一节 数学期望 第二节 方差 第三节 协方差与相关系数 第四节 矩、协方差矩阵
第四章 随机变量的数字特征 第一节 数学期望 第二节 方差 第三节 协方差与相关系数 第四节 矩、协方差矩阵
概率论与数理统计 第一节 数学期望 1.数学期望的定义 定义4.1设离散型随机变量X的分布律为 PX=XR=PR k=1,2,.… 若级数∑xP绝对收敛，则称级数∑xxP k=1 k=1 为随机变量X的数学期望，简称期望，记为EX),即 00 E(X)=∑XP k=1 上一页 下一页 返回
上一页 下一页 返回 第一节 数学期望 定义4.1 为随机变量X的数学期望，简称期望，记为E(X)，即 1.数学期望的定义
概率论与数理统计 设连续型随机变量X具有概率密度f(x) 若∫xf(x)绝对收敛，则称积分∫f(x)为X的 数学期望，记为E(X),即E(X)=f(x) EX)是一个实数，形式上是X的可能值的加权 平均数，实质上它体现了X取值的真正平均。又称 EX)为X的平均值，简称均值。它完全由X的分布 所决定，又称为分布的均值 上一页 下一页 返回
上一页 下一页 返回 E(X)是一个实数，形式上是X的可能值的加权 平均数，实质上它体现了X取值的真正平均。又称 E(X)为X的平均值，简称均值。它完全由X的分布 所决定，又称为分布的均值
概率论与效理统计 例4.1某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时 从摇箱摇出的球的可能颜色为：红、黄、蓝、白、黑 五种，其对应的奖金额分别为：10000元、1000元、 100元、10元、1元.假定摇箱内装有很多球，其中红、 黄、蓝、白、黑的比例分别为： 0.01%,0.15%,1.34%,10%,88.5%,求每次摇奖摇出的 奖金额X的数学期望！ 解每次摇奖摇出的奖金额X是一个随机变量，易知 它的分布律为 X 10000 1000 100 10 1 Pk 0.0001 0.0015 0.0134 0.1 0.885 上一页 下一页 返回
上一页 下一页 返回 例4.1 某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时 从摇箱摇出的球的可能颜色为：红、黄、蓝、白、黑 五种，其对应的奖金额分别为：10000元、1000元、 100元、10元、1元.假定摇箱内装有很多球，其中红、 黄、蓝、白、黑的比例分别为： 0.01%,0.15%,1.34%,10%,88.5%,求每次摇奖摇出的 奖金额X的数学期望. 解 每次摇奖摇出的奖金额X是一个随机变量，易知 它的分布律为 X 10000 1000 100 10 1 pk 0.0001 0.0015 0.0134 0.1 0.885
概率论与数理统计 因此， E(X)=10000×0.0001+1000×0.0015+100×0.0134 +10×0.1+1×0.885 =5.725. 可见，平均起来每次摇奖的奖金额不足6元.这个值 对商店作计划预算时是很重要的. 上一页下一页 返回
上一页 下一页 返回 因此， E（X）=10000×0.0001+1000×0.0015+100×0.0134 +10×0.1+1×0.885 =5.725. 可见，平均起来每次摇奖的奖金额不足6元.这个值 对商店作计划预算时是很重要的
概率论与数理统计 例4.4设随机变量X服从柯西（Cauchy)分布，其概 率密度为 1 f(x)= π1+x2) -00<<0, 试证E(X)不存在. 证由于 ∫o-∫4n0+ dx=+0, 故E(X)不存在. 上一页 下一页 返回
上一页 下一页 返回 例4.4 设随机变量X服从柯西（Cauchy）分布，其概 率密度为 试证E（X）不存在. 故E（X）不存在. 证 由于
概率论与数理统计 2.随机变量函数的数学期望 定理4.1设Y是随机变量X的函数，即Y=g(X)g(x) 是连续函数。 (1)设X是离散型随机变量，盼布律为 P(X=xK)=Pk. k=1,2,. 若∑g(x)p绝对收敛，则有 k=1 00 E(Y)=ELg(X】=∑g(x)p k=1 (2)设X是连续型随机变量，有概率密度f(x) 若g(xf(x)绝对收敛，则有 E(Y)=E[g(x)]=g(x)f(x)dx 上一页 下一页 返回
上一页 下一页 返回 定理4.1 设Y是随机变量X的函数，即Y=g(X),g(x) 是连续函数。 2.随机变量函数的数学期望
概率论与数理统计 证 设X是连续型随机变量，且=gx)满足第二章中定 理的条件。则由定理的结论知Y的概率密度为 f)= fx (h(y)h'(y) a0时， 令x=h(y) =」g(x)f(x)d 当'(y)<0时 E(Y)=」g(x)f(x) 综合以上两式，即得证 上一页 下一页 返回
上一页 下一页 返回 设X是连续型随机变量，且y=g(x)满足第二章中定 理的条件。则由定理的结论知Y的概率密度为 证 明
概率论与数理统计 推广：设Z是随机向量(X,Y) 的函数，即 Z=g(X,Y)（g飞y)是连续函数) (1)若(X,Y)是离散型随机向量，盼布律为 P(X=xiY=y }=Pu i,j=1,2… 则当∑∑g(x.)P;<+oo时，有 i=1i=1 E(Z)=ELg(X,Y=∑∑g(x,yP j=1i=1 (2)若(X,Y)为连续型随机向量且具有概率密度f(x,y) 则当ng(x,yf(x,y)<+oo时， 有：E(Z)=ELgX,小=g(x,y)f(x,y)x 上一页 下一页灵 返回
上一页 下一页 返回 推广： 设Z是随机向量（X,Y）的函数，即 Z=g(X,Y) （g(x,y)是连续函数）
概率论与数理统计 例4.6对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区 间[a,b]内，求球体积的数学期望. 解设随机变量X表示球的直径，表示球的体积，依 题意，X的概率密度为 a≤x≤b, 0, 其他 球体积y=元X,由(4.6) 式得 B)=gr)=jr 1 dx b-a 660r=2a+u+b 7 上一页下一页 返回
上一页 下一页 返回 例4.6 对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区 间［a，b］内，求球体积的数学期望. 解 设随机变量X表示球的直径，Y表示球的体积，依 题意，X的概率密度为 球体积 ，由（4.6）式得