《高等数学》课程教学资源（习题选解）第五章 定积分

习题5-1 1.利用定积分定义或几何意义计算下列定积分： (1)dx: (2)[e'dx. 解：(1) ∫Xd表示曲线y=,直线x=-1,x=-2及x轴所围平面图形的面积， 即 时d=州周方22 2 (2) ed=-2后=2eA=m2e月 n (取5=‘) n 1.12 lim-(e"+e"+...+e")=lim nlemll-(e"y]=lim (l-e)e" 9n1-e2 n(1-em) 因为当n→oo时，e”-10二，liml-ee-1-e 1 所以je'dx=im4-ee =e-1 习题5-2 2.证明定积分的性质： (1)∫对xr=k心fxd(k是常数)： (2)∫dr=b-a 正明：(D广地=24=k立=ke地(a=max,0,…,x,) e)广--2-2--恤日空-s日-a 3.比较下列各组积分值的大小： (1)nxdr与jn2xdr: (2)后cosxdx与sin xdx: (3)∫e'dr与+x)dr: (4)dcoxd

1 习题 5  1 1．利用定积分定义或几何意义计算下列定积分： （1） 2 1 x dx  ； （2） 1 0 x e dx  ． 解： （1） 2 1 x dx  表示曲线 y x  ，直线 x  1， x  2 及 x 轴所围平面图形的面积， 即 2 1 1 1 3 1 1 2 2 2 2 2 x dx          （2） 1 0 x e dx  = 0 0 1 1 1 1 lim ( ) lim lim i i n n n n i i i n i i i f x e x e n                   （取 i i n   ） 1 1 1 1 2 1 1 1 1 [1 ( ) ] (1 ) lim ( ) lim lim 1 (1 ) n n n n n n n n n n n n n e e e e e e e n n e n e              因为 当 n  时， 1 1 1 n e n  ， 1 lim(1 ) 1 n n e e e     所以 1 0 x e dx  1 (1 ) lim 1 1 ( ) n n e e e n n        习题 5  2 2．证明定积分的性质： （1） ( )d ( )d b b a a kf x x k f x x    （ k 是常数）； （2） d b a x b a    ． 证明：（1） ( )d b a kf x x  0 0 1 1 lim ( ) lim ( ) n n i i i i i i kf x k f x k                ( )d b a f x x  （ max( , , , ) 1 2 n   x x x ） （2） d b a x   1 d b a   x  0 0 1 1 lim ( ) lim n n i i i i i f x x             1 1 lim lim 1 lim n n n n n i i b a b a b a n b a      n n n            3．比较下列各组积分值的大小： （1） 2 1 ln dx x  与 2 2 1 ln dx x  ； （2） 4 0 cos xdx   与 4 0 sin xdx   ； （3） 1 0 e dx x  与 1 0 (1 )d  x x  ； （4） 2 2 0 cos x e xdx    与 2 2 2 0 cos x e xdx    ． x y 1 O 2

解：(1)当x∈[l,2]时，0≤lnr≤1，lnx≥(nx)2,由性质5的推论1知：∫nxdr≥∫m2xd 2)）当xe0,孕时，e≥l+x,所以ash≥原smd (3)当x∈[0，]时，e≥f+x)d (4)因为。ecos2d=ecos2xdr+ecos2xdk,当x∈[z,2r]时，f)=c20, 所以ecos2xdk20,故cs2xd≤ecos2xd 4.估计下列各积分值： (1)∫+sim2xr: (3)e-dx. 属①因为x匠好时，11m2,所经-导月0+m地得-》 即 π≤0+sin2x≤2元 《2)先求人ar81在区间5厂3上的最大值和最小值，因在5上， 球are应>，所以最大值M=√=3=后，最小值 3 3 9 (3)先求f=e产在区间[0,2]上的最大值和最小值，f)=e-(2x-1),令f)=0,得x=} 又f0)=e=l,f=e拉=e,f2)=e=e,所以最大值M=2危，最小值 m=f分)=e,故2ei≤e-ds2e2,e-=-e-d,即-2e2≤0e-d≤-2e. 习题5-3 1.完成下列各题： ①&few: 4)设p)可导，f)连续，求品0： (5)设fx)在[0，+o)上可导，且f)1=x20+x),求f"(2): (6)求由心ed+cosdr=-0所确定的隐函数对x的导数： (7)求由参数表达式x=∫sinudu,y=∫cosud所确定的隐函数对x的导数. 2

2 解：（1）当 x [1, 2] 时， 0 ln 1  x ，   2 ln ln x x  ，由性质 5 的推论 1 知： 2 1 ln dx x   2 2 1 ln dx x  （2）当 [0, ] 4 x   时， 1 x e x   ，所以 4 0 cos xdx    4 0 sin xdx   （3）当 x [0,1] 时， 1 0 e dx x   1 0 (1 )d  x x  （4）因为 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 cos cos cos x x x e xdx e xdx e xdx             ，当 x[ , 2 ]   时， 2 2 ( ) cos 0 x f x e x    ， 所以 2 2 2 cos 0 x e xdx      ，故 2 2 0 cos x e xdx     2 2 2 0 cos x e xdx    4．估计下列各积分值： （1） 5π 2 4 π 4 (1 sin )d  x x  ； （2） 3 1 3 x x x arctan d  ； （3） 0 2 2 e d x x x   ． 解：（1）因为 5 [ , ] 4 4 x    时， 2 1 1 sin 2    x ，所以 5π 4 2 π 4 5π π 5π π (1 sin )d 2 4 4 4 4 x x             ， 即 5π 4 2 π 4      (1 sin )d 2 x x  （ 2 ） 先 求 f x x x ( ) arctan  在区间 3 [ , 3] 3 上 的 最 大 值 和 最 小 值 ， 因 在 3 [ , 3] 3 上 ， 2 ( ) arctan 0 1 x f x x x      ， 所 以 最大值 ( 3) 3 arctan 3 3 M f     ， 最 小 值 3 3 3 ( ) arctan 3 3 3 6 3 m f     ，故 3 1 3 1 1 3 arctan d 3 6 3 3 3 3 x x x                    ，即 3 1 3 2 arctan d 9 3 x x x      （3）先求 2 ( ) x x f x e   在区间 [0, 2] 上的最大值和最小值， 2 ( ) (2 1) x x f x e x     ，令 f x ( ) 0  ，得 1 2 x  ， 又 0 f e (0) 1   ， 1 1 1 4 2 4 1 ( ) 2 f e e     ， 4 2 2 f e e (2)    ， 所 以 最大值 2 M f e   (2) ， 最 小 值 1 4 1 ( ) 2 m f e    ，故 2 1 2 4 2 0 2 e d 2 x x e x e      ， 0 2 2 2 2 0 e d e d x x x x x x       ，即 2 1 0 2 4 2 2 e d 2 x x e x e        ． 习题 5-3 1.完成下列各题： （1） d ( )d d b a f x x x  ； （2） 1 d sin d d x x t t x  ； （3） 2 d 2 1 d d x x e t t x   ； （4）设 ( ) x 可导， f x( ) 连续，求 d ( ) ( )d d x a f t t x   ； （5）设 f x( ) 在 [0, )  上可导，且 2 2 0 ( )d (1 ) x f t t x x    ，求 f (2) ； （6）求由 0 0 d cos d 0 y x t e t t t     所确定的隐函数对 x 的导数； （7）求由参数表达式 0 sin t x udu   ， 0 cos t y udu   所确定的隐函数对 x 的导数．

解0D&广灿=0 2)&sn-广smd+sm: (3) &i+rd-i+ra-品ri7 -+()()-+(e)(e)-2x+x-+: 令F=0,"=o.F=0a,则品0a-四安-eo咖： du dx (5)对等式f0=x2(1+)两边同时关于x求导，得fx2)-2x=2x+3x2, 即0=1宁，此成两边对x求导，得c2x取x=反，则/2- 8 (6)方程两边同时关于x求导，得。.少+c0s=,即y=-c0sx e d少 (7) cost cott dx dx d sin udu sint dt dt Jo 2.求下列极限： cost'dt (1)lim x+0 (2)m sintdr ) 0 Par 解：(1)lim ["cost'dr =lim COSx2 =1: 1 Jo sintdt (2) 2xsinx2 L'rdr =lim =-2; →0 -x ≤-2 lim Sinx2 0x2 (3) u e22 =2 3.计算下列各定积分： wjar-x+t:e)Rw:gx+:ew ()de hndr)nt 3

3 解：（1） d ( )d d b a f x x x  =0； （2）  1 1  d sin d sin d sin d x x x t t t t x x x     ； （3） 2 2 d d d 2 2 2 1 d 1 d 1 d d d d x x x x e e a a t t t t t t x x x                 2 2 2 2 4 2 1 1 2 1 1 x x x x x x e e x x e e            ； （4）令 F x( )  ( ) ( )d x a f t t   ，u x  ( ) ， F x( )  ( )d u a f t t  ，则 d ( ) ( ) ( )d ( ( )) ( ) d x a dF u du f t t f x x x du dx        ； （5）对等式 2 2 0 ( )d (1 ) x f t t x x    两边同时关于 x 求导，得 2 2 f x x x x ( ) 2 2 3    ， 即 2 3 ( ) 1 2 f x x   ，此式两边对 x 求导，得 2 3 ( ) 2 2 f x x    ，取 x  2 ，则 3 2 (2) 8 f   ； （6）方程两边同时关于 x 求导，得 cos 0 y dy e x dx    ，即 cos y x y e    ； （7） 0 0 cos cos cot sin sin t t dy d udu dy t dt dt t dx t dx d udu dt dt       ． 2.求下列极限： （1） 2 0 0 cost d lim x x t  x  ； （2） 2 0 0 0 3 sin d lim d x x x t t t t    ； （3）   2 2 2 0 0 2 0 d lim d x t x x t e t te t    ． 解：（1） 2 2 0 0 0 cost d cos lim lim 1 1 x x x t x   x    ； （2） 2 2 2 0 0 3 2 0 0 0 3 sin d 2 sin sin lim lim 2lim 2 d x x x x x t t x x x x x t t            ； （3）   2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 d 2 d d 1 lim lim 2lim lim 2lim 2 1 d x t x x x t t x x x x x x x x x t e t e e t e t e xe e x te t               ． 3.计算下列各定积分： （1） 3 2 1 (3 1)d x x x    ； （2） 9 4 x x x (1+ )d  ； （3） 2 2 1 1 ( ) d x x x   ； （4） 3 1 2 3 1 d 1+ x x  ； （5） 1 0 2 1 d 4 x  x  ； （6） 2 0 sin d x x   ； （7） 2 0 cos d 2 x x   ； （8） 4 2 0 tan dx x   ；

o以丧a,a-: oraw地=ot-[居+号r-1sg台-s-65g u*7w-ew+2*nw-[昏+2--号4-21-g 23 6 wi邮-ecmg=aan5-am万骨-名-名 1ππ_π of宿岭引8 (6sinx=sinvdx-sinxdx=[-cos+cos4: )os5=+cosd=+sm-号 ()tn'xdx-(see-1)dx=[tanx- o)-[+,=-he=-l oet-ew-sa-+fe-号+eI-子+e-e 4.设 f(x)= 0≤x<1 x+1,1≤x≤2 求(x)=f)d在0,2]上的表达式，并讨论(x)在(0,2)内的连续性. 解，当0s<时，a=0a-ra=-号 当1sx≤2时，x)=f0=fod+广fut=d+d [間号 4

4 （9） 2 1 d e 1 x x      ； （10） 3 0 f x x ( )d  ，其中 , 0 1 ( ) , 1 3 x x x f x e x         ． 解：（1） 3 2 3 2 3 1 1 9 1 (3 1)d 27 3 1 1 24 2 2 2 x x x x x x                    ； （2） 9 1 3 9 9 2 2 2 4 4 4 2 1 81 16 1 (1+ )d ( )d 18 8 45 3 2 2 3 6 x x x x x x x x                  ； （3） 2 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 8 1 1 29 ( ) d ( 2 )d 2 4 2 1 3 3 2 3 6 x x x x x x x x x                         ； （4）   3 3 1 1 2 3 3 1 1 d arctan arctan 3 arctan 1+ 3 6 6 3 x x x           ； （5） 1 1 0 0 2 2 1 1 d d 4 2 1 2 x x x x            1 0 1 arcsin arcsin 2 2 6   x        ； （6）     2 2 2 0 0 0 sin d sin d sin d cos cos 4 x x x x x x x x                 ； （7）     2 0 0 0 1 1 cos d 1+cos d sin 2 2 2 2 x x x x x x           ； （8）     4 4 2 2 4 0 0 0 tan d sec 1 d tan 1 4 x x x x x x             ； （9） 2 2 1 1 d ln 1 ln 1 1 e e x x e x                   ； （10） 1 3 3 1 3 1 3 3 2 3 0 0 1 0 1 1 0 2 2 ( )d ( )d ( )d d d 3 3 x x f x x f x x f x x x x e x x e e e                         ． 4.设 2 , 0 1 ( ) 1 , 1 2 x x f x x x          求 0 ( ) ( )d x   x f t t  在 [0, 2] 上的表达式，并讨论 ( ) x 在 (0, 2) 内的连续性． 解 ： 当 0 1   x 时， 3 3 2 0 0 0 ( ) ( )d d 3 3 x x x t x x f t t t t              ； 当 1 2   x 时， 1 1 2 0 0 1 0 1 ( ) ( )d ( )d ( )d d d x x x       x f t t f t t f t t t t t t      ； 1 3 2 2 2 0 1 1 1 1 3 2 3 2 2 2 6 x     t t x x               

x∈[0,1) 故(x)= 因为limΦ(x)=lim x31）1 x21 (26,x∈，2] x→1-0 m263 1 ①(1)=。，所以①(x)在(0,2)内连续. 5.设k为正整数，证明下列各题： (I)cos kerd=-0:(2)sin kxd=0:（3)Jcos2ladr=T:(4）sinrd=元. m(o (sinad-[ookz-o0s()(ok)0. a》-0+owks-r-绿n2r] wanad-0-ew2us-2r-n2 6.设k及1为正整数，且k≠1，证明： (1)coskxsindx=0:(2)cosco=:(3)sin kxsindx=0. 证明：1 )csd=[sin+k)x+sin-k)x]d山r -0:r+70--0 (2)coskxcos/xdx=[cos(/+k)x+cos(/-k)x]dx :km++7m-=0: (3)sin kxsinbdx--[cos(I+k)x-cos(I-k)x]dx -m0:w刻0--0 7.设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)>0, Fw-o+0eia 证明： 5

5 故 3 2 , [0,1) 3 ( ) 1 , [1,2] 2 6 x x x x x            ， 因为 3 1 0 1 0 1 lim ( ) lim x x 3 3 x x        ， 3 1 0 1 0 1 1 lim ( ) lim x x 2 6 3 x x               ， 1 (1) 3   ，所以 ( ) x 在 (0, 2) 内连续． 5.设 k 为正整数，证明下列各题： （1） cos d 0 kx x     ；（2） sin d 0 kx x     ；（3） 2 cos d kx x       ；（4） 2 sin d kx x       ． 证明：（1） 1 cos d sin 0 kx x kx k                ； （2）     1 1 1 sin d cos cos cos cos cos 0 kx x kx k k k k k k k                                ； （3）   2 1 1 1 cos d 1 cos 2 d 2 sin 2 2 2 2 kx x kx x x k                                 ； （4）   2 1 1 1 sin d 1 cos 2 d 2 sin 2 2 2 2 kx x kx x x k                                 ． 6.设 k 及 l 为正整数，且 k l  ，证明： （1） cos sin d 0 kx lx x     ；（2） cos cos d 0 kx lx x     ；（3） sin sin d 0 kx lx x     ． 证明：（1）     1 cos sin d sin sin d 2 kx lx x l k x l k x x                     1 1 1 cos cos 0 2 l k x l k x l k l k                 ； （2） cos cos d kx lx x       1 cos cos d 2 l k x l k x x                1 1 1 sin sin 0 2 l k x l k x l k l k                ； （3） sin sin d kx lx x       1 cos cos d 2 l k x l k x x                 1 1 1 sin sin 0 2 l k x l k x l k l k                 ． 7.设 f x( ) 在 [a, b] 上连续，且 f (x)  0， 1 ( ) ( )d d ( ) x x a b F x f t t t f t     x [a, b] 证明：

(1)F(x)22: (2)方程F(x)=0在区间(a,b)内有且仅有一个根. 证明：①)F)=+高之22，ea.创 （2)由题知在a1上连续，又F-0t+=-00,由零点定理知方起F=-0在区间a内至少有一个根，又由（D 的结论知F(x)在[a,b]上单调增加，故方程F(x)=0在区间(a,b)内有且仅有一个根. 习题5-4 1.选择题： (1)设函数fx)在-aa上连续，则，fxd恒等于()， (A)2dx:(B)o:(C)[Lf(x)+f(-x)dx:(D)[Lf(x)-f(-x)ldx (2)设函数f)是连续函数，且1=fx灿，其中1≠0，则1()。 (A)依赖于s与1：(B)依赖于s,不依赖于t:(C)依赖于1，不依赖于s:(D)不依赖于s与t. (3)设I=∫Dsin(cosx)dr,则(). (A)I=1: (B)I<0: (c)0<I<1: (D)1=0. 解：(1)应选(C),因为∫，fx)dr=∫心f(x)dr+心fxd, 又∫fx)d含x=-0f-)d(-）=f-x)dr,所以f)=gfx)+f-xr: 2)应滤(B).因为1=few令=：1u-fot: (3)应选(D),因为I=sin((cos x)dx=元+'sin eos(1+列H(1+列 =”sin(-cos)d=-Jsin(cos0d=-,所以21=0→I=0. 2.计算下列定积分： 1 (1) dx dx: JΞsin2xcos2x 201+5 (3)sin'x-sin'xdx: feae (5)」 (6)(2-x)d: ) dx: xv1+Inx 6

6 （1） F (x)  2 ； （2） 方程 F(x)  0 在区间 (a, b) 内有且仅有一个根． 证明：（1） 1 1 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) F x f x f x f x f x       ， x [a, b] （ 2 ） 由题知 F x( ) 在 [a, b] 上连续 ， 又 1 1 ( ) ( )d d d 0 ( ) ( ) a a b a b a F a f t t t t f t f t         ， 1 ( ) ( )d d ( )d 0 ( ) b b b a b a F b f t t t f t t f t        ，由零点定理知方程 F(x)  0 在区间 (a, b) 内至少有一个根，又由（1） 的结论知 F x( ) 在 [a, b] 上单调增加，故方程 F(x)  0 在区间 (a, b) 内有且仅有一个根． 习题 5-4 1． 选择题： （1）设函数 f x( ) 在 [ , ] a a 上连续，则  a a f (x)dx 恒等于（ ）． （A）  a f x x 0 2 ( )d ； （B） 0 ； （C） 0 [ ( ) ( )]d a f x f x x    ；（D） 0 [ ( ) ( )]d a f x f x x    ． （2）设函数 f (x) 是连续函数，且   s t I t f tx x 0 ( )d ，其中 t  0 ，则 I （ ）． （A）依赖于 s 与 t ；（B）依赖于 s ，不依赖于 t ；（C）依赖于 t ，不依赖于 s ；（D）不依赖于 s 与 t ． （3）设 0 I x x sin(cos )d    ，则（ ）． （A） I 1 ； （B） I  0 ； （C） 0 1  I ； （D） I  0． 解：（1）应选 ( ) C ，因为 0 0 ( )d ( )d ( )d a a a a f x x f x x f x x        ， 又   0 0 0 ( )d ( )d ( )d a a a f x x x t f t t f x x             令 ，所以 ( )d a a f x x    0 [ ( ) ( )]d a f x f x x    ； （2）应选 ( ) B ，因为 0 0 0 ( )d ( )d = ( )d s t s s u I t f tx x u tx t f u f u u t            令 ； （3）应选 ( ) D ，因为   0 0 I x x x t t t sin(cos )d sin cos( ) d( )             令 ，． 0 0 sin( cos )d sin(cos )d t t t t I           ，所以 2 0 0 I I    ． 2．计算下列定积分： （1） 3 2 2 4 1 d sin cos x x x   ； （2） 1 3 2 d (11 5 ) x x    ； （3） 3 5 0 sin sin d x x x    ； （4） ln 2 2 0 e (1 e ) x x  dx  ； （5） 4 1 d 1 x  x  ； （6） 2 5 2 1 (2 ) d  x x  ； （7）   2 1 1 ln e d x x x ； （8）   2 2 2 8 2x dx ；

o2 （0)cos.cos2xdr: alDJ,V-ear. (12) x _dx 0(1+x2 (14) -1dx 3 emoa1soa0+50-ou4syr1-0 (3)isinsinin xcosin co -wucw-wtwc- we0+e旷=a+errdte)-o+eyT-9 x4-=2可旷-0*0=2-+pf-2-子 o2-as=-fe-ae--3-灯-月 nf0-hjia0h=2r可-26- (8)J68-2rdx=28-2rdk全x=2snl=28-8sm7d2sin）=8wW万csd -+ow2=a+os2a0e-[径+m2n月]-x+2: o42+-m+l-号 oowos2ad=gowxa2t-far+ot-传x+m- 令=e=1,-=，当x=0时，1=0：当x-h2时，1=5 ,则 e--jt-92- 1

7 （9）    0 2 2 2 2 d x x x ； （10） 2 2 cos cos 2 d x x x    ； （11） ln 2 2 0 1 e dx x    ； （12）   2 1 2 0 2 d 1 x x  x  ； （13） 1 0 1 d x x x e e    ； （14） 2 2 1 1 d x x x   ． 解：（1）     3 3 3 2 3 2 2 2 4 4 4 4 1 1 2 3 d 4 d 2 csc 2 d 2 2 cot 2 sin cos sin 2 3 x x x x x x x x                 ； （2）   1 1 1 3 2 3 2 2 2 d 1 1 51 (11 5 ) d 11 5 (11 5 ) (11 5 ) 5 10 512 x x x x x                    ； （3） 3 3 3 5 3 2 2 2 0 0 0 2 sin sin d sin cos d sin cos d sin cos d x x x x x x x x x x x x                  3 3 5 5 2 2 2 2 2 2 0 2 0 2 2 2 4 sin d sin sin d sin sin sin 5 5 5 x x x x x x                          ； （4）   ln 2 ln 2 ln 2 2 2 3 0 0 0 1 19 e (1 e ) (1 e ) 1+e (1 e ) 3 3 x x x x x       dx d       ； （5） 4 1 d 1 x  x  2 令x t      2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 d 1 1 1 3 2 d 2 d 1 2 ln(1 ) 2 ln 1 1 1 2 t t t t dt t t t t t                   ； （6）   2 2 2 5 5 7 2 2 2 1 1 1 2 2 (2 ) d (2 ) d 2 (2 ) 7 7 x x x x x                  ； （7）       2 2 1 2 2 1 1 1 d 1 ln d 1 ln 2 1 ln 2 3 1 1 ln e e x e x x x x x                ； （8） 2 2 2 2 2 0 8 2 d 2 8 2 d x x x x       令x t  2sin   4 2 0 2 8 8sin d 2sin t t     4 2 0 8 2 cos tdt            4 4 4 4 0 0 0 0 1 1 2 1 cos 2 4 2 cos 2 2 4 2 sin 2 2 2 2 4 2 t dt dt td t t                              ； （9）       0 0 0 2 2 2 2 2 d 1 d 1 arctan( 1) 2 2 2 1 1 x x x x x x                ； （10）   2 2 2 2 2 0 0 0 1 2 cos cos 2 d 2 cos cos 2 d cos3 cos d sin 3 sin 3 3 x x x x x x x x x x x                      ； （11）令 2 1 e x   t ， 1 2 ln(1 ) 2 x t   ， 2 1 t dx dt t    ，当 x  0 时， t  0 ；当 x  ln 2 时， 3 2 t  ，则 3 3 ln 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 e d d 1 d 1 1 x t x t t t t t                   3 2 0 1 1 ln 2 1 t t t            3 ln(2 3) 2   ；

(12)令x=tant,d=sec2tdl,当x=0时，t=0:当x=1时，t= ，则 可--a-0w2a-6f-行- ()[arctan(e)aretane (14)令x=sec1,k=sec1tan1d,当x=1时，1=0：当x=2时，1=T,则 3 -黑xem--e-t-a--5-号 3.利用函数的奇偶性计算下列定积分： (1)sinxdx: (2)4cosdx 8月 (4) sin'x d J-5x4+2x2+1 解： (1)因为sinx为奇函数，所以xsinxdx=0: 2)且4cos0ur=4-2后4eos0ux=83x1g=3n 4×222 √-x2 (4)因为+2x+1 为sinx为奇函数，所以加xdk=0. 4.证明下列各题： (1)a-x)=x1-x: 2)sm”d=2snd: （3)c=x达，英中/a为连续属数： (4)0a山--et,其中a0为连续函数。 证：(1)令x=1-1,则dr=-d1,当x=0时，1=1；当x=1时，t=0,于是有 Sx"(-xdx="(-t)"r(-dr)=fr"Q-t)"dr=fx"(-x)"dx (2)sin"d sin"sin" 而了 six过氢=4snra-小dr-小-月smi=原m'h

8 （12）令 x t  tan ， 2 dx tdt  sec ，当 x  0 时， t  0 ；当 x 1 时， 4 t   ，则     2 2 1 4 4 4 4 2 2 2 4 0 0 0 0 2 0 tan 1 1 d sec sin 1 cos 2 sin 2 sec 2 2 4 1 x t t x tdt tdt x dt t t x                        1 ( 1) 4 2   ； （13）     1 1 1 2 0 0 0 1 1 d d arctan arctan 1 4 x x x x x x e e e e e e               ； （14）令 x t  sec ， dx t tdt  sec tan ，当 x 1 时， t  0 ；当 x  2 时， 3 t   ，则   2 2 3 3 3 2 2 3 0 1 0 0 0 1 tan d sec tan d tan d (sec 1)d tan sec x t x t t t t t t t t t x t                  3 3   ． 3．利用函数的奇偶性计算下列定积分： （1） 8 x x x sin d   ； （2） 2 4 2 4cos dx      ； （3） 1 2 2 1 2 2 (arcsin ) d 1 x x x    ； （4） 3 2 5 4 2 5 sin 2 1 x x dx x x     ． 解： （1）因为 8 x x sin 为奇函数，所以 8 x x x sin d 0     ； （2） 2 2 4 4 0 2 3 1 3 4cos d 4 2 4cos d 8 4 2 2 2 x x                   ； （3） 1 2 2 1 1 1 2 2 3 2 2 2 1 2 2 0 0 0 2 (arcsin ) (arcsin ) 2 d 2 d 2 (arcsin ) d(arcsin ) (arcsin ) 1 1 3 x x x x x x x x x               3 324  ； （4）因为 3 2 4 2 sin 2 1 x x x x   为奇函数，所以 3 2 5 4 2 5 sin 0 2 1 x x dx x x      ． 4．证明下列各题： （1）      1 0 1 0 x (1 x) dx x (1 x) dx m n n m ； （2）    2 0 0 sin d 2 sin d   x x x x n n ； （3） 2 3 2 0 0 1 ( )d ( )d 2 a a x f x x xf x x    ，其中 f u( ) 为连续函数； （4）            1 0 1 0 0 f (t)dt dx (1 x) f (x)dx x ，其中 f u( ) 为连续函数． 证：（1）令 x t  1 ，则 dx dt   ，当 x  0 时， t 1 ；当 x 1 时， t  0 ，于是有   1 0 1 1 0 1 0 0 (1 ) d (1 ) d (1 ) d (1 ) d m n m n n m n m x x x t t t t t t x x x             （2） 2 0 0 2 sin d sin d sin d n n n x x x x x x          而 2 sin d n x x   令x t        0 2 2 0 0 2 sin sin sin n n n t d t tdt xdx            

故 sin”t=2sin”xd （3》1=,则达=，当x=0时1=0：当x=a时，1=0，于是有 xfet=oa-t r)xrr)- -f(x)dx-()dx=(1-x)f(x)dx 5.设fx)为连续函数，又F(y)=), 证明：(1)若f(x)为奇函数，则F(x)为偶函数. (2)若f(x)为偶函数，则F(x)为奇函数。 证：(1)已知f(-x)=-f(x), 因为F(-x)=f)令1=-uf(-wWd(-0=-f-u0)du=fw)du=F(x), 所以F(x)为偶函数. (2)己知f(-x)=f(x), 因为F(-x)='f0)d令1=-wjf-wd(-w=-f0)du=-0fudu=-Fx, 所以F(x)为奇函数. 6.设fx)=广ed,求f)的极值及它的图形的拐点. 解：f(x)的定义域为(-o,+o),f"(x)=xe,∫"(x)=(（1-x)e,令f'(x)=xe-0,得驻点为 x=0,令f"(x)=(（1-)e=0,得x=1,注意到∫"0)=1>0，从而f0)=e'd=0为f极 小值：又当x0:当x>1时，∫"(x)<0,f0=∫e'd=[e(-1-1)]=1-2e, 故(1,1-2e)为曲线y=f(x)的拐点. 7.计算下列定积分： (1)[xcos3xdx: (2): (4)0in1+x2)d (5) (6)arctan2xd: 9

9 故    2 0 0 sin d 2 sin d   x x x x n n （3）令 2 t x  ，则 1 2 xdx dt  ，当 x  0 时， t  0 ；当 x a  时， 2 t a  ，于是有 2 2 3 2 0 0 0 1 1 ( )d ( )d ( )d 2 2 a a a x f x x tf t t xf x x      （4）       1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ( )d d ( )d d ( )d ( )d ( )d x x x f t t x x f t t x f t t f t t xf x x                  1 1 1 0 0 0     f x x xf x x x f x x ( )d ( )d (1 ) ( )d    5．设 f x( ) 为连续函数，又 0 ( ) ( )d x F x f t t   ， 证明：(1) 若 f x( ) 为奇函数，则 F x( ) 为偶函数． (2) 若 f x( ) 为偶函数，则 F x( ) 为奇函数． 证：(1) 已知 f x f x ( ) ( )    ， 因为 0 0 0 0 ( ) ( )d ( )d( ) ( )d ( )d ( ) x x x x F x f t t t u f u u f u u f u u F x                 令 ， 所以 F x( ) 为偶函数． (2) 已知 f x f x ( ) ( )   ， 因为 0 0 0 0 ( ) ( )d ( )d( ) ( )d ( )d ( ) x x x x F x f t t t u f u u f u u f u u F x                  令 ， 所以 F x( ) 为奇函数． 6．设 f x t t x t ( ) e d 0   ，求 f x( ) 的极值及它的图形的拐点． 解： f x( ) 的定义域为 ( , )   ， ( ) e x f x x    ， ( ) 1 e   x f x x     ，令 ( ) e 0 x f x x     ，得驻点为 x  0 ，令 ( ) 1 e 0   x f x x      ，得 x 1 ，注意到 f (0) 1 0   ，从而 0 0 (0) e d 0 t f t t     为 f x( ) 极 小值；又当 x 1 时 ， f x ( ) 0  ；当 x 1 时 ， f x ( ) 0  ， 1 1 1 0 0 (1) e d e ( 1) 1 2 t t f t t t e               ， 故 1 (1,1 2 ) e   为曲线 y f x  ( ) 的拐点． 7．计算下列定积分： （1） 2 0 x x x cos3 d   ； （2） 1 2 0 e dx x x  ； （3） 3 1 ln d e x x x  ； （4） 1 2 0 ln(1 )d  x x  （5）  2 0 2 e cos d  x x x ； （6） 1 2 0 arctan 2 dx x  ；

(7)1=∫sin(nx)dr: (8)∫(xsinx')dr: (9)x: (10)c地，其中f=广g:（)0-x)d(m为自然数： (12)Jm=xsin"xdr(m为自然数). 解.月own=写月d6 (in3)n3听-ma名+as明-君 2)e-ae）e2-小ea]-e--e+: o=-n对时-g 立+咖品这 (4)n0+fw-[n0+r--n2-2s=h2-2g-mm或=h2-2+经： (5)cos=d(sin)sinxsind(cos.) -e+2fed(cosx)=e+2[ecosx-cos.xdx-e"-2-4fcos.xdr 移项，得 co2) ooat-m2或-产e-香he) -g-r0*)营-n-君-2 (7in(In.)dx-xsin(n.)xc(n)desin1-cos(.)dx -esin1-[xcos(Inxsin(in x).dx=e(sin1-cos1)+1-['sin(Inx)dx 移项，得 1sin(In )d(esinl-ccos1+) ⑧)(esn时旷srl-eo2xt-[g-Hrd6sm2d =看-0en2-2sn2个]石-ds2r -若-lam2或-os2]-君-子+tm2-号-异 0

10 （7）   1 sin ln d e I x x   ； （8）   2 0 x x x sin d   ； （9） 1 ln d e e x x  ； （10） 1 0 xf x x ( )d  ，其中 2 1 sin ( ) d x t f x t t   ； （11） 1 2 2 0 (1- ) d m x x  （ m 为自然数）； （12） 0 sin d m m J x x x    （ m 为自然数）． 解：（1）       2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 cos3 d d sin 3 sin 3 sin 3 d cos3 3 3 6 9 6 9 x x x x x x x x x x                          ； （2）     2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 1 1 e d d e e d e 2 2 2 4 x x x x x e x x x xe x                    1 2 ( 1) 4 e  ； （3）   3 2 2 2 1 1 1 1 ln 1 1 1 ln 1 d ln d d ln 2 2 e e e e x x x x x x x x x                       2 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 d 2 2 2 4 e e x e x e x               2 1 3 4 4e  ； （ 4 ）   2 1 1 1 1 1 2 2 0 2 2 0 0 0 0 2 1 1 ln(1 )d ln(1 ) d ln 2 2 d ln 2 2 arctan 1 1 x x x x x x x x x x x x x                       ln 2 2 2    ； （5）     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 e cos d e d sin e sin 2 e sin d 2 e d cos x x x x x x x x x x x e x                      2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 e d cos 2 e cos 4 e cos d 2 4 e cos d x x x x e x e x x x e x x                       移项，得 2 2 0 e cos d x x x    1 ( 2) 5 e   （6）       1 1 1 1 2 2 2 2 2 0 2 2 0 0 0 2 1 1 arctan 2 d arctan 2 d d 1+4 1 2 8 4 1 4 x x x x x x x x x                1 1 2 2 2 2 2 0 0 1 1 1 d 1+4 ln 1+4 8 4 1 4 8 4 x x x              1 ln 2 8 4   ； （7）         1 1 1 1 1 sin ln d sin ln cos ln d sin1 cos ln d e e e e I x x x x x x x e x x x                     1 1 1 1 sin1 cos ln sin ln d (sin1 cos1) 1 sin ln d e e e e x x x x x e x x x                移项，得   1 sin ln d e I x x   = 1 (esin1 ecos1 1) 2   （8）     3 2 2 2 0 0 0 0 1 1 sin d (1 cos2 )d d sin2 2 6 4 x x x x x x x x x                    3 3 2 0 0 0 1 1 sin2 2 sin2 d dcos2 6 4 6 4 x x x x x x x                       3 3 3 0 0 0 1 1 cos2 cos 2 d sin 2 6 4 6 4 8 6 4 x x x x x                        ；