北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第8章 重积分 第4节 三重积分的概念及计算

第4节 第八章 三重积分的桡念及计算 三重积分的概念 二、在直角坐标系中三重积分的算法 三、在柱面坐标系下三重积分的计算 四、在球面坐标系下三重积分的计算 五、三重积分的应用 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 第4节 一、三重积分的概念 二、在直角坐标系中三重积分的算法 三重积分的概念及计算 第八章 三、在柱面坐标系下三重积分的计算 四、在球面坐标系下三重积分的计算 五、三重积分的应用

一、三重积分的概念 引例：设在空间有限闭区域2内分布着某种不均匀的 物质，密度函数为u(x,y,z)∈C,求分布在2内的物质的 质量M. 解决方法：类似二重积分解决问题的思想，采用 “分割，近似，求和，求极限” 可得 M=l1im∑4(5，n,5,)△V 2>01 =1 (51,75) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 i i i Vi ( , , )  ( , , ) i i  i Vi 引例: 设在空间有限闭区域  内分布着某种不均匀的 物质, (x, y,z)C, 求分布在  内的物质的 可得  n 0 i 1 lim  M  “分割, 近似, 求和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为

定义设f(x,y,),(x,y,)∈2，若对2作任意分割 △V(i=1,2,…,n),任意取点(5,7,5；)∈△V,下列 积和式”极限 “乘 记作 lim ∑f5,n.5,Ay j2fxxd亚 i= 存在，则称此极限为函数f(x,y,)在2上的三重积分 dW称为体积元素，在直角坐标系下常写作dxdyda. 性质：三重积分的性质与二重积分相似 中值定理.设f(x,y,z)在有界闭域2上连续，V为2的 体积，则存在(5,7,5)∈2，使得 f(xy=)dv=f(5.n.5)v BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 定义 设 f (x, y,z) , (x, y,z)Ω, i i i n i  f i V   lim ( , , ) 1 0     存在, f (x, y,z)  f (x, y,z)dV dV 称为体积元素, dxdydz. 若对  作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在 上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 下列 “乘 中值定理. 在有界闭域  上连续, 则存在 (,, ) , 使得  f (x, y,z)dV  f (,, )V V 为 的 体积, 积和式” 极限 记作

二、在直角坐标系中三重积分的算法 先假设连续函数∫(x,y,z)≥0，并将它看作某物体 的密度函数，通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法： 方法1先单后重法(“投影法”) 方法2先重后单法（截面法”） 最后，推广到一般可积函数的积分计算 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、在直角坐标系中三重积分的算法 方法1 先单后重法(“投影法”) 方法2 先重后单法(“截面法”) 先假设连续函数 f (x, y,z)  0, 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法:

1.先单后重法(“投影法” (x,y)≤2≤22(x,y) S,:z=z(xy (x,y)∈D S:z-z(x.y 第一步：先将x,y看做常数，把 x,y,)看做z的函数，在区间 [1(x,),22(x,y)]上对z积分， p(x,y) F）-1y3dz. 第二步：计算Fx,y)在闭区域D上的二重积分 ..)dxdyd:-=∬o f(x,y,2)d2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 1. 先单后重法 (“投影法” )       Dxy x y z x y z z x y Ω ( , ) ( , ) ( , ) : 1 2 ( , ) ( , , )d . ( , ) ( , ) 2 1   z x y z x y F x y f x y z z ( , , )d d d d ( , , )d . ( , ) ( , ) 2 1      z x y D z x y f x y z x y z f x y z z xy  第一步：先将x，y看做常数，把 f(x，y，z)看做z的函数，在区间 [z1 (x，y)，z2 (x，y)]上对z积分， 第二步：计算F(x，y)在闭区域Dxy上的二重积分

如果域Dm可写成 D={(x,yy(x)≤y≤2(x),A≤x≤b}, 2={(x,y,2川(x,y)≤z≤2(x,y),1(x)≤y≤2(x),A≤x≤b} 得到三重积分的计算公式： av-fd BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 ( , , )d d d ( , , )d . ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1       z x y z x y y x y x b a f x y z V x y f x y z z 如果域Dxy可写成 得到三重积分的计算公式： {( , )| ( ) ( ), }, Dxy  x y y1 x  y  y2 x a  x  b {( , , )| ( , ) ( , ), ( ) ( ), }.   x y z z1 x y  z  z2 x y y1 x  y  y2 x a  x  b

例8.4.2计算三重积分1=j。xzd,其中2是由平 面x=0,y=0,z=0及x十y十2=1所围成的闭区域. 解：如图D,={(x,y川0≤y≤1-x,0≤x≤1 2={(x,y,2)川0≤z≤1-x-y,0≤y≤1-x,0≤x≤1} i-fdxg dyp xyzdz x+y+z=1 -3 B(0,10) -240-d✉ 19 A(1,0,0) 720 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例8.4.2 计算三重积分 其中Ω是由平 面x＝0，y＝0，z＝0及x＋y＋z＝1所围成的闭区域． d ,  I  x yz V 解:如图        x x y I x y xyz z 1 0 1 0 1 0 d d d D {(x, y)| 0  y 1 x,0  x 1}. xy A(1,0,0) x y z x  y  z 1 O B(0,1,0)  {(x, y,z)| 0  z 1 x  y,0  y 1 x,0  x 1},             x x y x xyz y 1 0 1 0 2 1 0 d 2 1 d    1 0 4 (1 ) d 24 1 x x x . 720 1 

2.“先重后单”法（截面法） 设空间区域2在z轴上的投影为区间 [e,,在[e,内任取一点z,过该 点作垂直于轴的平面，截2得一平 面区域DE), 2={(x,y,z)|(x,y)∈D(z),e≤z≤f} fdv=fddxdy. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 2. “先重后单”法 (截面法) 设空间区域Ω在z轴上的投影为区间 [e，f]，在[e，f]内任取一点z，过该 点作垂直于z轴的平面，截Ω得一平 面区域D(z)， ( , , )d d ( , , )d d .    ( )    D z f e f x y z V z f x y z x y

例8.4.6计算三重积分 oaxdydz, 其中2： 3 62 ≤1. -C≤z≤C .x2 用“先重后单” Jo子dxdyd==∫ed-xdy -2fa1-5a= πabc3 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 x y 例8.4.6 计算三重积分 z 解:  :    z d xd y d z 2     c c z c z 2 z π ab(1 )d 2 2 2  c  z  c 2 2 2 2 2 2 : 1 c z b y a x Dz    Dz d xd y  c c z d z 2 3 π 15 4  abc a b c 用“先重后单 ” Dz z O

三、在柱面坐标系下三重积分的计算 1.柱面坐标 设M(x,y,z)∈R,将x,y用极坐标r,0代替，则(r,0,z) 就叫做点M的柱面坐标.直角坐标与柱面坐标的关系： x =rcose 0≤r<+0 y=rsm 0 0≤0≤2元 Z=Z -00<Z<十00 1M(,y,2〉 坐标面分别为 r=常数 圆柱面 0=常数 半平面 z=常数 平面 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 x y z 三、在柱面坐标系下三重积分的计算 ( , , ) , 3 设M x y z R 将x, y用极坐标r,代替,则（r,,z) 就叫做点M 的柱面坐标.                     z r 0 2 π 0 y  rsin   z  z x  r cos 直角坐标与柱面坐标的关系: r 常数 坐标面分别为 圆柱面  常数 半平面 z 常数 平面  z M (x, y,z) r (x, y,0) O 1.柱面坐标