银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第五章 定积分

银川能源学院《高签数学》救朱 第五童定积分 章节名称： 第五章 定积分 教学内容与学时分配：(12学时) 1、定积分的概念；(2学时) 2、定积分的性质：(2学时) 3、微积分基本公式：(2学时) 4、定积分的换元积分法和分部积分法：(2学时) 5、广义积分：(2学时) 6、定积分的应用：(2学时)》 教学目的和要求： 1、理解定积分的概念：理解元素法的基本思想。 2、掌握定积分的性质及定积分中值定理：掌握定积分的换元积分法与分部积分法；掌握 用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面 积、平行截面面积为已知的立体体积)：掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引 力、压力和函数的平均值等)。 3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿一莱布尼茨公式。 4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。 重点： 1、定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿一莱布尼茨公式。 4、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已 知的立体体积。 5、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 难点： 1、定积分的概念 2、积分中值定理 3、定积分的换元积分法分部积分法。 4、变上限函数的导数。 5、截面面积为已知的立体体积。 6、引力。 教学过程（教学环节设计与方法）： 1、引入： 2、内容讲解： 3、学生练习： 4、小结 教学手段： 启发式教学，讲练结合 作业： 课后部分习题 第1页

银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 1 页 章节名称： 第五章 定积分 教学内容与学时分配：（12 学时） 1、定积分的概念；（2 学时） 2、定积分的性质；（2 学时） 3、微积分基本公式；（2 学时） 4、定积分的换元积分法和分部积分法；（2 学时） 5、广义积分；（2 学时） 6、定积分的应用；（2 学时） 教学目的和要求： 1、理解定积分的概念；理解元素法的基本思想。 2、掌握定积分的性质及定积分中值定理；掌握定积分的换元积分法与分部积分法；掌握 用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面 积、平行截面面积为已知的立体体积）；掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引 力、压力和函数的平均值等）。 3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。 重点： 1、定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿—莱布尼茨公式。 4、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已 知的立体体积。 5、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 难点： 1、定积分的概念 2、积分中值定理 3、定积分的换元积分法分部积分法。 4、变上限函数的导数。 5、截面面积为已知的立体体积。 6、引力。 教学过程（教学环节设计与方法）： 1、引入； 2、内容讲解； 3、学生练习； 4、小结 教学手段： 启发式教学，讲练结合 作业： 课后部分习题

银川能源学院《高签数学》救案 第五童定积分 第一节 定积分概念 一、定积分问题举例 1.曲边梯形的面积 曲边梯形：设函数y=x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线x=a、x=b、y=0 及曲线=∫(x)所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边， 求曲边梯形的面积的近似值： 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形，每个小曲边梯形都用一个等宽的 小矩形代替，每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积，则所有小矩 形面积的和就是曲边梯形面积的近似值.具体方法是：在区间[a,b]中任意插 入若干个分点 a=x0<x1<X2<··<xm-1<xn=b, 把[a,b]分成n个小区间 [xo,x],[x1,x2],[x2,x3l,·,[xm-l,xn], 它们的长度依次为△r=x1-x0,△x2=x2-x1,··,△xm=Xn-Xm-1· 经过每一个分点作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n个窄曲边梯 形.在每个小区间 [x-,x]上任取一点ξ1，以[x-,x,]为底、f(5)为高的窄矩形近似替代第i个窄 曲边梯形(i=1,2,···,n),把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边 梯形面积A的近似值，即 Af(51)△x1+f(52)Ax2++f(5n)△n=2f传)Ax. i=l 求曲边梯形的面积的精确值： 显然，分点越多、每个小曲边梯形越窄，所求得的曲边梯形面积A的近似 值就越接近曲边梯形面积A的精确值，因此，要求曲边梯形面积A的精确值， 只需无限地增加分点，使每个小曲边梯形的宽度趋于零.记 =max{△x,△x2,··,△xn,于是，上述增加分点，使每个小曲边梯形的宽度趋 于零，相当于令入→0.所以曲边梯形的面积为 4=lim ()Ax. 「无0a1 2.变速直线运动的路程 设物体作直线运动，己知速度=v()是时间间隔[T1,T2]上1的连续函数， 且()≥0，计算在这段时间内物体所经过的路程S. 求近似路程： 我们把时间间隔[T1,T2]分成n个小的时间间隔△，在每个小的时间间隔 △1内，物体运动看成是均速的，其速度近似为物体在时间间隔△内某点5，的 速度(t),物体在时间间隔△内运动的距离近似为△S=(x)△i.把物体在 每一小的时间间隔△，内运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T,，T]内所 经过的路程S的近似值.具体做法是： 在时间间隔[T1,T]内任意插入若干个分点 T1=t0<t1<t2<·<tm-1<1=T2, 把[T1,T]分成n个小段 [toti小，[t1,t2l,[tml,tn], 第2页

银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 2 页 第一节 定积分概念 一、定积分问题举例 1 曲边梯形的面积 曲边梯形 设函数 yf(x)在区间[a b]上非负、连续 由直线 xa、xb、y0 及曲线 yf (x)所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边 求曲边梯形的面积的近似值 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的 小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩 形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间[a b]中任意插 入若干个分点 ax0 x1 x2    xn1 xn b 把[a b]分成 n 个小区间 [x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ] 它们的长度依次为x1 x1x0  x2 x2x1      xn  xn xn1  经过每一个分点作平行于 y 轴的直线段 把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯 形 在每个小区间 [xi1 xi ]上任取一点 i  以[xi1 xi ]为底、f ( i)为高的窄矩形近似替代第 i 个窄 曲边梯形(i1 2     n)  把这样得到的 n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边 梯形面积 A 的近似值 即 Af ( 1)x1 f ( 2)x2   f ( n )xn     n i i i f x 1 ( )  求曲边梯形的面积的精确值 显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积 A 的近似 值就越接近曲边梯形面积 A 的精确值 因此 要求曲边梯形面积 A 的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记 max{x1 x2   xn } 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋 于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为      n i i i A f x 1 0 lim ( )   2 变速直线运动的路程 设物体作直线运动 已知速度 vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上 t 的连续函数 且 v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程 S  求近似路程 我们把时间间隔[T 1 T 2]分成 n 个小的时间间隔ti  在每个小的时间间隔 ti 内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔ti 内某点i 的 速度 v(i) 物体在时间间隔ti 内 运动的距离近似为Si v(i)ti  把物体在 每一小的时间间隔ti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1  T 2]内所 经过的路程 S 的近似值 具体做法是 在时间间隔[T 1  T 2]内任意插入若干个分点 T 1t 0 t 1 t 2   t n1 t nT 2 把[T 1  T 2]分成 n 个小段 [t 0 t 1] [t 1 t 2]    [t n1 t n] 

银川能源学院《高签激学》救案 第五童定积分 各小段时间的长依次为 △t1=t1-10,△12=t2-t1,,△1n=tn-tm1. 相应地，在各段时间内物体经过的路程依次为 △S1,△S2,,△Sn- 在时间间隔[t-l,t上任取一个时刻x,(亿-1<tK1),以x时刻的速度(x) 来代替[t-,t上各个时刻的速度，得到部分路程△S,的近似值，即 △S=(t)△1i(i=1,2,…,n) 于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S的近似值， 即 S=A, 求精确值： 记入=max{△11，△12，，△1m,当)-→0时，取上述和式的极限，即得变速直 线运动的路程 S-lim (r)AL. 0e1 设函数y=x)在区间[a,b]上非负、连续.求直线=a、=b、y=0 及曲线=∫(x)所围成的曲边梯形的面积 (1)用分点a=xo<x1<x2<<xm-1<xn=b把区间[a,b]分成n个小区间： [xo,x],[x,x],[x2,x3],·,[xm-1,xn],记△x=x-x-1(i=1,2,·,n) (2)任取5，∈x-,x,以[x-1,为底的小曲边梯形的面积可近似为 f)△x(i=1,2,·,n;所求曲边梯形面积A的近似值为 4-A (3)记=max{△x1,△x2,,△xn},所以曲边梯形面积的精确值为 A=lim∑f(5)△x,. i=l 设物体作直线运动，己知速度=()是时间间隔[T,T]上1的连续函数， 且()≥0，计算在这段时间内物体所经过的路程S. (1)用分点T=0<<2<·<1m1<1m=T2把时间间隔[T1,T2]分成n个小时间 段：[o,小，[4，l,,[r-l,,记△=t-t-1(i=l,2,…,m). (2)任取∈[-，，在时间段[-1，月内物体所经过的路程可近似为()△ (i=1,2,·,n;所求路程S的近似值为 爱. (3)记=max{△11，△2，·，△1n},所求路程的精确值为 第3页

银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 3 页 各小段时间的长依次为 t 1t 1t 0 t 2t 2t 1   t n t n t n1 相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为 S 1 S 2    S n 在时间间隔[t i1 t i]上任取一个时刻 i (t i1 i t i) 以 i 时刻的速度 v( i) 来代替[t i1 t i]上各个时刻的速度 得到部分路程S i 的近似值 即 S i v( i)t i (i1 2     n) 于是这 n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程 S 的近似值 即     n i i i S v t 1 ( )  求精确值 记  max{t 1 t 2   t n} 当0 时 取上述和式的极限 即得变速直 线运动的路程      n i i i S v t 1 0 lim ( )   设函数 yf(x)在区间[a b]上非负、连续 求直线 xa、xb、y0 及曲线 yf (x)所围成的曲边梯形的面积 (1)用分点 ax0x1x2   xn1xn b 把区间[a b]分成 n 个小区间 [x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ] 记xixixi1 (i1 2     n) (2)任取i[xi1 xi] 以[xi1 xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为 i i f ( )x (i1 2     n) 所求曲边梯形面积 A 的近似值为    n i i i A f x 1 ( )  (3)记max{x1 x2   xn } 所以曲边梯形面积的精确值为     n i i i A f x 1 0 lim ( )   设物体作直线运动 已知速度 vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上 t 的连续函数 且 v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程 S  (1)用分点 T1t0t1t2  t n1tnT2 把时间间隔[T 1  T 2]分成 n 个小时间 段 [t0 t1] [t1 t2]    [tn1 tn]  记ti titi1 (i1 2     n) (2)任取i[ti1 ti] 在时间段[ti1 ti]内物体所经过的路程可近似为 v(i)ti (i1 2     n) 所求路程 S 的近似值为    n i i i S v t 1 ( )  (3)记max{t1 t2   tn} 所求路程的精确值为

银川能源学院《高签激学》救案 第五童定积分 二、定积分定义 抛开上述问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加 以概括，就抽象出下述定积分的定义。 定义设函数x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 a=x0<x1<x2<·.<xn-1<xw=b, 把区间[a,b]分成n个小区间 [xo,X1],[X1,x2],.,[xn-1,xn], 各小段区间的长依次为 △x1=x1-x0,△x2=x2-x1,,△xn=xn-xm-1 在每个小区间[x-,x]上任取一个点5：(x-1<5:<x,作函数值f(5)与小区间长 度Ax,的乘积 f()△x(=1,2,,n),并作出和 s=2f()Ax,. 记入=max{△x1,△r2,··,△xm},如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间 x一，x上点5：怎样取法，只要当→0时，和S总趋于确定的极限I,这时我 们称这个极限I为函数fx)在区间[a,上的定积分，记作fx本， 即 rxh=m2f传A. 其中fx)叫做被积函数，fx)dk叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下 限，b叫做积分上限，【a,b]叫做积分区间 定义 设函数x)在[a,b]上有界，用分点a=x<x1<x2<·<xm1<xn=b把 [a,b分成n个小区间：[xo,x],x1,xl,xml,x,记△x=x-x1(i=l,2,,m). 任5ix-l,x(i=1,2,,nm,作和 S-2f54. 记=max{△x,△x2,·,△xn,如果当2-→0时，上述和式的极限存在，且极 限值与区间[a,b]的分法和5，的取法无关，则称这个极限为函数x)在区间[a,b] 上的定积分，记作心fx达， 即 ()dx=lim()Ax i=l 根据定积分的定义，曲边梯形的面积为A=fx 变速直线运动的路程为S=0d。 第4页

银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 4 页     n i i i S v t 1 0 lim ( )   二、定积分定义 抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加 以概括 就抽象出下述定积分的定义 定义 设函数 f(x)在[a b]上有界 在[a b]中任意插入若干个分点 a x0 x1 x2    xn1 xnb 把区间[a b]分成 n 个小区间 [x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn]  各小段区间的长依次为 x1x1x0 x2x2x1   xn xn xn1 在每个小区间[xi1 xi]上任取一个点 i (xi1  i  xi) 作函数值 f ( i)与小区间长 度xi 的乘积 f ( i)xi (i1 2   n)  并作出和     n i i i S f x 1 ( )  记  max{x1 x2   xn} 如果不论对[a b]怎样分法 也不论在小区间 [xi1 xi]上点 i 怎样取法 只要当0 时 和 S 总趋于确定的极限 I 这时我 们称这个极限 I 为函数 f (x)在区间[a b]上的定积分 记作  b a f (x)dx  即       n i i i b a f x dx f x 1 0 ( ) lim ( )   其中f (x)叫做被积函数 f (x)dx叫做被积表达式 x叫做积分变量 a 叫做积分下 限 b 叫做积分上限 [a b]叫做积分区间 定义 设函数 f(x)在[a b]上有界 用分点 ax0x1x2   xn1xnb 把 [a b]分成 n 个小区间 [x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn]  记xixixi1(i1 2   n) 任 i[xi1 xi] (i1 2   n) 作和    n i i i S f x 1 ( )  记max{x1 x2   xn} 如果当0 时 上述和式的极限存在 且极 限值与区间[a b]的分法和 i的取法无关 则称这个极限为函数f(x)在区间[a b] 上的定积分 记作  b a f (x)dx  即      n i i i b a f x dx f x 1 0 ( ) lim ( )   根据定积分的定义 曲边梯形的面积为   b a A f (x)dx  变速直线运动的路程为 S v t dt T T ( ) 2 1   

银川能源学院《高签数学》救案 第五章定积分 说明：(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法 无关，即 f(xx=f(dt=f(uydu. ②和空54通常称为了：的积分和：定积分1 是和式的极限， 利用“-6”式定义，定积分的定义可精确地表述如下： 设有常数I,如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数6，使得对于 区间[a,b)]任意分法及小区间[x-x]上点5任意取法，只要入b的情形作如下规定： 当a=b时， ∫心fxdk=-0: 当a>b时， fx=-ft。 函数x)在[a,b上满足什么条件时，fx)在[a,]上可积呢？ 定理1设fx)在区间[a,b]上连续，则fx)在[a,b]上可积。 定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b 上可积 三、定积分的几何意义 在区间[a,)]上，当x)20时，积分心fxt在几何上表示由曲线=fx、两 条直线=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积；当x)s0时，由曲线y=∫(x)、 两条直线x=、=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，定义分在几何 上表示上述曲边梯形面积的负值； /xk=m立A=-m上-传Ax=直-fk. →0 0 当f(x)既取得正值又取得负值时，函数x)的图形某些部分在x轴的上方， 而其它部分在x轴的下方.如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面 积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分 心fx)达的几何意义为：它是介于x轴、函数x)的图形及两条直线x=Q、=b y=f(x) 第5页 A

银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 5 页 说明 (1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法 无关 即      b a b a b a f (x)dx f (t)dt f (u)du  (2)和    n i i i f x 1 ( ) 通常称为 f (x)的积分和；定积分 ( ) b a f x dx  是和式的极限， 利用“ - ”式定义，定积分的定义可精确地表述如下： 设有常数 I，如果对于任意给定的正数  ，总存在一个正数  ，使得对于 区间 [ , ] a b 任意分法及小区间 1 [ , ] i i x x  上点 i  任意取法，只要    时，总有 1 ( ) n i i i f x I       成立，则称 I 是函数 f x( ) 在区间 [ , ] a b 上的定积分，记作 ( ) b a f x dx  (3)如果函数 f (x)在[a b]上的定积分存在 我们就说 f (x)在区间[a b]上可 积 (4)在积分 ( ) b a f x dx  的定义中，总是假设 a b  ，为了以后使用方便起见， 对于 a b a b = ,  的情形作如下规定： 当 a b= 时， ( ) =0 b a f x dx  ； 当 a b  时， ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx     。 函数 f(x)在[a b]上满足什么条件时 f (x)在[a b]上可积呢？ 定理 1 设 f (x)在区间[a b]上连续 则 f (x) 在[a b]上可积 定理 2 设f (x)在区间[a b]上有界 且只有有限个间断点 则f (x) 在[a b] 上可积 三、定积分的几何意义 在区间[a b]上 当 f(x)0 时 积分  b a f (x)dx 在几何上表示由曲线 yf (x)、两 条直线xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形的面积 当f(x)0时 由曲线y f (x)、 两条直线 xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方 定义分在几何 上表示上述曲边梯形面积的负值                b a n i i i n i i i b a f (x)dx lim f ( ) x lim [ f ( )] x [ f (x)]dx 1 0 1 0      当 f (x)既取得正值又取得负值时 函数 f(x)的图形某些部分在 x 轴的上方 而其它部分在 x 轴的下方 如果我们对面积赋以正负号 在 x 轴上方的图形面 积赋以正号 在 x 轴下方的图形面积赋以负号 则在一般情形下 定积分  b a f (x)dx 的几何意义为 它是介于 x 轴、函数 f(x)的图形及两条直线 xa、xb y y f x  ( ) A3 A5 A1

银川能源学院《高签激学》救案 第五章定积分 之间的各部分面积的代数和.例如，当函数x)如图所示时， x达=A-4+4-A+4 用定积分的定义计算定积分： 例1.利用定义计算定积分x2。 解把区间0,1]分成n等份，分点为和小区间长度为 ==l,2,ml,A=hl,2,m. 取=1(=1,2，，n),作积分和 立-2-2台分 i=l iin n -2r-an-哈2加片 因为1=，当元→0时，n0,所以 2=2gg=0+片p+号 10台 n6 n 利定积分的几何意义求积分： 例2.用定积分的几何意义求1-x。 解：函数y=1-x在区间[0,1]上的定积分是以=1-x为曲边，以区间[0,1] 为底的曲边梯形的面积.因为以=1-x为曲边，以区间[0,1]为底的曲边梯形是 一直角三角形，其底边长及高均为1，所以 (-xyk-xlxl- 例3.用定积分的几何意义求V匠-d(a>0). 解：由定积分的几何意义，此定积分是以上半圆y=√：-x2为曲边，以区 间[0，a为底的曲边梯形的面积，即半径为a的四分之一圆的面积，故 SYa-xdx=Ina. 4 第6页

银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 6 页 之 间 的 各 部 分 面 积 的 代 数 和  例 如 ， 当 函 数 f(x) 如 图 所 示 时 ， 1 2 3 4 5 ( ) b a f x dx A A A A A       。 用定积分的定义计算定积分 例 1. 利用定义计算定积分 x dx 2 1 0   解 把区间[0 1]分成 n 等份 分点为和小区间长度为 n i xi  (i1 2   n1) n xi 1   (i1 2   n)  取 n i i  (i1 2   n) 作积分和            n i i n i i i n i i n n i f x x 1 2 1 2 1 1 ( )  ( ) ( 1)(2 1) 6 1 1 1 3 1 2 3        n n n n i n n i ) 1 )(2 1 (1 6 1 n n     因为 n 1    当0 时 n 所以 3 1 ) 1 )(2 1 (1 6 1 lim ( ) lim 1 0 2 1 0            n n x dx f x n n i i i   利定积分的几何意义求积分: 例 2 用定积分的几何意义求   1 0 (1 x)dx  解: 函数 y1x 在区间[0 1]上的定积分是以 y1x 为曲边 以区间[0 1] 为底的曲边梯形的面积 因为以 y1x 为曲边 以区间[0 1]为底的曲边梯形是 一直角三角形 其底边长及高均为 1 所以 2 1 1 1 2 1 (1 ) 1 0       x dx  例 3 用定积分的几何意义求 2 2 0 ( 0) a a x dx a     解: 由定积分的几何意义，此定积分是以上半圆 2 2 y a x   为曲边 以区 间[0 a]为底的曲边梯形的面积，即半径为 a 的四分之一圆的面积，故 2 2 2 0 1 4 a a x dx a     

银川能源学院《高签数学》救案 第五童定积分 第二节定积分的基本性质 由定积分的定义及极限的运算法则，可以推出定积分有以下性质。为了叙 述方便，假设下列各性质中所列出的定积分都是存在的。 性质1函数的和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差）即 x)±gx)k=心fx±心gxd. 正明*sk=把2s -2A±2 =心fxk±gxh 推论有限个函数的代数和的定积分等于各函数定积分的代数和，即 Lf()±i)士士fx=fx士∫(x)士士心f.x 性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面即 jx=kfx达. 这是因为机h=立=三rE4=7e 性质3如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部 分区间上定积分之和即 fx=Cfx+心fx. 这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性 值得注意的是不论a,b,c的相对位置如何总有等式 心x=fx+心fx达 成立.例如，当a<b<c时，由于 [f(xdx=fdx+f(ds 于是有 f(xdx-f(xd-f(xxf(dx+f(d 这一性质可以用于求分段函数的定积分。 1+x,x<0 例1：己知fx)= 0求fe。 解：由于被积函数为连续的分段函数，所以定积分应分段积分，根据性质 3可得 ∫fx)k=0+xk+-) 第7页

银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 7 页 第二节 定积分的基本性质 由定积分的定义及极限的运算法则，可以推出定积分有以下性质。为了叙 述方便，假设下列各性质中所列出的定积分都是存在的。 性质 1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即       b a b a b a [f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx 证明:   b a [f (x) g(x)]dx       n i i i i f g x 1 0 lim [ ( ) ( )]            n i i i n i i i f x g x 1 0 1 0 lim ( ) lim ( )       b a b a f (x)dx g(x)dx  推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数定积分的代数和，即 1 2 1 2 [ ( ) ( ) ... ( )] ( ) ( ) ... ( ) b b b b n n a a a a f x f x f x dx f x dx f x dx f x dx            性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即    b a b a kf(x)dx k f (x)dx  这是因为       n i i i b a kf x dx kf x 1 0 ( ) lim ( )         b a n i k lim f ( i ) xi k f (x)dx 1 0    性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部 分区间上定积分之和 即      b c c a b a f (x)dx f (x)dx f (x)dx  这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性 值得注意的是不论 a b c 的相对位置如何总有等式      b c c a b a f (x)dx f (x)dx f (x)dx 成立 例如 当 a<b<c 时 由于      c b b a c a f (x)dx f (x)dx f (x)dx  于是有      c b c a b a f (x)dx f (x)dx f (x)dx     b c c a f (x)dx f (x)dx  这一性质可以用于求分段函数的定积分。 例 1：已知 1 , 0 ( ) 1 , 0 2 x x f x x x           ，求 2 1 f x dx ( )  。 解：由于被积函数为连续的分段函数，所以定积分应分段积分，根据性质 3 可得 2 0 2 1 1 0 ( ) (1 ) (1 ) 2 x f x dx x dx dx         

银川能源学院《高签数学》救集 第五童定积分 利用定积分的几何意义，可得 a+=-=1 所以有矿e达-- 性质4如果在区间[ab]上fx)归1则 [1k=心d=b-a. 性质5如果在区间[a,b]上fx)20,则 fx≥0(a<b). 推论1如果在区间[a,b上fx)sgx)则 fk≤心gxk(a<b). 这是因为gx-fx)20,从而 g(x-fx=gx)-fw)k≥0， 所以 心f≤心gex. 推论2心f华自fx(a<b) 这是因为-fx1≤fx)≤fx儿所以 自≤信fx达≤/xl达， 即 fxsfxldl. 性质6设M及m分别是函数x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则 mb-a)sf"f(x)dxsM(b-a)(a<b). 证明因为msfx)sM,所以 mdk≤ffx≤心Md, 从而 mb-a)sfx≤Mb-a). 这个性质表明，由被积函数在积分区间上的最大值和最小值，可以估计积 分值的大致范围。 性质7（定积分中值定理）如果函数x)在闭区间[a,b]上连续，则在积 分区间[a,b]上至少存在一个点5，使下式成立： [f(xxk-/(EXb-a. 这个公式叫做积分中值公式。 证明由性质6 第8页

银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 8 页 利用定积分的几何意义，可得 0 2 1 0 1 (1 ) = (1 ) 1 2 2 x x dx dx       ， 所以有 2 1 1 3 ( ) 1 2 2 f x dx      。 性质 4 如果在区间[a b]上 f (x)1 则 dx dx b a b a b a      1  性质 5 如果在区间[a b]上 f (x)0 则   b a f (x)dx 0 (ab) 推论 1 如果在区间[a b]上 f (x) g(x) 则    b a b a f (x)dx g(x)dx (ab) 这是因为 g (x)f (x)0 从而        b a b a b a g(x)dx f (x)dx [g(x) f (x)]dx 0  所以    b a b a f (x)dx g(x)dx  推论 2    b a b a | f (x)dx| | f (x)|dx (ab) 这是因为|f (x)|  f (x)  |f (x)|所以       b a b a b a | f (x)|dx f (x)dx | f (x)|dx  即    b a b a | f (x)dx| | f (x)|dx |  性质 6 设 M 及 m 分别是函数 f(x)在区间[a b]上的最大值及最小值 则      b a m(b a) f (x)dx M(b a) (ab) 证明 因为 m f (x) M  所以      b a b a b a mdx f (x)dx Mdx 从而      b a m(b a) f (x)dx M(b a) 这个性质表明，由被积函数在积分区间上的最大值和最小值，可以估计积 分值的大致范围。 性质 7 (定积分中值定理) 如果函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 则在积 分区间[a b]上至少存在一个点 使下式成立    b a f (x)dx f ()(b a)  这个公式叫做积分中值公式 证明 由性质 6

银川能源学院《高签激学》救朱 第五童定积分 mb-a)≤fxk≤Mb-a, 各项除以b-a得 m≤M, 再由连续函数的介值定理，在[a,b]上至少存在一点5，使 je=。a, 于是两端乘以b-a得中值公式 [f(xxb-/)b-a. 积分中值公式的几何解释： 应注意：不论a<b还是心b,积分中值公式都成立 积分中值定理的几何意义是：在区间[a,b]上至少存在一点5，使得以区间 [a,b]为底边，以曲线y=f(x)为曲边的 y=f(x) f(5) 曲边梯形的面积等于同一底边而高为 f(5)的矩形的面积。 a5 如果)在区间a的上连续，算式6达称为函数)在闭区间 [a,b]上的平均值。 如己知某地某日自0时到24时天气温度的曲线f(t),t为时间，则 f0山表示为该地该日的平均气温。 又如物体以()作变速直线运动，在时间区间[I☑，)]内物体所经过的路程 为0山，则。70h促是运动物休在时间段，]内的平约速度. 第9页

银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 9 页      b a m(b a) f (x)dx M(b a) 各项除以 ba 得     b a f x dx M b a m ( ) 1  再由连续函数的介值定理 在[a b]上至少存在一点  使    b a f x dx b a f ( ) 1 ()  于是两端乘以 ba 得中值公式    b a f (x)dx f ()(b a)  积分中值公式的几何解释 应注意 不论 ab 积分中值公式都成立 积分中值定理的几何意义是：在区间[a,b]上至少存在一点  ，使得以区间 [a,b]为底边，以曲线 y f x  ( ) 为曲边的 曲边梯形的面积等于同一底边而高为 f ( )  的矩形的面积。 如果 f x( ) 在区间[a,b]上连续，算式 1 ( ) b a f x dx b a   称为函数 f x( ) 在闭区间 [a,b]上的平均值。 如已知某地某日自 0 时到 24 时天气温度的曲线 f t t ( )， 为时间，则 24 0 1 ( ) 24 f t dt  表示为该地该日的平均气温。 又如物体以 vt() 作变速直线运动，在时间区间 1 2 [ , ] T T 内物体所经过的路程 为 2 1 ( ) T T v t dt  ，则 2 1 2 1 1 ( ) T T v t dt T T  便是运动物体在时间段 1 2 [ , ] T T 内的平均速度。 b a  f ( )  y f x  ( ) y O x

银川能源学院《高签激学》救案 第五童定积分 第三节微积分基本公式 在第一节中，已经举过应用定积分定义计算定积分的例子，从实际例子可 以看到，用定积分定义计算定积分，一般来说，计算复杂，难度较大。因此， 必须寻找一种简单易行的计算定积分的新方法。 下面先从实际问题中寻找解决问题的线索。为此，对变速直线运动中的位 置函数s()和速度函数v)之间的联系作进一步的研究。 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设物体从某定点开始作直线运动，在1时刻所经过的路程为S),速度为 =W)=S()(()≥0)，则在时间间隔[T,T2]内物体所经过的路程S可表示为 ST)-sT)及0d, 即 di=S()-S(). 上式表明，速度函数v0)在区间[T1,T]上的定积分等于v()的原函数S()在 区间[T,T]上的增量. 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？ 二、积分上限函数及其导数 设函数x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点.我们把函数x) 在部分区间[a,y上的定积分fx女，称为积分上限的函数.它是区间[a,1上 的函数，记为x)=fx,或(x)上fh. 定理1如果函数x)在区间[a,b]上连续，则函数 D(x)=["f(x)dx 在[a,b]上具有导数，并且它的导数为 )=&/0d=fe(a≤rb 简要证明： 若x∈(a,b),取△x使x+△r∈(a,b), △d=D(x+Ax-Φ(x)=+afo)dh-Cf0d y=f(x) -fd+d-ffd -f(di=f)x, o(x) 应用积分中值定理，有△Φ=∫()△x, aX5x+△xb 其中在x与x+△x之间，△x0时，5x.于是 099: Φ'(x)=lim 21 第10页

银川能源学院《高等数学》教案 第五章 定积分 第 10 页 第三节 微积分基本公式 在第一节中，已经举过应用定积分定义计算定积分的例子，从实际例子可 以看到，用定积分定义计算定积分，一般来说，计算复杂，难度较大。因此， 必须寻找一种简单易行的计算定积分的新方法。 下面先从实际问题中寻找解决问题的线索。为此，对变速直线运动中的位 置函数 s(t)和速度函数 v(t)之间的联系作进一步的研究。 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设物体从某定点开始作直线运动 在 t 时刻所经过的路程为 S(t) 速度为 vv(t)S(t)(v(t)0) 则在时间间隔[T1 T2]内物体所经过的路程 S 可表示为 ( ) ( ) S T2 S T1 及 v t dt T T ( ) 2 1   即 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 v t dt S T S T T T     上式表明 速度函数 v(t)在区间[T1 T2]上的定积分等于 v(t)的原函数 S(t)在 区间[T1 T2]上的增量 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？ 二、积分上限函数及其导数 设函数 f(x)在区间[a b]上连续 并且设 x 为[a b]上的一点 我们把函数 f(x) 在部分区间[a x]上的定积分 f x dx x a ( )  ,称为积分上限的函数 它是区间[a b]上 的函数 记为 (x) f x dx x a ( )    或(x) f t dt x a ( )   定理 1 如果函数 f(x)在区间[a b]上连续 则函数 (x) f x dx x a ( )   在[a b]上具有导数 并且它的导数为 (x) f (t)dt f (x) dx d x a    (ax<b) 简要证明: 若 x(a b) 取x 使 xx(a b) (xx)(x) f t dt f t dt x a x x a ( ) ( )      f t dt f t dt f t dt x a x x x x a ( ) ( ) ( )        f t dt f x x x x     ( ) ()  应用积分中值定理 有f ()x 其中在 x 与 xx 之间 x0 时 x  于是 (x) lim lim ( ) lim ( ) ( ) 0 0 f f f x x x x x                ( ) x x x x  b a  y f x  ( ) y O x