第十二章 级数 一、本章学习要求与内容提要 (一)学习要求 1.了解无穷数项级数的收敛、发散及级数和的概念， 2.了解无穷级数收敛的必要条件，知道无穷级数的基本性质. 3.了解几何级数和p一级数的敛散性，会用正项级数的比较审敛法， 掌握正项级数的比值审敛法， 4.会用交错级数的莱布尼茨判别法，知道级数绝对收敛与条件收 敛的概念及其相互关系 5.了解幂级数及其收敛半径的概念，会求幂级数的收敛半径和收 敛区间. 6.了解幂级数在收敛区间内的基本性质. 7.知道泰勒(Taylor)级数公式和函数展开成泰勒级数的充要 条件
1 第十二章 级数 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1．了解无穷数项级数的收敛、发散及级数和的概念. 2．了解无穷级数收敛的必要条件,知道无穷级数的基本性质. 3．了解几何级数和 p -级数的敛散性,会用正项级数的比较审敛法, 掌握正项级数的比值审敛法. 4．会用交错级数的莱布尼茨判别法，知道级数绝对收敛与条件收 敛的概念及其相互关系. 5．了解幂级数及其收敛半径的概念，会求幂级数的收敛半径和收 敛区间. 6．了解幂级数在收敛区间内的基本性质. 7．知道泰勒（Taylor ）级数公式和函数展开成泰勒级数的充要 条件
8.会用+x、e、smx与inl+)等函数的麦克劳林(acarin)级 数展开式与幂级数的基本性质将一些简单的函数展开成幂级数， 9.了解以2π为周期的函数的傅里叶(Fourier)级数的概念，会计 算周期函数的傅里叶系数 10.知道周期函数可展开成它的傅里叶级数的充分条件， 11.掌握周期函数以及定义在[元，π和[1，)上的函数展开成傅里叶 级数的方法. 12.会将定义在[0,1上的函数展开成正弦级数或余弦级数. 重点正项级数的比较与比值判别法，交错级数的莱布尼茨判别 法，幂级数的收敛半径与收敛区间的概念，幂级数在收敛区间内的基 本性质，用+、e、smx与n+)等函数的麦克劳林(Maclaurin) 级数展开式与幂级数的基本性质将一些简单的函数展开成幂级数，以 2π为周期的函数的傅里叶级数的概念，周期函数可展开成它的傅里叶 级数的充分条件，掌握周期函数以及定义在[元，和[1，川上的函数展 开成傅里叶级数的方法， 难点无穷数项级数的收敛与发散的判别，区分绝对收敛与条件 收敛，幂级数的收敛半径与收敛区间，用已知基本展开式与幂级数的 基本性质将一些简单的函数展开成幂级数，将函数展开成傅里叶级数 时，计算该函数的傅里叶系数. 2
2 8．会用1 x 1 、 x e 、sin x 与ln(1 x)等函数的麦克劳林(Maclaurin)级 数展开式与幂级数的基本性质将一些简单的函数展开成幂级数. 9．了解以2π为周期的函数的傅里叶(Fourier)级数的概念，会计 算周期函数的傅里叶系数. 10．知道周期函数可展开成它的傅里叶级数的充分条件. 11．掌握周期函数以及定义在 π, π和 l,l上的函数展开成傅里叶 级数的方法. 12．会将定义在0,l上的函数展开成正弦级数或余弦级数. 重点 正项级数的比较与比值判别法，交错级数的莱布尼茨判别 法，幂级数的收敛半径与收敛区间的概念，幂级数在收敛区间内的基 本性质，用1 x 1 、 x e 、sin x 与ln(1 x) 等函数的麦克劳林(Maclaurin) 级数展开式与幂级数的基本性质将一些简单的函数展开成幂级数，以 2π为周期的函数的傅里叶级数的概念，周期函数可展开成它的傅里叶 级数的充分条件，掌握周期函数以及定义在 π, π和 l,l上的函数展 开成傅里叶级数的方法. 难点 无穷数项级数的收敛与发散的判别，区分绝对收敛与条件 收敛，幂级数的收敛半径与收敛区间，用已知基本展开式与幂级数的 基本性质将一些简单的函数展开成幂级数，将函数展开成傅里叶级数 时，计算该函数的傅里叶系数
(二)内容提要 1.数项级数 (1)定义设给定一个无穷数列u,4,…,4,…,则 n=l 称为数项级数，简称级数.其中第项u,称为级数的通项或一般项.该 级数的前n项和 S.=4+4++u=》% 称为级数n的前n项部分和，并称数列{S,}为级数∑u,的部分和数 列. (2)级数的收敛、发散与级数和 若级数∑4的部分和数列{s,}的极限存在，即1imS.=s,则称级 数“，收敛，若部分和数列的极限不存在，则称级数4，发散。 当级数∑u收敛时，称其部分和数列的极限S为级数∑4的和， 记为2u,=s. (3)数项级数的性质 ①若级数和，分别收敛于5与T,则级数a+w)收敛于 S+T,即 2u+u)24+区u
3 （二）内容提要 1. 数项级数 ⑴ 定义 设给定一个无穷数列u1 ,u2 ,,un ,，则 n n n u u u u 1 2 1 称为数项级数，简称级数.其中第n项 n u 称为级数的通项或一般项.该 级数的前n项和 n k n n k S u u u u 1 1 2 称为级数 n1 n u 的前n项部分和,并称数列Sn 为级数 n1 n u 的部分和数 列. ⑵ 级数的收敛、发散与级数和 若级数 n1 n u 的部分和数列Sn 的极限存在，即 S S n n lim ，则称级 数 n1 n u 收敛，若部分和数列的极限不存在，则称级数 n1 n u 发散. 当级数 n1 n u 收敛时，称其部分和数列的极限S 为级数 n1 n u 的和， 记为 u S n n 1 . ⑶ 数项级数的性质 ①若级数 n1 n u 和 n1 n 分别收敛于S 与T ,则级数 1 ( ) n n n u 收敛于 S T ，即 1 ( ) n n n u = n1 n u + n1 n ．
②级数∑4，和∑cu,(c为任一常数，c≠0)有相同的敛散性，且若 ,收敛于s,则收敛于s,即2u-克 ③添加、去掉或改变级数的有限项，所得级数的敛散性不变 ④（级数收敛的必要条件） 若级数un收敛，则1im4n=0. (4)正项级数及其收敛判别法 若un≥0(n=12,),则称级数∑4，为正项级数. ①比较判别法 设∑4，和∑u,是两个正项级数，且u,≤u.(n=12,,那么有 若级数∑，收敛，则级数∑4，也收敛： 若级数∑un发散，则级 数un也发散. ②比值判别法 设2，是正项级数，且一-p,则 当p1时，级数发散；当p=1时，级数 可能收敛，也可能发散， (⑤)交错级数与莱布尼茨判别法 ①交错级数 设n>0(n=12,),级数∑(-1)-un称为交错级数。 ②莱布尼茨判别法
4 ②级数 n1 n u 和 n1 n cu (c为任一常数，c 0) 有相同的敛散性，且若 n1 n u 收敛于S ，则 n1 n cu 收敛于cS ，即 n1 n cu = n1 n c u . ③添加、去掉或改变级数的有限项，所得级数的敛散性不变. ④(级数收敛的必要条件) 若级数 n1 n u 收敛，则lim 0 n n u . ⑷ 正项级数及其收敛判别法 若u 0(n 1,2,) n ，则称级数 n1 n u 为正项级数. ①比较判别法 设 n1 n u 和 n1 n 是两个正项级数，且u (n 1,2,) n n ，那么有 若级数 n1 n 收敛，则级数 n1 n u 也收敛； 若级数 n1 n u 发散，则级 数 n1 n 也发散. ②比值判别法 设 n1 n u 是正项级数，且 n n n u u 1 lim ，则 当 1时，级数收敛； 当 1时，级数发散； 当 1时，级数 可能收敛，也可能发散. ⑸ 交错级数与莱布尼茨判别法 ①交错级数 设u 0(n 1,2,) n ，级数 1 1 ( 1) n n n u 称为交错级数. ②莱布尼茨判别法
如果交错级数∑(-l)-.(,>0,n=l,2,)满足莱布尼茨(Leibniz) 条件： 4n≥4n+1(n=1,2,）且1imwn=0, 则该级数收敛，且其和s≤4，其余项n的绝对值ls+1 (6)绝对收敛与条件收敛 如果级数∑收敛，则称级数∑4是绝对收敛的：如果级数∑4 收敛而级数∑4发散，则称级数∑4，是条件收敛的.对于绝对收敛的 级数4，有如下结论： 如果级数∑u是绝对收敛的，则级数∑4n也收敛. (7)两个重要级数 ①几何级数 形如 ∑ag=a+ag+ag2++ag-+… 的级数称为几何级数.几何级数的敛散性有如下结论： 当<1时，几何级数2ag收敛于已，：当1时，几何级数∑g 发散. ②p-级数 形如 5
5 如果交错级数 1 1 ( 1) n n n u (u 0,n 1,2,) n 满足莱布尼茨(Leibniz) 条件： ( 1,2, ) un un1 n 且lim 0 n n u , 则该级数收敛,且其和 1 S u ,其余项 n r 的绝对值 n n1 r u . ⑹ 绝对收敛与条件收敛 如果级数 n1 n u 收敛，则称级数 n1 n u 是绝对收敛的；如果级数 n1 n u 收敛而级数 n1 n u 发散，则称级数 n1 n u 是条件收敛的.对于绝对收敛的 级数 n1 n u ，有如下结论： 如果级数 n1 n u 是绝对收敛的，则级数 n1 n u 也收敛. ⑺ 两个重要级数 ①几何级数 形如 2 1 0 n n n aq a aq aq aq 的级数称为几何级数.几何级数的敛散性有如下结论： 当 q 1时，几何级数 n0 n aq 收敛于 q a 1 ；当 q 1时，几何级数 n0 n aq 发散.② p - 级数 形如
的级数称为p-级数.p-级数的敛散性有如下结论： 当p>1时，p级数收敛：当p≤1时，p级数发散 特殊地，p=1时的p-级数L称为调和级数，调和级数是发散 n=Ih 的 2.幂级数 (1)函数项级数 如果级数 f(x)+f5(x)+…fn(x)+ 的各项都是定义在某个区间1上的函数，则称该级数为函数项级数， ∫(x)称为通项或一般项.当x在区间I中取定某个常数x时，该级数是 数项级数.如果数项级数∑∫(x)收敛，则称x为函数项级数∑)的 1 一个收敛点：如果发散，则称x为函数项级数的一个发散点，函数项 级数的所有收敛点组成的集合称为它的收敛域 对于收敛域内的任意一个数x,函数项级数为该收敛域内的一个 数项级数，于是有一个确定的和S.这样，在收敛域上，函数项级数 的和是x的函数S(x),通常称S(x)为函数项级数和函数，即 6
6 1 1 3 1 2 1 1 1 n p p p p n n 的级数称为 p - 级数． p - 级数的敛散性有如下结论： 当 p 1时， p - 级数 1 1 n p n 收敛；当 p 1时， p - 级数 1 1 n p n 发散. 特殊地, p 1时的 p - 级数 1 1 n n 称为调和级数, 调和级数是发散 的. 2．幂级数 ⑴ 函数项级数 如果级数 f1(x) f2 (x) fn (x) 的各项都是定义在某个区间I 上的函数，则称该级数为函数项级数， f (x) n 称为通项或一般项.当 x在区间I 中取定某个常数 0 x 时，该级数是 数项级数.如果数项级数 ( ) 0 1 f x n n 收敛，则称 0 x 为函数项级数 ( ) 1 f x n n 的 一个收敛点；如果发散，则称 0 x 为函数项级数的一个发散点，函数项 级数的所有收敛点组成的集合称为它的收敛域. 对于收敛域内的任意一个数 x ，函数项级数为该收敛域内的一个 数项级数，于是有一个确定的和S .这样，在收敛域上，函数项级数 的和是 x的函数S(x) ，通常称S(x) 为函数项级数和函数，即
S(x)=f(x)+f5(x)+…fn(x)+…, 其中x是收敛域内的任意一个点. (2)幂级数的定义 形如 ,=0+a+o24+a,+ n=0 的函数项级数称为x的幂级数，其中a,(n=0,l2,)称为该幂级数的第n 项系数. (3)幂级数的收敛半径 幂级数的系数满足 lim =， n→an 当0<1<+∞时，称R=】为幂级数的收敛半径；当1=0时，规定收敛 半径为R=+o;当1=+o时，规定收敛半径R=0. (4)幂级数的收敛区间、收敛域 ①收敛区间 如果幂级数的收敛半径为R,则称区间(-R,)为幂级数的收敛区 间，幂级数在收敛区间内绝对收敛. ②收敛域 把收敛区间的端点x=±R代入幂级数中，判断数项级数的敛散性 后，就可得到幂级数的收敛域。 (⑤)幂级数的性质 设∑a,x=S6),x∈（←R,R),∑bx°=Tx),xe(←R,R),R=min(R,R), 1
7 S(x) f1(x) f2 (x) fn (x) ， 其中x是收敛域内的任意一个点． ⑵ 幂级数的定义 形如 n n n n n a x a a x a x a x 2 0 1 2 0 的函数项级数称为x的幂级数，其中a (n 0,1,2,) n 称为该幂级数的第n 项系数. ⑶ 幂级数的收敛半径 幂级数的系数满足 n n n a a 1 lim ， 当0 时，称 1 R 为幂级数的收敛半径；当 0时，规定收敛 半径为R ；当 时，规定收敛半径R 0 . ⑷ 幂级数的收敛区间、收敛域 ①收敛区间 如果幂级数的收敛半径为 R ，则称区间(R,R)为幂级数的收敛区 间，幂级数在收敛区间内绝对收敛. ②收敛域 把收敛区间的端点 x R 代入幂级数中，判断数项级数的敛散性 后，就可得到幂级数的收敛域. ⑸ 幂级数的性质 设 ( ) , ( , ) , ( ) , ( , ) , min( , ) 1 2 0 1 1 2 2 0 a x S x x R R b x T x x R R R R R n n n n n n
①幂级数的和函数在收敛区间内连续. ②（加法运算）当x∈(-R,R)时，有 2a,r±26r-a,±6，k=t ③（逐项微分运算）当x∈(-R,R)时，有 sew-②ar-2ary-2mr， 且收敛半径仍为R. ④（逐项积分运算）当x∈(-R,)时，有 f'sc- 且收敛半径仍为R. (6)泰勒级数与麦克劳林级数 ①泰勒公式 如果函数f(x)在开区间(a,b)内具有直至n+1阶导数，且x。∈(a,b), 则对任意点x∈(a,b),有f(x)在x=x。处的n阶泰勒公式 f=f)+K,Xx-)+'x-k++x-+R,. 21 n! 其中R,(x)称为n阶泰勒公式的余项，当xx,时，它是比(x-x)高阶 的无穷小，故一般可写成R(x)=o-x").余项R(x)有多种形式，一 种常用的形式为拉格朗日型余项，其表达式为 R=a(x-,）“(连，与之间. (n+1)！ ②泰勒级数 8
8 ①幂级数的和函数在收敛区间内连续． ②(加法运算） 当x (R, R)时，有 0 0 0 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n n a x b x a b x S x T x ． ③(逐项微分运算） 当x (R, R)时，有 1 1 0 0 ( ) ( ) n n n n n n n n n S x a x a x na x ， 且收敛半径仍为R . ④(逐项积分运算） 当x (R, R)时，有 x x n n n S x x a x x 0 0 0 ( )d d = 0 0 d n x n n a x x = 0 1 1 n n n x n a ， 且收敛半径仍为R . (6) 泰勒级数与麦克劳林级数 ①泰勒公式 如果函数 f (x) 在开区间(a,b)内具有直至n 1阶导数,且 ( , ) 0 x a b , 则对任意点x (a,b) ,有 f (x)在 0 x x 处的n阶泰勒公式 ( ) ( ), ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n 其中R (x) n 称为n阶泰勒公式的余项，当 0 x x 时，它是比 n (x x ) 0 高阶 的无穷小，故一般可写成 ( ) ( ) 0 n n R x o x x .余项R (x) n 有多种形式，一 种常用的形式为拉格朗日型余项，其表达式为 ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) x x 在 x 与 x 之间 n f R x n n n . ②泰勒级数
f)+fXx-x)+2x-x++2x-y+ 2 n! 称为f(x)在x=x。处的泰勒级数. ③麦克劳林级数 f0+/0x+0x2++f90x+ 2 n! 称为f(x)的麦克劳林级数. ④函数展开成泰勒级数的充要条件 设函数(x)在x=x。的某个邻域内有任意阶导数，则函数f(x)的泰 勒级数在该邻域内收敛于f(x)的充要条件是：IimR(x)=0(其中R,(x) 是泰勒余项)·如果f(x)在x=x。处的泰勒级数收敛于f(x),则f(x)在 x=x。处可展开成泰勒级数，即 -2-r, n! 称其为f(x)在x=x,处的泰勒展开式，也称为f(x)关于x-x,的幂级数. 当x。=0时，有 称为函数f(x)的麦克劳林展开式 (7)常用初等函数的麦克劳林展开式 +…(-0<x<+0) ② 2m15x2=3别”527 =0 (2n+1)1 (2n+01+… (-0<x<+0) ③
9 n n x x n f x x x f x f x f x x x ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 称为 f (x)在 0 x x 处的泰勒级数. ③麦克劳林级数 n n x n f x f f f x ! (0) 2! (0) (0) (0) ( ) 2 称为 f (x)的麦克劳林级数. ④函数展开成泰勒级数的充要条件 设函数 f (x)在 0 x x 的某个邻域内有任意阶导数，则函数 f (x)的泰 勒级数在该邻域内收敛于 f (x)的充要条件是：lim ( ) 0 R x n n （其中R (x) n 是泰勒余项）. 如果 f (x)在 0 x x 处的泰勒级数收敛于 f (x) ,则 f (x)在 0 x x 处可展开成泰勒级数,即 n n n x x n f x f x ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) ， 称其为 f (x)在 0 x x 处的泰勒展开式，也称为 f (x)关于 0 x x 的幂级数. 当 0 x0 时，有 n n n x n f f x 0 ( ) ! (0) ( ) 称为函数 f (x)的麦克劳林展开式. (7) 常用初等函数的麦克劳林展开式 ① 0 2 ( ) 2! ! 1 ! 1 n n x n x n x x x x n e ② (2 1)! ( 1) (2 1)! 3! 5! 1 sin ( 1) 2 1 0 3 5 2 1 n x x x x x n x n n n n n ( x ) ③
(-0<x<+0) 1=0 n=0 n+7+…(-1<x≤1) ⑤1+x=1+a+aa-Dr2+…+a-少-a-n+》x”+…（-1<x<) 2！ 其中α为任意实常数 ⑥-2-r=1-4-+-r+ (-1<x<1) =0 3. 傅里叶级数 (1)以2π为周期的函数f(x)展开成傅里叶级数 ①设f(x)是周期为2π的函数，则f(x)的傅里叶系数的公式为 ()cosmds (n0.12.. 6.-f闭sinad(=12） 由f(x)的傅里叶系数所确定的三角级数 受+空a.osm+6sn) 称为f(x)的傅里叶级数. ②当f(x)是周期为2π的奇函数时，f(x)的傅里叶级数是正弦级数 立6smm,其中系数。.-是=23, ③当f(x)是周期为2π的偶函数时，f(x)的傅里叶级数是余弦级数 兰+20.sm,其中系数a,-2sira=012. 10
10 (2 )! ( 1) 2! 4! 1 (2 )! 1 cos ( 1) 4 2 0 2 2 n x x x x n x n n n n n ( x ) ④ 0 2 3 4 1 1 1 ( 1) 1 2 3 4 1 ln(1 ) ( 1) n n n n n n x x x x x x n x (1 x 1) ⑤ n x n n x x x ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (1 ) 1 2 (1 x 1) 其中 为任意实常数 ⑥ 0 2 3 ( 1) 1 ( 1) 1 1 n n n n n x x x x x x (1 x 1) 3. 傅里叶级数 ⑴ 以2π为周期的函数 f (x)展开成傅里叶级数 ①设 f (x)是周期为2π的函数，则 f (x)的傅里叶系数的公式为 ( ) cos d ( 0,1,2, ) π 1 π π a f x nx x n n ， ( )sin d ( 1,2, ) π 1 π π b f x nx x n n ， 由 f (x)的傅里叶系数所确定的三角级数 1 0 ( cos sin ) 2 n n n a nx b nx a 称为 f (x)的傅里叶级数. ②当 f (x) 是周期为2π的奇函数时， f (x) 的傅里叶级数是正弦级数 1 sin n n b nx ，其中系数 ( )sin d ( 1,2,3, ) π 2 π 0 bn f x nx x n . ③当 f (x) 是周期为2π的偶函数时， f (x) 的傅里叶级数是余弦级数 1 0 cos 2 n n a nx a ，其中系数 ( ) cos d ( 0,1,2, ) π 2 π 0 an f x nx x n