北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第2章 导数与微分 第1节 导数的概念

第2章 导数思想最早由法国 数学家Ferma在研究 导数与微分 极值问题中提出 微积分学的创始人： 英国数学家Newton 德国数学家Leibniz 导数 一描述函数变化快慢 微分学 微分 一描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具（从微观上研究函数） BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS

第2章 微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数) 导数与微分 导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 英国数学家 Newton

第1节 第二章 琴款的撬念 引例 二、导数的概念 三、左导数和右导数 四、可导与连续的关系 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、引例 二、导数的概念 三、左导数和右导数 四、可导与连续的关系 第1节 导数的概念 第二章

一、引例 例2.1.1非匀速直线运动的速度问题 设描述质点运动位置的函数为 s=f(t) 则t,到t的平均速度为 △S f(t+△t)-f(t,) 自由落体运动 1y= △t △t s=3812 而在t,时刻的瞬时速度为 f(to) f(。+△) v(。)=lim n As lim △S f(4+△)-f() △1→0△t △1→0 △t .0t6 +△t BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 s O 一、 引例 例2.1.1 非匀速直线运动的速度问题 设描述质点运动位置的函数为 s  f (t) 则t0到 t 的平均速度为 . ( ) ( ) 0 0 t f t t f t t s v         而在 t0时刻的瞬时速度为 . ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 t f t t f t t s v t t t             2 2 1 s  gt 自由落体运动 0 t ( ) 0 f t ( ) 0 f t   t t  t 0

例2.1.2 曲线的切线问题 曲线C:y=f(x)在M点处的切线 y y=f(x) 割线MM'的极限位置MT (当。→c时) 切线MT的斜率 0x0+△xX k tana lim tando Co→C f(x+△x)-f(x】 割线MM'的斜率tana,= △x =tana lim lim f(x+△x)-f(x) △x0△x △x>0 △X BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例2.1.2 曲线的切线问题 曲线 C : y  f (x)  0 ' M T 0 x M 在 M 点处的切线 x  x 0 割线 M M’ 的极限位置 M T (当 时) 0 割线 M M’ 的斜率 tan0  ( ) ( ) 0 0 f x  x  f x x 切线 MT 的斜率 k  tan 0 lim tan 0     . ( ) ( ) tan lim lim 0 0 0 0 x f x x f x x y k x x               x y y  f (x) C O

瞬时速度 y=lim f(t+△t)-f(t) △1-→0 △t 切线斜率k=lim f(x。+△x)-f(x) △x>0 △x 两个问题的共性： 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 类似问题还有： 加速度是速度增量与时间增量之比的极限 角速度是转角增量与时间增量之比的极限 线密度是质量增量与长度增量之比的极限 变化率问题 电流强度是电量增量与时间增量之比的极限 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性: 瞬时速度 t f t t f t v t        ( ) ( ) lim 0 0 0 切线斜率 x f x x f x k x        ( ) ( ) lim 0 0 0 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变 化 率 问 题 

二、导数的概念 定义1.设函数y=f(x)在点x,的某邻域内有定义， 若1im f(x+△x)-f(x) lim △y △y=f(x+△x)-f(x,) △x0 △X △x0△X △x=X-X0 存在，则称函数f(x)在点x,处可导， 并称此极限为 y=f(x)在点x,的导数.记作 f'(x); dy dx =o 即 f(xo)=lim △y △x0△X limf(o+Ax)-f(o) lim f(xo +h)-f(xo) Ax-0 △x h→0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、导数的概念 定义1 . 设函数 y  f (x) 在点 0 x x f x x f x x       ( ) ( ) lim 0 0 0 x y x     0 lim ( ) ( ) 0 0 y  f x  x  f x 0  x  x  x 存在, f (x) 并称此极限为 y  f (x) 记作: ( ) ; 0 f  x ; d d 0 x x x y  即 ( ) 0 f  x x y x     0 lim x f x x f x x        ( ) ( ) lim 0 0 0 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 0 0     则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 0 x 处可导, 在点 0 x 的导数

运动质点的位置函数s=f(t) f(to)f(t) s 在t时刻的瞬时速度 v(to)= ds =f'(t) dt t to 曲线C:y=f(x)在M点处的切线斜率 dy =f'(x) dx x xo BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 自录上页 下负返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 运动质点的位置函数 s  f (t) 在 t0时刻的瞬时速度 曲线 C : y  f (x)在 M 点处的切线斜率 ( ). d d ( ) 0 0 0 f t t t t s v t     ( ). d d 0 0 f x x x x y k     s O 0 t ( ) 0 f t f (t) t

若极限 lim f(xo +Ax)-f(xo) lim 4 △x-→0 △x 4x>0△X 不存在，就说函数在点x,不可导 若mA=w,也称f(x)在x,的导数为无穷大 △x-0△X 若函数在开区间I内每点都可导，就称函数在I内可导 此时导数值构成的新函数称为导函数 记作：y;f(x); dy. df(x) dx dx 注意(x)=f(x)x=≠ df(xo) dx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 、页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 x f x x f x x        ( ) ( ) lim 0 0 0 x y x    0 lim   不存在, 就说函数在点 不可导. 0 x 若 0 lim , Δ Δ x Δ y  x   也称 f (x) 在 0 x 若函数在开区间 I 内每点都可导, 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作: y ; f (x) ; ; d d x y . d d ( ) x f x 注意: ( ) 0 f  x 0 ( ) x x f x    x f x d d ( ) 0  就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 . 若极限

例2.1.4求函数f(x)=C(C为常数)的导数 解：y'=lim+△x)-fx) lim C-C △x>0 △x △x→0 △x 即 (C)y=0 例2.1.5求函数f(x)=x”(n∈N)在x=a处的导数 解：f'(a)=lim f(x)-f(a) =1im ”-a x->a x-a x->a x-a lim (x"+ax"-2 +a2x"3+...+a"-!) x->a nam-l BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例2.1.4 求函数 f (x)  C (C 为常数) 的导数. 解: y  x C C x     0 lim  0 即 (C)  0 例2.1.5 求函数 ( ) ( )  f x  x nN n 在x  a处的导数. 解: x a f x f a  ( )  ( ) xa f (a)  lim x a x a n n x a     lim lim( xa  n1 x 2  n a x 2 3  n a x  ) 1  n a 1  n n a x f x x f x  (   )  ( ) 0 lim    x

说明： 对一般幂函数y=x“(4为常数) (x“)y=ux- (以后将讨论证明) 剑，小列=-25 (=y=- x2 -y-3 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 说明： 对一般幂函数  y  x (  为常数) 1 ( )      x  x 例如， ( x ) ( ) 2 1  x  2 1 2 1   x 2 x 1     x 1 ( ) 1    x 11  x 2 1 x  ) 1 (  x x ( ) 4 3    x 4 7 4 3   x （以后将讨论证明）