习题10-2 1.用比较审敛法判别下列级数的收敛性： (1)1+ 11 1 (2n-12+…: +5++ (2)1+1+21+3, ,1+n 1+221+32++ 1+2 +… 3)、1+1 1 +…; 2.5'3.6(n+10(n+4) 2 2++sim7+ 2+sin (4)sinT+sin 2n (6)1 白1+a (a>0) (2n-天(2nm-2 1+n 1+n +7>1+2n+7+m31+n 一，n=1,2,3:又调和级数∑。为 散，调和级数1去掉第一项所得的级数户1 也发散，所以级数 nln in+l 1+2,1+3 1+n 1+ 十十 +…发散. 1+221+32 1+n (3)由p-级数的敛散性可知， 收敛，； 1 由于lim (n+1)(n+4) =lim- —1, 所以原级数收敛. 7→00 1 n-on2+5n+4 n Sin (4)由于im2”=1,而级数文收敛， 2 所以原级数收敛. n=1 20 1
1 习题 10-2 1．用比较审敛法判别下列级数的收敛性： （1） 2 2 2 1 1 1 1 3 5 (2n 1) ； （2） 2 2 2 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 1 n n ； （3） 1 1 1 2 5 3 6 (n 1)(n 4) ； （ 4） 2 3 sin sin sin sin 2 2 2 2 n ； （5） 3 1 2 n 1 n n ； （6） 1 1 1 n n a (a 0) . 解：（1）因为 2 2 2 1 1 1 , 2,3,4, (2 1) (2 2) ( 1) n n n n ，又由 p 级数的敛散 性可知， 2 2 1 ( 1) n n 收敛，所以级数 2 2 2 1 1 1 1 3 5 (2n 1) 收敛． （2）因为 2 2 2 1 1 1 1 , 1,2,3, 1 1 2 (1 ) 1 n n n n n n n n n ；又调和级数 1 1 n n 发 散，调和级数 1 1 n n 去掉第一项所得的级数 1 1 n n 1 也发散，所以级数 2 2 2 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 1 n n 发散． （3）由 p 级数的敛散性可知， 2 1 1 n n 收敛，； 由于 2 2 2 1 ( 1)( 4) lim lim 1 n 1 n 5 4 n n n n n n ，所以原级数收敛． （4）由于 1 2 2 sin lim n n n , 而级数 n1 2 n 收敛，所以原级数收敛．
2n 2n (5)由于1im =lim nn=2,又由p-级数的敛散性可知， 发散， n n 所以原级数发散 1 (6)w,=1+0). 因为2二当a>1时收敛，所以当a>1时，24，收敛： 111 而当a≤1时，4n= 1+a"-1+12 即1im4,≠0，所以∑4n发散。 2.用比值审敛法判别下列级数的收敛性： (1) 含a4n 1 (2) n 3 (3)了n n! (4) ntan- n=l 解：(1)lima1-lim 1/(2n+2)!=lim →m4n1/(2n+1)！,02n+ 1。=01,原级数发散. n"/n! π (n+1)tan (n+1) (4)lim as=lim 2n+2 =lim- n→oun 刀+0 月→0 2=。<1,原级数收敛。 ntan 2n41 n 3.用根值审敛法判别下列级数的收敛性： 1 (2) m台ln(n+l)]” 3 (4) 了3” 台1+e 解：(1)m n)”=lim。 <1,原级数收敛 2n+1 n-∞2n+12
2 （5）由于 3 2 2 lim lim 2 n 1 n 1 n n n n n n n ,又由 p 级数的敛散性可知， 1 1 n n 发散， 所以原级数发散． （6） 1 1 1 n n n u a a (a 0) ． 因为 1 1 n n a 当a 1时收敛，所以当a 1时， 1 n n u 收敛； 而当a 1时， 1 1 1 1 1 1 2 n n u a ，即lim 0 n n u ，所以 1 n n u 发散． 2．用比值审敛法判别下列级数的收敛性： （1） 1 1 (2 1)! n n ； （2） 2 1 3 n n n ； （3） 1 ! n n n n ； （4） 1 1 tan 2 n n n ． 解：（1） 1 1 (2 2)! 1 lim lim lim 0 1 1 2 1 ! 2 2 n n n n n u n u n n ，原级数收敛． （2） 2 1 2 1 2 1 3 1 1 1 lim lim lim 1 1 3 3 3 n n n n n n n u n u n n ，原级数收敛． （3） 1 1 ( 1) ( 1)! 1 lim lim lim 1 e 1 ! n n n n n n n n u n n u n n n ，原级数发散． （4） 1 2 1 2 2 ( 1) lim 2 tan 2 ( 1)tan lim lim 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n n n n n u u ，原级数收敛． 3．用根值审敛法判别下列级数的收敛性： （1） 1 2 1 n n n n ； （2） 1 1 [ln( 1)] n n n ； （3） 2 1 1 ( ) 3 1 n n n n ； （4） 1 3 1 n n n e ． 解：（1） 1 lim ( ) lim 1 2 1 2 1 2 n n n n n n n n ，原级数收敛．
(2)lim =lim- 1一=01,该级数发散， 2+1 4.选择适当的方法判别下列级数的收敛性： （1)3+22》+3》+…++:; 4 4 4 (2)1243 1!213! n! 9》2 w2 n+1 +… V n (6)1 1 +…+、1 +…(a>0,b>0). a+b 2a+b na+b 解：(1)用比值判别法：因为 (n+1()*1 'lim untl =lim + 3<1,∴原级数收敛. (2)用比值判别法：因为 lim=lim (n+1)4/n+1)1 (+.1=0<1,原级数收敛. =lim1+ n'n! nn n+l (3)用比较判别法的极限形式： 用u,和y,分别表示级数”+1和的一般项， 台n(n+2)台n .'lim +l/n+2)=lim”+l-l,级数l发散，n+l发散. 00 1/n nn+2 n=ln 台n(n+2)
3 （2） 1 1 lim lim 0 1 ln( 1) ln( 1) n n n n n n ，原级数收敛． （3） 1 ( 2 )ln( ) 3 1 1 1 2 lim 2ln 2 1 3 1 lim ( ) lim( ) 1 3 1 3 1 9 n n n n n n n n n n n e e n n ，原级数收敛． （4） 3 3 1 3 lim lim 1 1 1 1 n n n n n n n e e e e ，该级数发散． 4．选择适当的方法判别下列级数的收敛性： （1） 3 3 2 3 3 3 2( ) 3( ) ( ) 4 4 4 4 n n ；; （2） 4 4 4 4 1 2 3 1! 2! 3! ! n n ； （3） 1 1 ( 2) n n n n ； （4） 1 2 ( 1) 2 n n n ； （5） 3 1 2 2 n n ； （6） 1 1 1 ( 0, 0) 2 a b a b a b na b ． 解：（1）用比值判别法：因为 ∵ 1 1 3 ( 1)( ) 3 1 3 4 lim lim lim 1 1 3 4 4 ( ) 4 n n n n n n n n u u n n ，∴原级数收敛． （2）用比值判别法：因为 ∵ 4 4 1 4 ( 1) 1 ! 1 1 lim lim lim 1 0 1 ! 1 n n n n n u n n u n n n n ，∴原级数收敛． （3）用比较判别法的极限形式： 用 n u 和 n v 分别表示级数 1 1 ( 2) n n n n 和 1 1 n n 的一般项， ∵ ( 1) ( 2) 1 lim lim 1 n 1 n 2 n n n n n n ，级数 1 1 n n 发散，∴ 1 1 ( 2) n n n n 发散．
(4)用比值判别法：因为 2(n+1)sin π 2sinπ.元.1 lim=lim 3n+T lim n-→m4n 33_2 1 1 nti =12,3)及m万=0，由莱布尼茨判别法知，级 数∑少收敛；又二发散，故原级数条件收敛 名√ 2）4=-) (2n+02, 因为，又品是0=2的p级数。 行收效，所 以∑u收敛，故原级数绝对收敛. n= (3)4n=(-1)-1 In(n+1) a=l2,-4广曲交安放 in+1 1 知，立a发散：又u,为交错级数，nt2=女l及 lim=lim =0,由莱布尼获判别法知，级数2一”收敛，所以原 nIn(n+1) 台ln(n+l)
4 （4）用比值判别法：因为 1 3 2 3 sin 3 3 1 3 3 2sin lim 3 2 sin 3 2 sin lim lim 1 1 1 ( 1) 1 n n n n n n n n n n n n n u u ，∴原级数收敛． （5）∵ 1 0 1 lim lim n n u n n n , ∴原级数发散． （6） 用比较判别法的极限形式：考虑到 na b 1 与 n 1 分母次数相同，用 1 1 n n 作比较：∵ 1 1 1 1 lim a n na b n ，级数 1 1 n n 发散，∴原级数发散． 5．判别下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ （1） 1 1 1 1 2 3 4 ； （2） 1 2 1 1 ( 1) (2 1) n n n ； （3） 1 1 1 1 ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ； （4） 2 1 sin ( ) n nx x R n ； （5） 1 1 ln ( 1) n n n n ； （6） 2 1 1 2 ( 1) ! n n n n ． 解：（1）因 1 1 ( 1,2,3, ) 1 n n n 及 1 lim 0 n n ，由莱布尼茨判别法知，级 数 1 ( 1) n n n 收敛 ；又 1 1 n n 发散，故原级数条件收敛． （2） 1 2 1 ( 1) (2 1) n n u n ，因为，又 2 1 1 n n 是 p 2 的 p 级数， 2 1 1 n n 收敛，所 以 1 n n u 收敛，故原级数绝对收敛． （3） 1 1 ( 1) ( 1,2,3, ) ln( 1) n n u n n ， 1 1 ln( 1) 1 n u n n ，由 1 1 n n 1 发散 知， 1 n n u 发散；又 1 n n u 为交错级数， 1 1 1 ln 1 ln( 2) n n u u n n 及 1 lim lim 0 ln( 1) n n n u n ，由莱布尼茨判别法知，级数 1 1 1 ln 1 n n n 收敛，所以原
级数条件收敛. 4又是p=2的p-级最，收敛，所以2收敛，故原级致绝对 收敛 （5)%=y”由于%-片a≥，面数发故。故级数交d 月=1 发散.设f(x)= nx,则lim x=lim王=0，f)=1-lnx>0(x>e,即当x>e X+00 x2 Inn 时，f(x)单调递减，故数列 单调递减且收敛于0，由莱布尼茨判别法知，级数 n 立(-一”收敛，所以原领数条作收致 n （6)记4.=(1-2 ’由于m1-2”=2”·2”2222，>2, nln(n-1)n-2)….3-2-1n -子=m2n2=楼知®云=，从而有四=四 ，=+0 故原级数发散
5 级数条件收敛． （4），又 2 1 1 n n 是 p 2 的 p 级数， 2 1 1 n n 收敛，所以 1 n n u 收敛，故原级数绝对 收敛． （5） 1 ln ( 1) n n n u n ，由于 ln 1 , ( 3) n n u n n n ，而级数 1 1 n n 发散，故级数 1 n n u 发散．设 x x f x ln ( ) ，则 1 ln lim lim 0 x x 1 x x x ， 2 1 ln ( ) 0 ( e) x f x x x ，即当 x e 时， f (x) 单调递减，故数列 n ln n 单调递减且收敛于 0 ，由莱布尼茨判别法知，级数 1 1 ln ( 1) n n n n 收敛，所以原级数条件收敛． （ 6 ） 记 2 1 2 ( 1) ! n n n u n ， 由 于 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ! ( 1)( 2) 3 2 1 n n n n n n n n n u n n n n n ， 由 2 lim lim 2 ln 2 x x x x x 知， 2 lim n n n ，从而有 2 2 lim lim ! n n n n u n 故原级数发散 ．