习题10-1 1. 已知级数- 5” (1)写出级数的前三项； (2)计算部分和sn; (3)证明级数收敛，并求其和。 解：(1) 空少甘安+5，能数空”伯前三项粉为 5n 111 5-25’125 .c 11,1 5 1-( （3)因为▣=--（兮]6所以级数2收敛，且其和为： n=l 5m 6 2.写出下列级数的一般项： 1.1,1 11+7+ (2)0.9+0.99+0.999+0.9999+….: (3)2-3456 (4)E+x+F ，x2 12345 …; 22×42×4×62×4×6×8 1 1 1 解：(1)以，记级数的一般项，由观察知：4=2.1-422-，山=2-3-’ 1 4=24-,故%，2m- （2）以“记级数的一般项，由观察知：M=10二 10 1证%1证1 102 103 104 故.=10C或u=1- 1 10” 10: （3)以%记级数的极项，由观察知：4=（←中，贴=-产2号 2
1 习题 10 1 1．已知级数 1 1 ( 1) 5 n n n （1）写出级数的前三项 ； （2）计算部分和 n s ； （3）证明级数收敛，并求其和． 解：（1） 1 2 3 1 ( 1) 1 1 1 5 5 5 5 n n n ，级数 1 1 ( 1) 5 n n n 的前三项分别为 1 5 ， 1 25 ， 1 125 ； （2） 1 2 3 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 5 5 5 5 5 5 1 1 ( ) 5 n n n n s 1 1 1 ( ) 6 5 n ； （3）因为 1 1 1 lim lim 1 ( ) 6 5 6 n n n n s ，所以级数 1 1 ( 1) 5 n n n 收敛，且其和为 1 6 s ． 2．写出下列级数的一般项： （1） 1 1 1 1 3 5 7 ； （2） 0.9 0.99 0.999 0.9999 .； （3） 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 ； （4） 2 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 x x x x x ． 解：（1）以 n u 记级数的一般项，由观察知： 1 1 2 1 1 u ， 2 1 2 2 1 u ， 3 1 2 3 1 u ， 4 1 2 4 1 u ， ， 故 1 2 1 n u n ； （ 2 ） 以 n u 记级数的一般项，由观察知： 1 1 1 10 1 1 1 10 10 u ， 2 2 2 2 10 1 1 1 10 10 u ， 3 3 3 3 10 1 1 1 10 10 u ， 4 4 4 4 10 1 1 1 10 10 u ， ， 故 n u 10 1 1 1 10 10 n n n n u 或 ； （3）以 n u 记级数的一般项，由观察知： 1 1 1 1 1 ( 1) 1 u ， 2 1 2 2 1 ( 1) 2 u
3,4=(←1)44+1， 4=(←1)3+ 4 ,故4n=(-1n+ n (4)以u,记级数的一般项，由观察知：4 限 2’4=224= 23.31 44= 24.41 故un -2".nl 3.根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的收敛性： (1)∑(2n+: 1 (立nn+D = (3) 含a5 (4)∑(Wn+2-2n+i+历 解：(1)3n-21+2+3+…+n)+n=n2+n,又1im3n=1lim(n2+m)=+oo, 故原级数发散. (2)因为4n= 1-11 n(H1）n相 lims=1,故原级数收敛. (3)因为4n= 1 √n+I+√n =/n+1-/n, sn=(2-l+(5-2)++(Nn+I-列=n+I-1 又1imsn=lim(Wn+1-)=o,故原级数发散. ④因为%=(+2-可+-可)n+2+行n+n币所以 Vn+2+√n+11+√5 又1imsn=1-V2,故原级数收敛. 4.利用级数的性质和收敛的必要条件判别下列级数的收敛性： 2
2 3 1 3 3 1 ( 1) 3 u ， 4 1 4 4 1 ( 1) 4 u ， ，故 1 1 ( 1)n n n u n ； （4）以 n u 记级数的一般项，由观察知： 1 1 1 2 1! x u ， 2 2 2 2 2! x u ， 3 3 3 2 3! x u ， 4 4 4 2 4! x u ， ，故 2 ! n n n x u n ． 3．根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的收敛性： （1） 1 (2 1) n n ； （2） 1 1 n n n( 1) ； （3） 1 1 n n n 1 ； （4） 1 ( 2 2 1 ) n n n n ． 解： （1） 2 2(1 2 3 ) n s n n n n ，又 2 lim lim( ) n n n s n n ， 故原级数发散 ． （2） 因为 1 1 1 ( 1) 1 n u n n n n ， 所以 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 1 2 2 3 4 3 1 1 n s n n n ， lim 1 n n s ，故原级数收敛． （3）因为 1 1 1 n u n n n n ， s n n n n 2 1 3 2 1 1 1 又 lim lim( 1 1) n n n s n ，故原级数发散． (4) 因为 1 1 2 1 1 2 1 1 n u n n n n n n n n ，所以 1 1 1 1 1 1 3 2 1 2 4 3 3 2 2 1 1 1 1 , 2 1 1 2 n s n n n n n n 又 lim 1 2 n n s ，故原级数收敛． 4. 利用级数的性质和收敛的必要条件判别下列级数的收敛性：
站： （2)sin2+sin2g++sin 6 6 +… 6 (3) (4)1 +( i d+y 解：1》原级数是由级数三和 逐项相减所得的， 3n 而级数2与 n=l 三3分别是公比q=及g=写的等比收敛级数，故原级数收 (2)解法一un=sm", 6 因 2sf%=c0-的.e接 12 12 放2s合-2o2片-oms231=os骨-cw2n， 12 12 12 即Sn= 2n+1 由于极限limcos 2n+1 -π不存在，所以极 π 12 2sin 2 限imsn不存在，故原级数发散. 解法二利用级数收敛的必要条件：由im4,=limsin”不存在知，原级数发散. 6 (3) 己知级数2是由调和级数】各项乘以后得到的，因而它发散，又 2n 级数， (-是公比q=-号的等比收敛级数，但原级数+(-骨]却发 0 散. 香则若领数2六+(-收敛。则云-三品+写1-(}多收 敛，矛盾 1 (4)由于limu=lim +0，利用级数收敛的必要条件知原级数发散。 →00 刀→0 1 (1+-) e 5.选择题： (1)1imu,≠0是级数2u,发散的(). 3
3 （1） 1 1 1 ( ) 2 3 n n n ； （2） 2 sin sin sin 6 6 6 n ； （3） 1 1 8 [ ( ) ] 2 9 n n n ； （4） 2 3 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 2 3 n n ． 解：（1）原级数是由级数 1 2 1 n n 和 1 3 1 n n 逐项相减所得的， 而级数 1 2 1 n n 与 1 3 1 n n 分别是公比 1 2 q 及 1 3 q 的等比收敛级数，故原级数收敛． （2）解法一 6 sin n un ， 因 (2 1) (2 1) 2sin cos cos 12 12 12 n n n u 故 1 (2 1) (2 1) (2 1) 2sin [cos cos ] cos cos 12 12 12 12 12 n n k k k n s ， 即 1 2 1 cos cos 12 12 2sin 12 n n s ，由于极限 2 1 lim cos n 12 n 不存在，所以极 限 lim n n s 不存在，故原级数发散． 解法二 利用级数收敛的必要条件：由 lim lim sin 6 n n n n u 不存在知，原级数发散． （3） 已知级数 1 1 n 2n 是由调和级数 1 1 n n 各项乘以 1 2 后得到的，因而它发散，又 级数， 1 8 ( ) 9 n n 是公比 8 9 q 的等比收敛级数，但原级数 1 1 8 [ ( ) ] 2 9 n n n 却发 散．否则若级数 1 1 8 [ ( ) ] 2 9 n n n 收敛，则 1 1 n 2n 1 1 8 8 [ ( ) ] ( ) 2 9 9 n n n n 必收 敛，矛盾． (4) 由于 1 1 lim lim 0 1 e (1 ) n n n n u n ，利用级数收敛的必要条件知原级数发散． 5．选择题： （1） lim 0 n n u 是级数 1 n n u 发散的（ ）．
(A)充分而非必要条件： (B)必要而非充分条件： (C)充分必要条件； (D)既非充分也非必要条件， (2)若级数24收敛， 则下列命题正确的是( )0其中- (A)lims =0; (B)lim s存在； (C)lims可能不存在； (D)数列{s}为单调数列. (3)设级数∑山，为收敛级数， 则下列级数中发散的为() n=1 (A)】 (B) c2+2: u弱 (其中4n≠0). 解：(1)(A): (2)(B): (3)(D)
4 （ A ）充分而非必要条件； （ B ）必要而非充分条件； （ C ）充分必要条件； （ D ）既非充分也非必要条件． （2）若级数 1 n n u 收敛，则下列命题正确的是（ ）（其中 1 n n i i s u ）． （ A ） lim 0 n n s ； （ B ） lim n n s 存在； （ C ） lim n n s 可能不存在； （ D ）数列 sn 为单调数列． （3）设级数 1 n n u 为收敛级数，则下列级数中发散的为（ ）． （ A ） 1 2 n n u ； （ B ） 1 1 ( ) 2 n n n u ； （ C ） 1 2 n n u ； （ D ） 1 2 n n u （其中 0 n u ）． 解：（1）(A)； （2）(B)； （3）(D)
