北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第4章 不定积分 第3节 第二类换元积分法

第四章 第3为 第二类换元积分法 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0C8 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第3节 第二类换元积分法 第四章

第一类换元法解决的问题 ∫fLo(xlo'(x=∫f(udu 难求 u=p(x) 易求 若所求积分∫f(w)du难求， fIo(x)]p'(xdx易求 测得第二类换元积分法 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题 难求 易求 f [(x)](x)dx    f (u)du u  (x) 若所求积分 f [(x)](x)dx  易求, 则得第二类换元积分法.  f (u)du 难求

定理设x=w(t)是单调可导函数，且w(t)≠0， [yw(t)]w(t)具有原函数，则有换元公式 ∫fxdr=∫f[v(]w(d-ws 其中t=y(x)是x=必（的反函数 证：设fLyt)]wW(t)的原函数为①(t),令 F(x)=w()] 则 F'(x)= [f(x)dx=F(x)+C=(x)]+C =∫f[ww'(dg=ws BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束  F(x) C (t)  f [(t)](t) 定理 设 是单调可导函数 , 且 具有原函数 , ( ) ( ) . 其中t  1 x 是 x  t 的反函数 证: 设 f[(t)](t)的原函数为(t), 令 ( ) [ ( )] 1 F x x    则 F(x)  d t d x t d d   f [(t)](t) ( ) 1  t   f (x) f (x)dx    x C  [ ( )] 1   [t]C ( ) 1 t x   ( ) [ ( )] ( )d 1 t x f t t t         则有换元公式

例4.3.2求 [va2-x2dx (a>0) 解：令x=asint,te(-,),则 va2 -x2 va2-a2sin2t=acost dx acostdt .原式=∫acos1acos1di=a2∫cos21d1 =时42=5n2)+c sin 2t sin2t=2sintcost=2. a a2 resin+xva2-x2+C 2 a BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回 结

目录 上页 下页 返回 结束 例4.3.2 求 d ( 0). 2 2    a x x a 解: 令 sin , ( , ), 2 π 2 π x  a t t   则 a x a a t 2 2 2 2 2    sin  acost dx  acost d t ∴ 原式 acost    acost d t a cos t d t 2 2    a  C 2 4 sin 2 2 t t  a x 2 2 a  x t a x arcsin  x a  x C 2 2 2 1 2 2 a  sin 2t  2sint cost  2 a x  2 2 a x a   2 1 cos2 d 2 t a t   

dx 例4.3.3求 (a>0): 解：令x=atant,t∈(-，)，则 x2+a2 va2 tan2t+a2 asect dx asec2 tdt 厚式-js8cd1=d1 x2+a In sect+tant+C X In chatc a a =x+vx"ta+G. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.3.3 求 解: 令 tan , ( , ), 2 π 2 π x  a t t   则 2 2 2 2 2 x  a  a tan t  a  asect dx asec t d t 2  ∴ 原式   a t 2 sec asect d t sect d t    ln sect  tan t C a x 2 2 x  a t C x x a a C a x a x a          ln ln ln 2 2 2 2

例4.3.4求 dx (a>0) 解：当x>a时，令x=asect,te(0,),则 Vx2-a2 va2 sec2t-a2 atant dx asecttantd t 原式= 2aa0nd1-小r In sect+tant +C -好2c |+C =m|x+vx2-a2-ma+C=mx+vx2-a2+C BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.3.4 求 解: 当x  a时, 令 sec , (0, ), 2  π x  a t t 则 2 2 2 2 2 x  a  a sec t  a  a tant dx  asect tant d t ∴ 原式 t   d asect tant a tant sect d t    ln sect  tan t C 2 2 x  a t  ln C 2 2 x  a a  x a

当xa,于是 du --h-x+vx2-a"+C -In -x-x-a +C =x+vx"-a +C x>a 时， g。--r-gcG=G-ho dx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 当x  a 时, 令 x  u , 则u  a, 于是     2 2 d u a u   u  u  a C 2 2 ln    x  x  a C 2 2 ln C x x a a       2 2 2 ln ( ln ) C1  C  a

说明： 1.被积函数含有Vx2+a2或Vx2-a2时，除采用三角 代换外，还可利用公式ch2t-sh2t=1采用双曲代换 x=asht或x=acht 消去根式，所得结果一致.（参考教材P137) 2.再补充两个常用双曲函数积分公式 (14)shxdx=chx+C e*-e-x shx= (15)∫ch xdx=shx+C ex+e* chx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 说明: 1. 被积函数含有 除采用三角 ch sh 1 2 2 t  t  采用双曲代换 x  asht 消去根式 , 所得结果一致 . ( 参考教材 P137 ) 或 x  acht 代换外, 还可利用公式 2 e e sh x x x    ch x C   (15) ch xdx sh x C   (14) sh xdx 2 e e ch x x x    2. 再补充两个常用双曲函数积分公式

例4.3.5求 dx. 解：令x=},则dr=,d1 -小o1 当x>0时， 原式=-2dja2r-1dar-D 2c-a2- +C 3a2 3a2x3 当x<0时，类似可得同样结果 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 原式     2 1 ( 1) 2 2 a t 2 2 1 a 例4.3.5 求 d . 4 2 2   x x a x 解: 令 , 1 t x  则 原式   t t d 1 2   (a t 1) t d t 2 1 2 2     4 2 1 2 1 t t a  C a a t     2 2 2 3 ( 1) 2 3 当 x < 0 时, 类似可得同样结果 . d( 1) 2 2 a t 

小结： 1.第二类换元法常见类型： 1)∫f(x,/ax+b)dx,令t=ax+b ax+b 2)jf(x,)d，令t=cx+a 第四节讲 3)jf(x,Va-x2)dx,令x=asint或x=acost 4)∫f(x,va2+x2)dx,令x=atant或x=asht 5)jf(x,Vx2-a2)dx,令x=asect或x=acht BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下列 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 小结: 1. 第二类换元法常见类型: 1) ( , )d ,  f x ax  b x n 令 t  n ax  b 2) ( , )d ,    f x n x c x d a x b 令 n c x d a x b t    3) ( , )d , 2 2  f x a  x x 令 x  asint 或 x  acost 4) ( , )d , 2 2  f x a  x x 令 x  a tant 或 x  asht 5) ( , )d , 2 2  f x x  a x 令 x  asect 或 x  acht 第 四 节 讲