银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第五章定积分.pdf_大学文库

银川能源学院《高签数学》救案第五童定积分第一节定积分概念一、定积分问题举例 1.曲边梯形的面积曲边梯形：设函数y=x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线x=a、x=b、y=0 及曲线=∫(x)所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边，求曲边梯形的面积的近似值：将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形，每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替，每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积，则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值.具体方法是：在区间[a,b]中任意插入若干个分点 a=x0<x1<X2<··<xm-1<xn=b, 把[a,b]分成n个小区间 [xo,x],[x1,x2],[x2,x3l,·,[xm-l,xn], 它们的长度依次为△r=x1-x0,△x2=x2-x1,··,△xm=Xn-Xm-1· 经过每一个分点作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n个窄曲边梯形.在每个小区间 [x-,x]上任取一点ξ1，以[x-,x,]为底、f(5)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i=1,2,···,n),把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值，即 Af(51)△x1+f(52)Ax2++f(5n)△n=2f传)Ax. i=l 求曲边梯形的面积的精确值：显然，分点越多、每个小曲边梯形越窄，所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值，因此，要求曲边梯形面积A的精确值，只需无限地增加分点，使每个小曲边梯形的宽度趋于零.记 =max{△x,△x2,··,△xn,于是，上述增加分点，使每个小曲边梯形的宽度趋于零，相当于令入→0.所以曲边梯形的面积为 4=lim ()Ax. 「无0a1 2.变速直线运动的路程设物体作直线运动，己知速度=v()是时间间隔[T1,T2]上1的连续函数，且()≥0，计算在这段时间内物体所经过的路程S. 求近似路程：我们把时间间隔[T1,T2]分成n个小的时间间隔△，在每个小的时间间隔 △1内，物体运动看成是均速的，其速度近似为物体在时间间隔△内某点5，的速度(t),物体在时间间隔△内运动的距离近似为△S=(x)△i.把物体在每一小的时间间隔△，内运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T,，T]内所经过的路程S的近似值.具体做法是：在时间间隔[T1,T]内任意插入若干个分点 T1=t0<t1<t2<·<tm-1<1=T2, 把[T1,T]分成n个小段 [toti小，[t1,t2l,[tml,tn], 第2页

银川能源学院《高等数学》教案第五章定积分第 2 页第一节定积分概念一、定积分问题举例 1 曲边梯形的面积曲边梯形 设函数 yf(x)在区间[a b]上非负、连续 由直线 xa、xb、y0 及曲线 yf (x)所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边 求曲边梯形的面积的近似值 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间[a b]中任意插入若干个分点 ax0 x1 x2    xn1 xn b 把[a b]分成 n 个小区间 [x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ] 它们的长度依次为x1 x1x0  x2 x2x1      xn  xn xn1  经过每一个分点作平行于 y 轴的直线段 把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形 在每个小区间 [xi1 xi ]上任取一点 i  以[xi1 xi ]为底、f ( i)为高的窄矩形近似替代第 i 个窄曲边梯形(i1 2     n)  把这样得到的 n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积 A 的近似值 即 Af ( 1)x1 f ( 2)x2   f ( n )xn     n i i i f x 1 ( )  求曲边梯形的面积的精确值 显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积 A 的近似值就越接近曲边梯形面积 A 的精确值 因此 要求曲边梯形面积 A 的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记 max{x1 x2   xn } 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为      n i i i A f x 1 0 lim ( )   2 变速直线运动的路程设物体作直线运动 已知速度 vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上 t 的连续函数 且 v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程 S  求近似路程 我们把时间间隔[T 1 T 2]分成 n 个小的时间间隔ti  在每个小的时间间隔 ti 内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔ti 内某点i 的速度 v(i) 物体在时间间隔ti 内运动的距离近似为Si v(i)ti  把物体在每一小的时间间隔ti内运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1  T 2]内所经过的路程 S 的近似值 具体做法是 在时间间隔[T 1  T 2]内任意插入若干个分点 T 1t 0 t 1 t 2   t n1 t nT 2 把[T 1  T 2]分成 n 个小段 [t 0 t 1] [t 1 t 2]    [t n1 t n] 

银川能源学院《高等数学》教案第五章定积分第 3 页各小段时间的长依次为 t 1t 1t 0 t 2t 2t 1   t n t n t n1 相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为 S 1 S 2    S n 在时间间隔[t i1 t i]上任取一个时刻 i (t i1 i t i) 以 i 时刻的速度 v( i) 来代替[t i1 t i]上各个时刻的速度 得到部分路程S i 的近似值 即 S i v( i)t i (i1 2     n) 于是这 n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程 S 的近似值 即     n i i i S v t 1 ( )  求精确值 记  max{t 1 t 2   t n} 当0 时 取上述和式的极限 即得变速直线运动的路程      n i i i S v t 1 0 lim ( )   设函数 yf(x)在区间[a b]上非负、连续 求直线 xa、xb、y0 及曲线 yf (x)所围成的曲边梯形的面积 (1)用分点 ax0x1x2   xn1xn b 把区间[a b]分成 n 个小区间 [x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ] 记xixixi1 (i1 2     n) (2)任取i[xi1 xi] 以[xi1 xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为 i i f ( )x (i1 2     n) 所求曲边梯形面积 A 的近似值为    n i i i A f x 1 ( )  (3)记max{x1 x2   xn } 所以曲边梯形面积的精确值为     n i i i A f x 1 0 lim ( )   设物体作直线运动 已知速度 vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上 t 的连续函数 且 v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程 S  (1)用分点 T1t0t1t2  t n1tnT2 把时间间隔[T 1  T 2]分成 n 个小时间段 [t0 t1] [t1 t2]    [tn1 tn]  记ti titi1 (i1 2     n) (2)任取i[ti1 ti] 在时间段[ti1 ti]内物体所经过的路程可近似为 v(i)ti (i1 2     n) 所求路程 S 的近似值为    n i i i S v t 1 ( )  (3)记max{t1 t2   tn} 所求路程的精确值为

银川能源学院《高等数学》教案第五章定积分第 4 页     n i i i S v t 1 0 lim ( )   二、定积分定义抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括 就抽象出下述定积分的定义 定义设函数 f(x)在[a b]上有界 在[a b]中任意插入若干个分点 a x0 x1 x2    xn1 xnb 把区间[a b]分成 n 个小区间 [x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn]  各小段区间的长依次为 x1x1x0 x2x2x1   xn xn xn1 在每个小区间[xi1 xi]上任取一个点 i (xi1  i  xi) 作函数值 f ( i)与小区间长度xi 的乘积 f ( i)xi (i1 2   n)  并作出和     n i i i S f x 1 ( )  记  max{x1 x2   xn} 如果不论对[a b]怎样分法 也不论在小区间 [xi1 xi]上点 i 怎样取法 只要当0 时 和 S 总趋于确定的极限 I 这时我们称这个极限 I 为函数 f (x)在区间[a b]上的定积分 记作  b a f (x)dx  即       n i i i b a f x dx f x 1 0 ( ) lim ( )   其中f (x)叫做被积函数 f (x)dx叫做被积表达式 x叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 [a b]叫做积分区间 定义设函数 f(x)在[a b]上有界 用分点 ax0x1x2   xn1xnb 把 [a b]分成 n 个小区间 [x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn]  记xixixi1(i1 2   n) 任 i[xi1 xi] (i1 2   n) 作和    n i i i S f x 1 ( )  记max{x1 x2   xn} 如果当0 时 上述和式的极限存在 且极限值与区间[a b]的分法和 i的取法无关 则称这个极限为函数f(x)在区间[a b] 上的定积分 记作  b a f (x)dx  即      n i i i b a f x dx f x 1 0 ( ) lim ( )   根据定积分的定义 曲边梯形的面积为   b a A f (x)dx  变速直线运动的路程为 S v t dt T T ( ) 2 1   

银川能源学院《高等数学》教案第五章定积分第 5 页说明 (1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即      b a b a b a f (x)dx f (t)dt f (u)du  (2)和    n i i i f x 1 ( ) 通常称为 f (x)的积分和；定积分 ( ) b a f x dx  是和式的极限，利用“ - ”式定义，定积分的定义可精确地表述如下：设有常数 I，如果对于任意给定的正数  ，总存在一个正数  ，使得对于区间 [ , ] a b 任意分法及小区间 1 [ , ] i i x x  上点 i  任意取法，只要    时，总有 1 ( ) n i i i f x I       成立，则称 I 是函数 f x( ) 在区间 [ , ] a b 上的定积分，记作 ( ) b a f x dx  (3)如果函数 f (x)在[a b]上的定积分存在 我们就说 f (x)在区间[a b]上可积 (4)在积分 ( ) b a f x dx  的定义中，总是假设 a b  ，为了以后使用方便起见，对于 a b a b = ,  的情形作如下规定：当 a b= 时， ( ) =0 b a f x dx  ；当 a b  时， ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx     。函数 f(x)在[a b]上满足什么条件时 f (x)在[a b]上可积呢？定理 1 设 f (x)在区间[a b]上连续 则 f (x) 在[a b]上可积 定理 2 设f (x)在区间[a b]上有界 且只有有限个间断点 则f (x) 在[a b] 上可积 三、定积分的几何意义在区间[a b]上 当 f(x)0 时 积分  b a f (x)dx 在几何上表示由曲线 yf (x)、两条直线xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形的面积 当f(x)0时 由曲线y f (x)、两条直线 xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值                b a n i i i n i i i b a f (x)dx lim f ( ) x lim [ f ( )] x [ f (x)]dx 1 0 1 0      当 f (x)既取得正值又取得负值时 函数 f(x)的图形某些部分在 x 轴的上方 而其它部分在 x 轴的下方 如果我们对面积赋以正负号 在 x 轴上方的图形面积赋以正号 在 x 轴下方的图形面积赋以负号 则在一般情形下 定积分  b a f (x)dx 的几何意义为 它是介于 x 轴、函数 f(x)的图形及两条直线 xa、xb y y f x  ( ) A3 A5 A1

银川能源学院《高等数学》教案第五章定积分第 7 页第二节定积分的基本性质由定积分的定义及极限的运算法则，可以推出定积分有以下性质。为了叙述方便，假设下列各性质中所列出的定积分都是存在的。性质 1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即       b a b a b a [f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx 证明:   b a [f (x) g(x)]dx       n i i i i f g x 1 0 lim [ ( ) ( )]            n i i i n i i i f x g x 1 0 1 0 lim ( ) lim ( )       b a b a f (x)dx g(x)dx  推论有限个函数的代数和的定积分等于各函数定积分的代数和，即 1 2 1 2 [ ( ) ( ) ... ( )] ( ) ( ) ... ( ) b b b b n n a a a a f x f x f x dx f x dx f x dx f x dx            性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面即    b a b a kf(x)dx k f (x)dx  这是因为       n i i i b a kf x dx kf x 1 0 ( ) lim ( )         b a n i k lim f ( i ) xi k f (x)dx 1 0    性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即      b c c a b a f (x)dx f (x)dx f (x)dx  这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性 值得注意的是不论 a b c 的相对位置如何总有等式      b c c a b a f (x)dx f (x)dx f (x)dx 成立 例如 当 a<b<c 时 由于      c b b a c a f (x)dx f (x)dx f (x)dx  于是有      c b c a b a f (x)dx f (x)dx f (x)dx     b c c a f (x)dx f (x)dx  这一性质可以用于求分段函数的定积分。例 1：已知 1 , 0 ( ) 1 , 0 2 x x f x x x           ，求 2 1 f x dx ( )  。解：由于被积函数为连续的分段函数，所以定积分应分段积分，根据性质 3 可得 2 0 2 1 1 0 ( ) (1 ) (1 ) 2 x f x dx x dx dx         

银川能源学院《高等数学》教案第五章定积分第 10 页第三节微积分基本公式在第一节中，已经举过应用定积分定义计算定积分的例子，从实际例子可以看到，用定积分定义计算定积分，一般来说，计算复杂，难度较大。因此，必须寻找一种简单易行的计算定积分的新方法。下面先从实际问题中寻找解决问题的线索。为此，对变速直线运动中的位置函数 s(t)和速度函数 v(t)之间的联系作进一步的研究。一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动 在 t 时刻所经过的路程为 S(t) 速度为 vv(t)S(t)(v(t)0) 则在时间间隔[T1 T2]内物体所经过的路程 S 可表示为 ( ) ( ) S T2 S T1 及 v t dt T T ( ) 2 1   即 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 v t dt S T S T T T     上式表明 速度函数 v(t)在区间[T1 T2]上的定积分等于 v(t)的原函数 S(t)在区间[T1 T2]上的增量 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？二、积分上限函数及其导数设函数 f(x)在区间[a b]上连续 并且设 x 为[a b]上的一点 我们把函数 f(x) 在部分区间[a x]上的定积分 f x dx x a ( )  ,称为积分上限的函数 它是区间[a b]上的函数 记为 (x) f x dx x a ( )    或(x) f t dt x a ( )   定理 1 如果函数 f(x)在区间[a b]上连续 则函数 (x) f x dx x a ( )   在[a b]上具有导数 并且它的导数为 (x) f (t)dt f (x) dx d x a    (ax<b) 简要证明: 若 x(a b) 取x 使 xx(a b) (xx)(x) f t dt f t dt x a x x a ( ) ( )      f t dt f t dt f t dt x a x x x x a ( ) ( ) ( )        f t dt f x x x x     ( ) ()  应用积分中值定理 有f ()x 其中在 x 与 xx 之间 x0 时 x  于是 (x) lim lim ( ) lim ( ) ( ) 0 0 f f f x x x x x                ( ) x x x x  b a  y f x  ( ) y O x

银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第五章 定积分

银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第五章定积分