银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第八章多元函数微分法及其应用.pdf_大学文库

银川科技职业学院《高等数学》教案第八章多元函数微分学及其应用第 2 页 §8 1 多元函数的基本概念一、平面点集 n 维空间 1．平面点集由平面解析几何知道 当在平面上引入了一个直角坐标系后 平面上的点 P 与有序二元实数组(x y)之间就建立了一一对应 于是 我们常把有序实数组 (x y)与平面上的点 P 视作是等同的 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面 二元的序实数组(x y)的全体 即 R 2 RR{(x y)|x yR}就表示坐标平面 坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合 称为平面点集 记作 E{(x y)| (x y)具有性质 P} 例如 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 C{(x y)| x 2 y 2 r 2 } 如果我们以点 P 表示(x y) 以|OP|表示点 P 到原点 O 的距离 那么集合 C 可表成 C{P| |OP|r} 邻域 设 P0(x0 y0)是 xOy 平面上的一个点 是某一正数 与点 P0(x0 y0)距离小于  的点 P (x y)的全体 称为点 P0 的  邻域 记为 U (P0  即 ( , ) { || | } U P0   P PP0  或 ( , ) {( , )| ( ) ( ) } 2 0 2 U P0   x y xx0  y y   邻域的几何意义 U (P0 )表示 xOy 平面上以点 P0(x0 y0)为中心、 >0 为半径的圆的内部的点 P (x y)的全体 点 P0 的去心  邻域 记作 ( , ) U P0    即 ( , ) { | 0 | | } U P0   P  P0P    注 如果不需要强调邻域的半径 则用 U (P0)表示点 P0 的某个邻域 点 P0 的去心邻域记作 ( ) U P0   点与点集之间的关系 任意一点 PR 2 与任意一个点集 ER 2 之间必有以下三种关系中的一种 (1)内点 如果存在点 P 的某一邻域 U(P) 使得 U(P)E 则称 P 为 E 的内点 (2)外点 如果存在点 P 的某个邻域 U(P) 使得 U(P)E 则称 P 为 E 的外点 (3)边界点 如果点 P 的任一邻域内既有属于 E 的点 也有不属于 E 的点 则称 P 点为 E 的边点 E 的边界点的全体 称为 E 的边界 记作E E 的内点必属于 E E 的外点必定不属于 E 而 E 的边界点可能属于 E 也可能不属于 E  聚点 如果对于任意给定的0 点 P 的去心邻域 U(P, )  内总有 E 中的点 则称 P 是 E 的聚点

银川科技职业学院《高等数学》教案第八章多元函数微分学及其应用第 3 页由聚点的定义可知 点集 E 的聚点 P 本身 可以属于 E 也可能不属于 E  例如 设平面点集 E{(x y)|1x 2 y 2 2} 满足1x 2 y 2 2的一切点(x y)都是E的内点 满足x 2 y 2 1的一切点(x y)都是E 的边界点 它们都不属于 E 满足 x 2 y 2 2 的一切点(x y)也是 E 的边界点 它们都属于 E 点集 E 以及它的界边E 上的一切点都是 E 的聚点 开集 如果点集 E 的点都是内点 则称 E 为开集 闭集 如果点集的余集 E c 为开集 则称 E 为闭集 开集的例子 E{(x y)|1<x 2 y 2 <2} 闭集的例子 E{(x y)|1x 2 y 2 2} 集合{(x y)|1x 2 y 2 2}既非开集 也非闭集 连通性 如果点集 E 内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于 E 则称 E 为连通集 区域 ( 或开区域 ) 连通的开集称为区域或开区域  例如 E{(x y)|1x 2 y 2 2} 闭区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 例如 E  {(x y)|1x 2 y 2 2} 有界集 对于平面点集 E 如果存在某一正数 r 使得 EU(O r) 其中 O 是坐标原点 则称 E 为有界点集 无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集 例如 集合{(x y)|1x 2 y 2 2}是有界闭区域 集合{(x y)| xy1}是无界开区域 集合{(x y)| xy1}是无界闭区域 2 n 维空间设 n 为取定的一个自然数 我们用 R n 表示 n 元有序数组(x1 x2     xn)的全体所构成的集合 即 R n RR  R{(x1 x2     xn)| xiR i1 2    n} R n中的元素(x1 x2     xn)有时也用单个字母x来表示 即x(x1 x2     xn) 当所有的 xi (i1 2    n)都为零时 称这样的元素为 R n 中的零元 记为 0 或 O  在解析几何中 通过直角坐标 R 2 (或 R 3 )中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应 因而R n中的元素x(x1 x2     xn)也称为R n中的一个点或一个 n 维向量 xi 称为点 x 的第 i 个坐标或 n 维向量 x 的第 i 个分量 特别地 R n 中的零元 0 称为 R n中的坐标原点或 n 维零向量 为了在集合 R n 中的元素之间建立联系 在 R n 中定义线性运算如下 设 x(x1 x2     xn) y(y1 y2     yn)为 R n 中任意两个元素 R 规定 xy(x1 y1 x2 y2     xn yn) x(x1 x2     xn) 这样定义了线性运算的集合 R n 称为 n 维空间 R n 中点 x(x1 x2     xn)和点 y(y1 y2     yn)间的距离 记作 (x y) 规定 2 2 2 2 2 1 1 ( , ) ( ) ( ) ( ) n n  x y  x  y  x  y    x  y  显然 n1 2 3 时 上述规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至 R n 中元素 x(x1 x2     xn)与零元 0 之间的距离 (x 0)记作||x||(在 R 1、R 2

银川科技职业学院《高等数学》教案第八章多元函数微分学及其应用第 4 页 R 3 中 通常将||x||记作|x|) 即 2 2 2 2 1 || || n x  x x   x  采用这一记号 结合向量的线性运算 便得 || || ( ) ( ) ( ) ( , ) 2 2 2 2 2 1 1 x y           x y n n x y x y x y  在 n 维空间 R n 中定义了距离以后 就可以定义 R n 中变元的极限 设 x(x1 x2     xn) a(a1 a2     an)R n  如果 ||xa||0 则称变元 x 在 R n 中趋于固定元 a 记作 xa  显然 xa  x1a1 x2a2     xnan  在 R n 中线性运算和距离的引入 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念 可以方便地引入到 n(n3)维空间中来 例如 设 a(a1 a2     an)R n  是某一正数 则 n 维空间内的点集 U(a ){x| x R n  (x a)} 就定义为 R n 中点 a 的邻域 以邻域为基础 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点 以及开集、闭集、区域等一系列概念 二 多元函数概念例１圆柱体的体积 V 和它的底半径 r、高 h 之间具有关系 V r 2 h 这里 当 r、h 在集合{(r  h) | r>0 h>0}内取定一对值(r  h)时 V 对应的值就随之确定 例 2 一定量的理想气体的压强 p、体积 V 和绝对温度 T 之间具有关系 RT P V   其中 R 为常数 这里 当 V、T 在集合{(V T) | V>0 T>0}内取定一对值(V T)时 p 的对应值就随之确定 例 3 设 R 是电阻 R1、R2 并联后的总电阻 由电学知道 它们之间具有关系 1 2 1 2 R R R R R    这里 当 R1、R2 在集合{( R1 R2) | R1>0 R2>0}内取定一对值( R1  R2)时 R 的对应值就随之确定 定义 1 设 D 是 R 2的一个非空子集 称映射 f  DR 为定义在 D 上的二元函数 通常记为 zf(x y) (x y)D (或 zf(P) PD) 其中点集 D 称为该函数的定义域 x y 称为自变量 z 称为因变量 上述定义中 与自变量 x、y 的一对值(x y)相对应的因变量 z 的值 也称为 f 在点(x y)处的函数值 记作 f(x y) 即 zf(x y) 值域 f(D){z| zf(x y) (x y)D}

银川科技职业学院《高等数学》教案第八章多元函数微分学及其应用第 5 页函数的其它符号 zz(x y) zg(x y)等 类似地可定义三元函数 uf(x y z) (x y z)D 以及三元以上的函数 一般地 把定义 1 中的平面点集 D 换成 n 维空间 R n 内的点集 D 映射 f  DR 就称为定义在 D 上的 n 元函数 通常记为 uf(x1 x2     xn) (x1 x2     xn)D 或简记为 uf(x) x(x1 x2     xn)D 也可记为 uf(P) P(x1 x2     xn)D  关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数 uf(x)时 就以使这个算式有意义的变元 x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域 因而 对这类函数 它的定义域不再特别标出 例如 函数 zln(xy)的定义域为{(x y)|xy>0}(无界开区域) 函数 zarcsin(x 2 y 2 )的定义域为{(x y)|x 2 y 2 1}(有界闭区域) 二元函数的图形 点集{(x y z)|zf(x y) (x y)D}称为二元函数 zf(x y)的图形 二元函数的图形是一张曲面 例如 zaxbyc 是一张平面 而函数 z=x 2 +y 2 的图形是旋转抛物面 三 多元函数的极限与一元函数的极限概念类似 如果在 P(x y)P0(x0 y0)的过程中 对应的函数值 f(x y)无限接近于一个确定的常数 A 则称 A 是函数 f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 定义 2 设二元函数f(P)f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果存在常数 A 对于任意给定的正数总存在正数  使得当 ( , ) ( , ) P x y D U P0     时 都有 |f(P)A||f(x y)A| 成立 则称常数 A 为函数 f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 记为 f x y A x y x y   lim ( , ) ( , ) ( , ) 0 0  或 f(x y)A ((x y)(x0 y0)) 也记作 f P A P P   lim ( ) 0 或 f(P)A(PP0) 上述定义的极限也称为二重极限 例 4. 设 2 2 2 2 1 ( , ) ( )sin x y f x y x y     求证 lim ( , ) 0 ( , ) (0,0)   f x y x y  证因为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | 1 0| | | |sin 1 | ( , ) 0| |( )sin x y x y x y x y f x y x y             可见 >0 取     则当      2 2 0 (x 0) (y 0)  即 P(x, y) D U(O, )    时 总有

银川科技职业学院《高等数学》教案第八章多元函数微分学及其应用第 6 页 |f(x y)0| 因此 lim ( , ) 0 ( , ) (0,0)   f x y x y  必须注意 (1)二重极限存在 是指 P 以任何方式趋于 P0 时 函数都无限接近于 A (2)如果当 P 以两种不同方式趋于 P0 时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在 讨论 函数            0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 在点(0 0)有无极限？提示 当点 P(x y)沿 x 轴趋于点(0 0)时 lim ( , ) lim ( , 0) lim 0 0 ( , ) (0,0) 0 0    x y  x x f x y f x  当点 P(x y)沿 y 轴趋于点(0 0)时 lim ( , ) lim (0, ) lim 0 0 ( , ) (0,0) 0 0    x y  y y f x y f y  当点 P (x y)沿直线 ykx 有 2 2 2 2 2 0 2 2 ( , ) (0,0) 1 lim lim k k x k x k x x y x y x y kx x y          因此 函数 f(x y)在(0 0)处无极限 极限概念的推广 多元函数的极限 多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似 例 5 求 x xy x y sin( ) lim ( , )(0,2)  解 y x y x y x x y x y x y     sin( ) lim sin( ) lim ( , ) (0,2) ( , ) (0,2) y xy xy (x,y) (0,2) (x,y) (0,2) lim sin( ) lim     122 四 多元函数的连续性定义 3 设二元函数 f(P)f (x y)的定义域为 D P0(x0 y0)为 D 的聚点 且 P0D  如果 lim ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y x y x y    则称函数 f (x y)在点 P0(x0 y0)连续 如果函数 f (x y)在 D 的每一点都连续 那么就称函数 f (x y)在 D 上连续 或者称 f (x y)是 D 上的连续函数 二元函数的连续性概念可相应地推广到 n 元函数 f(P)上去 例 6 设 f(x,y)sin x 证明 f(x y)是 R 2 上的连续函数 证设 P0(x0 y0) R 2  0 由于 sin x 在 x0 处连续 故0 当|xx0|时 有 |sin xsin x0| 以上述作 P0 的邻域 U(P0 ) 则当 P(x y)U(P0 )时 显然

银川科技职业学院《高等数学》教寒第八章多元函数徽分学及其应用 Ix,y)f(xo,yo)=sin x-sin xol<s, 即x,y)sinx在点Po(xo,)连续.由Po的任意性知，sinx作为x,y的二元函数在R2上连续证对于任意的Po(x0,0)ER2.因为 lim f(x,y)=lim sinx=sin xo=f(xXo:yo), (x,y)(xo%) (x,y)→(oJ%) 所以函数x,y)=sinx在点Po(xo,o)连续.由Po的任意性知，sinx作为x,y的二元函数在R上连续. 类似的讨论可知，一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时，它们在各自的定义域内都是连续的，定义4设函数x,y)的定义域为D,Po(xo,o)是D的聚点.如果函数x,) 在点Po(xo,)不连续，则称Po(0,o)为函数x,y)的间断点. xy 例如：函数fx,y)=x2+y x2+y2≠0 0 x2+y2=0 其定义域D=R2,O0,0)是D的聚点.x,)当(x,y)→(0,0)时的极限不存在，所以点O(0,0)是该函数的一个间断点. 1 又如，函数：=s血+一，其定义域为D=,r+y41,圆周C y+y=1)上的点都是D的聚点，而x,)在C上没有定义，当然x,y)在C上各点都不连续，所以圆周C上各点都是该函数的间断点注：间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点。可以证明，多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数：多元初等函数：与一元初等函数类似，多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的，例如x+x2-y2 1+y2 ，sin(x+y以，e+广+都是多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。由多元连续函数的连续性，如果要求多元连续函数P)在点P。处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则imf(P)=f(o). p→Po 例7求lim+y (x,y→，2)xy 解：函数fx)=+y是初等函数，它的定义域为：D=化，0,0. XV P(1,2)为D的内点，故存在Po的某一邻域UPo)cD,而任何邻域都是区域，所以UPo)是x,y)的一个定义区域，因此 me/x0=2=2 (xy),2) 第7页

银川科技职业学院《高等数学》教案第八章多元函数微分学及其应用第 7 页 |f(x y)f(x0 y0)||sin xsin x0| 即 f(x y)sin x 在点 P0(x0 y0) 连续 由 P0 的任意性知 sin x 作为 x y 的二元函数在 R 2 上连续 证对于任意的 P0(x0 y0)R 2  因为 lim ( , ) lim sin sin ( , ) 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y x x f x y x y x y x y x y       所以函数 f(x,y)sin x 在点 P0(x0 y0)连续 由 P0的任意性知 sin x 作为 x y 的二元函数在 R 2 上连续 类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的 定义 4 设函数 f(x y)的定义域为 D P0(x0 y0)是 D 的聚点 如果函数 f(x y) 在点 P0(x0 y0)不连续 则称 P0(x0 y0)为函数 f(x y)的间断点 例如：函数            0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y  其定义域DR 2  O(0 0)是D的聚点 f(x y)当(x y)(0 0)时的极限不存在 所以点 O(0 0)是该函数的一个间断点 又如 函数 1 1 sin 2 2    x y z  其定义域为 D{(x y)|x 2 y 2 1} 圆周 C{(x y)|x 2 y 2 1}上的点都是 D 的聚点 而 f(x y)在 C 上没有定义 当然 f(x y)在 C 上各点都不连续 所以圆周 C 上各点都是该函数的间断点 注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点 可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数 多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的 例如 2 2 2 1 y x x y     sin(xy) 2 2 2 x y z e   都是多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 由多元连续函数的连续性 如果要求多元连续函数 f(P)在点 P0 处的极限 而该点又在此函数的定义区域内 则 lim ( ) ( )0 0 f P f P p p    例 7 求 xy x y x y  ( , )(1,2) lim  解 函数 xy x y f x y  ( , ) 是初等函数 它的定义域为：D{(x y)|x0 y0} P0(1 2)为 D 的内点 故存在 P0的某一邻域 U(P0)D 而任何邻域都是区域 所以 U(P0)是 f(x y)的一个定义区域 因此 2 3 lim ( , ) (1,2) ( , ) (1,2)    f x y f x y 

银川科技职业学院《高等数学》教案第八章多元函数微分学及其应用第 9 页 §82 偏导数一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数 zf(x y) 如果只有自变量 x 变化 而自变量 y固定 这时它就是 x 的一元函数 这函数对 x 的导数 就称为二元函数 zf(x y)对于 x 的偏导数 定义设函数 zf(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 当 y 固定在 y0而 x 在 x0 处有增量x 时 相应地函数有增量 f(x0x y0)f(x0 y0) 如果极限 x f x x y f x y x      ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在 则称此极限为函数 zf(x y)在点(x0 y0)处对 x 的偏导数 记作 0 0 y y x x x z      0 0 y y x x x f      0 0 y y zx x x    或 ( , ) 0 0 f x y x  例如： x f x x y f x y f x y x x       ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0  类似地 函数 zf(x y)在点(x0 y0)处对 y 的偏导数定义为 y f x y y f x y y      ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0  记作 0 0 y y x x y z      0 0 y y x x y f      0 0 y y zy x x    或 fy(x0 y0) 偏导函数 如果函数 zf(x y)在区域 D内每一点(x y)处对 x的偏导数都存在 那么这个偏导数就是 x、y 的函数 它就称为函数 zf(x y)对自变量 x 的偏导函数 记作 x z    x f    x z  或 f (x, y) x  偏导函数的定义式 x f x x y f x y f x y x x       ( , ) ( , ) ( , ) lim 0  类似地 可定义函数 zf(x y)对 y 的偏导函数 记为 y z    y f    zy  或 f (x, y) y  偏导函数的定义式 y f x y y f x y f x y y y       ( , ) ( , ) ( , ) lim 0  求 x f   时 只要把 y 暂时看作常量而对 x 求导数 求 y f   时 只要把 x 暂时看作常量而对 y 求导数 讨论 下列求偏导数的方法是否正确？ 0 ) 0 ( , ) ( , 0 0 y y x x x x f x y f x y     0 ) 0 ( , ) ( , 0 0 y y x x y y f x y f x y    

银川科技职业学院《高等数学》教案第八章多元函数微分学及其应用第 10 页 0 ( , ) [ ( , )] 0 0 0 x x x f x y dx d f x y    0 ( , ) [ ( , )] y 0 0 0 y y f x y dy d f x y    偏导数的概念还可推广到二元以上的函数 例如三元函数 uf(x y z)在点 (x y z)处对 x 的偏导数定义为 x f x x y z f x y z f x y z x x       ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0  其中(x y z)是函数 uf(x y z)的定义域的内点 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题 例 1 求 zx 2 3xyy 2 在点(1 2)处的偏导数 解 x y x z 2 3    x y y z 3 2    2 1 3 2 8 2 1          y x x z  3 1 2 2 7 2 1          y x y z  例 2 求 zx 2 sin 2y 的偏导数 解 x y x z 2 sin 2    x y y z 2 cos2 2     例 3 设 z  x (x0,x1) y  求证 z y z x x z y x 2 ln 1        证 1    y yx x z  x x y z y  ln    x x x x z x yx y x y z x x z y x y y y y ln 2 ln 1 ln 1 1             例 4 求 2 2 2 r x  y z 的偏导数 解 r x x y z x x r       2 2 2  r y x y z y y r       2 2 2  例 5 已知理想气体的状态方程为 pV=RT(R 为常数) 求证 1         p T T V V p  证因为 V RT p  2 V RT V p     p RT V   p R T V     R pV T   R V p T     所以 1 2              pV RT R V p R V RT p T T V V p  例 5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商 二元函数 zf(x y)在点(x0 y0)的偏导数的几何意义 fx(x0 y0)[f(x y0)]x是截线 zf(x y0)在点 M0 处切线 Tx 对 x 轴的斜率 fy(x0 y0) [f(x0 y)]y是截线 zf(x0 y)在点 M0 处切线 Ty 对 y 轴的斜率 偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不

银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第八章 多元函数微分法及其应用

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