银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第八章 多元函数微分法及其应用

银川科技职业学院《高等数学》教朱 第八章多元函数徽分学及其应用 章节名称： 第八章多元函数微分学及其应用 教学内容与学时分配： 教学目的和要求： 重点： 难点： 教学过程（教学环节设计与方法）： 教学手段： 作业： 第1页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章 多元函数微分学及其应用 第 1 页 章节名称： 第八章 多元函数微分学及其应用 教学内容与学时分配： 教学目的和要求： 重点： 难点： 教学过程（教学环节设计与方法）： 教学手段： 作业：

银川科技职业学院《高等数学》教寒 第八章多元函数徽分学及其应用 S8.1多元函数的基本概念 一、平面点集n维空间 1.平面点集 由平面解析几何知道，当在平面上引入了一个直角坐标系后，平面上的点 P与有序二元实数组(x,y)之间就建立了一一对应.于是，我们常把有序实数组 (x,)与平面上的点P视作是等同的.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面。 二元的序实数组(x,y)的全体，即R=R×R={化，水，yER}就表示坐标平面. 坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面点集，记作 E={(x,y川(x,)具有性质P. 例如，平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是 C={x,y川x2+y20为 半径的圆的内部的点P(x,)的全体， 点Po的去心6邻域，记作U(P,),即 U(B,)={P10BPk}. 注：如果不需要强调邻域的半径6则用U(Po)表示点P的某个邻域，点 Po的去心邻域记作U(C) 点与点集之间的关系： 任意一点PR2与任意一个点集EcR2之间必有以下三种关系中的一种： )内点：如果存在点P的某一邻域UP),使得U(P)cE,则称P为E的内 点； 2)外点：如果存在点P的某个邻域UP),使得UP)nE=O,则称P为E 的外点； ③)边界点：如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点， 则称P点为E的边点 E的边界点的全体，称为E的边界，记作⑦E. E的内点必属于E;E的外点必定不属于E;而E的边界点可能属于E,也 可能不属于E. 聚点：如果对于任意给定的0，点P的去心邻域U(P,δ)内总有E中的点， 则称P是E的聚点 第2页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章 多元函数微分学及其应用 第 2 页 §8 1 多元函数的基本概念 一、平面点集 n 维空间 1．平面点集 由平面解析几何知道 当在平面上引入了一个直角坐标系后 平面上的点 P 与有序二元实数组(x y)之间就建立了一一对应 于是 我们常把有序实数组 (x y)与平面上的点 P 视作是等同的 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面 二元的序实数组(x y)的全体 即 R 2 RR{(x y)|x yR}就表示坐标平面 坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合 称为平面点集 记作 E{(x y)| (x y)具有性质 P} 例如 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 C{(x y)| x 2 y 2 r 2 } 如果我们以点 P 表示(x y) 以|OP|表示点 P 到原点 O 的距离 那么集合 C 可表 成 C{P| |OP|r} 邻域 设 P0(x0 y0)是 xOy 平面上的一个点 是某一正数 与点 P0(x0 y0)距离小于  的点 P (x y)的全体 称为点 P0 的  邻域 记为 U (P0  即 ( , ) { || | } U P0   P PP0  或 ( , ) {( , )| ( ) ( ) } 2 0 2 U P0   x y xx0  y y   邻域的几何意义 U (P0 )表示 xOy 平面上以点 P0(x0 y0)为中心、 >0 为 半径的圆的内部的点 P (x y)的全体 点 P0 的去心  邻域 记作 ( , ) U P0    即 ( , ) { | 0 | | } U P0   P  P0P    注 如果不需要强调邻域的半径 则用 U (P0)表示点 P0 的某个邻域 点 P0 的去心邻域记作 ( ) U P0   点与点集之间的关系 任意一点 PR 2 与任意一个点集 ER 2 之间必有以下三种关系中的一种 (1)内点 如果存在点 P 的某一邻域 U(P) 使得 U(P)E 则称 P 为 E 的内 点 (2)外点 如果存在点 P 的某个邻域 U(P) 使得 U(P)E 则称 P 为 E 的外点 (3)边界点 如果点 P 的任一邻域内既有属于 E 的点 也有不属于 E 的点 则称 P 点为 E 的边点 E 的边界点的全体 称为 E 的边界 记作E E 的内点必属于 E E 的外点必定不属于 E 而 E 的边界点可能属于 E 也 可能不属于 E  聚点 如果对于任意给定的0 点 P 的去心邻域 U(P, )  内总有 E 中的点 则称 P 是 E 的聚点

银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章多元函数徽分学及其应用 由聚点的定义可知，点集E的聚点P本身，可以属于E,也可能不属于E 例如，设平面点集 E={(x,y11}是无界开 区域； 集合{x,y川x+21)是无界闭区域. 2.n维空间 设n为取定的一个自然数，我们用R”表示n元有序数组(x1,x2,··,xm)的 全体所构成的集合，即 R”=R×R××R={x1,x2··,Xn)XiER,iel,2,·,n R”中的元素x,2,·,x)有时也用单个字母x来表示，即-(x,x2,…,x).当 所有的x(i=1,2,,m)都为零时，称这样的元素为R”中的零元，记为0或O. 在解析几何中，通过直角坐标，R(或R)中的元素分别与平面（或空间）中的点 或向量建立一一对应，因而R”中的元素=(x,2,··,x)也称为R”中的一个点 或一个n维向量，x,称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量.特别地， R”中的零元0称为R”中的坐标原点或n维零向量. 为了在集合R”中的元素之间建立联系，在R”中定义线性运算如下： 设x=(,3,·,x),=y,2,…,n)为R”中任意两个元素，ER,规定 xty=(x1+1,x2+y2,·,xm+n,=(x1,2,·,xn). 这样定义了线性运算的集合R”称为n维空间. R”中点=(x,2,…,x和点=0y1,2,·,间的距离，记作p化，以，规 定 px,)=:-2+(3-)2+…+(x,-yn 显然，=1,2,3时，上述规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距 离一至 R”中元素x=x,x2,·,xn)与零元0之间的距离p化，0)记作x(在R、R2、 第3页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章 多元函数微分学及其应用 第 3 页 由聚点的定义可知 点集 E 的聚点 P 本身 可以属于 E 也可能不属于 E  例如 设平面点集 E{(x y)|1x 2 y 2 2} 满足1x 2 y 2 2的一切点(x y)都是E的内点 满足x 2 y 2 1的一切点(x y)都是E 的边界点 它们都不属于 E 满足 x 2 y 2 2 的一切点(x y)也是 E 的边界点 它们 都属于 E 点集 E 以及它的界边E 上的一切点都是 E 的聚点 开集 如果点集 E 的点都是内点 则称 E 为开集 闭集 如果点集的余集 E c 为开集 则称 E 为闭集 开集的例子 E{(x y)|1<x 2 y 2 <2} 闭集的例子 E{(x y)|1x 2 y 2 2} 集合{(x y)|1x 2 y 2 2}既非开集 也非闭集 连通性 如果点集 E 内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点 都属于 E 则称 E 为连通集 区 域 ( 或 开 区 域 ) 连 通 的 开 集 称 为 区 域 或 开 区 域  例 如 E{(x y)|1x 2 y 2 2} 闭区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 例如 E  {(x y)|1x 2 y 2 2} 有界集 对于平面点集 E 如果存在某一正数 r 使得 EU(O r) 其中 O 是坐标原点 则称 E 为有界点集 无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集 例如 集合{(x y)|1x 2 y 2 2}是有界闭区域 集合{(x y)| xy1}是无界开 区域 集合{(x y)| xy1}是无界闭区域 2 n 维空间 设 n 为取定的一个自然数 我们用 R n 表示 n 元有序数组(x1 x2     xn)的 全体所构成的集合 即 R n RR  R{(x1 x2     xn)| xiR i1 2    n} R n中的元素(x1 x2     xn)有时也用单个字母x来表示 即x(x1 x2     xn) 当 所有的 xi (i1 2    n)都为零时 称这样的元素为 R n 中的零元 记为 0 或 O  在解析几何中 通过直角坐标 R 2 (或 R 3 )中的元素分别与平面(或空间)中的点 或向量建立一一对应 因而R n中的元素x(x1 x2     xn)也称为R n中的一个点 或一个 n 维向量 xi 称为点 x 的第 i 个坐标或 n 维向量 x 的第 i 个分量 特别地 R n 中的零元 0 称为 R n中的坐标原点或 n 维零向量 为了在集合 R n 中的元素之间建立联系 在 R n 中定义线性运算如下 设 x(x1 x2     xn) y(y1 y2     yn)为 R n 中任意两个元素 R 规定 xy(x1 y1 x2 y2     xn yn) x(x1 x2     xn) 这样定义了线性运算的集合 R n 称为 n 维空间 R n 中点 x(x1 x2     xn)和点 y(y1 y2     yn)间的距离 记作 (x y) 规 定 2 2 2 2 2 1 1 ( , ) ( ) ( ) ( ) n n  x y  x  y  x  y    x  y  显然 n1 2 3 时 上述规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距 离一至 R n 中元素 x(x1 x2     xn)与零元 0 之间的距离 (x 0)记作||x||(在 R 1、R 2

银川科技职业学院《高等数学》教寒 第八章多元函数徽分学及其应用 R中，通常将x记作)，即 川x作V好+好+…x场. 采用这一记号，结合向量的线性运算，便得 x-y=V(x-)2+(x2-2)2+…+(x-yn)2=px,y): 在n维空间R”中定义了距离以后，就可以定义R”中变元的极限： 设xr-(x,x2,,xn,a=(a,a2,·,an)eR”. 如果 e-ad→0， 则称变元x在R”中趋于固定元a,记作x→a 显然， X→a台x1→a1,X2→a2,···,xn→am. 在R”中线性运算和距离的引入，使得前面讨论过的有关平面点集的一系 列概念，可以方便地引入到(23)维空间中来，例如， 设=(a,a2,·,a)eR”,6是某一正数，则n维空间内的点集 U(a,)=xxE R",px,a)0,h>0}内取定一对值(r,h)时，V对应的值就随 之确定 例2一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系 P、 其中R为常数.这里，当V、T在集合{(V,D|>0,T下>0}内取定一对值(V,T)时， p的对应值就随之确定 例3设R是电阻R1、R2并联后的总电阻，由电学知道，它们之间具有关系 R-RR R+R 这里，当R1、R2在集合{(R1,R2)川R1>0,R2>0}内取定一对值(R1,R2)时，R的对 应值就随之确定。 定义1设D是R的一个非空子集，称映射f:D→R为定义在D上的二元 函数，通常记为 2=x,y),(x,y)eD(或=fP),P∈D) 其中点集D称为该函数的定义域，x,y称为自变量，z称为因变量 上述定义中，与自变量x、y的一对值xy)相对应的因变量：的值，也称为 f在点(x,y)处的函数值，记作x,y),即=x,y). 值域：D)={=x,y,(x,y)eD} 第4页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章 多元函数微分学及其应用 第 4 页 R 3 中 通常将||x||记作|x|) 即 2 2 2 2 1 || || n x  x x   x  采用这一记号 结合向量的线性运算 便得 || || ( ) ( ) ( ) ( , ) 2 2 2 2 2 1 1 x y           x y n n x y x y x y  在 n 维空间 R n 中定义了距离以后 就可以定义 R n 中变元的极限 设 x(x1 x2     xn) a(a1 a2     an)R n  如果 ||xa||0 则称变元 x 在 R n 中趋于固定元 a 记作 xa  显然 xa  x1a1 x2a2     xnan  在 R n 中线性运算和距离的引入 使得前面讨论过的有关平面点集的一系 列概念 可以方便地引入到 n(n3)维空间中来 例如 设 a(a1 a2     an)R n  是某一正数 则 n 维空间内的点集 U(a ){x| x R n  (x a)} 就定义为 R n 中点 a 的邻域 以邻域为基础 可以定义点集的内点、外点、边 界点和聚点 以及开集、闭集、区域等一系列概念 二 多元函数概念 例１ 圆柱体的体积 V 和它的底半径 r、高 h 之间具有关系 V r 2 h 这里 当 r、h 在集合{(r  h) | r>0 h>0}内取定一对值(r  h)时 V 对应的值就随 之确定 例 2 一定量的理想气体的压强 p、体积 V 和绝对温度 T 之间具有关系 RT P V   其中 R 为常数 这里 当 V、T 在集合{(V T) | V>0 T>0}内取定一对值(V T)时 p 的对应值就随之确定 例 3 设 R 是电阻 R1、R2 并联后的总电阻 由电学知道 它们之间具有关系 1 2 1 2 R R R R R    这里 当 R1、R2 在集合{( R1 R2) | R1>0 R2>0}内取定一对值( R1  R2)时 R 的对 应值就随之确定 定义 1 设 D 是 R 2的一个非空子集 称映射 f  DR 为定义在 D 上的二元 函数 通常记为 zf(x y) (x y)D (或 zf(P) PD) 其中点集 D 称为该函数的定义域 x y 称为自变量 z 称为因变量 上述定义中 与自变量 x、y 的一对值(x y)相对应的因变量 z 的值 也称为 f 在点(x y)处的函数值 记作 f(x y) 即 zf(x y) 值域 f(D){z| zf(x y) (x y)D}

银川科技职业学院《高等数学》教来 第八章多元函数徽分学及其应用 函数的其它符号：=(x,),=gx,y)等. 类似地可定义三元函数=x,y,),(x,少)eD以及三元以上的函数， 一般地，把定义1中的平面点集D换成n维空间R”内的点集D,映射∫： DR就称为定义在D上的n元函数，通常记为 =fx1,x2,·,xn),(x1,X2,·,xn)eD, 或简记为 =x),x=(1,x2,··,xn)eD, 也可记为 =fP),P(x1,x2,··,xm)eD 关于函数定义域的约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数=x)时， 就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定 义域.因而，对这类函数，它的定义域不再特别标出.例如， 函数=ln(x+y)的定义域为{x,yr+y>0(无界开区域)方 函数z=arcsin(x2+y)的定义域为{x,2+y2s1(有界闭区域). 二元函数的图形：点集{x,y,z=x,y),(K,)∈D;称为二元函数=x,)的 图形，二元函数的图形是一张曲面. 例如=ax+by+c是一张平面，而函数=x2+y2的图形是旋转抛物面. 三.多元函数的极限 与一元函数的极限概念类似，如果在Px,y)→Pxo,)的过程中，对应的 函数值x,y)无限接近于一个确定的常数A,则称A是函数x,y)当(x,y)→xo, )时的极限. 定义2设二元函数P)=x,)的定义域为D,Po(xoo)是D的聚点.如果存 在常数A,对于任意给定的正数总存在正数d使得当P(x,y)∈DnUP,)时， 都有 P)4A=x,y吵-AKE 成立，则称常数A为函数x,)当(x,)→x,)时的极限，记为 R心x月=A,或x,Ac,-o,o》, 也记作 fP)=A或P)→AP→PO) 上述定义的极限也称为二重极限， 例4设=(+sm,求证心功=0， 证因为 /c,0H(x+yrsmxy-02+rH5mxl≤x+y, 可见ε>0，取6=E,则当 0<Vx-0P+y-0y<6, 即P(xy)EDnU(O,)时，总有 第5页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章 多元函数微分学及其应用 第 5 页 函数的其它符号 zz(x y) zg(x y)等 类似地可定义三元函数 uf(x y z) (x y z)D 以及三元以上的函数 一般地 把定义 1 中的平面点集 D 换成 n 维空间 R n 内的点集 D 映射 f  DR 就称为定义在 D 上的 n 元函数 通常记为 uf(x1 x2     xn) (x1 x2     xn)D 或简记为 uf(x) x(x1 x2     xn)D 也可记为 uf(P) P(x1 x2     xn)D  关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数 uf(x)时 就以使这个算式有意义的变元 x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定 义域 因而 对这类函数 它的定义域不再特别标出 例如 函数 zln(xy)的定义域为{(x y)|xy>0}(无界开区域) 函数 zarcsin(x 2 y 2 )的定义域为{(x y)|x 2 y 2 1}(有界闭区域) 二元函数的图形 点集{(x y z)|zf(x y) (x y)D}称为二元函数 zf(x y)的 图形 二元函数的图形是一张曲面 例如 zaxbyc 是一张平面 而函数 z=x 2 +y 2 的图形是旋转抛物面 三 多元函数的极限 与一元函数的极限概念类似 如果在 P(x y)P0(x0 y0)的过程中 对应的 函数值 f(x y)无限接近于一个确定的常数 A 则称 A 是函数 f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 定义 2 设二元函数f(P)f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果存 在常数 A 对于任意给定的正数总存在正数  使得当 ( , ) ( , ) P x y D U P0     时 都有 |f(P)A||f(x y)A| 成立 则称常数 A 为函数 f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 记为 f x y A x y x y   lim ( , ) ( , ) ( , ) 0 0  或 f(x y)A ((x y)(x0 y0)) 也记作 f P A P P   lim ( ) 0 或 f(P)A(PP0) 上述定义的极限也称为二重极限 例 4. 设 2 2 2 2 1 ( , ) ( )sin x y f x y x y     求证 lim ( , ) 0 ( , ) (0,0)   f x y x y  证 因为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | 1 0| | | |sin 1 | ( , ) 0| |( )sin x y x y x y x y f x y x y             可见 >0 取     则当      2 2 0 (x 0) (y 0)  即 P(x, y) D U(O, )    时 总有

银川科技职业学院《高等数学》教亲 第八章多元函数徽分学及其应用 Ifx,y)-00,0) x→0 x-0 当点Px,y)沿y轴趋于点(0,0)时， lim f(x,y)=lim f(0.y)=lim 0=0. (xy0,0) y-0 y-0 当点P(xy)沿直线y=kx有 200r2+2- lim xy kx2 k =10x2+k2x2+k2· y=kx 因此，函数x,y)在(0,0)处无极限. 极限概念的推广：多元函数的极限 多元函数的极限运算法则：与一元函数的情况类似， 例5求lim sin(xy) (xy0,2)x 解：，m=m sin(xy) y=lim (x,y→0,2)X (x,-→0,2)xy sin(x)).im。ny=l×2=2. (xy0,2)xyx,y→0,2) 四.多元函数的连续性 定义3设二元函数P)=∫(x,y)的定义域为D,Po(xo)为D的聚点，且 Po∈D.如果 lim f(x,y)=f(xo:yo), (x.y)(xo-Yo) 则称函数fx,y)在点Po(xo,o)连续. 如果函数∫(x,y)在D的每一点都连续，那么就称函数∫(x,y)在D上连续， 或者称f(x,)是D上的连续函数， 二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数fP上去. 例6设x,y)=sinx,证明x,)是R上的连续函数. 证设Po(xo,o)eR2.>0,由于sinx在xo处连续，故妇心0，当r-xo水k时， 有 Isin x-sin xo<&. 以上述作Po的邻域UPo,,则当P(x,y)∈UPo,)时，显然 第6页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章 多元函数微分学及其应用 第 6 页 |f(x y)0| 因此 lim ( , ) 0 ( , ) (0,0)   f x y x y  必须注意 (1)二重极限存在 是指 P 以任何方式趋于 P0 时 函数都无限接近于 A (2)如果当 P 以两种不同方式趋于 P0 时 函数趋于不同的值 则函数的极 限不存在 讨论 函数            0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 在点(0 0)有无极限？ 提示 当点 P(x y)沿 x 轴趋于点(0 0)时 lim ( , ) lim ( , 0) lim 0 0 ( , ) (0,0) 0 0    x y  x x f x y f x  当点 P(x y)沿 y 轴趋于点(0 0)时 lim ( , ) lim (0, ) lim 0 0 ( , ) (0,0) 0 0    x y  y y f x y f y  当点 P (x y)沿直线 ykx 有 2 2 2 2 2 0 2 2 ( , ) (0,0) 1 lim lim k k x k x k x x y x y x y kx x y          因此 函数 f(x y)在(0 0)处无极限 极限概念的推广 多元函数的极限 多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似 例 5 求 x xy x y sin( ) lim ( , )(0,2)  解 y x y x y x x y x y x y     sin( ) lim sin( ) lim ( , ) (0,2) ( , ) (0,2) y xy xy (x,y) (0,2) (x,y) (0,2) lim sin( ) lim     122 四 多元函数的连续性 定义 3 设二元函数 f(P)f (x y)的定义域为 D P0(x0 y0)为 D 的聚点 且 P0D  如果 lim ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y x y x y    则称函数 f (x y)在点 P0(x0 y0)连续 如果函数 f (x y)在 D 的每一点都连续 那么就称函数 f (x y)在 D 上连续 或者称 f (x y)是 D 上的连续函数 二元函数的连续性概念可相应地推广到 n 元函数 f(P)上去 例 6 设 f(x,y)sin x 证明 f(x y)是 R 2 上的连续函数 证 设 P0(x0 y0) R 2  0 由于 sin x 在 x0 处连续 故0 当|xx0|时 有 |sin xsin x0| 以上述作 P0 的邻域 U(P0 ) 则当 P(x y)U(P0 )时 显然

银川科技职业学院《高等数学》教寒 第八章多元函数徽分学及其应用 Ix,y)f(xo,yo)=sin x-sin xol<s, 即x,y)sinx在点Po(xo,)连续.由Po的任意性知，sinx作为x,y的二元函 数在R2上连续 证对于任意的Po(x0,0)ER2.因为 lim f(x,y)=lim sinx=sin xo=f(xXo:yo), (x,y)(xo%) (x,y)→(oJ%) 所以函数x,y)=sinx在点Po(xo,o)连续.由Po的任意性知，sinx作为x,y的二 元函数在R上连续. 类似的讨论可知，一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函 数时，它们在各自的定义域内都是连续的， 定义4设函数x,y)的定义域为D,Po(xo,o)是D的聚点.如果函数x,) 在点Po(xo,)不连续，则称Po(0,o)为函数x,y)的间断点. xy 例如：函数fx,y)=x2+y x2+y2≠0 0 x2+y2=0 其定义域D=R2,O0,0)是D的聚点.x,)当(x,y)→(0,0)时的极限不存在，所以 点O(0,0)是该函数的一个间断点. 1 又如，函数：=s血+一，其定义域为D=,r+y41,圆周C y+y=1)上的点都是D的聚点，而x,)在C上没有定义，当然x,y)在C上 各点都不连续，所以圆周C上各点都是该函数的间断点 注：间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点。 可以证明，多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分 母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数： 多元初等函数：与一元初等函数类似，多元初等函数是指可用一个式子所 表示的多元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合运算而得到的， 例如x+x2-y2 1+y2 ，sin(x+y以，e+广+都是多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在 定义域内的区域或闭区域。 由多元连续函数的连续性，如果要求多元连续函数P)在点P。处的极限， 而该点又在此函数的定义区域内，则imf(P)=f(o). p→Po 例7求lim+y (x,y→，2)xy 解： 函数fx)=+y是初等函数，它的定义域为：D=化，0,0. XV P(1,2)为D的内点，故存在Po的某一邻域UPo)cD,而任何邻域都是区域，所 以UPo)是x,y)的一个定义区域，因此 me/x0=2=2 (xy),2) 第7页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章 多元函数微分学及其应用 第 7 页 |f(x y)f(x0 y0)||sin xsin x0| 即 f(x y)sin x 在点 P0(x0 y0) 连续 由 P0 的任意性知 sin x 作为 x y 的二元函 数在 R 2 上连续 证 对于任意的 P0(x0 y0)R 2  因为 lim ( , ) lim sin sin ( , ) 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y x x f x y x y x y x y x y       所以函数 f(x,y)sin x 在点 P0(x0 y0)连续 由 P0的任意性知 sin x 作为 x y 的二 元函数在 R 2 上连续 类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函 数时 它们在各自的定义域内都是连续的 定义 4 设函数 f(x y)的定义域为 D P0(x0 y0)是 D 的聚点 如果函数 f(x y) 在点 P0(x0 y0)不连续 则称 P0(x0 y0)为函数 f(x y)的间断点 例如：函数            0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y  其定义域DR 2  O(0 0)是D的聚点 f(x y)当(x y)(0 0)时的极限不存在 所以 点 O(0 0)是该函数的一个间断点 又如 函数 1 1 sin 2 2    x y z  其定义域为 D{(x y)|x 2 y 2 1} 圆周 C{(x y)|x 2 y 2 1}上的点都是 D 的聚点 而 f(x y)在 C 上没有定义 当然 f(x y)在 C 上 各点都不连续 所以圆周 C 上各点都是该函数的间断点 注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点 可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分 母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数 多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所 表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合运算而得到的 例如 2 2 2 1 y x x y     sin(xy) 2 2 2 x y z e   都是多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在 定义域内的区域或闭区域 由多元连续函数的连续性 如果要求多元连续函数 f(P)在点 P0 处的极限 而该点又在此函数的定义区域内 则 lim ( ) ( )0 0 f P f P p p    例 7 求 xy x y x y  ( , )(1,2) lim  解 函数 xy x y f x y  ( , ) 是初等函数 它的定义域为：D{(x y)|x0 y0} P0(1 2)为 D 的内点 故存在 P0的某一邻域 U(P0)D 而任何邻域都是区域 所 以 U(P0)是 f(x y)的一个定义区域 因此 2 3 lim ( , ) (1,2) ( , ) (1,2)    f x y f x y 

银川科技职业学院《高等数学》教業 第八章多元函数徽分学及其应用 一般地，求imfP)时，如果P)是初等函数，且Po是P)的定义域的内 P->P 点，则P)在点Po处连续，于是 lim f(P)=f(Po). P→P 例8求lim Vxy+1-1 (x,y0,0)xy 解 lim 1 (x.y)(0,0)Xy c0,0)x(Vxy+1+1) cW00)√x+1+12 多元连续函数的性质： 性质1（有界性与最大值最小值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数， 必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值. 性质1就是说，若P)在有界闭区域D上连续，则必定存在常数心0，使 得对一切P∈D,有P)sG且存在P1、P2∈D,使得 P,)=max{P)P∈D},P2)=min{P)P∈D}: 性质2（介值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值 和最小值之间的任何值. 第8页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章 多元函数微分学及其应用 第 8 页 一般地 求 lim ( ) 0 f P PP 时 如果 f(P)是初等函数 且 P0 是 f(P)的定义域的内 点 则 f(P)在点 P0 处连续 于是 lim ( ) ( )0 0 f P f P P P    例 8 求 xy xy x y 1 1 lim ( , ) (0, 0)     解  ( 1 1) ( 1 1)( 1 1) lim 1 1 lim ( , ) (0, 0) ( , ) (0, 0)            x y x y x y x y x y x y x y x y 2 1 1 1 1 lim ( , ) (0, 0)     x y  xy  多元连续函数的性质 性质 1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域 D 上的多元连续函数 必定在 D 上有界 且能取得它的最大值和最小值 性质 1 就是说 若 f(P)在有界闭区域 D 上连续 则必定存在常数 M0 使 得对一切 PD 有|f(P)|M 且存在 P1、P 2D 使得 f(P1)max{f(P)|PD} f(P2)min{f(P)|PD} 性质 2 (介值定理) 在有界闭区域 D 上的多元连续函数必取得介于最大值 和最小值之间的任何值

银川科技职业学院《高等数学》教寒 第八章多元函数徽分学及其应用 $8.2 偏导数 一、偏导数的定义及其计算法 对于二元函数x,y),如果只有自变量x变化，而自变量y固定，这时它 就是x的一元函数，这函数对x的导数，就称为二元函数=x,y)对于x的偏导 数. 定义设函数=x,y)在点(x,o)的某一邻域内有定义，当y固定在%而x 在xo处有增量△x时，相应地函数有增量 fx0+△x,o)-xo,0): 如果极限 f+A年)-fb2 Ax->0 △r 存在，则称此极限为函数=x,y)在点(xo,)处对x的偏导数，记作 或f(oo) 例如： f0,b)=mf6+A6上f2 △x→0 △x 类似地，函数=fx,y)在点(xo,%)处对y的偏导数定义为 lim s fx0,o+△y)-f(x0%) △y→0 △y 记作 af '' 或x0,o) y=Yo 偏导函数：如果函数=x,y)在区域D内每一点（化，y)处对x的偏导数都存 在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数=x,)对自变量x的偏 导函数，记作 器盖或 偏导函数的定义式：化，)=mfx+△x以-c》 Ar0 △x 类似地，可定义函数=x,y)对y的偏导函数，记为 等高5政 偏导函数的定义式：x,)=m伍y+△-f2 △v-0 △y 求斗时，只要把y暂时看作常量而对x求导数；求斗时，只要把x暂时 Oy 看作常量而对y求导数 讨论：下列求偏导数的方法是否正确？ fo6=f.yk.f(%o.=f啡 第9页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章 多元函数微分学及其应用 第 9 页 §82 偏导数 一、偏导数的定义及其计算法 对于二元函数 zf(x y) 如果只有自变量 x 变化 而自变量 y固定 这时它 就是 x 的一元函数 这函数对 x 的导数 就称为二元函数 zf(x y)对于 x 的偏导 数 定义 设函数 zf(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 当 y 固定在 y0而 x 在 x0 处有增量x 时 相应地函数有增量 f(x0x y0)f(x0 y0) 如果极限 x f x x y f x y x      ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在 则称此极限为函数 zf(x y)在点(x0 y0)处对 x 的偏导数 记作 0 0 y y x x x z      0 0 y y x x x f      0 0 y y zx x x    或 ( , ) 0 0 f x y x  例如： x f x x y f x y f x y x x       ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0  类似地 函数 zf(x y)在点(x0 y0)处对 y 的偏导数定义为 y f x y y f x y y      ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0  记作 0 0 y y x x y z      0 0 y y x x y f      0 0 y y zy x x    或 fy(x0 y0) 偏导函数 如果函数 zf(x y)在区域 D内每一点(x y)处对 x的偏导数都存 在 那么这个偏导数就是 x、y 的函数 它就称为函数 zf(x y)对自变量 x 的偏 导函数 记作 x z    x f    x z  或 f (x, y) x  偏导函数的定义式 x f x x y f x y f x y x x       ( , ) ( , ) ( , ) lim 0  类似地 可定义函数 zf(x y)对 y 的偏导函数 记为 y z    y f    zy  或 f (x, y) y  偏导函数的定义式 y f x y y f x y f x y y y       ( , ) ( , ) ( , ) lim 0  求 x f   时 只要把 y 暂时看作常量而对 x 求导数 求 y f   时 只要把 x 暂时 看作常量而对 y 求导数 讨论 下列求偏导数的方法是否正确？ 0 ) 0 ( , ) ( , 0 0 y y x x x x f x y f x y     0 ) 0 ( , ) ( , 0 0 y y x x y y f x y f x y    

银川科技职业学院《高等数学》教寒 第八章多元函数徽分学及其应用 6=法fc6l’w)-- 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数.例如三元函数x,y,)在点 (:,y,)处对x的偏导数定义为 L(x.y.-)=limI(x+Ax.y.)-(x.v) △r0 △x 其中x,y,)是函数=x,y,)的定义域的内点.它们的求法也仍旧是一元函数 的微分法问题 例1求=x2+3y+y2在点(1,2)处的偏导数： 解 -2x+3y, Ox =3x+2y. y x==21+32=8, ax y=2 x1=31+22=7. ay y=2 例2求=xsin2y的偏导数， 解华=2xsin2y,影-22c0s2y. Ox oy 例3设：=x>0,x≠)，求证：工产+L=2: y ax Inx oy 证器m等=hx +1-X+xx=x+x=25. yax Inxay y Inx 例4求r=√x2+y2+z2的偏导数. 解r =x.Or y x2+y2+22 r'oyx2+y2+2r 例5己知理想气体的状态方程为p=RT(R为常数)， 求证：2北r=-l av aT ap 证因为p=g,票=-兴 op RT v=Rr,亚-R p’aTp T=p业，a肛=- R’pR' 所以2.业=-RgRY=-T=-1 av aT op v2 p R pV 例5说明的问题：偏导数的记号是一个整体记号，不能看作分子分母之 商 二元函数=x,)在点(x0,)的偏导数的几何意义： fxo,o)=[x,ok是截线=x,o)在点M处切线T对x轴的斜率. xo,o)=[xo,yy'是截线=xo,)在点M6处切线T),对y轴的斜率. 偏导数与连续性：对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不 第10页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章 多元函数微分学及其应用 第 10 页 0 ( , ) [ ( , )] 0 0 0 x x x f x y dx d f x y    0 ( , ) [ ( , )] y 0 0 0 y y f x y dy d f x y    偏导数的概念还可推广到二元以上的函数 例如三元函数 uf(x y z)在点 (x y z)处对 x 的偏导数定义为 x f x x y z f x y z f x y z x x       ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0  其中(x y z)是函数 uf(x y z)的定义域的内点 它们的求法也仍旧是一元函数 的微分法问题 例 1 求 zx 2 3xyy 2 在点(1 2)处的偏导数 解 x y x z 2 3    x y y z 3 2    2 1 3 2 8 2 1          y x x z  3 1 2 2 7 2 1          y x y z  例 2 求 zx 2 sin 2y 的偏导数 解 x y x z 2 sin 2    x y y z 2 cos2 2     例 3 设 z  x (x0,x1) y  求证 z y z x x z y x 2 ln 1        证 1    y yx x z  x x y z y  ln    x x x x z x yx y x y z x x z y x y y y y ln 2 ln 1 ln 1 1             例 4 求 2 2 2 r x  y z 的偏导数 解 r x x y z x x r       2 2 2  r y x y z y y r       2 2 2  例 5 已知理想气体的状态方程为 pV=RT(R 为常数) 求证 1         p T T V V p  证 因为 V RT p  2 V RT V p     p RT V   p R T V     R pV T   R V p T     所以 1 2              pV RT R V p R V RT p T T V V p  例 5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之 商 二元函数 zf(x y)在点(x0 y0)的偏导数的几何意义 fx(x0 y0)[f(x y0)]x是截线 zf(x y0)在点 M0 处切线 Tx 对 x 轴的斜率 fy(x0 y0) [f(x0 y)]y是截线 zf(x0 y)在点 M0 处切线 Ty 对 y 轴的斜率 偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不