银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第四章 不定积分

银川能源学院《高签激学》救朱 第四童不定积分 章节名称： 第四章 不定积分 教学内容与学时分配： 1、不定积分的概念及性质 2、第一换元积分法 3、第二换元积分法 4、分部积分法 5、有理函数和可化为有理函数的积分 教学目的和要求： 1、理解原函数概念、不定积分的概念。 2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与 分部积分法。 3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 重点： 1、不定积分的概念： 2、不定积分的性质及基本公式： 3、换元积分法与分部积分法。 难点： 1、 换元积分法： 2、 分部积分法： 3、三角函数有理式的积分。 教学过程（教学环节设计与方法）： 1、引入课题： 2、概念和性质定理的推导与证明： 3、例题讲解； 4、课程小结。 教学手段： 讲练结合，实例引入，使学生能够更好的理解概念和性质 作业： 课后部分习题 第1页

银川能源学院《高等数学》教案 第四章 不定积分 第 1 页 章节名称： 第四章 不定积分 教学内容与学时分配： 1、不定积分的概念及性质 2、第一换元积分法 3、第二换元积分法 4、分部积分法 5、有理函数和可化为有理函数的积分 教学目的和要求： 1、理解原函数概念、不定积分的概念。 2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与 分部积分法。 3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 重点： 1、 不定积分的概念； 2、 不定积分的性质及基本公式； 3、换元积分法与分部积分法。 难点： 1、 换元积分法； 2、 分部积分法； 3、 三角函数有理式的积分。 教学过程（教学环节设计与方法）： 1、引入课题； 2、概念和性质定理的推导与证明； 3、例题讲解； 4、课程小结。 教学手段： 讲练结合，实例引入，使学生能够更好的理解概念和性质 作业： 课后部分习题

银川能源学院《高签数学》教宋 第四童不定积分 第一节不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 定义1如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数为x),即对任一xEL,都 有 F'(x)fx)dF(x)nx)dx, 那么函数F(x)就称为x)(或x)dx)在区间I上的原函数 例如因为(sinx'=cosx,所以sinx是cosx的原函数. 又如当x∈(1，+o)时， 因为y=太，所以G是的原函数 提问： cosx和2还有其它原函数吗？ 原函数存在定理如果函数x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导 函数F(x),使对任一xeI都有 F'(x)fx). 简单地说就是：连续函数一定有原函数 两点说明： 第一，如果函数x)在区间I上有原函数F(x),那么x)就有无限多个原函数 ,Fx)+C都是x)的原函数，其中C是任意常数. 第二，x)的任意两个原函数之间只差一个常数，即如果D(x)和Fx)都是x) 的原函数，则 (x)-F(x)=C(C为某个常数)】 定义2在区间I上，函数x)的带有任意常数项的原函数称为x)(或 x)d)在区间I上的不定积分，记作 ∫fx). 其中记号「称为积分号，x)称为被积函数，x)称为被积表达式，x称为积分变 量 根据定义，如果Fx)是x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是x) 的不定积分，即 f(x)dx=F(x)+C. 因而不定积分∫fx)d可以表示x)的任意一个原函数， 例L.因为sinx是cosx的原函数，所以 「cosxdx=sinx+C. 因为斥是，的原函数，所以 2vx c. 第2页

银川能源学院《高等数学》教案 第四章 不定积分 第 2 页 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 定义 1 如果在区间 I 上 可导函数 F(x)的导函数为 f(x) 即对任一 xI 都 有 F (x)f(x)或 dF(x)f(x)dx 那么函数 F(x)就称为 f(x)(或 f(x)dx)在区间 I 上的原函数 例如 因为(sin x)cos x  所以 sin x 是 cos x 的原函数 又如当 x (1 )时 因为 x x 2 1 ( )   所以 x 是 2 x 1 的原函数 提问: cos x 和 2 x 1 还有其它原函数吗？ 原函数存在定理 如果函数 f(x)在区间 I 上连续 那么在区间 I 上存在可导 函数 F(x) 使对任一 x I 都有 F (x)f(x) 简单地说就是 连续函数一定有原函数 两点说明 第一 如果函数 f(x)在区间 I 上有原函数 F(x) 那么 f(x)就有无限多个原函数  F(x)C 都是 f(x)的原函数 其中 C 是任意常数 第二 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数 即如果(x)和 F(x)都是 f(x) 的原函数 则 (x)F(x)C (C 为某个常数) 定义 2 在区间 I 上 函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或 f(x)dx )在区间 I 上的不定积分 记作  f (x)dx  其中记号  称为积分号 f(x)称为被积函数 f(x)dx 称为被积表达式 x 称为积分变 量 根据定义 如果 F(x)是 f(x)在区间 I 上的一个原函数 那么 F(x)C 就是 f(x) 的不定积分 即  f (x)dx  F(x)C  因而不定积分 f (x)dx  可以表示 f(x)的任意一个原函数 例 1因为 sin x 是 cos x 的原函数所以  cosxdx sin xC  因为 x 是 2 x 1 的原函数所以 dx x C x    2 1 

银川能源学院《高签激学》救朱 第四童不定积分 例2.求函数f)=的不定积分。 解：当0时，ny= dx+C0) 当x0时，n-xr=←= }=←4C6rx0, 合并上面两式，得到 本=nlx+C(r0, 例3设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的 两倍，求此曲线的方程 解设所求的曲线方程为=x),按题设，曲线上任一点(x,y)处的切线斜率 为y=f'(x)=2x, 即x)是2x的一个原函数. 因为 ∫2xdk=x2+C, 故必有某个常数C使x)=x2+C,即曲线方程为=x+C. 因所求曲线通过点(1,2)，故 2=1+C,C=1. 于是所求曲线方程为=x2+1. 积分曲线：函数x)的原函数的图形称为x)的积分曲线， 从不定积分的定义，即可知下述关系： &e=f, 或 dl[f(x)dx]=f(x)dx 又由于Fx)是F'(x)的原函数，所以 ∫F(xd=Fx)+C, 或记作 「dFx)=Fx)+C. 由此可见，微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算 以记号」表示)是互逆的.当记号∫与d连在一起时，或者抵消，或者抵消后 差一个常数 二、基本积分表 (I)「kd=kx+C(k是常数)， 第3页

银川能源学院《高等数学》教案 第四章 不定积分 第 3 页 例 2. 求函数 x f x 1 ( ) 的不定积分 解：当 x>0 时(ln x) x 1   dx x C x    ln 1 (x>0) 当 x<0 时[ln(x)] x x 1 ( 1) 1       dx x C x     ln( ) 1 (x<0) 合并上面两式得到 dx x C x    ln| | 1 (x0) 例 3 设曲线通过点(1 2) 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的 两倍 求此曲线的方程 解 设所求的曲线方程为 yf(x) 按题设 曲线上任一点(x y)处的切线斜率 为 yf (x)2x, , 即 f(x)是 2x 的一个原函数 因为  xdx  x C 2 2  故必有某个常数 C 使 f(x)x 2 C 即曲线方程为 yx 2 C 因所求曲线通过点(1 2) 故 21C C1 于是所求曲线方程为 yx 2 1 积分曲线 函数 f(x)的原函数的图形称为 f(x)的积分曲线 从不定积分的定义 即可知下述关系  [ f (x)dx] f (x) dx d  或  d[ f (x)dx] f (x)dx  又由于 F(x)是 F (x)的原函数 所以 F(x)dx  F(x)C  或记作  dF(x) F(x)C  由此可见 微分运算（以记号 d 表示）与求不定积分的运算（简称积分运算  以记号  表示）是互逆的 当记号  与 d 连在一起时 或者抵消 或者抵消后 差一个常数 二、基本积分表 (1)  kdx kxC (k 是常数)

银川能源学院《高签激学》教宋 第四章不定积分 2=+C, (3)2本=nx+C, (4)e*dx=e+C, (5a=a+C, (6)cosxdx=sinx+C, (7)[sinxdx=-cosx+C, 8jed-=j小soc2xh=im+C, (9川sz=jeseh=-cotx+C, （Io川1ah=n+C, a安 dx=arcsinx+C, (12)[secxtanxdx=secx+C, (13)[cscxcotdx=-cscx+C, (14)[shxdx=chx+C, (15)[chxdx=shx+C. 例4-r=克C=2这+C 例5jrG=j=+C=x是+C=rF+C. 例6磨= +C=-3x3+C=-3 +C 3 三、不定积分的性质 性质1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即 JIf()+g(x)x=[f(x)dx+Jg(x)dx. 这是因为，ffx+gx=fxd+gx=x+gx) 性质2求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外 第4页

银川能源学院《高等数学》教案 第四章 不定积分 第 4 页 (2) x dx x C     1 1  1    (3) dx x C x    ln | | 1  (4) e dx e C x x     (5) C a a a dx x x    ln  (6)  cosxdx sin xC  (7)  sin xdx  cosxC  (8) dx xdx x C x      sec tan cos 1 2 2  (9) dx xdx x C x      csc cot sin 1 2 2  (10) dx x C x     arctan 1 1 2  (11) dx x C x     arcsin 1 1 2  (12)  secxtan xdx secxC  (13)  cscxcotdx  cscxC  (14)  sh x dx ch xC  (15)  ch x dx sh xC  例 4    dx x dx x 3 3 1 C x x C       2 3 1 2 1 3 1 1  例 5   x xdx  x 2dx 5 2 x C   1 2 5 1 2 5 1  x 2 C 7 7 2  x x C 3 7 2  例 6     x dx x x dx 3 4 3 C x       1 3 4 1 3 4  x C  3 1 3 C x    3 3  三、不定积分的性质 性质 1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和 即    [f (x)g(x)]dx  f (x)dx g(x)dx  这是因为, [ ( )  ( ) ] [ ( ) ][ ( ) ]     f x dx g x dx f x dx g x dx f(x)g(x). 性质 2 求不定积分时 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外

银川能源学院《高签数学》教朱 第四童不定积分 面来，即 ∫d=fx)d(k是常数，k0) 例7.∫2-5=x2-5r2d =Jxdx-f5xidx =Jxdx-5Jxdx 例8少-3-32h x2 -可-3j+可时=2r-3x+3hl++C 例9∫(er-3cosx)dr=∫erd-3cos.xdk=e'-3sinx+C. 例10j2rae-c-器c 例1等达 j+以=arctan.+hlhc. 例12+时区 1+x2 -l+=-j+可 -号-x+t+C. 例13∫tan2xdt=jsec2x-l)k=∫sec2xdk-∫c tanx-x+C. 例14jsn2艺-2=0-cos达 -0+C 例15∫n=4sk=4cox+C. 2 第5页

银川能源学院《高等数学》教案 第四章 不定积分 第 5 页 面来 即   kf(x)dx  k f (x)dx (k 是常数 k 0) 例 7.   x(x 5)dx (x 5x 2 )dx 1 2 5 2    x dx x 2dx 1 2 5 5    x dx x 2dx 1 2 5 5  x   x 2  C 3 2 7 3 2 5 7 2  例 8 dx x x dx x x x x x dx x x ) 3 1 ( 3 ( 1) 3 3 1 2 2 3 2 2 3             C x dx x x x x dx x  xdx dx           1 3 3ln| | 2 1 1 1 3 3 2 2  例 9    e  x dx  e dx xdx x x ( 3cos ) 3 cos e x C x  3sin   例 10 C e C e e e dx e dx x x x x x x         1 ln 2 2 ln(2 ) (2 ) 2 (2 )  例 11 dx x x dx x x x x dx x x x x ) 1 1 1 ( (1 ) (1 ) (1 ) 1 2 2 2 2 2              dx x x C x dx x        arctan ln| | 1 1 1 2  例 12 dx x x x dx x x dx x x              2 2 2 2 4 2 4 1 ( 1)( 1) 1 1 1 1 1             dx x dx x dx dx x x 2 2 2 2 1 1 ) 1 1 ( 1  x xarctanxC 3 1 3  例 13     xdx x dx xdx dx 2 2 2 tan (sec 1) sec  tan x  x  C  例 14        dx x dx x dx x (1 cos ) 2 1 2 1 cos 2 sin2  (x  sin x)  C 2 1  例 15 dx x C x dx x x      4cot sin 1 4 2 cos 2 sin 1 2 2 2 

银川能源学院《高签激学》救朱 第四章不定积分 第二节 换元积分法 一、第一类换元法 设)有原函数F(0),=x),且(x)可微，那么，根据复合函数微分法，有 d Fldx)l=d F(u)=F'(u)du=F'[dx)]ddx)=F'ldx)lo(x)dx, 所以 F'Tax)]o(x)dx=F'ldx)]dox)=F'(u)d u=d F(u)=d Fld(x)] 因此 JFTo(x)p'(x)dx=FTo(x)lo(x) =∫F'(u)du=∫dFw=∫dFLo(x]=Fo(x+C. 即 ∫fIox)p'(xdt=ff几oax)ho)=可fu)dlw=oa =[FW+Cqu==F凡Lx+C. 定理1设w具有原函数，=x)可导，则有换元公式 ∫f几ox)p'(x)d=f几opx)ox)=Jfu)du=Fu)+C=FLox]+C· 被积表达式中的dk可当作变量x的微分来对待，从而微分等式p(x)d=du 可以应用到被积表达式中. 在求积分∫gx)时，如果函数gw)可以化为gx)上几x]px)的形式，那么 ∫gx)dk=j/几o(x)o'x)dk-可fu)dtlu=p 例1.∫2cos2xdr=∫cos2x(2x)d=∫cos2xd(2x) =[cosudu=sinu+C=sin 2x+C. 例2J3+2=32x3+2=32x46+2 ==nl+c=n3+2*c 例3.∫2xedk=∫e(x2ydk=∫edex2)=e'd =e"+C=e+C. 例4小i-平=i-2yd=-2 =d0-r）=-w=+c =0-2+c 例5jmh==-c0 dh=-ilul+C =-In]cos x+C. 第6页

银川能源学院《高等数学》教案 第四章 不定积分 第 6 页 第二节 换元积分法 一、第一类换元法 设 f(u)有原函数 F(u) u(x) 且(x)可微 那么 根据复合函数微分法 有 d F[(x) ]d F(u)F (u)d u F [(x) ] d(x) F [(x) ](x)d x  所以 F [(x)](x)dx F [(x)] d(x) F (u)d u d F(u)d F[(x) ] 因此   F[(x)](x)dx  F[(x)]d(x)    F(u)du  dF(u)   dF[(x)] F[(x)]C  即 ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ] u du u x f x x dx f x d x f           [F(u) C] u  (x)  F[(x)]C 定理 1 设 f(u)具有原函数 u(x)可导 则有换元公式    f[(x)](x)dx f[(x)]d(x) f (u)duF(u)CF[(x)]C  被积表达式中的 dx 可当作变量 x 的微分来对待 从而微分等式(x)dx du 可以应用到被积表达式中 在求积分  g(x)dx 时 如果函数 g(x)可以化为 g(x) f[(x)](x)的形式 那么  g(x)dx ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ] u du u x f x x dx f          例 1.   2cos2xdx  cos2x(2x)dx   cos2xd(2x)   cosudu sinuC sin 2xC  例 2. x dx x dx x        (3 2 ) 3 2 1 2 1 3 2 1     (3 2 ) 3 2 1 2 1 d x x dx u C u     ln | | 2 1 1 2 1  ln |32x|C 2 1  例 3.     xe dx  e x dx  e d x  e du x x x u 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 e C e C u x     2  例 4. 2 2 2 2 2 1 2 1 1 ( ) 2 1 x 1 x dx x x dx x dx            x d x   u du  u2 C 3 2 1 2 2 3 1 2 1 1 (1 ) 2 1   x 2 C 3 2 (1 ) 3 1  例 5.      d x x dx x x xdx cos cos 1 cos sin tan du u C u     ln | | 1 ln|cos x|C 

银川能源学院《高签激学》教塞 第四童不定积分 即∫tanxdx=-InIcosx+C. 类似地可得∫cotxdx=Inlsinx+C. 熟练之后，变量代换就不必再写出了. 例6= a21+(2 =1f1 dx=larctan+C. a1+(x a a 即 a a 例7.jeh=afeh倍=ash后+C. aa 例8.当a>0时， a 即 ∫=csmC 例9j。=。=aa的 -2alx-adx-a-JxtaM-al =mlr-a-hx+a-c=六nlc. 'xta 即 xta 资9 例10.∫一 dx -jhH+2hxl+C. 例1.-2w--听w =号C. 含三角函数的积分： 例12.∫sin3xdk=Jsin2 x.sinxdx=-∫0-cos2 w)dcosx =-fdcosx+fcosxdcosx=-cosx+cosx+C. 例13.jsin2 xcos xdx=∫sin2 xcos'xdsinx 第7页

银川能源学院《高等数学》教案 第四章 不定积分 第 7 页 即  tan xdxln|cosx|C  类似地可得  cotxdx ln |sin x|C  熟练之后 变量代换就不必再写出了 例 6. dx a a x dx a x      2 2 2 2 1 ( ) 1 1 1 C a x a a x d a a x      arctan 1 1 ( ) 1 1 2  即 dx a x   2 2 1 C a x a  arctan  1  例 7. C a x a a x d a x dx a a x      ch ch sh  例 8. 当 a0 时,      dx a a x dx a x 2 2 2 1 ( ) 1 1 1 C a x a x d a x      arcsin 1 ( ) 1 2  即 dx a x   2 2 1 C a x arcsin   例 9.        dx a x a x a dx x a ) 1 1 ( 2 1 1 2 2 ] 1 1 [ 2 1       dx x a dx a x a ( )] 1 ( ) 1 [ 2 1         d x a x a d x a a x a x a x a C a  [ln|  |ln|  |] 2 1 C x a x a a     ln | | 2 1  即 dx x a   2 2 1 C x a x a a     ln | | 2 1  例 10.          x d x x d x x x dx 1 2ln (1 2ln ) 2 1 1 2ln ln (1 2ln )  ln |12ln x|C 2 1  例 11.    dx  e d x  e d x x e x x x 3 3 2 2 3 3 3 e C x   3 3 2  含三角函数的积分 例 12.   sin xdx  sin xsin xdx 3 2   (1cos x)d cosx 2    d cosx cos xd cosx 2  x xC 3 cos 3 1 cos  例 13.   sin xcos xdx  sin xcos xd sin x 2 5 2 4

银川能源学院《高签激学》救案 第四童不定积分 =[sin2x(1-sin2x)2dsinx =[(sin2x-2sinx+sinx)dsinx =nx-snx+nx4C 例14 feo=j小Hg2k=+eo2 -f+fc0s2x2xx+sin2x+C. 15.fcos'xds=f(cos x)dx=(+cos2x)Fdx -if(1+2cos2x+cos2xX =f0停+2cos2r+5cos4xk x2 sind):C 81 例16.jcos3rcos2d=2eosx+cos5x达 -zsinx+1osinSx+C. 10 例17.jecd-s品=小2女 2sn5c0s号 em吃.nm3 C--otxC. = tan cos 2 tan 即 [cscxdx =In csc x -cot x +C. 例18.∫scc=csc6+=-injese(+-cot+I+C =In |sec x+tanx+C. 即 [secxdx =In |sec x+tanx+C. 二、第二类换元法 定理2设x=)是单调的、可导的函数，并且o(0≠0.又设f[(O]o()具 有原函数F),则有换元公式 jfx=∫f几o0p'0d=F0=Flo-(x+C. 其中=p'(x)是x=(t)的反函数. 第8页

银川能源学院《高等数学》教案 第四章 不定积分 第 8 页   sin x(1sin x) d sin x 2 2 2   (sin x2sin xsin x)d sin x 2 4 6  x x xC 3 5 7 sin 7 1 sin 5 2 sin 3 1  例 14. dx x xdx     2 1 cos2 cos2 ( cos2 ) 2 1    dx xdx    dx cos2xd2x 4 1 2 1  x sin2xC 4 1 2 1  例 15. xdx x dx 4 2 2 cos (cos )       x dx 2 (1 cos2 )] 2 1 [   (12cos2xcos 2x)dx 4 1 2    x cos4x)dx 2 1 2cos2 2 3 ( 4 1  x x sin4x)C 8 1 sin2 2 3 ( 4 1  x x sin4xC 32 1 sin2 4 1 8 3  例 16.   x xdx  (cosxcos5x)dx 2 1 cos3 cos2  x sin5xC 10 1 sin 2 1  例 17.    dx x xdx sin 1 csc   dx x x 2 cos 2 2sin 1 C x x x d x x x d       | 2 ln |tan 2 tan 2 tan 2 cos 2 tan 2 2 ln |csc x cot x |C  即  cscxdx ln |csc x cot x |C  例 18.   xdx x )dx 2 sec csc(   x  x )|C 2 ) cot( 2 ln |csc(   ln |sec x  tan x |  C 即  sec xdx ln |sec x  tan x |  C 二、第二类换元法 定理 2 设 x (t)是单调的、可导的函数 并且(t)0 又设 f [(t)](t)具 有原函数 F(t) 则有换元公式 f x dx f t  t dtF t F x C    ( ) [ ( )] ( ) ( ) [ ( )] 1     其中 t (x)是 x(t)的反函数

银川能源学院《高签数学》救集 第四章不定积分 这是因为 FF-/-/. d 例19.求∫V2-x2d(a>0). 解：设=si,受1<受，那么-=-sm1=aco, dr=a costdt,于是 ∫Va2-xdk=∫acostacosidr =esh=r+子n20Hc 因为1=ar心sn三，s血2=2sn1cosM=2匠-2，所以 a aa 小a-h=nn2c=号csn-4c 解：设=asim1,受<1<受，那么 ∫Va2-2dk=∫acostacostd =jcsh=+sn2C-号cn培r-+c. 提示：Va2-x2=Va2-a2sin2t=acost,dr=acos1dl. 提示：1=arcsin,sm21=2sm1cosM=2.a2-2 aa 例20求4na0 解法一：设aan-受<1<受，那么 √+a=㎡+a tan21=aW+tan2i=a sect,d=asec21dt,于是 「产a-jh-sh=hkec+amhC. 因为sec1=P+a,am=之，所以 a In bee t+tan tCmcC a a 其中C1=C-lna. 解法一：设=aan4-受<1<受，那么 第9页

银川能源学院《高等数学》教案 第四章 不定积分 第 9 页 这是因为 [ ( )] ( ) 1 { [ ( )]} ( ) [ ( )] ( ) 1 f t f x dt dx f t t dx dt F x  F t           例 19. 求 a x dx   2 2 (a>0) 解: 设 xa sin t  2 2    t   那么 2 2 a x a a sin t acost 2 2 2     dx a cos t d t  于是   a x dx acostacostdt 2 2 a  tdt a t sin2t)C 4 1 2 1 cos ( 2 2 2  因为 a x t  arcsin , a a x a x t t t 2 2 sin2 2sin cos 2      所以 a x dx   2 2 a t sin2t)C 4 1 2 1 ( 2 x a x C a a x     2 2 2 2 1 arcsin 2  解: 设 xa sin t  2 2    t   那么   a x dx acostacostdt 2 2 a  tdt a t sin2t)C 4 1 2 1 cos ( 2 2 2 x a x C a a x     2 2 2 2 1 arcsin 2  提示: 2 2 a x a a sin t acost 2 2 2     dxacos tdt  提示: a x t arcsin , a a x a x t t t 2 2 sin2 2sin cos 2      例 20. 求   2 2 x a dx (a>0) 解法一 设 xa tan t 2 2    t   那么 2 2 x a a a t 2 2 2   tan a t 2  1tan a sec t  dxa sec 2 t d t  于是   2 2 x a dx    dt  tdt a t a t sec sec sec2  ln |sec t  tan t |C  因为 a x a t 2 2 sec    a x tant   所以   2 2 x a dx  ln |sec t  tan t |C C a x a a x   ln(  ) 2 2 1 2 2 ln(x x a )C  其中 C 1Cln a  解法一 设 xa tan t 2 2    t   那么

银川能源学院《高签激学》救集 第四童不定积分 d dr-fseeldr =Insect+tant+C asect (ta)+Cx+)+G, aa 其中C=C-lna. 提示：2+a=+a2tan7=asect,dk=asec2td, 提示：30cl=+证，ta1=兰 a a 解法二：设x=asht,那么 1车-=j=c培c =a+刊c=x+v原+aG, 其中C=C-lna. 提示：√r2+a=Vash+a=acht,dk=achidt. 例23.求∫产a0, 解：当a时，设x=asec1(01<受，那么 x2-a2 =asec2t-a2 =avsec21-1=a tan t, 于是 产je-fsh=he+mhC 因为a1=-c,sc=兰，所以 a 产。=hke1+-tan:kC=hac=MF-O+G, a 其中C=C-lna. 当x<a时，令x=-u,则心a,于是 小-uc =-hn(-x+r2-a2)+C=n(-x-x2-a2)+C, =h-x--+C=M(-x-V-d)+G. 其中C1=C-2lna. 综合起来有 第10页

银川能源学院《高等数学》教案 第四章 不定积分 第 10 页       dt tdt a t a t x a dx sec sec sec2 2 2 ln|secttant|C C a x a a x   ln(  ) 2 2 1 2 2 ln(x x a )C  其中 C 1Cln a  提示: 2 2 x a a a t 2 2 2   tan asect  dxa sec 2 t dt  提示: a x a t 2 2 sec    a x tant   解法二: 设 xa sh t  那么   2 2 x a dx C a x dt dt t C a t a t         arsh ch ch C a x a x       ln  ( ) 1 2 1 2 2 ln(x x a )C  其中 C 1Cln a  提示: 2 2 x a 2 2 2  a sh ta a ch t  dx a ch t d t  例 23. 求   2 2 x a dx (a>0) 解: 当 x>a 时 设 xa sec t ( 2 0  t  ) 那么 2 2 x a 2 2 2  a sec ta sec 1 2 a t a tan t  于是   2 2 x a dx    dt  tdt a t a t t sec tan sec tan  ln |sec t  tan t |C  因为 a x a t 2 2 tan    a x sect   所以   2 2 x a dx  ln |sec t  tan t |C C a x a a x   ln |  | 2 2 1 2 2 ln(x x a )C  其中 C 1Cln a  当 xa 于是   2 2 x a dx u u a C u a du       ln( ) 2 2 2 2 ln(x x a )C 2 2 1 2 2 ln(x x a )C  1 2 2 2 2 2 ln C ln( x x a ) C a x x a            其中 C 1C2ln a  综合起来有