空间解析几何 1.建立平面方程与直线方程的方法 小结求平面方程和直线方程，在已知一给定点的条件下，关键 是求出平面的法线向量和直线的方向向量.这要以两向量的点积和叉 积的运算为基础.另外，求平面方程和直线方程的方法往往不是一种， 读者可灵活运用已给的条件，选择一种比较简单的方法，求出平面方 程或直线方程. 例3求平行于y轴，且过点41，-5，)与B3,2,-3)的平面方程. 解一利用向量运算的方法。关键是求出平面的法向量.因为平 面平行于y轴，所以n⊥j.又因为平面过点A与B,所以必有n⊥AB. 于是，取n=j×AB, i j k 而AB={2,7,-4},所以n=010=-4i-2k, 27-4 因此，由平面的点法式方程，得-4(x-1)+0y+5)-2(:-1)=0,即 2x+z-3=0. 解二利用平面的一般式方程。设所求的平面方程为 Ax+By+Cz+D=0, 由于平面平行于y轴，所以B=0,原方程变为Ax+C2+D=0,又 所求平面过点A(1,-5,1)与B(3,2,-3),将A,B的坐标代入上述 方程，得1+C+D=0, 解之得A=2C,D=-3C,代入所设方程， 3A-3C+D=0, 故所求平面方程为2x+:-3=0
空间解析几何 1.建立平面方程与直线方程的方法 小结 求平面方程和直线方程，在已知一给定点的条件下，关键 是求出平面的法线向量和直线的方向向量.这要以两向量的点积和叉 积的运算为基础.另外，求平面方程和直线方程的方法往往不是一种， 读者可灵活运用已给的条件，选择一种比较简单的方法，求出平面方 程或直线方程. 例 3 求平行于 y 轴，且过点 A(1,5,1)与B (3, 2 , 3)的平面方程. 解一 利用向量运算的方法。关键是求出平面的法向量n.因为平 面平行于 y 轴，所以n j .又因为平面过点 A 与B ，所以必有n AB . 于是，取n= j AB , 而 AB ={2，7，4} ，所以 n = 2 7 4 0 1 0 i j k = 4i 2k ， 因此，由平面的点法式方程，得 4(x 1) 0( y 5) 2(z 1) 0 ，即 2x z 3 0 . 解 二 利 用 平 面 的 一 般 式 方 程 。 设 所 求 的 平 面 方 程 为 Ax By Cz D 0 , 由于平面平行于 y 轴，所以 B 0，原方程变为 Ax Cz D 0，又 所求平面过点 A (1, 5, 1)与B (3 , 2, 3)，将 A, B的坐标代入上述 方程，得 3 3 0 , 0 , A C D A C D 解之得 A 2C , D 3C ,代入所设方程， 故所求平面方程为 2x z 3 0
例4求通过点(3,0,0)和点(0,0,1)且与x0y平面成”角 的平面的方程. 解设所求平面方程为A+By+C:+D=0, 平面过点8,00，有31+n=-0,即4=日，① 平面过点(0,0,1)，有C+D=0,即C=-D,( ② 又，平面与x0面成角，有os C 321x4+B+C' ③ 即A2+B2-3C2=0, 解①②③得B=±26D, 3 故所求平面为号x±-心+D=0。 即 x±V26+3z-3=0. 例5求过点1，-2，)且垂直于直线 x-2y+2-3=0的平面方程. x+y-z+2=0 解 知 直 线 的方向向量为 li j k 5=1,-2,1}×1,1,-1}=1-21={1,2,3}, 11- 由于平面与该直线垂直，故可取平面的法向量为该方向向量s, 即n=s={1,2,3}, 由点法式得平面方程x-1+2y+2)+3(2-1)=0,即x+2y+3z=0. 例6求通过点八21，且与直线名2垂直相交的直线方 程. 解利用向量运算的方法。在已知点的条件下，关键是求出直线
例 4 求通过点(3 , 0 , 0)和点(0 , 0 , 1)且与 xOy 平面成 3 π 角 的平面的方程. 解 设所求平面方程为 Ax By Cz D 0， 平面过点(3, 0, 0)，有 3A D 0 , 即 3 D A ， ① 平面过点(0, 0, 1), 有 C D 0 , 即 C D ， ② 又,平面与 xOy 面成 3 π 角，有 π cos 3 = 2 1 = 2 2 2 1 A B C C ，③ 即 3 0 2 2 2 A B C ， 解 ①②③得 B = D 3 26 , 故所求平面为 3 D x 26 0 3 Dy Dz D ， 即 x 26 3z 3 0 . 例 5 求过点(1,2 ,1)且垂直于直线 2 0 2 3 0 , x y z x y z 的平面方程. 解 已 知 直 线 的 方 向 向 量 为 s {1, 2,1}{1,1,1}= 1 1 1 1 2 1 i j k ={1, 2 , 3}, 由于平面与该直线垂直，故可取平面的法向量n为该方向向量s， 即n s ={1, 2 , 3}， 由点法式得平面方程 x 1 2(y 2) 3(z 1) 0 ，即 x 2y 3z 0 . 例 6 求通过点 (2 , 1, 3) P0 且与直线 2 2 1 0 1 x y z 垂直相交的直线方 程.解 利用向量运算的方法。在已知点的条件下，关键是求出直线
的方向向量s.为此先求出过点P,(2,-1,3)且垂直于已知直线的平面方 程，再求出已知直线与此平面的交点，利用交点与已知点找出所求直 线的方向向量s,即可得到所求的直线方程.其步骤如下： (i)过点P。垂直于已知直线的平面方程为-(x-2)+2(z-3)=0,即 x-2z+4=0. (ii)求上述平面与直线的交点B,为此令一=二2=1，x=1-1, -102 y=0,z=2+21, 将上述参数方程代入平面x-2z+4=0中，有1-1-2(2+2)+4=0， 得， 所以x=4 ，=0，:=号，即 1 50, )，所以 5 s=P丽=-l, (iii)写出所求直线方程。由于直线过点(2，-1,3)，故所求直线方 程为-2-y+-3,即X-2=+1--3 6 -13 6 -53 5 5 例7求过点Mo(-1,2,)且与两平面元1：x+y-2z=1和π2： x+2y-z=1平行的直线方程. 解设所求直线的方向向量为s={m,n,p,m1=1,1,-2}, n2={1,2,-1}, 因为所求直线1与π1，π2平行，所以s⊥m,s⊥2， i j k 取s=m1×n2=1,1,-2×{1,2,-1=11-2=3i-j+k=3,-1,1, 12-1 故所求直线的方程为+1=-2=-1. 3-1
的方向向量 s .为此先求出过点 (2 , 1, 3) P0 且垂直于已知直线的平面方 程，再求出已知直线与此平面的交点，利用交点与已知点找出所求直 线的方向向量s，即可得到所求的直线方程.其步骤如下： (i)过点P0 垂直于已知直线的平面方程为 (x 2) 2(z 3) 0，即 x 2z 4 0 . (ii)求上述平面与直线的交点P1，为此令 2 2 1 0 1 x y z =t， x 1 t , y 0 , z 2 2t ， 将上述参数方程代入平面 x 2z 4 0中，有 1 t 2(2 2t) 4 0 ， 得 t = 5 1 , 所 以 5 4 x , y 0 , z = 5 12 ， 即 ) 5 12 ,0, 5 4 ( P1 , 所 以 s P0P1 6 3 { , 1, } 5 5 , (iii)写出所求直线方程。由于直线过点 (2 , 1, 3) P0 ，故所求直线方 程为 5 3 3 1 1 5 6 2 x y z ， 即 3 3 5 1 6 2 x y z . 例 7 求 过 点 ( 1, 2 ,1) M 0 且 与 两 平 面 1 ： x y 2z 1 和 2 ： x 2y z 1平行的直线方程. 解 设 所 求 直 线 的 方 向 向 量 为 s {m, n, p} ， {1,1, 2} n1 ， {1, 2, 1} n2 ， 因为所求直线l 与 1 , 2平行，所以 n1 s , n2 s , 取 n1 n2 s ={1,1, 2}{1, 2, 1}= 1 2 1 1 1 2 i j k =3i j k ={3, 1,1}, 故所求直线的方程为 1 1 2 3 1 z x y