习题7-1 1.已知函数fx,y)=x2+y2-oytanx,试求fc,). f(.)=()+(o)-(x)(o)tan=r(x'+-xytn)=rf(xy). 2.已知函数f(x,y)=(x+y)-,求f(2,3),f(x+y): 解(2,3片#少少材 3. 已知f心x+y为=-只,求f,川 解+y=,兰=品,少=则 故 f(x,以=r0- 1+y 2,0y≠-0 4.求下列各函数的定义域,并画出定义域的图形: (1)z=n(y): (2)z=arcsin(3-x2-) Vx-y (3)z=In(y-x)+ F w (5)u=VR2-x2-y2-z2+ (R>0); V2+y2+2-r2 解(1){x,yx>0,y>0或xy2}: (3)y-x>0,x≥0且1-x2-y2>0,故函数的定义域为, D={xyy>x≥0,x2+y0,故函数的定义域为
1 习题 7-1 1. 已知函数 2 2 ( , ) tan x f x y x y xy y ,试求 f tx ty ( , ). 解 2 2 2 2 2 2 ( , ) tan ( tan ) ( , ) tx x f tx ty tx ty tx ty t x y xy t f x y ty y . 2. 已知函数 ( , ) ( ) , (2,3), x y f x y x y f f x y y 求 , . 解 1 (2, 3)= , =( 2 ) 5 x f f x y y x y , . 3. 已知 2 2 ( , ) , y f x y x y f x y x 求 , . 解 令 , y x y u v x , 1 1 u uv x y v v ,则 2 2 2 1 ( , ) 1 1 1 u uv u v f u v v v v , 故 2 (1 ) , ( 1) 1 x y f x y y y , . 4. 求下列各函数的定义域,并画出定义域的图形: (1) z xy ln( ) ; (2) 2 3 2 arcsin(3 ) x y z x y ; (3) 2 2 ln( ) 1 x z y x x y ; (4) 2 2 2 2 1 x y z a b ; (5) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 u R x y z x y z r (R>r>0); 解 (1) ( , ) 0, 0 0, 0 x y x y x y 或 ; (2) 2 2 2 ( , ) 2 4, x y x y x y ; (3) y x 0, x 0 且 2 2 1 0 x y ,故函数的定义域为, 2 2 D x y y x x y ( , ) 0, 1 . (4) 2 2 2 2 ( , ) 1 x y x y a b . ( 5 ) 2 2 2 2 R x y z 0 且 2 2 2 2 x y z r 0 , 故函数的 定义域 为
D={x,y2r2<x2+y2+22≤R2} 5.求下列各极限: (1)lim- 1-y (2)lim 2-Vy+4 02+ (3)lim sin(xy) (4)lim 1-cos(x2+y2) 场2y 0(x2+y2)eF 解)+多1: (2)lim 2-Vy+4 =lim- -xy =lim、 -1 、1 8 8w2+Vy+482+Vy+44 (3)lim sin(xy) =lim [1 sin(xy)_1 2 1。y2=lim,,·lim (4)lim 8(x2+y2)e Fms=1lim 020 2 6从四fx0)=0,mf八x2)=亏,能否断定四fx,)不存在? r r0 y-0 答因为函数f(x,y)沿不同路径的极限不相等,所以极限imf(x,y)不存在. -0 7.函数:=广+2在何处是间断的? y2-2x 解为了使函数的表达式有意义,需要y-2x≠0,所以曲线y2-2x=0上的点均 是函数:=+2x 的间断点。 y2-2x 8.证明:极限lim nx+y不存在。 3x-y 正当点P(x)沿x轴→0,0)时,imX+y=imX-1:当点P(x,)沿y轴 30x-yx →(0,0)时,1mx+y=1im上=-l,所以imX+上极限不存在。 x-yy 0x-y 0
2 2 2 2 2 2 D x y z r x y z R ( , , ) . 5. 求下列各极限: (1) 2 2 0 1 1 lim x y xy x y ; (2) 0 0 2 4 lim x y xy xy ; (3) 2 2 0 sin( ) lim x y xy x y ; (4) 2 2 2 2 0 2 2 0 1 cos( ) lim ( ) x x y y x y x y e ; 解 (1) 2 2 0 1 1 lim =1 x y xy x y ; (2) 0 0 0 0 0 0 2 4 1 1 lim =lim =lim = x x x 2+ 4 2+ 4 4 y y y xy xy xy xy xy xy ( ) ; (3) 2 2 2 0 0 sin( ) 1 sin( ) 1 lim lim x x 2 y y xy xy x y x xy (4) 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1 cos( ) 1 1 cos lim lim lim 1 lim 0 ( ) 2 x x t t x y x y y y x y t t x y e e t t 6. 从 0 0 1 2 lim ( ,0) 0, lim ( , ) 2 5 x x f x f x x ,能否断定 0 0 lim ( , ) x y f x y 不存在? 答 因为函数 f x y ( , ) 沿不同路径的极限不相等,所以极限 0 0 lim ( , ) x y f x y 不存在. 7. 函数 2 2 2 2 y x z y x 在何处是间断的? 解 为了使函数的表达式有意义,需要 2 y x 2 0 ,所以曲线 2 y x 2 0 上的点均 是函数 2 2 2 2 y x z y x 的间断点. 8. 证明:极限 0 0 lim x y x y x y 不存在。 证 当点 P x y ( , ) 沿 x 轴 (0,0) 时, 0 0 0 lim lim =1 x x y x y x x y x ;当点 P x y ( , ) 沿 y 轴 (0,0) 时, 0 0 0 lim lim 1 y y x x y y x y y ,所以 0 0 lim x y x y x y 极限不存在.
习题7-2 1.求下列函数的偏导数: (1)z=xy-yx: (2)==arctan (3)z=√n(y): (4)2=sin()+cos2():(5)=+r 0: (6)z=(1+y)P. 解) 点=y以容-3w2 1 (2) y 0x1+ =,x+3 1 (3) ax 2x In(xy) ay 2y In(xy) (4) 产=yo0s()+2cos(g)-sm小y=J[cos)-sin2g),根据对称 性可知: 等-caaw)sm2]: 付因为5=+-“+:,所以应=是是,西=“ (6) =0+y:又因为z=(0+9yy=em),所以 a =e y 2.设fx,y)=x+y-Vx2+y2,求f(3,4),f(3,4) 解因为f(x,y)=1- X 所以B4=子a利= 3设=+0-acmE 求f(x,)及f(0,)。 解因为f(x,)=x,所以f(x,)=1,f(0,)=1. 3
3 习题 7-2 1.求下列函数的偏导数: (1) 3 3 z x y y x ; (2) arctan x z y ; (3) z xy ln( ) ; (4) 2 z xy xy sin( ) cos ( ) ; (5) 2 2 u v s uv ; (6) (1 ) y z xy . 解 (1) 2 3 3 2 3 , 3 z z x y y x xy x y ; (2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , 1 1 x z y z x y y x x y y x y x x y y ; (3) 1 1 , 2 ln( ) 2 ln( ) z z x y x xy y xy ; (4) cos( ) 2cos( ) sin( ) cos( ) sin(2 ) z y xy xy xy y y xy xy x ,根据对称 性可知: cos( ) sin(2 ) z x xy xy y ; (5) 因为 2 2 u v u v s uv v u ,所以 2 s v 1 u v u , 2 s u 1 v u v ; (6) 2 1 (1 ) z y y xy x ;又因为 ln(1 ) (1 ) y y xy z xy e ,所以 ln(1 ) ln(1 ) (1 ) ln(1 ) 1 1 z x xy y xy y e xy y xy xy y xy xy . 2.设 2 2 f x y x y x y ( , ) ,求 (3,4), (3,4) x y f f . 解 因为 2 2 x ( , ) 1 x f x y x y , 2 2 y ( , ) 1 y f x y x y , 所以 2 1 (3,4) , (3,4) 5 5 x y f f 3. 设 ( , ) ( 1)arcsin x f x y x y y ,求 ( ,1) x f x 及 (0,1) x f 。 解 因为 f x x ( ,1) ,所以 f x x ( ,1) 1 , f x (0,1) 1 .
4.设f(x,y)= +,2+y20 ,求f(0,0),f(0,0) 0, x2+y2=0 f0,0)=mf,0)-f0,0=-1lm0-0=0.同理f0,0=0. 解 r- 5.设:=G+,证明:+y产= 2 证因为产- 1 2+所以袋+空 02 ax2√(NF+V)' 2 6.求下列函数的二阶偏导数: (1)z=y:(2)z=sin2(m+by):(3)2=x4+y-4x2y2。 解(①) 会=y 2 a=J广n2y, 或, 8 O=x-y, y+y.-y(lny+D. Oxoy y (2) 产=2 sin(ax+-b)cosfax+-by-a=asin2(cx+b刎), &x =2sin(x+by)cos(x+by)b=bsin2(aby). oy 82 ar2 =acos2(ax+by).2a=2a'cos2(ax+by), 82 0y2 =bcos2(ax+by).2b=2b2cos2(ax+by), ==acos2(ax+by).2b=2abcos2(@x+by)= 82 Oxoy yox (3) =4r2-8gy72, &x 正=4y2-8x2y, 器-2r-8=l2r-, 03三=-16y:
4 4.设 2 2 2 2 2 2 sin , 0 ( , ) 0, 0 y x x y f x y x y x y ,求 (0,0), (0,0) x y f f 解 0 0 ( ,0) (0,0) 0 0 x (0,0) lim lim 0 x x f x f f x x ,同理 f y (0,0) 0 . 5.设 z x y ln( ) ,证明: 1 2 z z x y x y 。 证 因为 1 1 , 2 ( ) 2 ( ) z z x y x x y y x y ,所以 1 2 z z x y x y . 6.求下列函数的二阶偏导数: (1) x z y ; (2) 2 z ax by sin ( ) ; (3) 4 4 2 2 z x y x y 4 。 解 (1) ln z x y y x , 2 2 2 ln z x y y x , z x 1 xy y , 2 2 2 ( 1) z x x x y y , 2 1 1 1 ln ( ln 1) z x x x xy y y y x y x y y . (2) 2sin( )cos( ) sin 2( ) z ax by ax by a a ax by x , 2sin( )cos( ) sin 2( ) z ax by ax by b b ax by y , 2 2 2 cos2( ) 2 2 cos2( ) z a ax by a a ax by x , 2 2 2 cos2( ) 2 2 cos2( ) z b ax by b b ax by y , 2 2 cos2( ) 2 2 cos2( ) z z a ax by b ab ax by x y y x . (3) 3 2 4 8 z x xy x , 3 2 4 8 z y x y y , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 8 , 12 8 , 16 z z z x y y x xy x y x y .
7.设f)y=±+2,求f0、f1,0,2)、f(0,-1,0)及f(2,0,)。 解f(0,0,1)=2,f(1,0,2)=2,f=(0,-1,0)=0,f-(2,0,1)=0. 8.设z=ey+xln(y),求 8及 x200· 解 在=e+ln()+x·y=ew+ln(y)+l, 1 a-yeye 0 x Oxoy =2e"+xy2e, =xe”+X dy 'x=xe+x 02 1 xy ,=-,=". 9.验证:u= 万e满足方程-u 1-x t 证因为 + 412= 42 0益器兰意 4t2 所以 ou u ot 0x2 习题7一3 1.求下列函数的全微分: (1)z=x2y+y2 (2)z=e*sin(x+y); (3)z= Vt: (4)u=(y). (1)dz=2xydx+(x2+2y)dy: (2)dz=e*[sin(x+y)+cos(x+y)ldx+e*cos(x+y)dv:
5 7.设 2 2 2 fxyz xy yz zx (,,) ,求 (0,1) xx f 、 (1,0,2) xz f 、 (0, 1,0) yz f 及 (2,0,1) zzx f 。 解 f f f f xx xz yz zzx (0,0,1) 2, (1,0,2) 2, (0, 1,0) 0, (2,0,1) 0 . 8.设 ln( ) xy z e x xy ,求 3 2 z x y 及 3 3 z y 。 解 1 ln( ) ln( ) 1 z xy xy ye xy x y ye xy x xy , 2 2 2 2 z xy xy 1 1 y e y y e x xy x , 3 2 2 2 z xy xy ye xy e x y , z x xy xy 1 xe x x xe y xy y , 2 2 2 2 z x xy x e y y , 3 3 3 3 z x xy 2 x e y y . 9.验证: 2 4 1 x t u e t 满足方程 2 2 u u t x . 证 因为 2 2 2 2 4 4 2 2 3 1 1 1 ( 2 ) 2 4 4 x x t t u x u x t e e t t t t t , 又 2 4 1 2 4 2 x t u x x e u x t t t , 2 2 2 2 ( 2 ) 2 2 2 2 2 4 u u x u u x x u x t u x t t x t t t t , 所以 2 2 u u t x . 习题 7-3 1.求下列函数的全微分: (1) 2 2 z x y y (2) sin( ) x z e x y ; (3) 2 2 y z x y ; (4) ( )z u xy . 解 (1) 2 dz xydx x y dy 2 ( 2 ) ; (2) [sin( ) cos( )] cos( ) x x dz e x y x y dx e x y dy ;
(3)因为 -y x2+yR+y(x+y2月 x2+y2-y.- 2+y oy x2+y2 ((x2+)月 所以db= +x2 3= s(xd少-yd) (x2+y2)F(x2+y2)(x2+y2)月 (4)因为 0=(o,0c(oj.产=(jo 所以d=z(gdk+(d+)In()=(y三k+三d+-In(-xy)d= x 2.求函数z=ln(1+x2+y2)当=1,=2时的全微分 解因为 =,2x dz 2y 0z 10z 脉1+r+y’01+x+y' 3 所以,全微分=k+· 3 3.计算(1.04)22的近似值. 解设f(x,y)=x”,则有f(x,y)=x,f(x,y)=x'nx. 若取x=1,y=2,△x=0.04,△y=0.02,则f1,2)=1,f(1,2)=2,f(1,2)=0. 利用近似公式 f(x+△xy+△y)≈f(x,y)+f(x,y)△x+f,(x,y)Ay, 求得(1.04)22=f1.04,2.02)≈f1,2)+f(1,2)×0.04+f(L,2)×0.02=1.08. 4.有一圆柱体,受压后发生变形,它的半径由20cm增大到20.05cm,高由100cm减少 到99cm。求此圆柱体体积变化的近似值。 解圆柱体的体积为V=πRH,则dV=2πRH△:π△上,当R=20, H=100,△R=0.05,△H=-1时, dW=π×20(2×100×0.05+20×(-1)=-200m, 即圆柱体体积减少了200πcm. 6
6 (3) 因为 2 2 3 2 2 2 2 2 z y x xy x x y x y x y , 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 y x y y z x x y y x y x y , 所以 dz 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) xy x x dx dy xdy ydx x y x y x y . (4) 因为 u z 1 yz xy x , u z 1 xz xy y , ln( ) u z xy xy z , 所以 1 1 ( ) ( ) ( ) ln( ) ( ) ln( ) z z z z z z du yz xy dx xz xy dy xy xy dz xy dx dy xy dz x y . 2.求函数 2 2 z x y ln(1 ) 当 x=1, y=2 时的全微分. 解 因为 2 2 2 1 z x x x y , 2 2 2 1 z y y x y , 1 2 1 x 3 y z x , 1 2 2 x 3 y z y , 所以,全微分 1 2 1 2 3 3 x y dz dx dy . 3. 计算 2.02 (1.04) 的近似值. 解 设 ( , ) y f x y x ,则有 1 ( , ) y x f x y yx , ( , ) ln y y f x y x x . 若取 x y 1 , 2 , x y 0.04 , 0.02,则 f (1,2) 1 , f x (1,2) 2 , f y (1,2) 0 . 利用近似公式 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y f x x y y f x y f x y x f x y y , 求得 2.02 (1.04) (1.04,2.02) (1,2) (1,2) 0.04 (1,2) 0.02 f f f f x y 1.08. 4. 有一圆柱体,受压后发生变形,它的半径由 20cm 增大到 20.05cm,高由 100cm 减少 到 99cm 。求此圆柱体体积变化的近似值。 解 圆柱体的体积为 2 V R H ,则 2 dV RH R R H 2 ,当 R 20 , H 100, R 0.05, H 1 时, dV 20(2 100 0.05 20 ( 1)) 200 , 即圆柱体体积减少了 3 200 cm .
5.已知一直角三角形的斜边为2.1cm,一个锐角为31°,求这个锐角所对的直角边的近 似值。 解设fx,y)=xsiny,则有f(x,y)=siny,,(xy)=xcosy. 若取x=2,J=若a=01,Ay=高则R爱=1爱- 6 人(2石=V5.利用近似公式 f(x+△x,y+Ay)≈f(x,y)+fr(x,y)△x+f(x,y)Ay, 求利直角边长为f2L3r)f心爱+2?x01+fQ爱x10108. 180 习题7一4 1.求下列复合函数的偏导数 (0)设2=+,而u=x+以y=-y,求在,产 Ox dy ②)设z=nv,而u=5v=3x-2y,求产, 0z 3)设z=e-,而x=sin4,y=户,求 (④设z=arcsin((x-以,而x=3t,y=4r,求 t )2=f-y,e),求,应 (6u=fxy,a),求,0.au x'’品 解(1) =2 0+20 =2(x+y)+2(x-y)=4x, Ox x 02-2u1 +2=2K+y)-2k-y片. dy (2)解法一:由复合函数的求导法则有 正.在.0在-2wlnv+3=2m3x-2+6x-2w 3r2 Ox Ou ax Ov Ox y v y >
7 5. 已知一直角三角形的斜边为 2.1cm ,一个锐角为 31o ,求这个锐角所对的直角边的近 似值。 解 设 f x y x y ( , ) sin ,则有 f x y y x ( , ) sin , ( , ) cos y f x y x y . 若取 2 , 6 x y , 0.1 , 180 x y ,则 (2, ) 1 6 f , 1 (2, ) 6 2 x f , (2, ) 3 6 y f .利用近似公式 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y f x x y y f x y f x y x f x y y , 求得直角边长为 (2.1, 31 ) (2, ) (2, ) 0.1 (2, ) 1.08 6 6 6 180 x y f f f f . 习题 7-4 1. 求下列复合函数的偏导数 (1) 设 2 2 z u v ,而 u x y v x y , ,求 z x , z y . (2) 设 2 z u v ln ,而 , 3 2 x u v x y y ,求 z x , z y . (3) 设 x y 2 z e ,而 3 x t y t sin , ,求 dz dt . (4) 设 z x y arcsin( ) ,而 3 x t y t 3 , 4 ,求 dz dt . (5) 2 2 ( , ) xy z f x y e ,求 z x , z y . (6) u f x xy xyz ( , , ),求 u x , u y , u z . 解 (1) 2 2 2( ) 2( ) 4 z u v u v x y x y x x x x , 2 2 2( ) 2( ) 4 z u v u v x y x y y y y y . (2)解法一:由复合函数的求导法则有 2 2 2 2 1 2 3 2 ln 3 ln(3 2 ) (3 2 ) z z u z v u x x u v x y x u x v x y v y x y y
2x2 法二:将u=5=3x-2y代入:=rlnv中,得:=(3x-2列,于 色-21n3x-20+6x-2' 3r2 等--26xr 2x2 Ox y (3) c1-2(cos1). dt (4)解法一:由复合函数的求导法则有 止-正.k+正.少=3 -12r2 31-4) di ax di'ay di -(x-y)-(x-y)-(31-4 解法二:将x=3t,y=4r3代入z=arcsin(x-y)中,得z=arcsin(3t-4r), dz 31-4r) 于是 dt V-(3t-4r7 (5) -2+eg、年=-2+e @x (6)将三个中间变量按顺序编为1,2,3,由复合函数的求导法则有 0=1+6y+f=f++时, a -公+万如=水+5.是=不w=听 ay 2.设z=arctan,而x=u+y,y=u-v,验证 +=u-y Ou ov u+v 证明 +=.a+.0]+ 8z dx 8z oy 1+y) 2y 2(u-v) u-1 x2+y(u++(u-0+
8 2 2 2 2 3 2 2 2 2 ln 2 ln(3 2 ) (3 2 ) z x u x x u v x y y y v y x y y . 解法二:将 , 3 2 x u v x y y 代入 2 z u v ln 中,得 2 2 ln(3 2 ) x z x y y ,于是 2 2 2 2 3 ln(3 2 ) (3 2 ) z x x x y x y x y y , 2 2 3 2 2 2 ln(3 2 ) (3 2 ) z x x x y y y x y y (3) 3 2 2 2 sin 2 2 cos 2 3 (cos 6 ) dz x y x y t t e t e t e t t dt . (4)解法一:由复合函数的求导法则有 2 2 2 2 3 2 3 12 3 1 4 1 ( ) 1 ( ) 1 (3 4 ) dz z dx z dy t t dt x dt y dt x y x y t t . 解法二:将 3 x t y t 3 , 4 代入 z x y arcsin( ) 中,得 3 z t t arcsin(3 4 ) , 于是 2 3 2 3 1 4 1 (3 4 ) dz t dt t t . (5) 2 , 2 1 2 1 2 z z xy xy xf ye f yf xe f x y . (6) 将三个中间变量按顺序编为 1,2,3,由复合函数的求导法则有 1 2 3 1 2 3 1 u f f y f yz f yf yzf x , 2 3 2 3 u f x f xz xf xzf y , 3 3 u f xy xyf z . 2. 设 arctan x z y ,而 x u v y u v , ,验证 2 2 z z u v u v u v . 证明 z z z x z y z x z y u v x u y u x v y v 2 2 2222 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1111 2 2( ) x x y y y y xxxx yyyy y u v u v x y u v u v u v
3.设z=f(x,y),x=rcos0,y=rsin0,证明: )+-+ 解由复合函数求导法则 - rcos0+、 点=-rsim0+rcos0, Oy ay 故 (信高-层w0+n+会rsm0+等0 4.设z=y+0),而u=上,f为可导函数,求x 解因为 +-f年-+. 所以 正y 产=2y+f0=z+y. 5.设z=fx+y),其中f具有=阶导数,求:,0:0 ax2'axr⊙'d 解 =2xf, Ox 正=2yf', =2f+4x2f”, a2g=4f”, Oxoy =2f+4rr. 8 6.2=f,的,其中f俱有二阶号数,求0: Oyex 解将两个中间变量按顺序编为1,2,由复合函数的求导法则有 年=气不x+公=听+。 点=+[*后+(】
9 3.设 z f x y x r y r ( , ), cos , sin ,证明: 2 2 2 2 2 z z z z 1 x y r r . 解 由复合函数求导法则 cos sin , sin cos z z z z z z r r r x y x y , 故 2 2 2 2 2 2 1 1 cos sin sin cos z z z z z z r r r r x y r x y 2 2 z z x y . 4.设 z xy xf u ( ) ,而 y u x , f u( ) 为可导函数,求 z z x y x y . 解 因为 ( ) ( ) z y y f u f u x x , ( ) z x f u y , 所以 2 ( ) z z x y xy xf u z xy x y . 5.设 2 2 z f x y ( ) ,其中 f 具有二阶导数,求 2 2 2 2 2 , , z z z x x y y 。 解 z x = 2xf , z y = 2yf , 2 2 2 2 4 z f x f x , 2 4 z xyf x y , 2 2 2 2 4 z f y f y . 6. 2 ( , ) y z x f xy x ,其中 f 具有二阶导数,求 2 z y x . 解 将两个中间变量按顺序编为 1,2,由复合函数的求导法则有 2 3 1 2 1 2 z 1 x f x f x f xf y x , 2 2 3 1 11 12 2 21 22 2 2 3 z y y x f x f y f f x f y f y x x x
=3x2f+xf”+-2 7.设xsin y+-e=0,求少 解设F(x,y)=xsiny+)e.由隐函数求导数公式,求得 Φ-_E=_siny+e dx F,xcosy+e* 8.设nVx2+y厂=arctan上,求 d 解设Fx,)=nVR+少-arctan兰=lr(r2+y)-arctan上,则 X 12x E-7y x+y 1x) 12y E,2x+ 11y-x x x2+y2 1+ 由隐函数求导公式,得少=-5=-+少/y-X=+y dx F. x2+y2/x2+y x-y 9.设e-z=0,求产及 0z 解 设Fx,y)=e-a,则产=-5=2 dx F e-xy' dy F.e-xy 10.设=n三,求产及空 解设Fxy动=兰-n手则=,5=-气引 y E=--2.1=-+2 2:y 22, 盘是儿:·香是-儿)间 1设r+y+2-4=0,求 x2 10
10 2 3 3 1 11 2 22 y x f x yf f f x 7. 设 sin 0 x x y ye ,求 dy dx . 解 设 ( , ) sin x F x y x y ye .由隐函数求导数公式,求得 sin cos x x x y dy y ye F dx F x y e . 8. 设 2 2 ln arctan y x y x ,求 dy dx 。 解 设 2 2 2 2 1 ( , ) ln arctan ln( ) arctan 2 y y F x y x y x y x x , 则 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 x x y x y F x y x x y y x , 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 y y y x F x y x x y y x , 由隐函数求导公式,得 2 2 2 2 x y dy x y F x y y x dx F x y x y x y . 9. 设 0 z e xyz ,求 z x 及 z y . 解 设 ( , , ) z F x y z e xyz ,则 , x y z z z z z yz z xz F F x F e xy y F e xy . 10. 设 ln x z z y ,求 z x 及 z y . 解 设 ( , , ) ln x z F x y z z y ,则 1 Fx z , 2 1 y y z F z y y , 2 2 1 z x y x z F z z y z , 所以 2 x 1 z z z F x z x F x z z z , 2 2 y 1 z z z F x z y F y x z y z . 11. 设 2 2 2 x y z z 4 0 ,求 2 2 z x .