北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第7章 多元函数微分及其应用 第4节 复合函数与隐函数求导法

第4节 第七章 复合函数与隐函数求导法 一、 多元复合函数的求导法则 二、 全微分形式不变性 三、隐函数的求导公式 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 第4节 一、多元复合函数的求导法则 二、全微分形式不变性 复合函数与隐函数求导法 第七章 三、隐函数的求导公式

一、多元复合函数的求导法则 定理1若函数u=p(x,y),v=x,y)在点(x,y)可导，=f(,V) 在点(u,v)处偏导连续，则复合函数z=[p(x,),y(x,y)] 在点(x,y)可导，且有 ∂z∂z 0z Ov 8x Bu 8x Bv 8x ∂z Oz Ou 0z Ov 0y Ou Oy Ov ay 证：设x取增量△x,则相应中间变量 X X 有增量△u,△v, △z= △+ v+o(p)(p=(A)2+(Av)") BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 z  f [ (x, y), (x, y)] 一、多元复合函数的求导法则 定理1 若函数u  (x, y), v (x, y)在点(x, y)可导,z  f (u,v) 在点(u,v) 处偏导连续, 在点(x,y) 可导, x v v z x u u z x z               z 则复合函数 证: 设 x 取增量△x , v v z u u z z          ( ( ) ( ) ) 2 2  o (  )   u  v 则相应中间变量 且有 u v x x 有增量△u ,△v , y v v z y u u z y z              

△z az△u oz△V Ou△x ay△x 尝* 令△x→0，则有△→0，△v→0， △u Bu v、Oy u △x 8x △x 8x X X △z lim oz∂u 0z 0v △x-→0 △x Ou 8x Oyax 02 0z Ou 0z Ov 链导公式) 8x Ou 0x Ov Ox BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 令 x  0, 则有u  0, v  0, x v v z x u u z x z x              0 lim ( 链导公式 ) x v v z x u u z x z             2 2 ( ) ( ) ( ) x v x o u         z u v x x x v x v x u x u           , x v v z x u u z x z              

说明：若定理中f(u,v)在点(u,v)偏导数连续减弱为 偏导数存在，则定理结论不一定成立 u-v u2+v2≠0 例如：=儿u,)分r2, u2+v2=0 u=t,v=t 易知： 0z Bu 0,0)=J(0,0)=0, aw-/Q0-0 的数2=f(1, dz 0z du Oz dv =0.1+0.1=0 dt 2 Ou dt Ov dt BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 说明: 若定理中f (u,v) 在点(u,v) 例如: z  f (u, v)  u  t , v  t 易知: (0,0) 0 , (0,0)     u f u z 但复合函数 z  f (t, t ) 2 1 d d  t z  t v v z t u u z d d d d         0 1 0 1  0 (0,0) 0 (0,0)     v f v z 偏导数连续减弱为 偏导数存在, 2 t  , 0 2 2 2 2 2    u v u v u v 0 , 0 2 2 u  v  则定理结论不一定成立

推广：设下面所涉及的函数都可微 1)中间变量多于两个的情形.例如，2=f(u,V,w), u=p(t),v=v(t),w=@(t) dz 6z du 0z dv Oz dw + dt Ou dt Ov dt Ow dt =f0'+f5w'+f5o 2)中间变量是多元函数的情形.例如， z=f(,v),u=0(x,y),v=W(x,y) 8z 0z Ou 0z Ov =foi+Rwi ∂x Bu ax av 8x ∂z 0z Ou 8z.Ov =02+f3w3 Oy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 推广: 1) 中间变量多于两个的情形. z  f (u,v,w) , 设下面所涉及的函数都可微.  t z d d     1 2 3 f f f 2) 中间变量是多元函数的情形. z  f (u,v) , u   (x, y), v  (x, y)    x z 11 21  f    f   1 2 2 2   f    f     y z z z u v w u v x y t t t t u u z d d    t v v z d d     t w w z d d     x u u z      x v v z       y u u z      y v v z       u   (t), v  (t), w  (t) 例如, 例如, x y

又如，z=f(x,v),V=W(x,y) 当它们都具有可微条件时，有 of av 8x =+乃州 02 of Ov oy =fΨ2 口诀： 注意：这里 与 f不同， 分段用乘，分叉用加 Ox O 单路全导，叉路偏导 表示f(x,w(x,y))固定y对x求导 8x a∫ 表示f(x,v)固定v对x求导 8x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 上页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 又如, z  f (x,v), v  (x, y) 当它们都具有可微条件时, 有 x z   1 21  f   f   y z   2 2  f   z  f x x y 注意: 这里 x z   x f   x z   表示 f ( x,  ( x, y ) )固定 y 对 x 求导 x f   表示f ( x, v )固定 v 对 x 求导 口诀 : x f    x v v f       y v v f       与 不同, v 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导

例7.4.1设z=e"sinv,u=xy,v=x+y,求 Ox"Oy 解： Oz Oz Ou 8z Ov ∂x Bu 8x'Bv 8x e"sinv.y +e"cosv.1 =ex[y.sin(x+y)+cos(+)] azoz∂u,dzd Oy Ou ay'Ov Oy xyx y =e"sinv·x+e“cosv.l =e*[xsin(x+y)+cos(+y)] BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例7.4.1 设 z e sin v , u xy , v x y , u     , . y z x z     求 解: x z   v u  e sin e [ y sin(x y) cos(x y)] xy      y z   e [x sin(x y) cos(x y)] xy      v u  e sin x u u z       x v v z       v u  e cos y u u z       y v v z       v u  e cos  y 1  x 1 z u v x y x y

例7.4.3设z=uv+sint,u=e,v=cost,求全导数 d dt 解： dz 0z du t,Oz dv,Oz Ou dt'Ov dt Ot ve'-usint cost e'(cost-sint)+cost 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到，下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例7.4.3 设 z  uv  sin t , . d d t z z u v t t t t z d d t  v e t t t t  e (cos  sin )  cos t u u z d d     t v v z d d     t z    u  e t , v  cost , 求全导数 解:  u sin t  cost 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号

例7.44u=x,.）=e2+2+::=xsny,求 Ou 解： ou of,of Oz 8x 8x'8z Ox =2xe+22xsiny =2x(1+2x2 sin2 y)e+xsin2y ou of of.Oz 8yay'oz by =2(y+xsinycosy)esin2y BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例7.4.4 ( , , ) e , sin , 2 2 2 2 u f x y z z x y x y z      y u x u     求 , 解: x u   2 2 2 2 e x y z x    x y x y x x y 2 2 4 2 2 2 sin 2 (1 2 sin ) e     x y z x y u y u   2 2 2 2 e x y z y    x y x y y x y y 2 2 4 2 4 sin 2 ( sin cos ) e     x f    x z z f       2 2 2 2 e x y z z    y f    y z z f       2 2 2 2 e x y z z     2 x sin y x cos y 2 

二、全微分形式不变性 设函数z=f(u,),u=0(x,y),V=y(x,y)都可微， 则复合函数z=f(0(x,y),y(x,y)的全微分为 dz Ox 0z Bu 0z oz ov)dy Qu 8x dx+ ou dy) y dx+ 0x du Bv 可见无论，v是自变量还是中间变量，其全微分表达 形式都一样，这性质叫做全微分形式不变性， BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、全微分形式不变性 设函数 z  f (u,v), u   (x, y), v  (x, y) 的全微分为 y y z x x z dz d d       x x v v z x u u z ( ) d             y y v v z y u u z ( )d             u z    v z    u z    可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, ( d dy ) y u x x u      ( d dy ) y v x x v      则复合函数 z  f ( (x, y), (x, y)) du v z    dv 都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性