《高等数学》课程教学资源（常见问题讲解）第七章 多元函数微分及其应用

多元函数微分学 1.求二元函数定义域的方法 小结多元函数的定义域的求法与一元函数的定义域的求法完全相同。即先考虑三种情况： 分母不为零：偶次根式的被开方式不小于零：要使对数函数，某些三角函数与反三角函数有 意义.再建立不等式组，求出其公共部分就是多元函数的定义域.如果多元函数是几个函数的 代数和或几个函数的乘积，其定义域就是这些函数定义域的公共部分， 例1求下列函数的定义域并画出定义域的图形 (1)z=n0y-x2)+V1-y-x2, (2)z= V4x-y2 V-万 解(1)要使函数有意义，需满足条件 ∫y-x2>0，即x20,即 「y2≤4x, 0≤y<x2, y20, 定义域如图所示 x2 y2=4x

多元函数微分学 1． 求二元函数定义域的方法 小结 多元函数的定义域的求法与一元函数的定义域的求法完全相同。即先考虑三种情况： 分母不为零；偶次根式的被开方式不小于零；要使对数函数，某些三角函数与反三角函数有 意义.再建立不等式组，求出其公共部分就是多元函数的定义域.如果多元函数是几个函数的 代数和或几个函数的乘积，其定义域就是这些函数定义域的公共部分. 例 1 求下列函数的定义域并画出定义域的图形. （1） 2 2 z  ln (y  x )  1 y  x ， （2） x y x y z    2 4 . 解 （1）要使函数有意义，需满足条件         1 0 , 0 , 2 2 y x y x 即 2 2 x  y 1 x . 因此定义域为 2 y  x 与 2 y 1 x 围成的部分，包括曲线 2 y 1 x . （2）要使函数有意义，需满足条件           0 , 0 , 4 0 , 2 y x y x y 即       0 , 4 , 2 2 y x y x 定义域如图所示 y=x 2 y O x y 2 =4x

另外，求函数：= 4x-y2 Vx-vy 的定义，也可把：看成两个画数-可与” 的乘积，1=V4x-y2的定义域是4x-y2≥0，即y2≤4x,2= 的定义域是 - x-vy>0 ,因此函数= V4x-y2 的定义域是与2的定义域的公共部分，即 y20, Vx-v ∫y2≤4x, 0≤y<x2 2.求多元函数的偏导数方法 小结求二元复合函数偏导数，对于函数关系具体给出时，一般将一个变量看成常量，可直 接对另一个变量求偏导，但求带有抽象函数符号的复合函数偏导数时，必须使用复合函数的 求导公式.其关键在于正确识别复合函数的中间变量与自变量的关系. 例2设：= 京血(2-圳以，求交，正 解-令u=X,v=2x-y,原式可写成z=2nv, 由复合函数求导法则，得产=产.+产.，即 dx Ou &x ov ax 会2恤+号2 2x2 少+，2=3n(2x-9+。 y2(2x-y) 、d0u应.加-2nv-(←)+，-)=2 x2 dy au ay ov dy ，lh(2x-y)- 3 y2(2x-y) 应= 2xn(2x-y)+ 2r2 =-2 x2 dx y2 In(2x-y)- y2(2x-y)dy y3 y2(2x-y) 例3设z=x2f3,snV),求在 d正 解此题为抽象函数，所以只能用多元函数求导法则 令u=上，v=sinV可，则z=x2fu,),于是 会2u+=20u+毫袋爱 Ou ax Ov Ox

另外，求函数 x y x y z    2 4 的定义域时，也可把 z 看成两个函数 2 z1  4x  y 与 x y z   1 2 的乘积， 2 z1  4x  y 的定义域是 4 0 2 x  y  ，即 y 4x 2  ， x y z   1 2 的定义域是       0 , 0 , y x y 因此函数 x y x y z    2 4 的定义域是 1 z 与 2 z 的定义域的公共部分，即       0 . 4 , 2 2 y x y x 2． 求多元函数的偏导数方法 小结 求二元复合函数偏导数，对于函数关系具体给出时，一般将一个变量看成常量，可直 接对另一个变量求偏导，但求带有抽象函数符号的复合函数偏导数时，必须使用复合函数的 求导公式.其关键在于正确识别复合函数的中间变量与自变量的关系. 例 2 设 ln (2 ) 2 2 x y y x z   ，求 x z   ， y z   . 解一 令 y x u  ，v  2x y ，原式可写成 z u ln v 2  ， 由复合函数求导法则，得 x v v z x u u z x z               ，即 2 1 2 ln 2       v u y u v x z = (2 ) 2 ln (2 ) 2 2 2 2 y x y x x y y x    ， y v v z y u u z y z               = 2 ln ( ) ( 1) 2 2      v u y x u v = (2 ) ln (2 ) 3 2 2 2 2 y x y x x y y x     . 解二 利用一元函数求导法则求偏导，可直接求出两个偏导数 x z   ， y z   .即 x z   = (2 ) 2 ln (2 ) 2 2 2 2 y x y x x y y x    ， y z   = (2 ) ln (2 ) 3 2 2 2 2 y x y x x y y x     . 例 3 设 ( ,sin ) 2 xy x y z  x f ，求 x z   ， y z   . 解 此题为抽象函数，所以只能用多元函数求导法则. 令 x y u  , v  sin xy , 则 ( , ) 2 z  x f u v ，于是 x z   = 2xf (u, v) + ( , ) 2 x f u v x = 2xf (u, v) + 2 x [ x v v f x u u f            ]

=2wu+毫(+烹m刀 -2wrm列+（-高+mg》. 等a毫等票器毫上高m du ay ov by 例4已知f(x,y)=e.h(x3+xy2),求fL,0) 解如果先求出偏导函数(x,y),再将x=1，,y=0代入求∫(1,0)比较麻烦，但是若先把 3 函数中的y固定在y=0,则有fx,0)=3lnx.于是fx(x,0)=二，f(1,0)=3. 3.求隐函数的导数或偏导数的方法 小结用公式法求隐函数的偏导数时，将F(x,y,)看成是三个自变量x,y,:的函数，即 x,y,:处于同等地位.方程两边对x求偏导数时，x,y是自变量，：是x,y的函数， 它们的地位是不同的， 设e-2z+e=0,求年 解一用公式法，设F(x,y,)=ew-2z+e=0, F=-ye-,F=-xe-,F.=-2-e, 在=-上=-二Je”-e”,在-5--ew 。ey dx F:-2-e- 2+e; -F=--2-e:-2+e· 解二方程两端求导，由于方程有三个变量，故只有两个变量是独立的，所以求应，空时， 将z看作x,y的函数. 方程两端对x求偏导数，得 ew(-)-2-e.产=0即空. 。ew dx 2+ei 方程两端对y求偏导数，得 ew(←x)-22-e.应 =0即 02+e 解三利用全微分求应，三 方程两边求全微分，利用微分形式不变性，则

= 2xf (u, v) + 2 x [ y xy xy v f x y u f           2 1 ( ) cos 2 ] = 2 ( ,sin xy) x y xf + 2 x （ v f xy x y u f x y       cos 2 1 2 ）， y z   = ( , ) 2 x f u v y = 2 x [ y v v f y u u f            ]= 2 x [ xy x xy v f u x f 2 cos 1         ] = 2 x （ v f xy y x u f x      cos 2 1 1 ）. 例 4 已知 ( , ) e ln( ) sin 3 2 f x y x xy x y    ，求 (1,0) x f . 解 如果先求出偏导函数 f (x, y) x ，再将 x 1， y  0 代入求 (1,0) x f 比较麻烦，但是若先把 函数中的 y 固定在 y  0 ，则有 f (x,0) =3 ln x .于是 f (x,0) x = 3 x ， (1,0) x f =3. 3．求隐函数的导数或偏导数的方法 小结 用公式法求隐函数的偏导数时，将 F(x, y,z) 看成是三个自变量 x ， y ， z 的函数，即 x ， y ， z 处于同等地位.方程两边对 x 求偏导数时， x ， y 是自变量， z 是 x ， y 的函数， 它们的地位是不同的. 例 5 设 e 2 e  0 xy z z ，求 x z   ， y z   . 解一 用公式法，设 F(x, y,z) = e 2 e  0 xy z z ， 则 xy x F y    e ， xy y F x    e ， z Fz   2  e ， x z   = z x F F  = z xy y       2 e e = z xy y     2 e e ； y z   = z y F F  = z xy x       2 e e = z xy x     2 e e . 解二 方程两端求导，由于方程有三个变量，故只有两个变量是独立的，所以求 x z   ， y z   时， 将 z 看作 x ， y 的函数. 方程两端对 x 求偏导数，得 e ( ) 2 e  0           x z x z y xy z 即 x z   = z xy y     2 e e ； 方程两端对 y 求偏导数，得 e ( ) 2 e  0           y z y z x xy z 即 y z   = z xy x     2 e e . 解三 利用全微分求 x z   ， y z   . 方程两边求全微分，利用微分形式不变性，则

d(e)-2d+de=0, -e-d(xy)-2dz-e-dz=0, -e-(ydx +xdy)-(2+e)dz=0, 2+e dr-reo d正=、e 2+ed, 因此二=、e x2+e’ 2+e: 4.求空间曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线的方法 小结要记住公式，在没有给出具体切点的情况下，应根据具体问题中所满足的几何条件， 由解析几何的知识列出一些等式，联立这些等式，求出切点，代入相应的公式，就得出所求 的方程. x=-3t 12 例6在曲线y=。12,上求出一点，使在该点的切线平行于平面2x-3y+:=1,并求过 2 2=t 该点的切线方程及法平面方程， 解此题的关键是求出切点的坐标.因为x'(0)=-3,y'(0=t,0)=32,故知曲线上任一 点的切线的方向向量s={-3,t,312}:又知平面2x-3y+z=1的法向量n={2,-3,1},所 以必有s⊥n,即sn=0,故有-6-3+32=0，t2-t-2=0,解之41=-1，t2=2,将1， 2代入曲线方程得到切点的坐标为3，行-少，(-62,8).所以，曲线在点6，行-)处的切线 方向向量51={-3，-1,3}， 故切线方程为 x-3_2+ -3-131 法平面方程为-3x-3引-0y-2+3+)=0，即6x+2y-6:-25=0, 曲线在点(-6,2,8)处的切线方向向量52={-3,2,12}， 故切线方程为+6=y-2--8 -3 2 12 法平面方程为-3(x+6+2y-2)+12(2-8)=0,即3x-2y-12z+11&0. 例7求曲面x2+2y2+3z2=84,平行于平面x+4y+6z=8的切平面方程及过切点的法

d(e )  2d  de  0 xy z z ，  e d( )  2d  e d  0   xy z z xy z ，  e ( d  d )  (2  e )d  0   y x x y z xy z ， dz = z xy y     2 e e dx z xy x     2 e e dy， 因此 x z   = z xy y     2 e e ， y z   = z xy x     2 e e . 4． 求空间曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线的方法 小结 要记住公式，在没有给出具体切点的情况下，应根据具体问题中所满足的几何条件， 由解析几何的知识列出一些等式，联立这些等式，求出切点，代入相应的公式，就得出所求 的方程. 例 6 在曲线          3 2 , 2 1 3 , z t y t x t 上求出一点，使在该点的切线平行于平面 2x3y  z 1 ，并求过 该点的切线方程及法平面方程. 解 此题的关键是求出切点的坐标.因为 x (t)  3， y (t)  t ， 2 z (t)  3t ，故知曲线上任一 点的切线的方向向量 s { 3, ,3 } 2   t t ；又知平面 2x3y  z 1 的法向量 n {2,3,1} ，所 以必有 s  n ，即 sn =0，故有 2 63t 3t =0， 2 0 2 t t   ，解之 t1  1，t2  2 ，将 1 t ， 2 t 代入曲线方程得到切点的坐标为 , 1) 2 1 (3,  ，(6, 2,8) .所以，曲线在点 , 1) 2 1 (3,  处的切线 方向向量 s1 {3,1,3}， 故切线方程为 3 1 1 2 1 3 3        z y x ， 法平面方程为 ) 3( 1) 0 2 1 3(x 3) (y   z   ，即 6x2y 6z 25 0 ， 曲线在点 (6, 2,8) 处的切线方向向量 s2 {3,2,12}， 故切线方程为 12 8 2 2 3 6      x  y z ， 法平面方程为 3(x 6)  2(y 2) 12(z 8)  0 ，即 3x2y 12z 118 0 . 例 7 求曲面 2 2 2 x y z    2 3 84 ，平行于平面 x y z    4 6 8 的切平面方程及过切点的法

线方程 解此题的关键是求切点的坐标。设F(x,y,)=x2+2y2+3z2-84=0的切点坐标为 (xo,yo,0),Fx=2x Fy=4y,F=6z. 所以，切平面的法向量为a={2x,4y%,6z0}, 由题意知，切平面与已知平面x+4y+62=8平行，所以有20=40=60， ①又 146 由于点(x0,0,0)在曲面上，所以x+2+3z6=84, ② 联立①②解之得x=±2，=±4,2。=±4，从而得切点为(2,4,4)及 (-2,4,4)·于是得过切点(2,4,4)的切平面方程为 (x-2)+4y-4)+6(z-4)=0,即x+4y+6z-42=0, 法战方程为2”4 过切点(-2，-4的切平面方程为(x+2)+4y+4)+6(z+4)=0，即 x+4y+6z+42=0, 法线方程为+2=y+4=2+4 1 46 5.求函数的极值与最值的方法 小结求条件极值时，可以化为无条件极值去解决，或用拉格朗日乘数法.条件极值一般都 是解决某些最大、最小值问题.在实际问题中，往往根据问题本身就可以判定最大（最小） 值是否存在，并不需要比较复杂的条件（充分条件）去判断. 例8求函数f(x,y)=e-y(x2-2y2)的极值 解(1)求驻点 由 ∫f(x,y)=e-y(x2-2y2)+2xe-y=0, f,(x,y)=-e-y(x2-2y2)-4e-y=0, 得两个驻点(0,0)，(-4，-2)， (2)求f(x,y)的二阶偏导数 f.(x,y)=e-y(x2-2y2+4x+2),f(,y)=e-y(2y2-x2-2x-4y), fn(x,y)=e-y(x2-2y2+8y-4), (3)讨论驻点是否为极值点 在(0,0)处，有A=2,B=0,C=-4,B2-AC=8>0,由极值的充分条件知(0,0)不是

线方程. 解 此题的关键是求切点的坐标。设 F(x , y ,z)  2 2 2 x y z     2 3 84 0 的切点坐标为 ( , , ) 0 0 0 x y z ， F x x  2 ， F y y  4 ， F z z  6 . 所以，切平面的法向量为 a {2x0 ,4y0 ,6z0}， 由题意知，切平面与已知平面 x y z    4 6 8 平行，所以有 6 6 4 4 1 2 0 0 0 x y z   ， ①又 由于点 ( , , ) 0 0 0 x y z 在曲面上，所以 2 2 2 x y z 0 0 0    2 3 84 ， ② 联 立 ① ② 解 之 得 x0  2 ， y0  4 ， z0  4 ， 从 而 得 切 点 为 (2 , 4 , 4) 及 ( 2 , 4 , 4)  . 于 是 得 过 切 点 (2 , 4 , 4) 的 切 平 面 方 程 为 ( 2) 4( 4) 6( 4) 0 x y z       ，即 x y z     4 6 42 0, 法线方程为 2 4 4 1 4 6 x y z      ， 过切点 ( 2 , 4 , 4)  的 切 平 面 方 程 为 ( 2) 4( 4) 6( 4) 0 x y z       ， 即 x y z     4 6 42 0, 法线方程为 2 4 4 1 4 6 x y z      . 5． 求函数的极值与最值的方法 小结 求条件极值时，可以化为无条件极值去解决，或用拉格朗日乘数法.条件极值一般都 是解决某些最大、最小值问题.在实际问题中，往往根据问题本身就可以判定最大（最小） 值是否存在，并不需要比较复杂的条件（充分条件）去判断. 例 8 求函数 ( , ) e ( 2 ) 2 2 f x y x y x y    的极值. 解 （1）求驻点 由                  ( , ) e ( 2 ) 4 e 0 , ( , ) e ( 2 ) 2 e 0 , 2 2 2 2 x y x y y x y x y x f x y x y y f x y x y x 得两个驻点 (0, 0) ，(4,  2) ， （2）求 f (x , y) 的二阶偏导数 ( , ) e ( 2 4 2) 2 2      f x y x y x x y xx ， ( , ) e (2 2 4 ) 2 2 f x y y x x y x y xy      ， ( , ) e ( 2 8 4) 2 2      f x y x y y x y yy ， （3）讨论驻点是否为极值点 在 (0, 0) 处，有 A 2， B  0 ，C  4 ， 8 0 2 B  AC   ，由极值的充分条件知 (0, 0) 不是

极值点，f0,0)=0不是函数的极值： 在(-4，-2)处，有A=-6e2,B=8e2,C=-12e2,B2-AC=-8e40,y>0,y≤8. x V S.=2y- 8 ）=0 由 得驻点（2,2)， S,=2(x- P 2)=0 根据实际问题，最小值一定存在，且驻点惟一.因此，(2,2)为S(x,y)的最小值点，即当 水箱的长、宽、高分别为2cm时，才能使用料最省

极值点， f (0,0)  0 不是函数的极值； 在 (4,  2) 处，有 2 6e  A  ， 2 8e  B  ， 2 12e  C   ， 8e 0 2 4      B AC ，而 A  0 ， 由极值的充分条件知 (4,  2) 为极大值点， 2 ( 4, 2) 8e  f    是函数的极大值. 例 9 某公司要用不锈钢板做成一个体积为 8 3 m 的有盖长方体水箱。问水箱的长、宽、高 如何设计，才能使用料最省？ 解一 用条件极值求问题的解. 设长方体的长，宽，高分别为 x ， y ， z .依题意，有 xyz  8 ， S  2(xy yz zx) 令 f (x , y ,z,) = 2(xy  yz  zx) + (xyz8) ， 由                       8 0 , 2( ) 0 , 2( ) 0 , 2( ) 0 , f xyz f y x xy f x z xz f y z yz z y x     解得驻点（ 2, 2, 2 ）. 根据实际问题，最小值一定存在，且驻点惟一.因此，当水箱的长、宽、高分别为 2 cm 时， 才能使用料最省. 解二 将条件极值转化为无条件极值. 设长方体的长，宽，高分别为 x ， y ， z .依题意，有 xyz  8 ， s  2(xy  yz  zx) 消去 z ，得面积函数 ) 8 8 2( x y S  xy  ， x  0， y  0 ， xy 8 . 由              ) 0 8 2( ) 0 8 2( 2 2 y S x x S y y x 得驻点 （ 2, 2 ）， 根据实际问题，最小值一定存在，且驻点惟一.因此，（ 2, 2 ）为 S(x, y) 的最小值点，即当 水箱的长、宽、高分别为 2 cm 时，才能使用料最省