第三章导数与微分 一、本章学习要求与内容提要 (一)学习要求 1.理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率） 描述一些简单的实际问题， 2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导 公式 3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一 阶导数的求法。 4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法， 5.了解可导、可微、连续之间的关系. 重点导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的 二阶导数的求法， 难点求复合函数和隐函数的导数的方法
1 第三章 导数与微分 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1. 理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率） 描述一些简单的实际问题. 2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导 公式. 3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一 阶导数的求法. 4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法. 5.了解可导、可微、连续之间的关系. 重点 导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的 二阶导数的求法. 难点 求复合函数和隐函数的导数的方法
(二) 内容提要 1.导数的概念 (1)导数 设函数y=fx)在点x,的某一邻域内有定义，当自变量x在点x,处 有增量△x(△x≠O),x+△x仍在该邻域内时，相应地，函数有增量 Ay=f(x,+△x)-fx,),若极限 1imAy=limf+△x)-f) Ax-0△xA-0 △x 存在，则称fx)在点x,处可导，并称此极限值为fx)在点x,处的导数， 记为f(x,),也可记为y(x),y dy 或 ,即 =x。’dx=x。dx=xo f)-架=典飞+ 若极限不存在，则称y=f)在点x处不可导. 若固定x,令x,+△x=x,则当△x→0时，有x→x,所以函数fx)在 点x,处的导数f'x,)也可表示为 -, (2)左导数与右导数 ①函数f(x)在点x处的左导数 (lim Av=lim)(). △x
2 （二） 内容提要 1.导数的概念 ⑴导数 设函数 y f (x)在点 0 x 的某一邻域内有定义，当自变量 x在点 0 x 处 有增量 x(x 0) ， x x 0 仍在该邻域内时，相应地，函数有增量 ( ) ( ) 0 0 y f x x f x ，若极限 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x y f x x f x x x 存在，则称 f (x)在点 0 x 处可导，并称此极限值为 f (x)在点 0 x 处的导数， 记为 ( ) 0 f x ，也可记为 0 0 0 0 d d d d ( ) , , x x x f x x x y x x y x y 或 ，即 x f x x f x x y f x x x ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 . 若极限不存在，则称 y f (x)在点 0 x 处不可导. 若固定 0 x ，令x x x 0 ，则当x 0时，有 0 x x ，所以函数 f (x)在 点 0 x 处的导数 ( ) 0 f x 也可表示为 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x x . ⑵ 左导数与右导数 ① 函数 f (x)在点 0 x 处的左导数 ( ) 0 f x ＝ x f x x f x x y x x ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0
②函数fx)在点x,处的右导数 x)=©是=四6+a0-f. △x ③函数f(x)在点x,处可导的充分必要条件是f(x)在点x,处的左导 数和右导数都存在且相等， 2.导数的几何意义 (1)曲线的切线 在曲线上点M的附近，再取一点M,作割线MM,当点M,沿曲线 移动而趋向于M时，若割线MM,的极限位置MT存在，则称直线MT为 曲线在点M处的切线， (2)导数的几何意义 函数y=f(x)在点x处的导数表示曲线y=f(x)在点(x,fx)》处的切 线斜率。 关于导数的几何意义的3点说明： ①曲线y=f(x)上点)处的切线斜率是纵标变量y对横标变量 x的导数.这一点在考虑用参数方程表示的曲线上某点的切线斜率时 优为重要， ②如果函数y=到在点x处的导数为无穷（即一是=”，此时四 在x处不可导)，则曲线y=f(x)上点(x,)处的切线垂直于x轴. ③函数在某点可导几何上意味着函数曲线在该点处必存在不垂直 于x轴的切线
3 ② 函数 f (x)在点 0 x 处的右导数 ( ) 0 f x ＝ x f x x f x x y x x ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 . ③函数 f (x)在点 0 x 处可导的充分必要条件是 f (x)在点 0 x 处的左导 数和右导数都存在且相等． ２．导数的几何意义 ⑴曲线的切线 在曲线上点 M 的附近，再取一点M1，作割线MM1，当点M1沿曲线 移动而趋向于M 时，若割线MM1的极限位置MT 存在，则称直线MT 为 曲线在点M 处的切线． ⑵导数的几何意义 函数 y f (x)在点 0 x 处的导数表示曲线 y f (x)在点( , ( )) 0 0 x f x 处的切 线斜率. 关于导数的几何意义的 3 点说明: ①曲线 y f (x) 上点( , ) 0 0 x y 处的切线斜率是纵标变量 y 对横标变量 x 的导数.这一点在考虑用参数方程表示的曲线上某点的切线斜率时 优为重要. ②如果函数 y f (x)在点 0 x 处的导数为无穷(即 x y x 0 lim ,此时 f (x) 在 0 x 处不可导),则曲线 y f (x)上点 ( , ) 0 0 x y 处的切线垂直于 x轴. ③函数在某点可导几何上意味着函数曲线在该点处必存在不垂直 于x轴的切线
3.变化率 函数的增量与自变量增量之比，在自变量增量趋于零时的极限， 即导数.在科学技术中常常把导数称为变化率（即因变量关于自变量 的变化率就是因变量关于自变量的导数).变化率反映了因变量随着 自变量在某处的变化而变化的快慢程度. 4.可导与连续的关系 若函数y=fx)在点x处可导，则y=f(x)在点x处一定连续.但反过 来不一定成立，即在点x处连续的函数未必在点x处可导. 5.高阶导数 (1)二阶导数 函数y=f(x)的一阶导数y='(x)仍然是x的函数，则将一阶导数 f'(x)的导 文fy称为函数y=f)的二阶导数，记为f")或y或之，目 y'=或 d'y_ddy dx2 dxdx (2)n阶导数 m-)阶导数的导数称为n阶导数（n=3,4,,m-,n)分别记 为 "(x)）,f4(x),…,-(x),f(x), 或y”，y,…,y-w,y
4 3.变化率 函数的增量与自变量增量之比，在自变量增量趋于零时的极限， 即导数.在科学技术中常常把导数称为变化率(即因变量关于自变量 的变化率就是因变量关于自变量的导数).变化率反映了因变量随着 自变量在某处的变化而变化的快慢程度. 4.可导与连续的关系 若函数 y f (x)在点 x处可导，则 y f (x)在点x处一定连续.但反过 来不一定成立，即在点x 处连续的函数未必在点x 处可导. 5. 高阶导数 ⑴二阶导数 函数 y f (x) 的一阶导数 y f (x) 仍然是 x 的函数，则将一阶导数 f (x) 的导 数( f (x)) 称为函数 y f (x)的二阶导数，记为 f (x) 或 y 或 2 2 d d x y ，即 y = ( y) 或 2 2 d d x y = x y x d d d d . ⑵n阶导数 (n 1) 阶导数的导数称为n阶导数（n=3，4， , (n 1) , n）分别记 为 f (x) , ( ) (4) f x , , ( ) ( 1) f x n , ( ) ( ) f x n ， 或 y , (4) y , , (n1) y , n y
或dy,dy d"-y d"y dr3’dr, dxn-1' 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数. 6.微分 (1)微分的定义 如果函数y=f(x)在点x处的改变量△y=f(x+△x)-f(x),可以表示 成 △y=A△x+o(△x), 其中oAx)是比△x(△x→O)高阶的无穷小，则称函数y=f)在点x处可微， 称A△r为△y的线性主部，又称Ax为函数y=fx)在点x处的微分，记 为dy或d(x),即dy=A△x, (2)微分的计算 df(x)=f'(x)dr,其中dr=△x,x为自变量. (3)一阶微分形式不变性 对于函数f(w),不论u是自变量还是因变量，总有d时(0=f'(w)du成 立 7.求导公式微分公式
5 或 3 3 d d x y , 4 4 d d x y , 1 1 d d n nx y , n nx y d d ， 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数. 6 . 微分 ⑴微分的定义 如果函数 y f (x)在点x 处的改变量y f (x x) f (x)，可以表示 成 y Ax o(x) ， 其中o(x) 是比 x(x 0) 高阶的无穷小，则称函数 y f(x)在点x 处可微， 称 Ax 为y 的线性主部，又称 Ax 为函数 y f (x)在点x 处的微分，记 为dy或df (x)，即dy Ax . ⑵微分的计算 df (x) f (x)dx ，其中dx x , x为自变量. ⑶一阶微分形式不变性 对于函数 f (u) ,不论 u 是自变量还是因变量,总有df (u) f (u)du 成 立. 7. 求导公式 微分公式
表3.1给出了基本初等函数的求导公式及微分公式. 表3.1求导与微分公式 求导公式 微分公式 c'=0 (c为常数) dc=0 (c为常数) (x“)）'=x4-1 (为实数) d(x“)=ur-dr (u为实数) (a")'=a*Ina d(a*)=a*Inadx (e)'=e d(e*)=e*dx (log,)'=-1 d0log。y=1dr xIna xIna (Inx)'=1 d(nx)=dx 基本 (sinx)'=cosx 基本 d(sinx)=cosxdx (cosx)'=-sinx d(cosx）=-sin xd 初等 初等 (tanx)'=sec2x d (tanx)=sec2xdx 函数 函数 (cotx)'=-csc2x d(cotx)=-csc2 xdx 求导 微分 (secx)'=secxtanx d(secx)=secxtanxdx 公式 公式 (cscx)'=-cscxcotx d(cscx)=-cscxcotxdx 1 1 (arcsin x)'=- d(arcsinx)= dx -x2 V1-x 1 (arccos x)'=- -x2 d(arccosx)=- V-d 1 1 (arctanx)'= 1+只 d(arctanx)=- rR4 (are cotx)'=-,I☐ 1 1+x2 d(arccotx)=- 1+xdr 对求导公式作如下两点说明： 6
6 表 3.1 给出了基本初等函数的求导公式及微分公式. 表 3.1 求导与微分公式 求导公式 微分公式 基本 初等 函数 求导 公式 c 0 (c为常数 ) 基本 初等 函数 微分 公式 d c 0 (c为常数) 1 ( ) x x (为实数) 1 d(x ) x dx (为实数 ) a a a x x ( ) ln a a a x x x d( ) ln d x x (e ) e x x x d (e ) e d x a x a ln 1 (log ) x x a x a d ln 1 d(log ) x x 1 (ln ) x x x d 1 d (ln ) (sinx) cosx d(sinx) cosxdx (cosx) sinx d (cos x) sin xdx x x 2 (tan ) sec d (tanx) sec xdx 2 x x 2 (cot ) csc d (cot x) csc xdx 2 (secx) secxtanx d(secx) secx tanxdx (cscx) cscxcotx d (csc x) csc x cot xdx 2 1 1 (arcsin ) x x x x x d 1 1 d(arcsin ) 2 2 1 1 (arccos ) x x x x x d 1 1 d(arccos ) 2 2 1 1 (arctan ) x x x x x d 1 1 d(arctan ) 2 2 1 1 (arc cot ) x x x x x d 1 1 d(arccot ) 2 对求导公式作如下两点说明:
(I)求导公式{fLp(x'表示函数o(x对自变量x的导数，即 {/p(x'=-Io(x] dx (2） 求导公式f"[o(x】表示函数fLo(x】对函数p(x)的导数，即 o(x)=I(x)] do(x) 8.求导法则微分法则 (1)求导法则，微分法则见下表3.2 (2)复合函数求导法则 (3)参数方程求导法则 (4)隐函数求导法 (⑤)对数求导法 表3.2求导与微分法则表 求导法则 微分法则 函 (x)±x)=(x)±U'(x) 函 d(x)±x=d(x)±du(x) 数 [u(x)v(x)] =u'(x)D(x)+u(x)U'(x) 数 du(x)v(x)=D(x)du(x)+u(x)dv(x) 的 的 [cu(x)]=c·t'（(x) dlcu(x)]=cdu(x) (c为常数) (c为常数) 四 四 则 u(x) (x)x)-x)U'(x) u(x) x)du(x)-u(x)du(x) (x)≠0) 则 ((x)≠0) U(x) U2(x) x) w2(x) 运 运 算 算 d dw①w(x)≠0) (x) v2(x) 求 D'(x) (U(x)≠0) 微 D(x) D2(x) 分
7 (1) 求导公式{ f [(x)]}表示函数 f [(x)]对自变量 x 的导数，即 { f [(x)]} = x f x d d [( )] , (2) 求导公式 f [(x)]表示函数 f [(x)]对函数(x) 的导数，即 f [(x)]= d ( ) d [ ( )] x f x . 8. 求导法则 微分法则 ⑴求导法则,微分法则见下表 3.2 ⑵复合函数求导法则 ⑶参数方程求导法则 ⑷隐函数求导法 ⑸对数求导法 表 3.2 求导与微分法则表 求导法则 微分法则 函 数 的 四 则 运 算 求 导 u(x) (x) u(x) (x) 函 数 的 四 则 运 算 微 分 d u(x)(x) du(x)d(x) u(x)(x) u(x)(x) u(x)(x) c u(x) c u(x) (c为常数) du(x)(x) (x)du(x) u(x)dv(x) dcu(x) cdu(x) (c为常数) ( ( ) 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x x u x x u x x x u x ( ( ) 0) ( ) ( ) ( ) 1 2 x x x x ( ( ) 0) ( ) ( )d ( ) ( )d ( ) ( ) ( ) d 2 x x x u x u x x x u x ( ( ) 0) ( ) d ( ) ( ) 1 d 2 x x x x
法 法 则 则 复 设y=f(0,u=p(x), 则复 复 设函数y=fw),u=p(x),则函 合 合函数y=fp(x的导数为 合 数y=fu)的微分为dy=f'(u)du,此 函 dy=d业.du 函 式又称为一阶微分形式不变性 数 dx du dx 数 求 微 导 分 法 法 则 若参数方程 x=0确定了y是x的函数， 则业= 或 d少=Ψ') y=w(t) dx p'(t) 参数方程确定的函 d 的 导 数 反 设=的反函数为x=),则o)0)或忠 dx 函 dx dy 数
8 法 则 法 则 复 合 函 数 求 导 法 则 设 y f (u)，u (x)，则复 合函数 y f (x)的导数为 x u u y x y d d d d d d 复 合 函 数 微 分 法 则 设函数 y f (u)，u (x) ,则函 数 y f (u)的微分为dy f (u)du ，此 式又称为一阶微分形式不变性 参 数 方 程 确 定 的 函 数 的 导 数 若参数方程 ( ) ( ) y t x t 确定了 y 是 x的函数，则 t x t y x y d d d d d d 或 x y d d = ( ) ( ) t t 反 函 数 设 y f (x)的反函数为 x ( y) ，则 ( ( ) 0) ( ) 1 ( ) y y f x 或 y x x y d d 1 d d
求 导 法 则 9.微分近似公式 (1)微分进行近似计算的理论依据 对于函数y=fx),若在点x,处可导且导数f(x)≠0，则当△x很小 时，有函 数的增量近似等于函数的微分，即有近似公式△y≈dy. (2)微分进行近似计算的4个近似公式 设函数y=fx)在点x,处可导且导数f"(x)≠0，当△x很小时，有 近似公式△y≈dy,即 f(xo+△x)-f(xo)≈f'(xo)△x, f(x+△x)≈f(x)+f'(xo)△x, 令x+△x=x,则 f(x)f(xo)+f(xo)(x-xo), 特别地，当x。=0,y很小时，有 f(x)≈f0)+f'(0)x. 二、主要解题方法 1.用导数的定义求函数导数的方法 9
9 求 导 法 则 9. 微分近似公式 （1）微分进行近似计算的理论依据 对于函数 y f (x) ,若在点 0 x 处可导且导数 ( ) 0 f x0 ，则当 x 很小 时，有函 数的增量近似等于函数的微分, 即有近似公式y dy . (2) 微分进行近似计算的 4 个近似公式 设函数 y f (x)在点 0 x 处可导且导数 ( ) 0 f x0 ，当 x 很小时，有 近似公式y dy，即 f (x x) f (x ) f (x )x 0 0 0 ， f (x x) f (x ) f (x )x 0 0 0 ， 令 x x x 0 ，则 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 f x f x f x x x ， 特别地，当 0 x0 ， x 很小时，有 f (x) f (0) f (0)x . 二、主要解题方法 1．用导数的定义求函数导数的方法
例1求y=x√F在x=0处的导数 解由导数的定义知 )lim)()=lim AxAx-0lim A0. △x Ax-+0△x △→0 例2求f)={+；。，的导数. x0时，了 当x0, x≤0. 小结求分段函数的导数时，除了在分界点处的导数用导数定义 求之外，其余点则仍按初等函数的求导公式求得. 2.用和、差、积、商及复合函数的求导法则求导的方法 例3设f)==F-诉+1，求. x 解---派+1x-石-1+x, x o
10 例 1 求 y x x 在 x 0处的导数. 解 由导数的定义知 lim 0 0 lim (0 ) (0) (0) lim 0 0 0 x x x x x f x f f x x x . 例 2 求 ， ， x x f x ln 1 ( ) 0 0 x x ，的导数. 解 当x 0时， x f x 1 1 ( ) ， 当 x 0时， f (x) 1， 当 x 0时， x f x f x f x f f x x ( ) (0) lim 0 ( ) (0) (0) lim 0 0 ， 所以 1 0 (0) lim 0 x x f x ， lim ln(1 ) ln e 1 ln(1 ) 0 (0) lim 1 0 0 x x x x x x f ， 因此 f (0) 1， 于是 1 , , 1 1 ( ) x f x 0 . 0 , x x 小结 求分段函数的导数时，除了在分界点处的导数用导数定义 求之外，其余点则仍按初等函数的求导公式求得. 2.用和、差、积、商及复合函数的求导法则求导的方法 例 3 设 , 1 ( ) 3 3 x x x x f x 求 f (x) . 解 3 1 6 1 3 2 3 3 1 1 ( ) x x x x x x x f x