第1节 第三章 微分中值定理 费马引理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、泰勒中值定理 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 第1节 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 微分中值定理 第三章 四、泰勒中值定理 一、费马引理
一、费马引理 g} ->fx)=0 马，P.de (或2) 证：设Vx0+△x∈U(xo),f(xo+△y)≤f(xo), 则f'(xo)=1im f(xo+△x)-f(xo) X △x-→0 △x f'(xo)≥0（△x→0） →f'(x0)=0 f(xo)s0(△x→0*) 证毕 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 费马 目录 上项 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、费马引理 且 存在 (或) 证: 设 则 0 0 费马 证毕 x y O 0 x
二、拉格朗日中值定理 定理1（罗尔定理 y=f(x) y=f(x)满足： (1)在区间[a,b]上连续 (2)在区间(a,b)内可导 a (3)f(a)=f(b) =>在（α，b)内至少存在一点5，使f'()=0 证：因f(x)在[a,b]上连续，故在[a,b]上取得最大值 M和最小值m. 若M=m,则f(x)≡M,x∈[a,b], 因此V5∈(a,b),f'()=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上项 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理1（罗尔定理） 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 f ( ) 0. 证: 故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 因此 在( a , b ) 内至少存在一点 x y a b y f (x) O 二、拉格朗日中值定理
若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等 不妨设M≠f(a),则至少存在一点5∈(a,b),使 (5)=M,则由费马引理得∫'(5)=0. y=f(x) 注意： 1)定理条件不全具备时，结论不一定 ag 成立.例如 fo)= X, 0≤x<1 f(x)=x f(x)=x 0, x=1 x∈[-1,1] x∈[0,1] X 在[0,1]不连续 在0,1)不可导 f(0)≠f(1) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 则至少存在一点 使 f ( ) 0. 注意: 1) 定理条件不全具备时, 结论不一定 成立. 则由费马引理得 1 x y O 1 x y 1 O 1 x y O x y a b y f (x) O 例如
2)定理条件只是充分的.本定理可推广为 y=f(x)在(a,b)内可导，且 lim f(x)=lim f(x) x→a x->b > 在(a,b)内至少存在一点5，使f'()=0. f(a), x=a 证明提示：设四=的。X=b a<x<b 证Fx)在[a,b]上满足罗尔定理 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 使 2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且 lim f (x) x a lim f (x) x b 在( a , b ) 内至少存在一点 证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理
定理2（拉格朗日中值定理） y=f(x) y=f(x)满足： (b)-f(a) b-a (1)在区间[a,b]上连续 a飞 x (2)在区间(a,b)内可导 至少存在一点5∈(a,b),使f(5)= > f(b)-f(a) 证：问题转化为证f"() f(b)-f(a)=0 b-a b-a 作辅助函数 0(x)=f(x)- f(b)-f(a) b-a 显然，p(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 Eagrange p(a) bf(a)-afb)=p(b),由罗尔定理知至少存在一点 b-a 5∈(a,b),使p'()=0,即定理结论成立.证毕 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 拉氏 目录上页 下页 返回
目录 上页 下页 返回 结束 定理2（拉格朗日中值定理） ( ) (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 使 . ( ) ( ) ( ) b a f b f a f 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 , 在[a, b] 上连续, 在(a, b)内可导, 且 证: 问题转化为证 (x) f (x) x b a f b f a ( ) ( ) (a) 由罗尔定理知至少存在一点 即定理结论成立 . (b), b a b f a a f b ( ) ( ) 拉氏 0 ( ) ( ) ( ) b a f b f a f 证毕 x y a b y f (x) O y x b a f b f a ( ) ( )
拉格朗日中值定理的有限增量形式： 令a=x0,b=x0+△x,则 △y=f'(x+B△x)△x(0<B<1) 推论1若函数f(x)在区间I上满足f"(x)=0,则f(x) 在1上必为常数 证：在7上任取两点x1,x2(x1<x2),在[x,x2]上用拉 格朗日中值公式，得 f(x2)-f(x)=f'(5)(x2-x)=0(1<5<x2) f(x2)=f(x) 由x1,x2的任意性知，f(x)在I上为常数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 , ( , ) ( ) ( ) ( ) a b b a f b f a f 拉格朗日中值定理的有限增量形式: 推论1 若函数 在区间 I 上满足 则 在 I 上必为常数. 证: 在 I 上任取两点 格朗日中值公式 , 得 0 由 的任意性知, 在 I 上为常数 . ( ) (0 1) y f x0 x x 令 则
推论2如果在区间(a,b)内恒有 f(x)=g'(x),)=g(x)+C. 证：对任意 x∈(a,b),[f(x)-g(x]'=f'(x)-g'(x)=0 由推论1知 f(x)-g(x)=C,f(x)=g(x)+C 说明导函数相等的两个函数相差一个常数， BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 推论2 如果在区间(a，b)内恒有 f ′(x)＝g′(x)，则f(x)＝g(x)＋C. 证: 对任意 由推论1知 说明导函数相等的两个函数相差一个常数
例3.1.4证明恒等式arcsin x+arccosx= 2 x∈[-1,1] 证：设f(x)=arcsinx+arccosx,则在(-l,I)上 f'(x)= 三 1-x21-x2 由推论可知f(x)=arcsinx+arccosx=C(常数) 兀 令x=0,得C= 2 又)-号 故所证等式在定义域[-1,1]上成立 经验：欲证x∈I时f(x)=C,只需证在I上∫'(x)≡0， 且3x,∈I,使f(x)=C0 兀 自证：arctanx+arccotx=,x∈(-o,+o) 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例3.1.4 证明恒等式 证: 设 由推论可知 (常数) 令 x = 0 , 得 又 故所证等式在定义域 上成立. 自证: , x(, ) 2 π arctan x arccot x 经验: 欲证 x I 时 ( ) , C0 f x 只需证在 I 上 f (x) 0, , 0 且 x I ( ) . 0 C0 使 f x
例3.1.5证明不等式 0) 1十x 证：设f(t)=ln(1+t),则f(t)在[0，x]上满足拉格朗日 中值定理条件，因此应有 f(x)-f(0)=f'(5)(x-0),00) 1+x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 、返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例3.1.5 证明不等式 证: 设 f (t) ln(1 t) , 中值定理条件, 即 因为 故 ln(1 ) ( 0). 1 x x x x x 因此应有