习题六多元函数的极值 1.f(xo,%)=厂，(xo,%)=0是二元函数2=f(x,y)在点(xo,%)取得极值的 A充要条件 B.必要条件 C充分条件 D.既不充分又不必要条件 2.对于函数z=x2-y+y2-2x+y,有 0A点(1，)是极值点，且为极大值点 B.点(1,0是极值点，且为极小值点 C.点(0,0)是极值点，且为极大值点 D.点(0,0)是极值点，且为极小值点 3.函数z=x3-12xy+8y3的极值点为 A.(0,0),(2,1) C B 0c.(2,1) D.无极值点 4.若周长为a,面积为最大的矩形的长和宽分别为 3a 2a a A 8 8 B.5,10 aa 3a a C D. 4,4 0c.10,5 1.B.解由多元函数极值的必要条件可得 2.B.解设z=x2-xy+y2-2x+y,则其偏导数为 2(x,y)=2x-y-2,2(x,y)=-x+2y+1, 2.(x,y)=2.2w(x,y)=-1.2w(x,y)=2」 2x-y-2=0, 求函数f(x,y)的驻点，即解方程组： -x+2y+1=0
习题六 多元函数的极值 1. 是二元函数 在点 取得极值的 _________________． A.充要条件 B.必要条件 C.充分条件 D.既不充分又不必要条件 2．对于函数 ，有______________． A.点 是极值点，且为极大值点 B.点 是极值点，且为极小值点 C.点 是极值点，且为极大值点 D.点 是极值点，且为极小值点 3．函数 的极值点为__________． A. ， B. C. D.无极值点 4．若周长为 ，面积为最大的矩形的长和宽分别为________． A. ， B. ， C. ， D. ， 1. B．解 由多元函数极值的必要条件可得． 2. B．解 设 z x xy y 2x y 2 2 ，则其偏导数为 z x (x, y) 2x y 2， z (x, y) x 2y 1 y ， z xx (x, y) 2 ， z (x, y) 1 xy ， z (x, y) 2 yy ， 求函数 f (x, y) 的驻点，即解方程组： 2 2 0 , 2 1 0, x y x y f x (x0 , y0 ) f y (x0 , y0 ) 0 z f (x, y) ( , ) 0 0 x y (2,1) 5 2a 10 a 10 3a 5 a 4 a 4 a
得驻点为(1,0)， 对于(1,0)有2(1,0)=2，(1,0)=-1，二m(1,0)=2， 所以B2-AC0, 因此，函数在（①，0）点是极值点，且为极小值点. 3.C.解设f(x,y)=x3-12xy+8y3,则其偏导数为 f(x,y)=3x2-12y,f(x,y)=24y2-12x, f(x,y)=6x.fn(x,y)=-12,fm(x,y)=48y, 3x2-12y=0, 求函数f(x,y)的驻点，即解方程组 24y2-12x=0, 得驻点为(0,0)，(2,1). 对于(0,0)有f.(0,0)=0fm(0,0)=-12fm(0,0)=0, 所以B2-AC=114>0,故(0,0)不是极值点， 对于(2,1)有f.(2,1)=12fn(2,1)=-12f(2,1)=48 所以B2-AC0, 因此，函数在(2,1)点是极值点，且为极小值点. 4.D.解设矩形长、宽分别为x,y,则面积为S=y,且条件为周长最大2(x+y)=a, 则由条件极值解法，令 F(x,y,)=xy+2(x+y)-a], F=y+2=0, 解方程组{Fy=x+2元=0， 2(x+y)-a=0, 得x=y=只，即边长为二的正方形面积最大. 4 4
得驻点为 (1,0) ， 对于 (1,0) 有 z xx (1,0) 2 ， (1,0) 1 xy z ， z yy (1,0) 2， 所以 B AC 0 2 ，且 A 2 0， 因此，函数在 (1,0) 点是极值点，且为极小值点. 3. C．解 设 3 3 f (x, y) x 12xy 8y ，则其偏导数为 f x y x y x ( , ) 3 12 2 ， f x y y x y ( , ) 24 12 2 ， f x y x xx ( , ) 6 ， f xy (x, y) 12， f x y y yy ( , ) 48 ， 求函数 f (x, y) 的驻点，即解方程组 2 2 3 12 0 , 24 12 0, x y y x 得驻点为 (0,0) ，(2,1). 对于 (0,0) 有 f xx (0,0) 0 f xy (0,0) 12 (0,0) 0 yy f ， 所以 114 0 2 B AC ，故 (0,0) 不是极值点， 对于 (2,1) 有 f xx (2,1) 12 f xy (2,1) 12 f yy (2,1) 48， 所以 B AC 0 2 ，且 A 12 0， 因此，函数在 (2,1) 点是极值点，且为极小值点. 4. D．解 设矩形长、宽分别为 x, y ，则面积为 S xy ,且条件为周长最大 2(x y) a , 则由条件极值解法，令 F(x, y,) xy [2(x y) a], 解方程组 2 0, 2 0, 2( ) 0, x y F y F x x y a 得 4 a x y ，即边长为 4 a 的正方形面积最大