《高等数学》课程教学资源（习题选解）第十一章 常微分方程

第十一章微分方程 习题11-1 1.说出下列各微分方程的阶数： (1) 十 (2)Le-R+9=0: dx xdy-y=0: dx d2 dt C (3)xy"+2y"+x2y=0; (4)(x+y)dy+(7x-6y)=0: (5)y"+2y+y=sinx (6) dpp=sin0. de 解：(1)一阶：(2)二阶；(3)三阶；(4)一阶；(5)二阶；(6)一阶. 2.指出下列各函数是否为所给微分方程的解： (1)xy=2y,y=5x2; (2)y"+y=0,y=3sinx-4cosx, 1 (3)y”=x2+y2,y= (4)y +y=ey=Csmx+Cosx+e 解：(1).y=10x,代入方程得x10x=25x2 ∴.y=5x2是方程的解. (2).y=3cosx+4sinx,y=-3sinx+4cosx,代入方程，得 y"+y=(-3sinx+4cosx)+(3sinx-4cosx)=0 ∴.y=3sinx-4cosx是方程的解. 8):y=少-是代入方程，得 是+村 ∴y=是方程的解。 Y 4来=Ceos-Csmx+杂=-Gm-Gosx+,代入方程， d 得 Csin-CCCo

1 第十一章 微分方程 习题 11－1 1．说出下列各微分方程的阶数： （1） 2 0 dy dy x y dx dx          ； （2） 2 2 0 d Q dQ Q L R dt dt C    ； （3） 2 xy y x y      2 0 ； （4） ( )d (7 6 ) 0 x y y x y dx     ； （5） y y y x      2 sin ； （6） d 2 sin . d       解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶． 2．指出下列各函数是否为所给微分方程的解： （1） 2 xy y y x    2 , 5 ; （2） y y y x x     0 , 3sin 4cos ; （3） 2 2 1 y x y y , ; x     （4） 2 2 1 2 1 , sin cos . 2 d y x x y e y C x C x e dx      解：（1）∵ y x  10 ，代入方程得 2 x x x    10 2 5 ∴ 2 y x  5 是方程的解． （2）∵ y x x y x x        3cos 4sin , 3sin 4cos ，代入方程，得 y y x x x x         3sin 4cos 3sin 4cos 0    ∴ 3sin 4cos y x x   是方程的解． （3）∵ 2 3 1 2 y y, x x      ，代入方程，得 2 3 2 2 1 x x x   ∴ 1 y x  是方程的解． （4）∵ 2 1 2 1 2 2 1 1 cos sin , sin cos 2 2 dy d y x x C x C x e C x C x e dx dx        ，代入方程， 得 1 2 1 sin cos 2 x C x C x e           1 2 1 sin cos 2 x x C x C x e e         

∴y=C sinx+-C,COSx+-e是方程的解. 3.在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解： (1)(x-2y)y=2x-y,x2-xy+y2=C (2)(y-x)y+xy2+y-2y=0,y=ln(y) 解：(1)在二元方程x2-xy+y2=C的两边同时对x求导，得 2x-y-xy/+2yy=0 移项后即得 (x-2y)y'=2x-y 故二元方程x2-xy+y2=C所确定的函数是所给微分方程的解. (2)在y)x两边对x求导，得y=10+y)=+兰，即y=y x y xy-x y=y(y=)-0y+y---y-y+y=-y2+2y2-2 (y-x)2 (y-x)2 (xy-x)月 代入微分方程，得 y--+22y+x -2y=0 (y-x) xy-xxy-x 故y=lny)所确定的函数是所给微分方程的解. 4.在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件： (1)x2-y+y2=C2,yl0=l (2)y=(C+C2x)e*,ylmo=0,y'lmo=1; (3)x=C cosot+C2sinot,xl=1,xl=0=0. 解：(1)ylk=o=1 ∴.C2=02-0+12=1 即 x2-xy+y2=1 (2)y=(C+Cx+C2)e，由ylo=0,yLo=1,得 C=0 C+C2=1

2 ∴ 1 2 1 sin cos 2 x y C x C x e    是方程的解． 3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解： （1）   2 2 x y y x y x xy y C       2 2 , ;  （2）   2 xy x y xy yy y y xy           2 0 , ln( ). 解：（1）在二元方程 2 2 x xy y C    的两边同时对 x 求导，得 2 2 0 x y xy yy       移项后即得  x y y x y    2 2   故二元方程 2 2 x xy y C    所确定的函数是所给微分方程的解． （2）在 ln( ) y xy  两边对 x 求导，得 1 1 ( ) y y y xy xy x y        ，即 y y xy x              2 3 2 2 2 3 y xy x y y xy 1 xy y y xy xy xy 2 2 y xy x xy x xy x                     ， 代入微分方程，得     3 2 2 3 2 2 2 ( ) 2 0 xy xy xy y y y xy x x y xy x xy x xy x xy x                 故 ln( ) y xy  所确定的函数是所给微分方程的解． 4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件： （1） 2 2 2 0 , | 1; x x xy y C y      （2）  1 2 0 0  , | 0 , | 1; x x x y C C x e y y        （3） 1 2 0 0 cos sin , | 1 , | . t t x C t C t x x           解：（1）∵ 0 | 1 x y   ∴ 2 2 2 C =0 0 1 1    即 2 2 x xy y   1 （2）  1 2 2  x y C C x C e     ，由 0 0 | 0 , | 1 x x y y      ，得 1 1 2 0 1 C C C      

..C=0,C,=1,y=xe (3)x'=-C@sin@t+C2 cosot，由xleo=1,x'lo=o,得 C,=1 C20=0 .'C=1,C,=1,x=cosot+sinot 5.写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程： (1)曲线在点(x,y)处切线的斜率等于该点横坐标的平方： (2)曲线上点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q,且线段PQ被y轴平分. 解：(1)设曲线的方程为y=x),则曲线上点(xy)处切线的斜率为y,由条 件知y=x2，此即为所求曲线的微分方程. (2)设曲线的方程为y=),则曲线上点Px,)处法线的斜率为- 由条件知线段PQ中点的横坐标为0，所以Q的坐标为(-x,0),则有 y=0=- x+x y' 即所求曲线的微分方程为 y+2x=0. 习题11一2 1.求下列微分方程的通解： (1)xy'-yIny=0, (2)3x2+5x-5y=0: (3)-x2y=V-y: (4)y'-xy=ay2+y)方 (5)cosxsin ydx+sinxcos ydy=0, (6)ydx+(x2-4x)dy=0 解：(1)原方程可写为x少-yny=0,分离变量，得血=上在 dx yiny x 两端积分，得 ∫= 即 nlny=lnx+lnC=nCx,亦即lny=Cx,故通解为y=eo 3

3 ∴ 1 2 C C =0 , =1， x y xe  （3） 1 2 x C t C t         sin cos ，由 0 0 | 1 , | t t x x       ，得 1 2 C 1 C        ∴ 1 2 C C =1 , =1， x t t   cos sin   5．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程： （1）曲线在点 ( , ) x y 处切线的斜率等于该点横坐标的平方； （2）曲线上点 P x y ( , ) 处的法线与 x 轴的交点为 Q ，且线段 PQ 被 y 轴平分. 解：（1）设曲线的方程为 y y x  ( ) ，则曲线上点 ( , ) x y 处切线的斜率为 y  ，由条 件知 2 y x   ，此即为所求曲线的微分方程. （2）设曲线的方程为 y y x  ( ) ，则曲线上点 P x y ( , ) 处法线的斜率为 1 y   ， 由条件知线段 PQ 中点的横坐标为 0，所以 Q 的坐标为 ( ,0) x ，则有 y 0 1 x x y      即所求曲线的微分方程为 yy x   2 0． 习题 11－2 1．求下列微分方程的通解： （1） xy y y    ln 0; （2） 2 3 5 5 0; x x y    （3） 2 2 1 1 ;    x y y  （4） 2 y xy a y y       ( ); （5） cos sin d sin cos d 0; x y x x y y   （6） 2 y x x x y d ( 4 )d 0.    解：（1）原方程可写为 ln 0 dy x y y dx   ，分离变量，得 d 1 , ln y dx y y x  两端积分，得 1 1 ln dy dx y y x    即 lnln ln ln ln y x C Cx    ，亦即 ln y Cx  ，故通解为 Cx y e 

(2)原方程可写为少=x+2,两端分离变量并积分，得∫山=小x+本， d 故适解为)+rC （3)原方程可写为=-严 ，两端分离变量并积分，得 dx-x 故通解为arcsiny=arcsinx+C, (4)原方程可写为少=， ，两端分离变量并积分， dx 1-x-a 故通解为二=alnx+a-+C, (5)分离变量，得 C0坐dy=-cx,两端积分，得 sin y sinx 「cosydy=-os~dx’ sin y nsin=-Insinx+C,Insinx.sin=C,故通解为sinx siny=C,其中 C=±e为任意常数. (6)分离变量，得， dx 4x-x2 y 积分，得 = 即1nr-1n(4x+)①F,故通解为(x-4)y=Cx. 2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1)y=e2x-',ylx=o=0 (2)c0 xsin)吨=cos)ysin.xdx,y儿o-=平 (3)y'sinx=ylny,yle (4)cst+l+e)sn=0儿w-圣 (5)xdy+2)dx=0,yl=2=y (6)(y2+x)d+(x2y-y)dy=0,yl=o=1. 解：(1)分离变量并积分得，∫ed=erk,即通解为e=e产+C, 由条件儿=0，得1=+C,C=之放满足初始条件的特解。=e+)

4 （2）原方程可写为 3 2 5 dy x x dx   ，两端分离变量并积分，得 3 2 ( ) 5 dy x x dx     ， 故通解为 1 1 2 3 2 5 y x x C    . （ 3 ）原方程可写为 2 2 1 1 dy y dx x    , 两端分离变量并 积分，得 2 2 1 1 1 1 dy dx y x      ，故通解为 arcsin arcsin y x C   . （4）原方程可写为 2 1 dy ay dx x a    ,两端分离变量并积分，得 2 1 1 a dy dx y x a      ， 故通解为 1 a x a C ln 1 y     . （5）分离变量，得 cos cos d d sin sin y x y x y x   ，两端积分，得 cos cos d d sin sin y x y x y x     ， 1 ln sin ln sin y x C    ， 1 ln sin sin x y C   ，故通解为 sin sin x y C ，其中 C eC1  为任意常数. （6）分离变量，得， 2 4 dx dy x x y   积分，得 1 1 4 4 dy dx x x y            ， 即 4 ln ln(4 ) ln ln x x C y     ，故通解为 4 ( 4) x y Cx   ． 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1） 2 0 , | 0; x y x y e y      （2） 0 cos sin d cos sin d , | ; 4 x x y y y x x y     （3） 2 sin ln , | ; x y x y y y e      （4） 0 cos d (1 )sin d 0, | ; 4 x x y x e y y y        （5） d 2 d 0, | 1; x 2 x y y x y     （6） 2 2 0 ( + )d ( )d 0, | 1. x xy x x x y y y y      解：（1）分离变量并积分得， y x2 e dy e dx   ，即通解为 1 2 2 y x e e C   ， 由条件 0 | 0 x y   ，得 1 1 2  C， 1 2 C  ，故满足初始条件的特解 1 2 ( 1) 2 y x e e   ．

(2)分离变量并积分得， ∫siny dy=∫sinx dx, cos y Jcosx 即 -ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC,亦即通解为cosy=Ccosx, 由条件y儿=T,得cosT=Ccos0,C= 4 4 5 故满足初始条件的特解cosx-√2cosy=0. (3)分离变量并积分得， 「ldy=∫csch, vInv 即In(n)=ln(tan+lnC,亦即通解为lny=Ctan, 由条件列产e,得ne=Cm子，C=l,故清足初始条件的特解n)=tm (4)分离变量并积分得，一∫am心=ek,通解为1+)sy=C, 由条件y儿=牙，得C=2万，故满足初始条件的特解1+e)secy=25. (5)分离变量并积分得， ∫=一，通解为y=C 由条件y儿-2=1，得C=4,故满足初始条件的特解x2y=4. (6)分离变量并积分得， ∫=可本，通解为-r+)=C 由条件yl=0=1,得C=2,故满足初始条件的特解(1-x2)1+y2)=2. 3.求下列齐次方程的通解： (1)y-y-y-x2=0 (2)x y (3)(x2+y2)dx-dy=0 (4)(x3+y3)dr-3xy2dy=0: (5)y=e+y 60+2+2e-}=0 解：1①原方程可写为安士+)-1，令u=士，则y=m, 少=u+xd J

5 （2）分离变量并积分得， sin sin d d cos cos y x y x y x    ， 即     ln(cos ) ln(cos ) ln y x C， 亦即通解为 cos cos y C x  ， 由条件 0 | 4 x y    ，得 cos cos0 4 C   ， 1 2 C  ， 故满足初始条件的特解 cos 2cos 0 x y   ． （3）分离变量并积分得， 1 csc ln dy xdx y y    ， 即 ln(ln ) ln(tan ) ln 2 x y C   ，亦即通解为 ln tan 2 x y C ， 由条件 2 | x y e    ，得 ln tan 4 e C   ，C 1 ，故满足初始条件的特解 ln tan 2 x y  ． （4）分离变量并积分得， tan 1 x x e ydy dx e      ，通解为 (1 )sec x   e y C， 由条件 0 | 4 x y    ，得 C  2 2 ，故满足初始条件的特解 (1 )sec 2 2 x   e y ． （5）分离变量并积分得， 1 2 dy dx y x     ，通解为 2 x y C 由条件 2 | 1 x y   ，得 C  4 ，故满足初始条件的特解 2 x y  4． （6）分离变量并积分得， 2 2 1 1 y x dy dx y x      ，通解为 2 2 (1 )(1 )    x y C 由条件 0 | 1 x y   ，得 C  2 ，故满足初始条件的特解 2 2 (1 )(1 ) 2    x y ． 3．求下列齐次方程的通解： （1） 2 2 xy y y x      0; （2） d ln ; d y y x y x x  （3） 2 2 ( )d d 0; x y x xy y    （4） 3 3 2 ( )d 3 d 0; x y x xy y    （5） ; y x y y e x    （6） (1 2 )d 2 1 d 0. x x y y x e x e y y           解：（1）原方程可写为 2 1 dy y y dx x x          ，令 y u x  ，则 y ux  , d d , d d y u u x x x  

代入原方程，得u+xd=u+-i,即】d=上， dx √2-1x 积分得ln(u+V-l)=lnx+lnC,即u+V-l=Cx, 亦即 兰图1-G,原方我的通解y+广-子-G心. (2)原方程可写为少=n上，令u=,则y=,业=u+x dx xx dx dx xd=ulnu,分离变量积分得 1 代入原方程，得u+ dx u(Inu-1) 即ln(lm)d(,亦即n上=Cr+l,原方程的通解1n上=Cx+1. (3)原方程可写为业-上+产，令u=士，则y=, du dx x y X dy=u+x x 代入原方程，得+x du =u+二，分离变量积分得 dx Juh- 即d=2nl+C,将u=上代入上式得原方程的通解y=x(2n+C. (4)原方程可写为少=上+ 的茶+苏，令=士，则y=m, y≥u+X du X x dx 代入原方程，得“+：出-智+证，分离变最积分得 即-2=hx4G,亦即21号脚C=,将=代入上式 X 得原方程的通解x-2y3=Cx. (5)令u=,则y=,中=y=u+x业，代入原方程，得u+x dx dx =etu, dx 即-e“=lnCx,将u=上代入上式，得原方程的通解e左+lnCx=0. X-12e' (6)原方程可写为 y dx ,令u=X,则x=uy =uty du y dy d 1+2e' 代入原方程，得u+y d_2e(u-),分离变量积分得 +2c=-， r1+2e" dy 1+2e" 6

6 代入原方程，得 d 2 1 d u u x u u x     ，即 2 1 1 1 du dx u x   ， 积分得 2 ln( 1) ln ln u u x C     ，即 2 u u Cx   1 ， 亦即 2 1 y y Cx x x          ，原方程的通解 2 2 2 y y x Cx    ． （2）原方程可写为 d ln d y y y x x x  ，令 y u x  ，则 y ux  , d d , d d y u u x x x   代入原方程，得 d ln d u u x u u x   ，分离变量积分得   1 1 ln 1 du dx u u x     ， 即 ln(ln 1) ln ln u x C    ，亦即 ln 1 y Cx x   ，原方程的通解 ln 1 y Cx x   ． （3）原方程可写为 d d y y x x x y   ，令 y u x  ，则 y ux  , d d , d d y u u x x x   代入原方程，得 d 1 d u u x u x u    ，分离变量积分得 1 udu dx x    ， 即 2 u x C   2ln ，，将 y u x  代入上式得原方程的通解 2 2 y x x C   (2ln )． （4）原方程可写为 2 2 d d 3 3 y y x x x y   ，令 y u x  ，则 y ux  , d d , d d y u u x x x   代入原方程，得 2 d 1 d 3 3 u u u x x u    ，分离变量积分得 2 3 3 1 1 2 u du dx u x     ， 即 3 1 1 ln(1 2 ) ln 2     u x C ，亦即 3 2 2 1 C u x   ，其中 C eC1  ，将 y u x  代入上式， 得原方程的通解 3 3 x y Cx   2 ． （5）令 y u x  ，则 y ux  , d d , d d y u y u x x x     代入原方程，得 d d u u u x e u x    ， 即 ln u e Cx    ，将 y u x  代入上式，得原方程的通解 ln 0 y x e Cx    ． （6）原方程可写为 1 2 d d 1 2 x y x y x e x y y e          ，令 x u y  ，则 x u y  , d d , d d x u u y y y   代入原方程，得 d 2 ( 1) dy 1 2 u u u e u u y e     ，分离变量积分得 1 2 1 2 u u e du dy u e y      

即nu+2e)=-ny+lnC,亦即u+2e)=C,将u=上代入上式，得原方程 的通解x+2e'=C 4.求下列线性微分方程的通解： 1)业+y=e; (2)'+y=x2+3x+2: dx (3)y+ytanx=sin2x, 0胎*30 (5)ylnydx+(x-Iny)dy=0, (6)0y2-6x y+2y=0, d 解：(1)原方程是P(x)=1,Q(x)=e的一阶非齐次线性方程.由通解公式 得原方程的通解为y=eee卢+C=eee达+c=e(+C), (2)原方程可化为y+=x+3+2,它是P)=},Q)=x+3+2的一阶非 齐次线性方程·由通解公式得原方程的通解为 =e[〔++到k+c-6e+3+2+c]-写++2+ (3)原方程是P(x)=tanx,Q(x)=sin2x的一阶非齐次线性方程.由通解公式得 原方程的通解为 =m2xe+小ow =Ccosx-2cos2x. (4)原方程是P(=3,Q0)=2的一阶非齐次线性方程.由通解公式得 p-e2eao写}-e2+)-子Se 即原方程的通解为3p=2+Ce38 (5)原方程可化为而y它是PU)=0)=的一阶非齐次线 dy yIny y 1 性方程.由通解公式得 x=e 扁e向引n海引引 即原方程的通解为2xlny=lny+C

7 即 ln( 2 ) ln ln u u e y C     ，亦即 ( 2 ) u y u e C   ，将 y u x  代入上式，得原方程 的通解 2 x y x ye C   4．求下列线性微分方程的通解： （1） d ; d y x y e x    （2） 2 xy y x x     3 2; （3） y y x x   tan sin2 ; （4） d 3 2; d      （5） y y x x y y ln d ( ln )d 0;    （6） 2 d ( 6 ) 2 0. d y y x y x    解：（1）原方程是 P x( ) 1 ， ( ) x Q x e  的一阶非齐次线性方程.由通解公式 得原方程的通解为     dx dx x x x x x y e e e dx C e e e dx C e x C                        ． （2）原方程可化为 1 2 y y x 3 x x     ，它是 1 P x( ) x  ， 2 Q x x ( ) 3 x    的一阶非 齐 次 线 性 方 程 . 由 通 解 公 式 得 原 方 程 的 通 解 为   1 1 2 1 2 3 3 2 dx dx x x y e x e dx C x x dx C x x                               1 3 2 2 3 2 C x x x     ； （3）原方程是 P x x ( ) tan  ，Q x x ( ) sin2  的一阶非齐次线性方程.由通解公式得 原方程的通解为 tan tan sin 2 2 sin 2 cos cos 2cos cos xdx xdx x y e x e dx C x dx C C x x x                         ． （4）原方程是 P( ) 3   ， Q( ) 2   的一阶非齐次线性方程.由通解公式得 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 d d C C C e e d e e dx e                                  ， 即原方程的通解为 3 3 2 Ce      ． （5）原方程可化为 1 = ln dx x dy y y y  ，它是 1 ( ) ln P y y y  ， 1 Q y( ) y  的一阶非齐次线 性方程.由通解公式得 1 1 ln ln 1 1 1 1 1 2 ln ln 2 ln 2 ln 2 2 dy dy y y y y C C C x e e dy ydy y y y y y                                  ， 即原方程的通解为 2 2 ln ln x y y C   ．

《6)原方程可化为务-子是=一子Q0)=名的价事齐次线 性方程.由通解公式得 =e[引+c=(3+小+ 5.求下列微分方程满足所给初始条件的特解： ()邮-ytmx=sex儿w=0(2)+士=4，川a=2: dx dx x +ycotx=5e,y川n=4,(4)+3y=8y儿o=2 (3) dx dx 解：(1)由公式可得一阶线性微分方程通解为 y=ee[scxek+c]ocxcos+Cr+q 由ylo=0得C=0,故特解为y= coSx (2)由公式可得一阶线性微分方程通解为 y-4片+c+c 由y儿=2得C=1,故特解为y=x+ (3)由公式可得一阶线性微分方程通解为 edscf5e+C] siinin-ec] 由4得C=1,故特解为y=s-5e+门即snx+5e=l (4)由公式可得一阶线性微分方程通解为 y-ofSdcdc]c 由儿w=2得C=-子故特解为y号4-e)。 6.求下列伯努利方程的通解：

8 （6）原方程可化为 3 = 2 dx x y dy y   ，它是 3 P y( ) y   ， ( ) 2 y Q y   的一阶非齐次线 性方程.由通解公式得 3 3 3 2 3 3 1 1 2 2 2 dy dy y y y y x e e dy C y dy C y Cy y                                    ． 5．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1） 0 d tan sec , | 0; d x y y x x y x     （2） 2 1 d 4 , | 2 ; d x y y x y x x    （3） cos 2 d cot 5 , | 4; d x x y y x e y x       （4） 0 d 3 8, | 2 d x y y y x     . 解：（1）由公式可得一阶线性微分方程通解为   tan tan 1 1 sec sec cos cos cos xdx xdx y e x e dx C x xdx C x C x x                        由 0 | 0 x y   得 C  0 ，故特解为 cos x y x  . （2）由公式可得一阶线性微分方程通解为   2 2 4 3 1 1 4 4 dx dx x x C y e x e dx C x xdx C x C x x x x                          由 y x1 2 得 C 1 ，故特解为 3 1 y x x   . （3） 由公式可得一阶线性微分方程通解为 cot cot cos lnsin cos lnsin cos cos 5 5 1 1 5 sin 5 sin sin xdx xdx x x x x x x y e e e dx C e e e dx C e xdx C e C x x                                      由 2 4 x y    得 C 1 ，故特解为 1 cos 5 1 sin x y e x        ，即 cos sin 5 1 x y x e   . （4）由公式可得一阶线性微分方程通解为 3 3 3 3 3 8 8 8 3 dx dx x x x y e e dx C e e dx C Ce                         由 0 | 2 x y   得 2 3 C  ，故特解为 2 3 (4 ) 3 x y e   . 6．求下列伯努利方程的通解：

1)业+y=y(cosx-sinx (2)少+2y=2xy d dx 解：方程两边同除以y,得y2少+y=cosx-sinx dx 令：=子少广忠-去则原方程变为东-：=5nx-s,故 dx dx dx :=e[smx-cos-es+C=e[fsinx-∫osxe产h+c =e(-e*sinx-+∫cosx·edk-∫cosx.e-dx-+C=Ce'-sinx 将：=L代入上式，得原方程通解为上=Ce-sinx.上=-sinx+Ce: (2)方程两边同除以少，得y少+22=2x dx 令：方少出=疾则原方程变为央扣4，故 dx 2 dx d -4 +C4+c] =e[++c-c++ 将：=代入上式，得原方程通解为户=Ce++ 7.用适合的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解： 1)业=x+ (2) 业=1+ dx dx x-y (3)y+y=ynx+lny方 (4)y=e2x+-l-2. 解：(1)令u=x+y,则少=血-1，从而原方程可化为血=1+，分离 dxdx d 变量积分得本=高，即=nC.将=+y代入，得原方程的通解 为x=arctan((x+y)+C,即y=-x+tanx+C): (2)令u=x-y,则少=1-，从而原方程可化为-=上，分离变量积分得 dx u ∫=-一小k,即x+i=(将u=x-y代入，得原方程的通解为 (x-y)2=-2x+C(其中C=2C). 9

9 （1） d 2 (cos sin ); d y y y x x x    （2） d 3 3 2 2 . d y xy x y x   解：方程两边同除以 2 y ，得 2 1 d cos sin d y y y x x x      令 1 z y  ， 2 d d y dz y x dx    ，则原方程变为 sin cos dz z x x dx    ，故   (sin cos ) sin cos sin cos cos sin dx dx x x x x x x x x z e x x e dx C e x e dx x e dx C e e x x e dx x e dx C Ce x                                          将 1 z y  代入上式，得原方程通解为 1 sin x Ce x y   . 1 sin x x Ce y    ； （2）方程两边同除以 3 y ，得 3 2 3 d 2 2 d y y xy x x     令 2 1 z y  ， 3 d 1 d 2 y dz y x dx    ，则原方程变为 3 4 4 dz xz x dx    ，故 2 2 2 2 2 4 4 3 2 3 2 2 2 2 2 2 ( 4 ) ( 4 ) 1 1 ( ) 2 2 xdx xdx x x x x x z e x e dx C e x e dx C e x e C Ce x                                      将 2 1 z y  代入上式，得原方程通解为 2 2 2 2 1 2 x y Ce x     ． 7．用适合的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解： （1） d 2 ( ) ; d y x y x   （2） d 1 1; d y x x y    （3） xy y y x y    (ln ln ); （4） 2 1 2 x y y e      ． 解：（1）令 u x y   ，则 1 dy du dx dx   ，从而原方程可化为 2 1 du u dx   ，分离 变量积分得 2 1 du dx u     ，即 x u C   arctan . 将 u x y   代入，得原方程的通解 为 x x y C    arctan( ) ，即 y x x C     tan( )． （2）令 u x y   ，则 1 dy du dx dx   ，从而原方程可化为 du 1 dx u   ，分离变量积分得 udu dx     ， 即 2 1 1 2 x u C   . 将 u x y   代 入 ， 得 原 方 程 的 通 解 为 2 ( ) 2 x y x C     （其中 C C  2 1 ）．

r （3)令u=y，则y=“,少= -u 一，从而原方程可化为 x’d ☆兰兰-兰n,分离变最积分相停-∫出。即hx+hC=0h叭， x dx x xX 亦即u=e，将u=y代入，得原方程的通解为y=上e。 (4)令u=2x+y-1,则安=y-政-2，从而原方程可化为 =e”,分离变 d dx 量积分得∫c=∫e"u,即e"=C-x.将u=2x+y-1代入，得原方程的通解为 y=1-2x-In/C-x. 8.判别下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解： (1)(xcosy+cosx)dy+(siny-ysinx)dx=0;(2)(x2-y)dx-xdy=0: (3)(x2+y2)dk+xy=0: (4)(1+e29)dp+2pe2d0=0. 解：(1)这里Px,y)=siny-ysinx,Qx,y)=xcos y+cosx, =cosy-sinx= 卫，所以(1)是全微分方程.取x=0,%=0, 根据公式x,川=Px本+∫O,有 x)=(siny-ysinx)本+少=xsiny+ycOSx 于是全微分方程的通解为xsin y-+ycoSx=C. (2)这里P心x,)=r-yQx,)=-x,于是有P=-1=0,所以(2)是全微 分方程.取=0，人=0，根据公式x,川=P(x达+∫G,,有 n=-k+0=号可 于是全微分方程的道解为=号+C。 (3)这里P(x,y)=x2+y2,Q(x,y)=y, oP=2y. 2=y,显然 aP 80 丰 ay O 所以(3)不是全微分方程. 10

10 （ 3 ） 令 u xy  ， 则 2 , du x u u dy dx y x dx x    ， 从 而 原 方 程 可 化 为 2 1 ( ) ln du u u u x u x dx x x x    ，分离变量积分得 ln dx du x u u    ，即 ln ln ln(ln ) x C u   ， 亦即 Cx u e  ，将 u xy  代入，得原方程的通解为 1 Cx y e x  ． （4）令 u x y    2 1 ，则 2 dy du y dx dx     ，从而原方程可化为 du u e dx  ，分离变 量积分得 u dx e du     ，即 u e C x    . 将 u x y    2 1 代入，得原方程的通解为 y x C x     1 2 ln ． 8．判别下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解： （1） ( cos cos )d (sin sin )d 0 x y x y y y x x     ； （2） 2 ( ) 0 x y dx xdy    ； （3） 2 2 ( ) 0 x y dx xydy    ； （4） 2 2 (1 ) 2 0 e d e d         ． 解：（1）这里 P x y y y x Q x y x y x ( , ) sin sin , ( , ) cos cos     ， cos sin P Q y x y x        ，所以（1）是全微分方程．取 x y 0 0   0 , 0， 根据公式 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) x y x y u x y P x y dx Q x y dy     ，有 0 0 ( , ) (sin sin ) sin cos x y u x y y y x dx dy x y y x        于是全微分方程的通解为 x y y x C sin cos   ．. （2）这里 2 P x y x y Q x y x ( , ) , ( , )     ,于是有 1 P Q y x        ，所以（2）是全微 分方程．取 x y 0 0   0 , 0 ，根据公式 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) x y x y u x y P x y dx Q x y dy     ，有 3 2 0 0 ( , ) ( ) 0 3 x y x u x y x y dx dy xy        于是全微分方程的通解为 3 3 x xy C   ． （3）这里 2 2 P x y x y Q x y xy ( , ) , ( , ) ,    2 P y y    ， Q y x    ，显然 P Q y x      ， 所以（3）不是全微分方程．