《高等数学》课程教学资源（习题选解）第二章 导数与微分

习题选解（第二章） 习题2-1 1.举例说明函数的可导性和连续性之间的关系. 解：若函数f(x)在点x,可导，则函数f(x)在点x。一定连续，但连续不一定可导. 例如：f(x)=ln(x+1)在x=0处可导，它在x=0处必连续：而f(x)=x在 x=0处连续，但它在x=0处不可导. 2.作直线运动的质点，它所经过的路程与时间的关系为S=312+1,求1=2时质点运动速度. 解：质点在1=2时的运动速度为V(2)= ds dt2 =612=12. 3.设y=5x2,根据导数的定义求dy dx=-1 d 5x2-5 解： f(x)-f(-D)=lim x-x-(-1) x→-1x+1 =5lim(x-1)=-10 x→-1 4.用导数的定义证明(cosx)'=-sinx. -2sin(x+ △X .△x 解：(cosx)y=li cos(x+△r)-cosX=lim 2 △r0 △x △r→0 △x △x sin △ lim-sin(x+ 2=-sinx· △x-→0 2) 2 5.已知f(xo)存在，求下列极限 (1) limf。+2A)-fx). (2) lim o-Ax)-f(%o) △r→0 △x △x+0 △x (3) limh)-f(xo-h) h→0 h 解：(1) lim ,+2x0-f=21imf,+2A)-f）=2f). Ar>0 △x △r0 2△x (2) imf。-A)-f）-limf。-A-fo）=-f'x): △r0 △x △x>0 -△x 1

1 习题选解（第二章） 习 题 2－1 1．举例说明函数的可导性和连续性之间的关系． 解：若函数 f x( ) 在点 0 x 可导，则函数 f x( ) 在点 0 x 一定连续，但连续不一定可导． 例如： f x x ( ) ln( 1)   在 x  0 处可导，它在 x  0 处必连续；而 f x x ( )  在 x  0 处连续，但它在 x  0 处不可导． 2．作直线运动的质点，它所经过的路程与时间的关系为 3 1 2 s  t  ，求 t  2 时质点运动速度． 解：质点在 t  2 时的运动速度为 2 2 (2) 6 12 t t ds v t dt      ． 3．设 2 y  5x ，根据导数的定义求 d 1 d x x y ． 解： 2 1 1 1 ( ) ( 1) 5 5 lim lim ( 1) 1 x x x dy f x f x dx x x             1 5 lim( 1) 10 x x      4．用导数的定义证明 (cos x)  sin x ． 解： 0 0 2sin( )sin cos( ) cos 2 2 (cos ) lim lim x x x x x x x x x     x x             0 sin 2 lim sin( ) sin 2 2 x x x x x   x         ． 5．已知 ( ) 0 f  x 存在，求下列极限 （1） x f x x f x x       ( 2 ) ( ) lim 0 0 0 ； （2） x f x x f x x       ( ) ( ) lim 0 0 0 ； （3） h f x h f x h h ( ) ( ) lim 0 0 0     ． 解：（1） x f x x f x x       ( 2 ) ( ) lim 0 0 0  0 0 0 0 ( 2 ) ( ) 2 lim 2 ( ) x 2 f x x f x f x   x       ． （2） 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) x x f x x f x f x x f x f x     x x              ；

(3) lim f(xo+h)-f(xo-h) h->0 h =limf+h)-f）_f-)-f=2f'(x,). h h 6.求下列函数的导数 (1)y=x3: (2)y=Vx: (3)y=x18: 1 1 (5)y= (6) y=诉 解：0y=5x:ay=(ey=V,6y=18 ④y=y=- 2√Fy=xy=-2 ⑥y=y=y=2x 10 7.讨论下列函数在x=0处的连续性和可导性. 1 x2 sin x≠0 (1)y=sinx: (2) f(x)= 0 x=0 解：(1)因为limf(x)=limsinx=0=f(0),所以f(x)在x=0处连续： r->0 又因为 f(0)=lim f(x)-f(0) =lim -sinx-0 =-lim sinx=-1 x→-0 x-0 x-0 :)lim()()=lim sin x-0 lim sinx =1 x→+0 x-0 x→+0 x→+0X 所以f(x)在x=0处不可导. 2)因为mf)=1msim!-0=f0.所以付)在x=0经连续 r30 x-0 X 又因为 x2 sin--0 ()=lim))-lim=lim xsin10 x->0 x-0 x-0 x→0 X 所以f(x)在x=0处可导，且f'(0)=0。 2

2 （3） 0 0 0 ( ) ( ) lim h f x h f x h  h    0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim[ ] h f x h f x f x h f x  h h       0  2 ( ) f x  ． 6．求下列函数的导数 （1） 5 y  x ； （2） 3 y  x ； （3） 1.8 y  x ； （4） x y 1  ； （5） 2 1 x y  ； （6） 2 5 3 x x y x   ． 解： (1) 4 y   5x ； (2) 3 2 3 ( ) 2 y x x     ； (3) 0.8 y  1.8x ； (4) 1 2 3 1 ( ) 2 y x x       ； (5) 2 3 2 y x( ) x       ； (6) 1 3 7 3 2 5 2 10 10 7 ( ) ( ) 10 y x x x          ． 7．讨论下列函数在 x  0 处的连续性和可导性． （1） y  sin x ； （2）         0 0 0 1 sin ( ) 2 x x x x f x ． 解：（1）因为 lim ( ) lim sin 0 (0) 0 0 f x x f x x      ，所以 f (x) 在 x  0 处连续； 又因为 1 sin lim sin 0 lim 0 ( ) (0) (0) lim 0 0 0                x x x x x f x f f x x x 1 sin lim sin 0 lim 0 ( ) (0) (0) lim 0 0 0             x x x x x f x f f x x x 所以 f (x) 在 x  0 处不可导． （2）因为 0 (0) 1 lim ( ) lim sin 2 0 0 f x f x x x x      ， 所以 f (x) 在 x  0 处连续； 又因为 0 1 lim sin 0 1 sin lim 0 ( ) (0) (0) lim 0 2 0 0            x x x x x x f x f f x x x 所以 f (x) 在 x  0 处可导，且 f (0)  0

8.设g(x)=(x-1)2(x-2),试用导数的定义讨论g(x)在x。=1,x1=2处的可导性. 解，因为1imS)-80=lim (x-1)2(x-2) =0,即g(x)在x。=1处的可导且 x-1 x-1 x-1 g'0=0.又g2(2)=m）-82=mx--2 =lim-(x-1)2=-1, x-2 x→2 x-2 x-2- g2)=lim83)-82-1im r2 x-2 r→2 x-1x-2=1im-12=1,由于 x-2 I- 84(2)≠g(2),所以g(x)在x1=2处不可导. 9.如果f(x)为偶函数，且f'(0)存在，用导数定义证明f"(0)=0. 证：因为f(x)为偶函数，故f(-x)=f(x),又f"(0)存在，于是令u=一x,有 )-lim-(im)-()-lim()). l-)0 -1 -l 所以，2f'(0)=0,即f"(0)=0 10。求曲线y=上上点(2，处的切线方程和法线方程。 “儿：礼子故线，上2类的方为 11 y-2 =--(x-2),即4y+x-4=0, 法线方程为y-2=4(x-2),即2y-8x+15=0. 11,设某产品生产x个单位时的总收入为R(x)=200x-0.01x2,求生产100个产品时的总收 入、平均收入及当生产第100个产品时，总收入的变化率. 解：生产100个产品时的总收入为R(100)=20000-100=19900 平均收入为R10)=1900=19 100 R'(x)=200-0.02x 生产第100个产品时，总收入的变化率为R'(100)=200-2=198. 3

3 8．设 ( ) ( 1) ( 2) 2 g x  x  x  ，试用导数的定义讨论 g(x) 在 1 2 x0  ，x1  处的可导性． 解：因为 2 1 1 ( 1) ( 2) ( ) (1) lim lim 0 x x 1 1 g x g x x   x x        ，即 g(x) 在 0 x 1 处的可导且 g (1) 0  ．又 2 2 2 2 2 ( ) (2) ( 1) 2 (2) lim lim lim ( 1) 1 x x x 2 2 g x g x x g x x x                     ， 2 2 2 2 2 ( ) (2) ( 1) 2 (2) lim lim lim( 1) 1 x x x 2 2 g x g x x g x x x                   ，由于 g g (2) (2)      ，所以 g x( ) 在 1 x  2 处不可导． 9．如果 f x( ) 为偶函数，且 f (0) 存在，用导数定义证明 f (0) 0  ． 证：因为 f x( ) 为偶函数，故 f x f x ( ) ( )   ，又 f (0) 存在，于是令 u x  ，有 0 0 0 ( ) (0) ( ) (0) ( ) (0) (0) lim lim lim (0) x u u f x f f u f f u f f f    x u u              ， 所以， 2 (0) 0 f   ，即 f (0) 0  10．求曲线 1 y x  上点 1 (2, ) 2 处的切线方程和法线方程． 解： 2 2 2 1 1 4 x x y x        ，故曲线 1 y x  上点 1 (2, ) 2 处的切线方程为 1 1 ( 2) 2 4 y x     ，即 4 4 0 y x    ， 法线方程为 1 4( 2) 2 y x    ，即 2 8 15 0 y x    ． 11．设某产品生产 x 个单位时的总收入为 2 R(x)  200 x  0.01x ，求生产100个产品时的总收 入、平均收入及当生产第100个产品时，总收入的变化率． 解：生产 100 个产品时的总收入为 R(100)  20000 100  19900 平均收入为 199 100 19900 R(100)   R(x)  200  0.02x 生产第 100 个产品时，总收入的变化率为 R(100)  200  2  198 ．

12.证明：双曲线xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形面积都等于2a2. a 正明：由y=a，得y=了Ws、《 设P(x,yo)为曲线上任意一点，则过P点的切线方程为 y-%=--x） 0 又因为x%=a2,令y=0,得 X=山十X,=0十x)=2x0为切线在x轴的酸距： 3 令x=0,得y=y0+ a=2y。为切线在y轴的截距，所以彻线与两坐标轴构成的三角形缅积为 Xo S=)2xl2=2xw=2a2 习题2-2 1.求下列函数的导数 y=3x4-2+5; (1) (2)y=3e+2lnx: (3)y=(x-a)(x-b): (4) y=5F-1: X x2+1 (5) y= (6)y=(x2+1)lnx: x (7) y=cosx+x2sinx (8)y=xtanx-cotx: (9)y=x2+2r+22: Inx (10)y= (11)y=e(3x2-x+1): 10-1 (12)y= 10+1 (13)y= coSx+sinx 2x 14)y=1-x (15)y= 2cscx 1+x2: (16)y=xsinx.Inx (17)y=e*(cosx+xsinx): (18)y=xtanx-2secx

4 12．证明：双曲线 2 xy  a 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形面积都等于 2 2a ． 证明：由 2 xy  a ，得 2 2 2 , x a y x a y     设 ( , ) 0 0 0 P x y 为曲线上任意一点，则过 P0 点的切线方程为 ( ) 2 0 0 2 0 x x x a y  y    又因为 2 0 0 x y  a ，令 y  0 ，得 2 0 0 0 0 0 2 0 x x x 2x a x y x      为切线在 x 轴的截距； 令 x  0 ，得 0 0 2 0 2y x a y  y   为切线在 y 轴的截距 。所以切线与两坐标轴构成的三角形面积为 2 2 0 2 0 2 0 0 2 2 1 S  x  y  x y  a 习 题 2－2 1．求下列函数的导数 （1） 5 1 3 2 4    x y x ； （2） y e x x  3  2ln ； （3） y  (x  a)(x  b) ； （4） x y x 1  5  ； （5） x x y 1 2   ； （6） y (x 1)ln x 2   ； （7） y cos x x sin x 2   ； （8） y  x tan x  cot x ； （9） 2 2   2  2 x y x ； （10） x x y ln  ； （11） (3 1) 2 y  e x  x  x ； （12） 10 1 10 1    x x y ； （13） x x x y cos  sin  ； （14） 2 1 2 x x y   ； （15） 2 1 2csc x x y   ； （16） y  x sin x  ln x ； （17） y e (cos x x sin x) x   ； （18） y  x tan x  2sec x ；

(19)y= cotx (20) 1+ (21)y=xe-x+shxchx (22)y=e-*shx. 解：山y=12+ 2 2 (2)y=3e*+二： (3)y=(x-b)+(x-a）=2x-a-b: y=5+1 2+7 31 (⑤)y=三F- v 1 (6)y=2xlnx+x+-: X (7)y'=-sinx+2xsinx+x2cosx=(2x-1)sinx+x2cosx: (8)y=tanx+xsec2x+csc2x: (9)y'=2x+2xln2: 00y (11)y'=e'(6x-1)+e*(3x2-x+1)=xe*(3x+5): 2)y=10.ln1010+)-10.n1010-）_2-10.1n10 (10*+1)2 (10*+1)2 (13)-sinx+cosx)-(cosx+sinx)_(x-1)cosx-(x+1)sinx 中3 14)y=201-)+2x2x_21+) (1-x2)2 1-x2)2 (15)y=-2csex(1+x)cotx-2x.2cscx_2cscx(+x)cotx+2x] 1+x2)2 (1+x2)2 (16)y'=sinxInx+xcosxInx+sinx (17)y'=e*(cosx+xsinx)+e*(-sinx+xcosx+sinx)=e*(cosx+xsinx+xcosx): (18)y'=tanx+xsec2x-2secxtanx (19)y'= c2生 (1+V)2 2W1+√F)2 51-x)+2G 016-25y. 1+x 三一 1-x 1-x 1-x)2 Vx(1-x)2 J

5 （19） x x y   1 cot ； （20） x x y     1 1 1 1 ； （21） y x e shxchx x   3  ； （22） y e shx x  ． 解： (1) 3 3 2 y x 12 x    ； (2) x y e x 2   3  ； (3) y x b x a x a b         ( ) ( ) 2 ； (4) 2 5 1 2 y x x    ； (5) 3 2 1 2 3 x y   x  ； (6) x y x x x 1   2 ln   ； (7) 2 2 y x x x x x x x x x         sin 2 sin cos (2 1)sin cos ； (8) y x x x x 2 2   tan  sec  csc ； (9) 2 2 ln 2 x y   x  ； (10) 2 1 ln x x y    ； (11) 2 (6 1) (3 1) (3 5) x x x y e x e x x xe x         ； (12) 2 2 10 ln10(10 1) 10 ln10(10 1) 2 10 ln10 (10 1) (10 1) x x x x x x x y             ； (13) 2 2 x x x x x x x x x ( sin cos ) (cos sin ) ( 1)cos ( 1)sin y x x           ； (14) 2 2 2 2 2 2 2(1 ) 2 2 2(1 ) (1 ) (1 ) x x x x y x x          ； (15) 2 2 2 2 2 2 2csc (1 )cot 2 2csc 2csc [(1 )cot 2 ] (1 ) (1 ) x x x x x x x x x y x x             ； (16) y   sin x ln x  x cos x ln x  sin x ； (17) (cos sin ) ( sin cos sin ) (cos sin cos ) x x x y e x x x e x x x x e x x x x x           ； (18) y tan x xsec x 2sec x tan x 2     ； (19) 2 2 2 2 1 csc (1 ) cot 2 2 (1 )csc cot (1 ) 2 (1 ) x x x x x x x x y x x x            ； (20) 1 1 2 1 1 x x x y x x         ， 2 2 1 (1 ) 2 1 (1 ) (1 ) x x x x y x x x           ；

(21)y'=3x2e-*-xe*+sh'x+ch'x: (22)y'=e *chx-e*shx =e*(chx-shx): 2四2 -,求∫'(0)和f'(2) 6号0房@贵 3.求曲线y=-3x+6 在横坐标x=3处的法线方程。 解：y=-3x+6-1-3+6 x x2 y=312 x2x,3)= 3121 233=- 当x=3时，y=1-1 +6-2 93 所以所求法线方程为：y 2=9x-3) 即 27x-3y-79=0 4.求曲线y=x一e上的一点，使该点处的切线与x轴平行. 解：y'=1-e,令y'=0即1-e=0解之得x=0。把x=0代入 y=x-e得y=-l,所以所求曲线上的点为(0，-l)。 5.求曲线y=xlnx的平行于直线2x-2y+3=0的法线方程. 解：因为y=lnx+1且直线2x-2y+3=0的斜率为1，所以y'=-1即 lnx+1=-1解之得x=e2,把x=e2代入y=xlnx得y=-2e2。故 所求的法线方程为y+2e2=x-e2, 6以初连度o竖直上抛的物体，其上升商度h与时间（的关系是h=以一28，求 (1)该物体的速度v(t): (2)该物体达到最高点的时刻. 解：)=h()=%一81，物体达到最高点时0=%一8=0，即=. 习题2-3 1.求下列函数的导数 6

6 (21) y x e x e sh x ch x 2 x 3 x 2 2   3      ； (22) ( ) x x x y e chx e shx e chx shx         ； 2．设 5 5 3 ( ) 2 x x f x    ，求 f (0) 和 f (2) . 解： 2 3 2 ( ) (5 ) 5 x f x x     ， 25 3 f (0)  ， 15 17 f (2)  3．求曲线 2 2 3 6 x x x y    在横坐标 x  3 处的法线方程． 解： 2 2 2 3 6 1 3 6 x x x x x y       2 3 3 12 x x y    ， 9 1 3 12 3 3 (3) 2 3 y      当 x  3 时， 3 2 9 6 y  11  ， 所以所求法线方程为： 9( 3) 3 2 y   x  即 27x  3y  79  0 4．求曲线 x y  x  e 上的一点，使该点处的切线与 x 轴平行． 解： x y   1 e ，令 y   0 即 1  0 x e 解之得 x  0 。把 x  0 代入 x y  x  e 得 y  1 ，所以所求曲线上的点为 (0,1) 。 5．求曲线 y  x ln x 的平行于直线 2x  2y  3  0 的法线方程． 解：因为 y   ln x 1 且直线 2x  2y  3  0 的斜率为 1， 所以 y   1 即 ln x 1  1 解之得 2 x  e ，把 2 x  e 代入 y  x ln x 得 2 2  y   e 。故 所求的法线方程为 2 2 2   y  e  x  e ， 6．以初速度 0 v 竖直上抛的物体，其上升高度 h 与时间 t 的关系是 2 0 1 2 h v t gt   ，求： （1）该物体的速度 vt() ； （2）该物体达到最高点的时刻． 解： 0 v t h t v gt ( ) ( )     ，物体达到最高点时 0 v t v gt ( ) 0    ，即 0 0 v t g  ． 习 题 2－3 1．求下列函数的导数

(1)y=(3x+2)2: (2)y=sin(3-2x): 3)y=e: (4)y=(arctan x)2: (5)y=arcsin e*; (6)y=log,(x2+x+1): (7)y=(4+c0sx)5: (8)y=tan- (9)y=ln(1+x2): (10)y=arcsin sinx (4)y=V4-x2: 1 (12)y= Vx2+1 (13) y=In(x-Vx2-1): x+1 (14) y=arctan x-1 (15)y=x2 Inx: (16) y=sec2x: 1+x 1 (17) y=VI-x (18)y=arccot-: (19)y=e-3x sin 4x (20)y=In(cscx-cot x): (21)y=erm: (22)y=ln[lnnx月： (23)y= V1+x-1-x (24)y=arcsin 1-x 1+x+v1-x 1+x 解：()y=6(3x+2): (2)y=-2c0s(3-2x): 3)y=-2xe: (4)y= 2arctanx 1+x2 (⑤)y=- P -e2x 2x+1 (6)y= (x2+x+1)ln2 (7)y=3(4+cosx)5-(-sinx)=-/3sinx(4+cosx) >

7 （1） 2 y  (3x  2) ； （2） y  sin(3 2x) ； （3） 2 x y e   ； （4） 2 y  (arctan x) ； （5） x y  arcsin e ； （6） 2 2 y x x    log ( 1) ； （7） 3 y  (4  cos x) ； （8） x y 1  tan ； （9） ln(1 ) 2 y   x ； （10） y  arcsin sin x ； （11） 2 y  4  x ； （12） 1 1 2   x y ； （13） ln( 1) 2 y  x  x  ； （14） 1 1 arctan    x x y ； （15） y x ln x 2  ； （16） y x 2  sec ； （17） x x y    1 1 ； （18） x y arc 1  cot ； （19） y e x x sin 4 3  ； （20） y  ln(csc x  cot x) ； （21） x y e arctan  ； （22） y  ln[ln(ln x)]； （23） x x x x y        1 1 1 1 ； （24） x x y    1 1 arcsin ． 解： (1) y x    6(3 2) ； (2) y x     2cos(3 2 ) ； (3) 2 2 x y xe     ； (4) 2 2arctan 1 x y x    ； (5) 2 1 x x e y e    ； (6) 2 2 1 ( 1)ln 2 x y x x      ； (7) 3 1 3 1 y x x x x 3(4 cos ) ( sin ) 3sin (4 cos )          ； (8) 2 2 1 1 y sec x x    ；

(9)y'= 2x 1+x2: 1 cosx 1 COSx (10)y'= 1-sinx 2vsinx 2 sinx-sinx -2x (11)y'= 2W√4-x2 V4-x2 2x 2)y--1 X 2Vx2+13Vx2+1) 1- 3)y=三 =-I 、V2-1-x。 x-Vx2-1V2-1(x-Vx2-)）V2- (14)y= 1(x-1)-(x+1) -2 1+于 (x-1)2(x-1+(x+12=1+x只 (15)y=2xlnx: (16)y'=2sec2xtanx: 0)y= 1-x1-x+1+x。-x1-x V1+x1-x)2V1+x1-x21+x1-x)2 18)y'=- 1 1 1 1+ 1+x (-2)= (19)y'=e3*(4cos4x)-3e 3*sin4x=e3(4cos4x-3sin4x): (20)-cscxcotx+x-cscx(cscx-cotx)x cscx-cotx cscx-cotx (21)y=esctm 11 earctan 1+x 2x 2x(1+x) (22)y'= 1 xInxIn(Inx) (23)y 1+x-21-x+1-x-1--7 1+x-1+x x x2 y=M-x -1---上 x2 x21-x2x21-x2 8

8 ( 9 ) 2 2 1 x y x    ； (10 ) 2 1 cos 1 cos 1 sin 2 sin 2 sin sin x x y x x x x      ； (11 ) 2 2 2 2 4 4 x x y x x        ； (12 ) 2 3 2 3 1 2 2 ( 1) ( 1) x x y x x        ； (13 ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1( 1) 1 x x x x y x x x x x x                ； (14 ) 2 2 2 2 2 1 ( 1) ( 1) 2 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 ( ) 1 x x y x x x x x x                  ； (15 ) y x x x    2 ln ； (16 ) 2 y x x   2sec tan ； (17 ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) 1 (1 ) (1 )(1 ) x x x x x y x x x x x x                 ； (18 ) 2 2 2 1 1 1 ( ) 1 1 1 y x x x        ； (19 ) 3 3 3 (4cos4 ) 3 sin 4 (4cos4 3sin 4 ) x x x y e x e x e x x         ； (20 ) 2 csc cot csc csc (csc cot ) csc csc cot csc cot x x x x x x y x x x x x          ； (21 ) arctan arctan 1 1 1 2 2 (1 ) x x e y e x x x x       ； (22 ) 1 ln ln(ln ) y x x x   ； (23 ) 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 x x x x y x x x             ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x y x x x x x                

1-1+x2 1 x2V1-x21+1-x2)V1-x2+1-x2 111+x-1-x-1+x1 1+x -1 24y=-x2V1-x h-1+x (1+x)2 2x V1-x1+x)2 V1+x 11+x1 1 = V21-x`+=(1+xV2x1-为 2.设(x)可导，求下列函数的导数 (1)y=f(x2): 解：y=2xyf"(x2): (2)y=f(Nx+1): 解：y= +n, (3)y=ln[1+f2(x)]: 解：y=2f)) 1+f(x) (4)y=f(sin2x)+f(cos2x): y'=2sinxcosxf'(sin2x)-2cosxsin xf'(cos2x)=sin 2x[f(sin2x)-f'(cos2x)]: (5)y=f(e)e(). y'-ef"(e")e"+f(e")f"(x)e=e[e"f(e")+f(e")f(x)]. 3.求曲线y=e2x+x2过(0，l)点的切线方程和法线方程， 解：y=2e2x+2x,y儿c0=2,故曲线y=e2x+x2过(0，l)点的切线方程为 y-1=2x吹y-2x=1:法线方能y-1=-X发2y+x=2 2 1 4.设质点作直线运动，其运动规律为s=e2sin(o1+p)()、p为常数)，求1=一时质点的运 动速度。 解，0=0)=ecs(o1+)-2sin(or+p.将1=代入，每 习题2-4 9

9 2 2 2 2 1 1 1 (1 1 ) x x x x       2 2 1 1 1 x x     ； (24) 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 (1 ) 1 (1 ) 1 1 1 x x x x y x x x x x x x x                        2 1 1 1 2 1 (1 ) x x x x         (1 ) 2 (1 ) 1  x x  x  ； 2．设 f (x) 可导，求下列函数的导数 （1） 2 y f x  ( ) ； 解： 2 y xf x    2 ( ) ； （2） y  f ( x 1) ； 解： 1 ( 1) 2 y f x x     ； （3） ln[1 ( )] 2 y   f x ； 解： 2 2 ( ) ( ) 1 ( ) f x f x y f x     ； （4） (sin ) (cos ) 2 2 y  f x  f x ； 解： 2 2 2 2 y x xf x x xf x x f x f x          2sin cos (sin ) 2cos sin (cos ) sin 2 [ (sin ) (cos )]； （5） ( ) ( ) x f x y  f e e ． 解 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] f x x x x f x f x x x x y e f e e f e f x e e e f e f e f x          ． 3．求曲线 2 2 y e x x   过 (0，1) 点的切线方程和法线方程． 解： 2 2 2 x y e x    ， 0 2 x y    ，故曲线 2 2 y e x x   过 (0，1) 点的切线方程为 y x  1 2 或 y  2x 1 ；法线方程 1 1 2 y x    或 2y  x  2 ． 4．设质点作直线运动，其运动规律为 sin( ) 2     s e t t （ 、 为常数），求 2 1 t  时质点的运 动速度． 解： 2 ( ) ( ) [ cos( ) 2sin( )] t v t s t e t t             ，将 2 1 t  代入，得 1 1 2 1 ( ) cos( ) sin( ) 2 2 2 v e e          习 题 2－4

1.求下列函数的二阶导数， (1)y=2x2+lnx: 保y=4x+女=4 (2)y=C0s3x: 解：y=3cos2x(-sinx),y"=6 cosxsin2x-3cos3x: (3)y=e-*cosx: :y'=e*(-cosx-sinx),y"=ex(sinx-cosx+sinx+cosx)=2e-x sinx: (4)y=ln(1-x2): 20-22器 1-x2)2(1-x27 (5)y=x2er: 解：y=e(2x+x2),y'=e*(2x+x2+2x+2)=e*(x2+4x+2) (6)y=xarctanx; 1+·少+1+2-22 解：y=arctanx+,x 2 1+ 2(1+x2)21+x2)2 (7)y=Sinx x 解：y=XCOSX-sinx=cosx_sinx, 3 x x2 y=-sinx_cosx2sinx_cosx_sinx 2sinx 2cosx x3 x2 x3 (8)y=x√2x-3: -+行点a司 11x。3x-6 (9)y=a2-x: 解，y=- a 10

10 1．求下列函数的二阶导数． （1） y 2x ln x 2   ； 解： 1 y x4 x    ， 2 1 y 4 x    ； （2） y x 3  cos ； 解： 2 y x x    3cos ( sin ) ， y   x x x 2 3 6cos sin  3cos ； （3） y e x x cos   ； 解： ( cos sin ) x y e x x      ， (sin cos sin ) 2 sin x x y e x x x cosx e x         ； （4） ln(1 ) 2 y   x ； 解： 2 2 1 x y x     ， 2 2 2 2 2 2 2 2(1 ) 4 2 2 (1 ) (1 ) x x x y x x           ； （5） x y x e 2  ； 解： 2 (2 ) x y e x x    ， 2 2 (2 2 2) ( 4 2) x x y e x x x e x x         （6） y  x arctan x ； 解： 2 arctan 1 x y x x     ， 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 (1 ) (1 ) x x y x x x          （7） x x y sin  ； 解： 2 2 x x x x x cos sin cos sin y x x x      ， 2 3 2 3 2 sin cos 2sin cos sin 2sin 2cos x x x x x x x y x x x x x x x           （8） y  x 2x  3 ； 解： 2 3 2 3 x y x x      ， 3 3 1 1 3 6 2 3 2 3 (2 3) (2 3) x x y x x x x           ； （9） 2 2 y  a  x ； 解： 2 2 x y a x     ， 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 1 ( ) ( ) x a y a x a x a x          ；