多元函数积分学 1.在直角坐标系下二重积分的计算 小结把二重积分化为累次定积分的关键在于正确选择积分次 序及积分的上、下限，这里要求上限大于下限.在具体计算重积分时， 正确地利用对称性可以使计算简化，但是要注意：只有当积分区域和 被积函数均关于所给坐标轴对称时，对称性才能应用，切不可只顾积 分域而忘了被积函数 例1计算『xdxdy其中D由直线y=2,y=x和曲线y=1所围 成. 解画出区域D的图形如图所示，求出边界曲线的交点坐标4(， 2),B(1,1),C(2,2),选择先对x积分，这时D的表达式为 1≤y≤2 ≤xsy. y 于是 片可时学-芳 =可02- 11 -49 72 分析本题也可先对y积分后对x积分，但是这时就必须用直线
多元函数积分学 1．在直角坐标系下二重积分的计算 小结 把二重积分化为累次定积分的关键在于正确选择积分次 序及积分的上、下限，这里要求上限大于下限.在具体计算重积分时， 正确地利用对称性可以使计算简化，但是要注意：只有当积分区域和 被积函数均关于所给坐标轴对称时，对称性才能应用，切不可只顾积 分域而忘了被积函数. 例 1 计算 D x y y x d d 2 其中D由直线 y 2， y x 和曲线 xy 1所围 成.解 画出区域D的图形如图所示，求出边界曲线的交点坐标 A（ 2 1 ， 2）, B （1，1）, C （2，2），选择先对x积分，这时D的表达式为 x y , y y , 1 1 2 于是 D x y y x d d 2 = x y x y y y d 1 d 2 2 1 = y x y y y ] d 3 [ 1 1 3 2 1 = 2 1 4 2 )d 1 ( 3 1 y y y = 3 3 1 2 1 1 1 ( ) 3 3 3 y y = 72 49 . 分析 本题也可先对 y 积分后对 x 积分，但是这时就必须用直线 A D B C x y O
x=1将D分D和D,两部分.其中 ≤x≤1， [1≤x≤2， D 2 D, x≤y≤2， 由此得 时+ idi er啡a =∫xn2+lnxx+∫x2ln2--Inxlx 49 72 显然，先对y积分后对x积分要麻烦得多，所以恰当地选择积分次 序是化二重积分为二次积分的关键步骤。 例2计算∬x+y+1o,其中D:+以≤1. 解画出积分区域D的图形，观察被积函数， 无论先对x积分后对y积分还是先对y积分后对 x积分都需要将积分区域分成两部分，计算都较 繁，这里选择先对y积分后对x积分，其中 -1≤x≤0， 0、3-1-x≤y≤x+1.D 0≤x≤1， 1x-1≤y≤1-x
x 1将D分D1和D2 两部分.其中 D1 2 , 1 1 , 2 1 y x x D2 2 , 1 2 , x y x 由此得 D x y y x d d 2 = 1 d d 2 D x y y x + 2 d d 2 D x y y x = y y x x x d d 2 1 2 1 2 1 + y y x x x d d 2 2 2 1 = 1 2 1 2 1 2 x [ln y] dx x + 2 1 2 2 x [ln y] dx x = 1 2 1 2 x [ln 2 ln x]dx + 2 1 2 x [ln 2 ln x]dx = 72 49 . 显然，先对 y 积分后对 x积分要麻烦得多，所以恰当地选择积分次 序是化二重积分为二次积分的关键步骤. 例 2 计算 ( 1)d D x y ，其中D： x y 1. 解 画出积分区域D的图形，观察被积函数， 无论先对 x 积分后对 y 积分还是先对 y 积分后对 x积分都需要将积分区域分成两部分，计算都较 繁，这里选择先对 y 积分后对 x积分，其中 1 1 0, 1 1 , x D x y x 2 0 1, 1 1 , x D x y x B 1 D 2 D C y x A O 1 D 2 D x y O
因此∬(cx+y+1io=∬(x+y+o+∬x+y+o =∫dr（x+y+lo+∫dfix+y+lo -4c+d如+4a-tg+2-号 例3已知1-x+d。r改变积分次序 解积分区域D=D,+D,其中 「1≤y≤2， 0≤x≤y, D,10≤x≤2-y 画出积分区域D的图形， y 改变为先对y积分后对x积分， D 此时 0≤x≤1， D x≤y≤2-x2, 因此 y=2-x ∫d6 f(x.yXx fkr =∫df. 2.在极坐标系下二重积分的计算 小结在计算二重积分时，当积分区域为圆形区域、圆环区域或 扇形区域时，选择用极坐标为好，其他情况用直角坐标为宜. 例4计算 j∬arctan'do，其中D由x2+y'=4, x2+y2=1,y=0,y=x 所围成的第一象限内的区域
因此 ( 1)d D x y = ( 1)d D1 x y + ( 1)d D2 x y = d ( 1)d 1 1 0 1 x x x x y + d ( 1)d 1 1 1 0 x x x x y =4 ( 1) d 2 0 -1 x +4 (1 x)dx 1 0 = 4 2 3 10 3 . 例 3 已知 I = y f x y x y d ( , )d 0 1 0 + y f x y x y d ( , )d 2 0 2 1 改变积分次序. 解 积分区域D D1 D2，其中 D1 0 , 0 1 , x y y D2 0 2 , 1 2 , x y y 画出积分区域D的图形， 改变为先对 y 积分后对 x积分， 此时 D 2 , 0 1 ,2 x y x x 因此 I = y f x y x y d ( , )d 0 1 0 + y f x y x y d ( , )d 2 0 2 1 = x f x y y x x d ( , )d 2 1 2 0 . 2． 在极坐标系下二重积分的计算 小结 在计算二重积分时，当积分区域为圆形区域、圆环区域或 扇形区域时，选择用极坐标为好，其他情况用直角坐标为宜. 例 4 计 算 D x y arctan d ， 其 中 D 由 4 2 2 x y , 1 2 2 x y , y 0 , y x 所围成的第一象限内的区域. 1 D 2 D y 2 x 2 O x y y x
解画出积分区域D的图形， 由于积分区域的边界曲线有圆周， 所以选极坐标系积分 此时arctan=e,于是 ∬aretan'do -JjdoJonr--od亏8 =302f=32. 22.64 例5求半球体0≤z≤Va2-x2-y2在圆柱x2+y2=ar(a>0)D内 那部分的体积 解把所求立体投影到xoy面，即圆柱x2+y2=ar（a>0)内部， 容易看出所求立体的体积以D为底，以上半球面：=√a2-x2-y2为顶 的曲顶柱体的体积 由于积分区域的边界曲线为圆周，所 ra=cos0 以采用极坐标系较好. 此时D-≤0s号 D 0≤r≤acos0, 故V=j∬va2-x2-ydxdy =值da2-rd 号a0-cos0d0=（号-g)a
解 画出积分区域D的图形， 由于积分区域的边界曲线有圆周， 所以选极坐标系积分. 此时 x y arctan ，于是 D x y arctan d = 4π 0 d 2 1 rdr = 4 0 d 2 1 2 ] 2 [r = 2 3 4π 0 2 2 = 64 3 2 π . 例 5 求半球体 2 2 2 0 z a x y 在圆柱 x y ax 2 2 ( a 0 ) D 内 那部分的体积. 解 把所求立体投影到 xoy 面，即圆柱 x y ax 2 2 ( a 0）内部, 容易看出所求立体的体积以D为底，以上半球面 2 2 2 z a x y 为顶 的曲顶柱体的体积. 由于积分区域的边界曲线为圆周，所 以采用极坐标系较好. 此时D 0 cos , , 2 π 2 π r a 故 V = a x y x y D d d 2 2 2 = 2π 2π d cos 0 2 2 d a a r r r = 3 2 2π 0 3 3 a (1 cos ) d =（ 3 9 4 ） 3 a . 1 2 O x y y x ra = cos x y O D a
3.对坐标的曲线积分的计算方法 小结计算对坐标的曲线积分P(x,y)dr+Qx,y)dy, (1)若在单连通域内巴=P时，曲线积分与路径无关。若为闭 曲线，积分为0. (2)若不封闭，可任选一个最简便的计算路径，通常选平行于坐 标轴的折线，使积 分变简单. (3)若卫+P时，积分与路径有关。若积分曲线为闭曲线， 可用格林公式计算.若积分曲线不封闭可以补上一条线，构成闭曲线， 再用格林公式，化为定积分计算. 上述解题思路是对一般情况而言的，解题时应具体问题具体分析. 往往一题多种解法，当然选取最简便做法.如有的虽然满足格林公式 条件，但用格林公式计算不一定简便，这时可用其他的方法. 例6设1=[(3x2-xy2)dr-x2dy, 其中L是沿上半圆周x2+y2=1上的点 A（1,0)到B(-1,0)一段弧，如图. 解一首先验证曲线积分是否与路径无 关 P=3x2-y2,Q=-x2y, 因为等-2是
3．对坐标的曲线积分的计算方法 小结 计算对坐标的曲线积分 L P(x, y)dx Q(x, y)dy， （1）若在单连通域内 x Q = y P 时，曲线积分与路径无关。若为闭 曲线，积分为0 . （2）若不封闭，可任选一个最简便的计算路径，通常选平行于坐 标轴的折线，使积 分变简单. （3） 若 x Q y P 时，积分与路径有关。若积分曲线为闭曲线， 可用格林公式计算.若积分曲线不封闭可以补上一条线，构成闭曲线， 再用格林公式，化为定积分计算. 上述解题思路是对一般情况而言的，解题时应具体问题具体分析. 往往一题多种解法，当然选取最简便做法.如有的虽然满足格林公式 条件，但用格林公式计算不一定简便，这时可用其他的方法. 例 6 设 I = L (3x xy )dx x ydy 2 2 2 ， 其中L是沿上半圆周 2 2 x y =1 上的点 A（1，0）到B(1,0)一段弧，如图. 解一 首先验证曲线积分是否与路径无 关. 2 2 P 3x xy ，Q x y 2 ， 因为 y P = 2xy = x Q ， O x y B A
所以曲线积分与路径无关，可选一条简单路径，即选择线段AB路径. 得 1=3x2-x灯y2)dr-x2dy, 在线段AB上y=0,dy=0,x从1到-1，所以 1=∫3x2dr=x=-2. 解二用参数方程代入法， 设1为参数x=cost,y=sint,t从0到π得 I=[[(3cos2t-costsin2 t)(-sint)-cos2tsintcost]dt =j-3cos21sm1-n4=(cos31+6c0s4t)5=-2. 16 显然，法一比法二简单 例7计算 ∫(e*siny-y)dr+(*cosy-l)y，其中L为A(0,a),B(a,0)联成直 线段 解显然积分路径不是封闭曲线，不能直接用格林公式， 加直线段BO,OA构成封闭曲线，所以 [(e*siny-y)dx+(e*cosy-1)dy 6(e*siny-y)dx-(e*cosy-1)dy L+B0+0A -[(e*siny-y )dx+(e*cos y-1)dy BO -(e*siny-y)dx+(e*cosy-1)dy, 04 其中P=e*siny-y,Q=e*cosy-l, op=e'cosy-1 e=e*cosy. 因为封闭曲线是反方向，所以由格林公式，得
所以曲线积分与路径无关，可选一条简单路径，即选择线段 AB 路径. 得 I = AB (3x xy )dx x ydy 2 2 2 ， 在线段 AB 上 y 0，dy 0 ， x从 1 到1，所以 I = 1 1 2 3x dx = 1 1 3 x = 2 . 解二 用参数方程代入法， 设t为参数 x cost ， y sin t ，t从 0 到 得 I = π 0 2 2 2 [(3cos t costsin t)( sin t) cos tsin t cost]dt = π 0 2 sin 4 ]d 4 1 [ 3cos tsin t t t =（ t 3 cos + 16 1 cos4t） π 0 = 2 . 显然，法一比法二简单. 例 7 计算 L x x (e sin y y )dx (e cos y 1)dy ，其中L为 A(0, a) , B(a ,0) 联成直 线段. 解 显然积分路径不是封闭曲线，不能直接用格林公式， 加直线段BO，OA 构成封闭曲线，所以 L x x (e sin y y )dx (e cos y 1)dy = L BO OA x x (e sin y y)dx (e cos y 1)dy BO x x (e sin y y )dx (e cos y 1)dy A x x y y x y y 0 (e sin )d (e cos 1)d ， 其中 P y y x e sin ，Q e cos y 1 x ， y p = e cos y 1 x ， x Q = y x e cos . 因为封闭曲线是反方向，所以由格林公式，得 O x y A B
6(e*siny-y)dx+(e*cosy-1)dy L+B0+0A -小装器-时号 又因为在B0上y=0,=0,故∫(esiny-y)dr-(e*cosy-I)dy=0. 在OA上x=0,dr=0,y从0变到a,于是 (e*siny-y)dx-(e*cosy-1)dy =∫01cosy-l=sina-a, 因此 fesiny-yt-ecsy-lw-号-（sna-a）
L BO OA x x (e sin y y)dx (e cos y 1)dy = x y y P x Q D ( )d d = x y D d d = 2 2 a . 又因为在BO上 y 0，dy 0 ，故 BO x x (e sin y y )dx (e cos y 1)dy =0. 在OA上 x 0，dx 0 ， y 从0 变到a，于是 A x x y y x y y 0 (e sin )d (e cos 1)d = a y y 0[cos 1]d =sin a a， 因此 L x x (e sin y y )dx (e cos y 1)dy = 2 2 a （sin a a）
