第二章 极限与函数 一、本章学习要求与内容提要 (一)学习要求 1.了解极限的描述性定义： 2.了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系和性质. 3.会用两个重要极限公式求极限. 4.掌握极限的四则运算法则 5.理解函数在一点连续的概念，知道间断点的分类， 6.了解初等函数的连续性及连续函数在闭区间上的性质（最大值 和最小值定理、根的存在定理、介值定理). 7.会用函数的连续性求极限. 重点极限的求法，两个重要极限，函数在一点连续的概念. 难点间断点的分类，分段函数在分段点的连续性
1 第二章 极限与函数 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1．了解极限的描述性定义． 2．了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系和性质． 3．会用两个重要极限公式求极限． 4．掌握极限的四则运算法则． 5．理解函数在一点连续的概念，知道间断点的分类． 6．了解初等函数的连续性及连续函数在闭区间上的性质（最大值 和最小值定理、根的存在定理、介值定理）． 7．会用函数的连续性求极限． 重点 极限的求法，两个重要极限，函数在一点连续的概念． 难点 间断点的分类，分段函数在分段点的连续性．
(二)内容提要 1.极限的定义 (1)函数极限、数列极限的描述性定义 极限定义表 类型 描述性定义 极限记号 X→00 设函数y=f(x)在x>b(b为某个正 时函数 Iimf(x)=A或 f(x)的 实数)时有定义，如果当自变量x的绝对值 f(x)→A(x→∞) 极限 无限增大时，相应的函数值无限接近于某 一个固定的常数A,则称A为x→o(读作 “x趋于无穷”)时函数f(x)的极限 X→十00 设函数y=f(x)在(a,+o)(a为某个实数) limf(x)=A或 时函数 T+0 f(x)的 内有定义，如果当自变量x无限增大时， f(x)→A(x→+o) 极限 相应的函数值fx)无限接近于某一个固 定的常数A,则称A为r→+∞（读作“x趋 于正无穷”)时函数(x)的极限 x→-0 设函数y=f(x)在(-o,a)（a为某个实 limf(x)=A或 时函数 f(x)的 数)内有定义，如果当自变量无限增大 f(x)→A(x→-o) 极限 且x<0时，相应的函数值f(x)无限接近于 某一个固定的常数A,则称A为x→-∞（读 作“x趋于负无穷”)时函数f(x)的极限
2 （二）内容提要 １．极限的定义 (1) 函数极限、数列极限的描述性定义 极限定义表 类型 描述性定义 极限记号 极限 的 时函数 f (x) x 设函数 y f (x)在 x b ( b 为某个正 实数)时有定义，如果当自变量 x的绝对值 无限增大时，相应的函数值无限接近于某 一个固定的常数 A，则称 A为 x （读作 “x 趋于无穷”）时函数 f (x)的极限 f x A x lim ( ) 或 f (x) A(x ) 极限 的 时函数 f (x) x 设函数 y f (x)在(a,)(a 为某个实数) 内有定义，如果当自变量 x 无限增大时， 相应的函数值 f (x) 无限接近于某一个固 定的常数 A，则称 A为x （读作“ x趋 于正无穷”）时函数 f (x)的极限 f x A x lim ( ) 或 f (x) A(x ) 极限 的 时函数 f (x) x 设函数 y f (x)在(, a) ( a 为某个实 数)内有定义，如果当自变量 x 无限增大 且x 0时，相应的函数值 f (x)无限接近于 某一个固定的常数 A，则称 A为 x （读 作“ x趋于负无穷”）时函数 f (x)的极限 f x A x lim ( ) 或 f (x) A(x )
x→x0 设函数y=f(x)在点的去心邻域 limf(x)=A或 T 时函数 N(。,6)内有定义，如果当自变量x在 fx)的 f(x)→A(x→x) 极限 N(,6)内无限接近于x,时，相应的函数值 ∫x)无限接近于某一个固定的常数A,则 称A为当x→x。(读作“x趋近于x,”)时 函数f(x)的极限 设函数y=fx)在点的左半邻域 limf(x)=A或 x￥XA (x-6,x)内有定义，如果当自变量x在此 x→x0 f(x)→A(x→x) 时函数 半邻域内从x,左侧无限接近于x,时，相应 或f(x。-0)=A f(x)的 的函数值f(x)无限接近于某个固定的常 极限 数A,则称A为当x趋近于x,时函数f(x)的 左极限 设函数y=f(x)的右半邻域(x。x。+6) limf(x)=A或 Tr xx对 内有定义，如果当自变量x在此半邻域内 f(x)→A(x→x) 时函数 从x,右侧无限接近于x,时，相应的函数值 或f(x。+0)=A f(x)的 极限 f(x)无限接近于某个固定的常数A,则称 A为当x趋近于x,时函数f(x)的右极限 对于数列un},若当自然数n无限增大 limu=A或 开00 时，通项u无限接近于某个确定的常数， un→A(n→o) 数列 则称A为当n趋于无穷时数列{un}的极限， u}的 或称数列un}收敛于A 极限 若数列{：}的极限不存在，则称数列 limu不存在 {}发散
3 极限 的 时函数 ( ) 0 f x x x 设函数 y f (x) 在点 0 x 的去心邻域 (ˆ , ) N x0 内有定义，如果当自变量 x 在 (ˆ , ) N x0 内无限接近于 0 x 时，相应的函数值 f (x)无限接近于某一个固定的常数 A，则 称 A为当 0 x x （读作“ x 趋近于 0 x ”）时 函数 f (x)的极限 f x A x x lim ( ) 0 或 ( ) ( ) 0 f x A x x 极限 的 时函数 ( ) 0 f x x x 设函数 y f (x) 在点 0 x 的左半邻域 ( , ) 0 0 x x 内有定义，如果当自变量 x在此 半邻域内从 0 x 左侧无限接近于 0 x 时，相应 的函数值 f (x) 无限接近于某个固定的常 数 A，则称 A为当x 趋近于 0 x 时函数 f (x)的 左极限 f x A x x lim ( ) 0 或 f x A f x A x x ( 0) ( ) ( ) 0 0 或 极限 的 时函数 ( ) 0 f x x x 设函数 y f (x) 的右半邻域 ( ) x0, x0 内有定义，如果当自变量 x 在此半邻域内 从 0 x 右侧无限接近于 0 x 时，相应的函数值 f (x)无限接近于某个固定的常数 A，则称 A为当x趋近于 0 x 时函数 f (x)的右极限 f x A x x lim ( ) 0 或 f x A f x A x x ( 0) ( ) ( ) 0 0 或 数列 un 的 极限 对于数列un ，若当自然数n无限增大 时，通项 n u 无限接近于某个确定的常数, 则称 A为当n趋于无穷时数列un 的极限， 或称数列un 收敛于 A un A n lim 或 u A(n ) n 若数列xn 的极限不存在，则称数列 xn 发散 n n u lim 不存在
(2)单侧极限与极限的关系定理 ①1imf(x)=A的充分必要条件是Iimf(x)=limf(x)=A. ②1imf(x)=A的充分必要条件是imf(x)=limf(x)=A. (3)极限存在准则 ①单调有界数列极限的存在定理 单调有界数列必有极限. ②夹逼准则 若当x∈N(民，6)时，有g(x)≤fx)≤h(x),且1img(x)=A,Iimh(x)=A, 则1imf(x)=A. 夹逼准则对自变量的其他变化过程也成立. 2.极限的四则运算法则 设1imfx)及1img(x)都存在，则 (1)1im/x)±g(x】=imf6)±im8x): (2) im/x)g(x】小=im)img6), x-xo lim [Cf(x)]=C lim f(x) (C为任意常数)； r I-Y (3) lim lim f(x) (Iimg(x)≠0). +g(x)→0g(x) 0 上述极限四则运算法则对自变量的其他变化过程下的极限同样 成立
4 （2）单侧极限与极限的关系定理 ① f x A x lim ( ) 的充分必要条件是 lim f (x) x f x A x lim ( ) ． ② f x A x x lim ( ) 0 的充分必要条件是 lim ( ) 0 f x x x f x A x x lim ( ) 0 ． （３）极限存在准则 ①单调有界数列极限的存在定理 单调有界数列必有极限． ②夹逼准则 若当 (ˆ , ) x N x0 时，有 g(x） f (x) h(x) ，且 g x A x x lim ( ) 0 ， h x A x x lim ( ) 0 ， 则 f x A x x lim ( ) 0 ． 夹逼准则对自变量的其他变化过程也成立. 2. 极限的四则运算法则 设 lim ( ) 0 f x xx 及 lim ( ) 0 g x xx 都存在，则 (1) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 f x g x f x g x xx xx xx ； (2) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 f x g x f x g x xx xx xx , lim ( ) lim ( ) 0 0 Cf x C f x xx xx (C 为任意常数); (3) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 g x f x g x f x xx xx (lim ( ) 0) 0 g x x x ． 上述极限四则运算法则对自变量的其他变化过程下的极限同样 成立．
3.两个重要极限 (1) sin x=1, lim 一般形式为lim sinu()=1(其中代表x的任意 x→0X ux-0u(x） 函数). (2) lim (x) 一般形式为im1+1】 =e(其中M代表，的任意函数). 4.无穷小量与无穷大量 在讨论无穷小量与无穷大量的概念及其相关性质时，均以x→x。 的极限变化过程为例.其他极限变化过程，有完全类似的结论. (1)无穷小量 在自变量的某个变化过程中，以零为极限的变量称为该极限过程 中的无穷小量，简称无穷小.例如，如果imf(x)=0,则称当x→x 时，f(x)是无穷小量. 注意一般说来，无穷小表达的是变量的变化状态，而不是变量 的大小，一个变量无论多么小，都不能是无穷小量，数零是惟一可作 为无穷小的常数。 (2) 无穷大量 在自变量的某个变化过程中，绝对值可以无限增大的变量称为这
5 3． 两个重要极限 (1) 1, sin lim 0 x x x 一般形式为 1 ( ) sin ( ) lim ( ) 0 u x u x u x （其中u(x) 代表x的任意 函数）． (2) , 1 lim 1 e x x x 一般形式为 e ( ) ( ) ( ) 1 lim 1 u x u x u x （其中u(x) 代表x的任意函数）． ４． 无穷小量与无穷大量 在讨论无穷小量与无穷大量的概念及其相关性质时, 均以 0 x x 的极限变化过程为例.其他极限变化过程,有完全类似的结论． （１）无穷小量 在自变量的某个变化过程中，以零为极限的变量称为该极限过程 中的无穷小量，简称无穷小．例如,如果 lim ( ) 0 0 f x x x ，则称当 0 x x 时, f (x)是无穷小量． 注意 一般说来，无穷小表达的是变量的变化状态，而不是变量 的大小，一个变量无论多么小，都不能是无穷小量，数零是惟一可作 为无穷小的常数． （２） 无穷大量 在自变量的某个变化过程中，绝对值可以无限增大的变量称为这
个变化过程中的无穷大量，简称无穷大 应该注意的是：无穷大量是极限不存在的一种情形，我们借用极 限的记号imfx)=o,表示“当x→时，f(x)是无穷大量”. (3)无穷小量与无穷大量的关系 在自变量的某个变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零 无穷小量的倒数是无穷大量. (4)无穷小量的运算 ①有限个无穷小量的代数和是无穷小量. ②有限个无穷小量的乘积是无穷小量. ③无穷小量与有界量的乘积是无穷小量， ④常数与无穷小量的乘积是无穷小量. (5)无穷小量的比较 下表给出了两个无穷小量之间的比较定义， 6
6 个变化过程中的无穷大量，简称无穷大． 应该注意的是：无穷大量是极限不存在的一种情形，我们借用极 限的记号 lim ( ) 0 f x x x ，表示“当 0 x x 时, f (x)是无穷大量” ． （３）无穷小量与无穷大量的关系 在自变量的某个变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零 无穷小量的倒数是无穷大量． （４）无穷小量的运算 ① 有限个无穷小量的代数和是无穷小量． ② 有限个无穷小量的乘积是无穷小量． ③ 无穷小量与有界量的乘积是无穷小量． ④ 常数与无穷小量的乘积是无穷小量． （5）无穷小量的比较 下表给出了两个无穷小量之间的比较定义．
无穷小量的比较表 设在自变量x→x的变化过程中，a(x)与B(x)均是无穷小量 无穷小的比较 定义 记号 B(x)是比a(x)高阶的无穷小 lim B(x)=0 B(x)=oa(x) →0(x) （x→x0) limB四=C(C为不等于零的常数) a(x)与(x)是同阶的无穷小 →0a(x) a(x)与B(x)是等阶无穷小 lim B)=1 a(x)-B(x) →而a(x) (x→x0) (6) 极限与无穷小量的关系定理 limf()x=A的充分必要条件是fx)=A+a(x),其中ax)是当x→，时 的无穷小量. (7)无穷小的替换定理 设当x→x时，a(x)~a,()，g()B,(),imB,四存在，则 →&，(x) limB田=E,) →a1(x)a2(x) 5.函数的连续性 (I)函数在一点连续的概念 ①函数在一点连续的两个等价的定义： >
7 无穷小量的比较表 设在自变量 0 x x 的变化过程中，(x)与 (x)均是无穷小量 无穷小的比较 定 义 记 号 (x)是比(x)高阶的无穷小 0 ( ) ( ) lim 0 x x x x (x) (x) （ 0 x x ） (x)与 (x)是同阶的无穷小 ( ) ( ) ( ) lim 0 C C为不等于零的常数 x x x x a(x)与 (x)是等阶无穷小 1 ( ) ( ) lim 0 a x x x x (x) ~ (x) （ 0 x x ） （６） 极限与无穷小量的关系定理 f x A x x lim ( ) 0 的充分必要条件是 f (x) A (x) ，其中a(x)是当 0 x x 时 的无穷小量． （７） 无穷小的替换定理 设当 0 x x 时， ( ) ~ ( ) 1 2 x x ， ( ) ~ ( ) 1 2 x x ， ( ) ( ) lim 2 2 0 x x x x 存在，则 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 2 2 1 1 0 x x x x x x ． 5．函数的连续性 ⑴ 函数在一点连续的概念 ① 函数在一点连续的两个等价的定义：
定义1设函数f(x)在点x,的某个邻域内有定义，若当自变量的 增量△x=x-x,趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即 lim Ay=limlf(xo+Ax)-f(x)=0, 则称函数f(x)在点x。处连续，或称x,是fx)的一个连续点. 定义2若imfx)=fx),则称函数f(x)在点xo处连续。 ②左右连续的概念若imfx)=f),则称函数f(,在点xo处左 连续；若 m)=f,),则称函数f(x)在点x。处右连续. (2)函数在一点连续的充分必要条件 函数f(x)在点x,处连续的充分必要条件是f(x)在点x,处既左连续 又右连续。 由此可知，函数fx)在点x,处连续，必须同时满足以下三个条件： ①函数fx)在点x的某邻域内有定义， ② limf(x)存在， ③ 这个极限等于函数值fx,)· (3)函数在区间上连续的概念 在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或者 说函数在该区间上连 续，该区间也称为函数的连续区间.如果连续区间包括端点，那么函 数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续
8 定义１ 设函数 f (x)在点 0 x 的某个邻域内有定义，若当自变量的 增量 0 x x x 趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即 lim lim ( 0 ) ( 0 ) 0 0 0 y f x x f x x x ， 则称函数 f (x) 在点 0 x 处连续，或称 0 x 是 f (x)的一个连续点． 定义２ 若 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x ，则称函数 f (x) 在点 0 x 处连续． ② 左右连续的概念 若 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x ，则称函数 f (x) 在点 0 x 处左 连续；若 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x ，则称函数 f (x) 在点 0 x 处右连续． ⑵ 函数在一点连续的充分必要条件 函数 f (x) 在点 0 x 处连续的充分必要条件是 f (x) 在点 0 x 处既左连续 又右连续． 由此可知，函数 f (x)在点 0 x 处连续，必须同时满足以下三个条件： ① 函数 f (x)在点 0 x 的某邻域内有定义， ② lim ( ) 0 f x xx 存在， ③ 这个极限等于函数值 ( ) 0 f x ． ⑶ 函数在区间上连续的概念 在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或者 说函数在该区间上连 续，该区间也称为函数的连续区间．如果连续区间包括端点，那么函 数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续．
(4)间断点 若函数fx)在点x,处不连续，则称点x,为函数fx)的间断点. (5)间断点的分类 设x,为fx)的一个间断点，如果当x→x,时，fx)的左极限、右极 限都存在，则称x,为f)的第一类间断点；否则，称x为fx)的第二 类间断点. 对于第一类间断点有以下两种情形： ①当mfx)与imfx)都存在，但不相等时，称x,为f)的跳跃间 断点： ②当mfx)存在，但极限不等于fx,)时，称x,为fx)的可去间断 点. (6)初等函数的连续性定理 基本初等函数在其定义域内是连续的.一切初等函数在其定义区 间内都是连续的， (7)闭区间上连续函数的性质 ①最大值和最小值存在定理闭区间上连续函数一定能取得最大 值和最小值. ②根的存在定理设为闭区间a,上的连续函数，且 9
9 ⑷ 间断点 若函数 f (x)在点 0 x 处不连续，则称点 0 x 为函数 f (x)的间断点． ⑸ 间断点的分类 设 0 x 为 f (x) 的一个间断点，如果当 0 x x 时， f (x) 的左极限、右极 限都存在，则称 0 x 为 f (x)的第一类间断点；否则，称 0 x 为 f (x)的第二 类间断点． 对于第一类间断点有以下两种情形： 1 当lim ( ) 0 f x x x 与lim ( ) 0 f x x x 都存在，但不相等时，称 0 x 为 f (x)的跳跃间 断点； ② 当lim ( ) 0 f x xx 存在，但极限不等于 ( ) 0 f x 时，称 0 x 为 f (x)的可去间断 点． ⑹ 初等函数的连续性定理 基本初等函数在其定义域内是连续的．一切初等函数在其定义区 间内都是连续的． ⑺ 闭区间上连续函数的性质 ① 最大值和最小值存在定理 闭区间上连续函数一定能取得最大 值和最小值． ② 根的存在定理 设 f (x) 为闭区间 a,b 上的连续函数，且
f(a)与f(b)异号，则至少存在一点5∈(a,b),使得f5)=0. ③介值定理设f(x)是闭区间a.b]上连续函数，且fa)≠f(b),，则 对介于fa)与fb)之间的任意一个数n,则至少存在一点5∈(a,b),使 得f5)=n. 二、主要解题方法 1.求函数极限方法 (1) 利用极限存在的充分必要条件求极限 例1求下列函数的极限： (1)1im x-2 2x2-4 1 (2)f)=xsn+a,r0, 存在. 解(1)1im r-2 lim-2-x ）m-41四x-2M+2g r-2 lim- x-2 1 lim- 2x2-42(x-2x+2)4’ 因为左极限不等于右极限，所以极限不存在 (2)由于函数在分段点x=0处，两边的表达式不同，因此一般 要考虑在分段点x=0处的左极限与右极限.于是，有 iim(xsina)=lim(xsinima, 1X0 o
10 f (a)与f (b) 异号，则至少存在一点 (a,b) ，使得 f ( ) 0． ③ 介值定理 设 f (x) 是闭区间a,b上连续函数，且 f (a) f (b) ，则 对介于 f (a)与f (b) 之间的任意一个数 ，则至少存在一点 (a,b) ，使 得 f ( ) ． 二、主要解题方法 1．求函数极限方法 (1) 利用极限存在的充分必要条件求极限 例 1 求下列函数的极限： （1） 4 2 lim 2 2 x x x ， （2） 1 , , 1 sin 2 x a x x f x 0 , 0 , x x 当a为何值时， f (x)在 x 0的极限 存在. 解 (1) 4 1 ( 2)( 2) 2 lim 4 2 lim 2 2 2 x x x x x x x , 4 1 ( 2)( 2) 2 lim 4 2 lim 2 2 2 x x x x x x x , 因为左极限不等于右极限，所以极限不存在． （2）由于函数在分段点 x 0处，两边的表达式不同，因此一般 要考虑在分段点x 0处的左极限与右极限．于是，有 a a x a x x f x x x x x x 0 0 0 0 ) lim 1 ) lim( sin 1 lim ( ) lim( sin