习题10-1 1. 已知级数- 5” (1)写出级数的前三项; (2)计算部分和sn; (3)证明级数收敛,并求其和。 解:(1) 空少甘安+5,能数空”伯前三项粉为 5n 111 5-25’125 .c 11,1 5 1-( (3)因为▣=--(兮]6所以级数2收敛,且其和为: n=l 5m 6 2.写出下列级数的一般项: 1.1,1 11+7+ (2)0.9+0.99+0.999+0.9999+….: (3)2-3456 (4)E+x+F ,x2 12345 …; 22×42×4×62×4×6×8 1 1 1 解:(1)以,记级数的一般项,由观察知:4=2.1-422-,山=2-3-’ 1 4=24-,故%,2m- (2)以“记级数的一般项,由观察知:M=10二 10 1证%1证1 102 103 104 故.=10C或u=1- 1 10” 10: (3)以%记级数的极项,由观察知:4=(←中,贴=-产2号 2
1 习题 10 1 1.已知级数 1 1 ( 1) 5 n n n (1)写出级数的前三项 ; (2)计算部分和 n s ; (3)证明级数收敛,并求其和. 解:(1) 1 2 3 1 ( 1) 1 1 1 5 5 5 5 n n n ,级数 1 1 ( 1) 5 n n n 的前三项分别为 1 5 , 1 25 , 1 125 ; (2) 1 2 3 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 5 5 5 5 5 5 1 1 ( ) 5 n n n n s 1 1 1 ( ) 6 5 n ; (3)因为 1 1 1 lim lim 1 ( ) 6 5 6 n n n n s ,所以级数 1 1 ( 1) 5 n n n 收敛,且其和为 1 6 s . 2.写出下列级数的一般项: (1) 1 1 1 1 3 5 7 ; (2) 0.9 0.99 0.999 0.9999 .; (3) 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 ; (4) 2 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 x x x x x . 解:(1)以 n u 记级数的一般项,由观察知: 1 1 2 1 1 u , 2 1 2 2 1 u , 3 1 2 3 1 u , 4 1 2 4 1 u , , 故 1 2 1 n u n ; ( 2 ) 以 n u 记级数的一般项,由观察知: 1 1 1 10 1 1 1 10 10 u , 2 2 2 2 10 1 1 1 10 10 u , 3 3 3 3 10 1 1 1 10 10 u , 4 4 4 4 10 1 1 1 10 10 u , , 故 n u 10 1 1 1 10 10 n n n n u 或 ; (3)以 n u 记级数的一般项,由观察知: 1 1 1 1 1 ( 1) 1 u , 2 1 2 2 1 ( 1) 2 u
3,4=(←1)44+1, 4=(←1)3+ 4 ,故4n=(-1n+ n (4)以u,记级数的一般项,由观察知:4 限 2’4=224= 23.31 44= 24.41 故un -2".nl 3.根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的收敛性: (1)∑(2n+: 1 (立nn+D = (3) 含a5 (4)∑(Wn+2-2n+i+历 解:(1)3n-21+2+3+…+n)+n=n2+n,又1im3n=1lim(n2+m)=+oo, 故原级数发散. (2)因为4n= 1-11 n(H1)n相 lims=1,故原级数收敛. (3)因为4n= 1 √n+I+√n =/n+1-/n, sn=(2-l+(5-2)++(Nn+I-列=n+I-1 又1imsn=lim(Wn+1-)=o,故原级数发散. ④因为%=(+2-可+-可)n+2+行n+n币所以 Vn+2+√n+11+√5 又1imsn=1-V2,故原级数收敛. 4.利用级数的性质和收敛的必要条件判别下列级数的收敛性: 2
2 3 1 3 3 1 ( 1) 3 u , 4 1 4 4 1 ( 1) 4 u , ,故 1 1 ( 1)n n n u n ; (4)以 n u 记级数的一般项,由观察知: 1 1 1 2 1! x u , 2 2 2 2 2! x u , 3 3 3 2 3! x u , 4 4 4 2 4! x u , ,故 2 ! n n n x u n . 3.根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的收敛性: (1) 1 (2 1) n n ; (2) 1 1 n n n( 1) ; (3) 1 1 n n n 1 ; (4) 1 ( 2 2 1 ) n n n n . 解: (1) 2 2(1 2 3 ) n s n n n n ,又 2 lim lim( ) n n n s n n , 故原级数发散 . (2) 因为 1 1 1 ( 1) 1 n u n n n n , 所以 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 1 2 2 3 4 3 1 1 n s n n n , lim 1 n n s ,故原级数收敛. (3)因为 1 1 1 n u n n n n , s n n n n 2 1 3 2 1 1 1 又 lim lim( 1 1) n n n s n ,故原级数发散. (4) 因为 1 1 2 1 1 2 1 1 n u n n n n n n n n ,所以 1 1 1 1 1 1 3 2 1 2 4 3 3 2 2 1 1 1 1 , 2 1 1 2 n s n n n n n n 又 lim 1 2 n n s ,故原级数收敛. 4. 利用级数的性质和收敛的必要条件判别下列级数的收敛性:
站: (2)sin2+sin2g++sin 6 6 +… 6 (3) (4)1 +( i d+y 解:1》原级数是由级数三和 逐项相减所得的, 3n 而级数2与 n=l 三3分别是公比q=及g=写的等比收敛级数,故原级数收 (2)解法一un=sm", 6 因 2sf%=c0-的.e接 12 12 放2s合-2o2片-oms231=os骨-cw2n, 12 12 12 即Sn= 2n+1 由于极限limcos 2n+1 -π不存在,所以极 π 12 2sin 2 限imsn不存在,故原级数发散. 解法二利用级数收敛的必要条件:由im4,=limsin”不存在知,原级数发散. 6 (3) 己知级数2是由调和级数】各项乘以后得到的,因而它发散,又 2n 级数, (-是公比q=-号的等比收敛级数,但原级数+(-骨]却发 0 散. 香则若领数2六+(-收敛。则云-三品+写1-(}多收 敛,矛盾 1 (4)由于limu=lim +0,利用级数收敛的必要条件知原级数发散。 →00 刀→0 1 (1+-) e 5.选择题: (1)1imu,≠0是级数2u,发散的(). 3
3 (1) 1 1 1 ( ) 2 3 n n n ; (2) 2 sin sin sin 6 6 6 n ; (3) 1 1 8 [ ( ) ] 2 9 n n n ; (4) 2 3 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 2 3 n n . 解:(1)原级数是由级数 1 2 1 n n 和 1 3 1 n n 逐项相减所得的, 而级数 1 2 1 n n 与 1 3 1 n n 分别是公比 1 2 q 及 1 3 q 的等比收敛级数,故原级数收敛. (2)解法一 6 sin n un , 因 (2 1) (2 1) 2sin cos cos 12 12 12 n n n u 故 1 (2 1) (2 1) (2 1) 2sin [cos cos ] cos cos 12 12 12 12 12 n n k k k n s , 即 1 2 1 cos cos 12 12 2sin 12 n n s ,由于极限 2 1 lim cos n 12 n 不存在,所以极 限 lim n n s 不存在,故原级数发散. 解法二 利用级数收敛的必要条件:由 lim lim sin 6 n n n n u 不存在知,原级数发散. (3) 已知级数 1 1 n 2n 是由调和级数 1 1 n n 各项乘以 1 2 后得到的,因而它发散,又 级数, 1 8 ( ) 9 n n 是公比 8 9 q 的等比收敛级数,但原级数 1 1 8 [ ( ) ] 2 9 n n n 却发 散.否则若级数 1 1 8 [ ( ) ] 2 9 n n n 收敛,则 1 1 n 2n 1 1 8 8 [ ( ) ] ( ) 2 9 9 n n n n 必收 敛,矛盾. (4) 由于 1 1 lim lim 0 1 e (1 ) n n n n u n ,利用级数收敛的必要条件知原级数发散. 5.选择题: (1) lim 0 n n u 是级数 1 n n u 发散的( ).
(A)充分而非必要条件: (B)必要而非充分条件: (C)充分必要条件; (D)既非充分也非必要条件, (2)若级数24收敛, 则下列命题正确的是( )0其中- (A)lims =0; (B)lim s存在; (C)lims可能不存在; (D)数列{s}为单调数列. (3)设级数∑山,为收敛级数, 则下列级数中发散的为() n=1 (A)】 (B) c2+2: u弱 (其中4n≠0). 解:(1)(A): (2)(B): (3)(D)
4 ( A )充分而非必要条件; ( B )必要而非充分条件; ( C )充分必要条件; ( D )既非充分也非必要条件. (2)若级数 1 n n u 收敛,则下列命题正确的是( )(其中 1 n n i i s u ). ( A ) lim 0 n n s ; ( B ) lim n n s 存在; ( C ) lim n n s 可能不存在; ( D )数列 sn 为单调数列. (3)设级数 1 n n u 为收敛级数,则下列级数中发散的为( ). ( A ) 1 2 n n u ; ( B ) 1 1 ( ) 2 n n n u ; ( C ) 1 2 n n u ; ( D ) 1 2 n n u (其中 0 n u ). 解:(1)(A); (2)(B); (3)(D)