一 函数 1.函数的定义域 小结函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的一切 函数.为此求函数的定义域时应遵守以下原则： (①)在式子中分母不能为零： (II)在偶次根式内非负： (III)在对数中真数大于零： (IV)反三角函数arcsinx,arccosx,要满足≤l; (W)两函数和（差）的定义域，应是两函数定义域的公共部分： (WI)分段函数的定义域是各段定义域的并集， (II)求复合函数的定义域时，一般是外层向里层逐步求 例1求下列函数的定义域： (1) y=v16-x2 +Insinx (2) +arcsin(-1). V3-x2 解(1)由所给函数知，要使函数y有定义，必须满足两种情况， 偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建 立不等式组，并求出联立不等式组的解.即 16-x2≥0， 推得 -4≤x≤4 sinx>0, 2m<x<(2n+1)πn=0,±l,±2… 这两个不等式的公共解为-4≤x<-π与0<x<π 所以函数的定义域为[-4，-π)U(0,π)
一 函数 1. 函数的定义域 小结 函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的一切 函数.为此求函数的定义域时应遵守以下原则： (I) 在式子中分母不能为零； (II)在偶次根式内非负； (III)在对数中真数大于零； (IV)反三角函数 arcsin x, arccos x ，要满足 x 1； (V)两函数和（差）的定义域，应是两函数定义域的公共部分； (VI) 分段函数的定义域是各段定义域的并集. (VII)求复合函数的定义域时，一般是外层向里层逐步求. 例 1 求下列函数的定义域: (1) y = 2 16 x +ln sin x ， (2) y = 1) 2 arcsin( 3 1 2 x x . 解 (1) 由所给函数知,要使函数 y 有定义，必须满足两种情况， 偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建 立不等式组，并求出联立不等式组的解.即 sin 0, 16 0, 2 x x 推得 2 π (2 1)π 0, 1, 2 4 4 n x n n x 这两个不等式的公共解为 4 x π 与0 x π 所以函数的定义域为[4, π) (0, π)
(2)由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根 式的被开方式非负：反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可 建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即 V3-x≠0， 3-x2>0, 推得 -5<x<√3， 0≤x≤4， 即0≤x<5, 因此，所给函数的定义域为 [0,V5). 2.复合函数 小结 (I)复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的.分解 复合函数，是采取由外到内层层分解的办法.从而拆成若干基本初等 函数或基本初等函数的四则运算 (II)基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简单函 数 例2将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数 (1)y=sin2 (2)y=In(tane2sin). Vx2+1 解 (1)最外层是二次方，即y=2,次外层是正弦，即 u=snv,从外向里第三层是幂函数，即v=w方，最里层是多项式， 即w=x2+1, 所以，分解得y=心2，u=snv,v=w专，w=r+1
(2) 由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根 式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于 1.可 建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即 1 1 , 2 3 0 , 3 0 , 2 x x x 推得 0 4 , 3 3 , x x 即 0 x 3 , 因此，所给函数的定义域为 [0, 3) . 2．复合函数 小结 （I）复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的.分解 复合函数，是采取由外到内层层分解的办法.从而拆成若干基本初等 函数或基本初等函数的四则运算. （II）基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简单函 数.例 2 将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数 (1) 1 1 sin 2 2 x y ， （2） ln(tan e ) 2 sin 2 x x y . 解 (1) 最外层是二次方，即 2 y u ，次外层是正弦，即 u sin v ，从外向里第三层是幂函数 ，即 2 1 v w ，最里层是多项式， 即 1 2 w x , 所以，分解得 2 y u ，u sin v ， 2 1 v w ， 1 2 w x
(2)最外层是对数，即y=lnu,次外层是正切，即u=tanv,从外 向里第三层是指数函数，即v=ε"，最里层是简单函数，即 w=x2+2sinx, 所以，分解得y=lnu,u=tanv,v=e",w=x2+2sinx. 3.函数的应用 小结运用数学工具解决实际问题时，通常要先找出变量间的函 数关系，用数学式子表示出来，然后再进行分析和计算. 建立函数模型的具体步骤可为： (1)分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示. (2)根据所给条件，运用数学、物理、经济及其他知识，确定等 量关系 (3)具体写出解析式y=f(x),并指明其定义域， 例3某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为300元，当年 产量超过600台时，超过部分只能打8折出售，这样可出售200台， 如果再多生产，则本年就销售不出去了，试写出本年的收益函数模型. 解设某产品年产量为x台，收益函数为.x).因为产量超过600 台时，售价要打8折，而超过800台时，多余部分本年销售不出去， 从而没有效益，因此，把产量划分为三个阶段来考虑收益.根据题意， 有 300x ， 0≤x≤600， (x)= 300×600+0.8×300(x-600),600800 即收益函数模型为
(2) 最外层是对数，即 y ln u,次外层是正切，即u tan v , 从外 向里第三层是指数函数，即 w v e ，最里层是简单函数，即 2 w x +2sin x , 所以，分解得 y ln u ，u tan v， w v e ， 2 w x +2sin x . 3. 函数的应用 小结 运用数学工具解决实际问题时，通常要先找出变量间的函 数关系，用数学式子表示出来，然后再进行分析和计算. 建立函数模型的具体步骤可为 ： (1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示. (2) 根据所给条件，运用数学、物理、经济及其他知识，确定等 量关系. (3) 具体写出解析式 y f (x)，并指明其定义域. 例 3 某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为 300 元，当年 产量超过 600 台时，超过部分只能打 8 折出售，这样可出售 200 台， 如果再多生产，则本年就销售不出去了，试写出本年的收益函数模型. 解 设某产品年产量为 x台，收益函数为. y(x) .因为产量超过600 台时，售价要打 8 折，而超过 800 台时，多余部分本年销售不出去， 从而没有效益，因此，把产量划分为三个阶段来考虑收益.根据题意， 有 300 600 0.8 300 200 , 300 600 0.8 300( 600), 300 , ( ) x x y x 800 , 600 800, 0 600 , x x x 即收益函数模型为
300x 0≤x≤600 (x)= 180000+240(x-600) ,600800 例4一下水道的截面是矩形加半圆形（如图），截面积为A,A是 一常量。这常量取决于预定的排水量.设截面的周长为s,底宽为x, 试建立s与x的函数模型， 解设矩形高为h,根据等量关系写关系式 -x+2h+ ① 显见，在关系式①中有两个变量x及h, 2 此外我们应把s表成x的一元函数.为此， h 需把 变量h也表示成与x有关的量， 根据题中所给限制条件一一截面积为 A, 建立x与h的关系 A=xh 2(贷 即 h=4_1 ② P 将②代入①得 、.2A s=1+)x+2 (x>0) 此式即为我们所要找的周长与底宽x的函数模型：
228000 , 180000 240( 600) , 300 , ( ) x x y x 800 . 600 800 , 0 600 , x x x 例 4 一下水道的截面是矩形加半圆形(如图)，截面积为 A，A是 一常量。这常量取决于预定的排水量.设截面的周长为s ，底宽为x ， 试建立s 与 x的函数模型. 解 设矩形高为h，根据等量关系写关系式 s x h πx 2 1 2 ① 显见，在关系式①中有两个变量 x 及h， 此外我们应把s 表成x 的一元函数.为此， 需把 变量h也表示成与x有关的量. 根据题中所给限制条件——截面积为 A , 建立x 与h的关系. 2 ) 2 π ( 2 1 x A xh 即 2 π 8 1 x x A h ② 将②代入①得 x A s x 2 ) 4 π (1 (x 0) 此式即为我们所要找的周长与底宽 x的函数模型. 2 x x h
二极限与函数 1.对与含有绝对值的函数和分段函数极限的求法 小结对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限，要 用左右极限来求，只有左右极限存在且相等时极限才存在，否则，极 限不存在. 例1求下列函数的极限： x-2 (1)19x-4 1 (2)fx)= xsin+a,x0, 存在
二 极限与函数 1. 对与含有绝对值的函数和分段函数极限的求法 小结 对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限，要 用左右极限来求，只有左右极限存在且相等时极限才存在，否则，极 限不存在． 例 1 求下列函数的极限： （1） 4 2 lim 2 2 x x x ， （2） 1 , , 1 sin 2 x a x x f x 0 , 0 , x x 当a为何值时， f (x)在 x 0的极限 存在
解(1)1im x-2 lim 2-x=-1 2x2-4→2(x-2)x+2)=4’ -2 1 lim- lim x-2 2x2-42(x-2x+2)4' 因为左极限不等于右极限，所以极限不存在. (2)由于函数在分段点x=0处，两边的表达式不同，因此一般 要考虑在分段点x=0处的左极限与右极限.于是，有 limf()=lim(xsin+a）=lim(xsin马）+lima=a, T- lim f(x)=lim(1+x)=1, c0 为使imf(x)存在，必须有Iimf(x)=Iimf(x), x30 因此，当a=1时，limf(x)存在且1imf(x)=1. 2.利用极限的运算法则求函数极限 小结(I)应用极限运算法则求极限时，必须注意每项极限都存 在（对于除法，分母极限不为零）才能适用： (II)求函数极限时，经常出现”∞-∞等情况，都不能直接 0,0 运用极限运算法则，必须对原式进行恒等变换、化简，然后再求极限。 常使用的有以下几种方法， (i)对于∞-o型，往往需要先通分，化简，再求极限， (ⅱ)对于无理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求极 限， (ⅱ)对分子、分母进行因式分解，再求极限， (iv)对于当x→∞时的2型，可将分子分母同时除以分母的最高
解 (1) 4 1 ( 2)( 2) 2 lim 4 2 lim 2 2 2 x x x x x x x , 4 1 ( 2)( 2) 2 lim 4 2 lim 2 2 2 x x x x x x x , 因为左极限不等于右极限，所以极限不存在． （2）由于函数在分段点 x 0处，两边的表达式不同，因此一般 要考虑在分段点 x 0处的左极限与右极限．于是，有 a a x a x x f x x x x x x 0 0 0 0 ) lim 1 ) lim( sin 1 lim ( ) lim( sin ， lim ( ) lim(1 ) 1 2 0 0 f x x x x ， 为使lim ( ) 0 f x x 存在，必须有 lim ( ) 0 f x x = lim ( ) 0 f x x ， 因此 ，当a =1 时， lim ( ) 0 f x x 存在且 lim ( ) 0 f x x =1． 2. 利用极限的运算法则求函数极限 小结 （I）应用极限运算法则求极限时，必须注意每项极限都存 在（对于除法，分母极限不为零）才能适用． （II）求函数极限时，经常出现 0, , 0 等情况，都不能直接 运用极限运算法则，必须对原式进行恒等变换、化简，然后再求极限。 常使用的有以下几种方法． （i）对于 型，往往需要先通分，化简，再求极限， （ii）对于无理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求极 限， （iii ）对分子、分母进行因式分解，再求极限， （iv）对于当 x 时的 型，可将分子分母同时除以分母的最高
次幂，然后再求极限. 例2求下列函数的极限： (1)1im 2x2-3 (2) x2-9 lim 3x2-5x+6 (3) 1x+1 2 (4)1im 5x-1 √x+2 解0母 lim(2x2-3) 1 lim(x+1）2 r (②)当x→3时，分子、分母极限均为零，呈现。型，不能直接用 0 商的极限法则，可先分解因式，约去使分子分母为零的公因子，再用 商的运算法则. x2-9 =lim -3x+3)-lim3 原式=m-5x+6x-3x-2x-2 6. ③)当x1时，品的极限均不存在，式品亡呈现 ∞-∞型，不能直接用“差的极限等于极限的差”的运算法则，可先 进行通分化简，再用商的运算法则.即 原式2台= slim、 (1-x) =1im,1= x1(1-x)1+x)x11+x2 (4)当x→+o时，分子分母均无极限，呈现”形式.需分子分母 同时除以√，将无 穷大的约去，再用法则求
次幂，然后再求极限． 例 2 求下列函数的极限： (1) 1 2 3 lim 2 1 x x x ， (2) 3 lim x 5 6 9 2 2 x x x ， (3) 2 1 2 1 lim( ) x 1 x 1 x ， (4) 2 5 1 lim x x x ． 解 (1) 1 2 3 lim 2 1 x x x = lim( 1) lim(2 3) 1 2 1 x x x x = 2 1 ． (2) 当 x 3时，分子、分母极限均为零，呈现 0 0 型，不能直接用 商的极限法则，可先分解因式，约去使分子分母为零的公因子，再用 商的运算法则． 原式= 6 2 3 lim ( 3)( 2) ( 3)( 3) lim 5 6 9 lim 3 3 2 2 3 x x x x x x x x x x x x ． (3) 当 x 1时， 2 2 1 , 1 x 1 x 的极限均不存在，式 2 2 1 1 x 1 x 呈现 型，不能直接用“差的极限等于极限的差”的运算法则，可先 进行通分化简，再用商的运算法则．即 原式= 2 2 1 1 2 1 2 (1 ) lim( ) lim x 1 1 x 1 x x x x 1 1 (1 ) 1 1 lim lim x (1 )(1 ) x 1 2 x x x x ． (4) 当x 时，分子分母均无极限，呈现 形式．需分子分母 同时除以 x ，将无 穷大的 x 约去，再用法则求
5-1 原式=lim 2 1+ 3.利用无穷小的性质求函数极限 小结利用无穷小与无穷大的关系，可求一类函数的极限（分母 极限为零，而分子极限存在的函数极限)：利用有界函数与无穷小的 乘积仍为无穷小定理可得一类函数的极限（有界量与无穷小之积的函 数极限) 例3求下列函数的极限 (1)1im x2+1 (2)lim xsinx x1x-1 +x3 解(1)因为1im(x-)=0而1im(x2+1)≠0，求该式的极限需用无穷 小与无穷大关系定理解次，因为四=0，所以当：→1时，是 x2+1 无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即i x2+1 =00. -1x-1 (2)不能直接运用极限运算法则，因为当x→+0时分子，极限 1 不存在，但sinx是有界函数，即sinxs1而Iim- =lim V+x x=0， 1 *1 因此当x→+∞时，一x为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍 为无穷小定理，即得 xSinx lim =0 +x3
原式= 5 2 1 1 5 lim x x x ． 3. 利用无穷小的性质求函数极限 小结 利用无穷小与无穷大的关系，可求一类函数的极限（分母 极限为零，而分子极限存在的函数极限）；利用有界函数与无穷小的 乘积仍为无穷小定理可得一类函数的极限（有界量与无穷小之积的函 数极限）． 例 3 求下列函数的极限 （1） 1 1 lim 2 1 x x x ， （2） 3 sin lim 1 x x x x ． 解（1） 因为lim( 1) 0 1 x x 而lim( 1) 0 2 1 x x ，求该式的极限需用无穷 小与无穷大关系定理解决．因为 0 1 1 lim 2 1 x x x ，所以当 x 1时， 1 1 2 x x 是 无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即 1 1 lim 2 1 x x x ． （2）不能直接运用极限运算法则，因为当 x 时分子，极限 不存在，但sin x 是有界函数，即 sin x 1而 0 1 1 1 lim 1 lim 3 3 x x x x x x ， 因此当 x 时， 3 1 x x 为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍 为无穷小定理，即得 3 sin lim 0 1 x x x x
4.利用两个重要极限求函数极限 小结(I)利用lim sin=1求极限时，函数的特点是型，满足 0 lim sin(心的形式，其中(x)为同一变量： ux)o u(x) (Ⅱ)用1m1+)求极限时，函数的特点1“型幂指函数，其形式 为+a(x)型， α(x)为无穷小量，而指数为无穷大，两者恰好互为倒数： (Ⅲ)用两个重要极限公式求极限时，往往用三角公式或代数公 式进行恒等变形或作 变量代换，使之成为重要极限的标准形式。 (⑤)利用等价无穷小代换求极限 例4求下列函数的极限： (1)lim cosx-cos3x (2) x 解(1)分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极 限 原式=lim m 2sin xsinx=lim sin lim(.in. x-0 x-→0X 2x (2)解一 原式=1im1+y1-y=lim1+马y产-lim-马*=ee=1, r-o0 x- 解三原式l-户-e=1. 5.利用等价无穷小求函数极限 小结利用等价无穷小可代换整个分子或分母，也可代换分子或分 母中的因式，但当分子或分母为多项式时，一般不能代换其中一项。 否则会出错
4. 利用两个重要极限求函数极限 小结 （I ）利用 1 sin lim 0 x x x 求极限时，函数的特点是 0 0 型，满足 ( ) sin ( ) lim ( ) 0 u x u x u x 的形式，其中ux为同一变量； （II ）用 x x x ) 1 lim(1 求极限时，函数的特点 1 型幂指函数，其形式 为 ( ) 1 1(x) x 型, x为无穷小量，而指数为无穷大，两者恰好互为倒数； （III）用两个重要极限公式求极限时，往往用三角公式或代数公 式进行恒等变形或作 变量代换，使之成为重要极限的标准形式。 (5) 利用等价无穷小代换求极限 例 4 求下列函数的极限： （1） 2 0 cos cos3 lim x x x x ， （2） x x x ) 1 lim(1 2 ． 解（1）分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极 限 原式= 2 0 2sin sin 2 lim x x x x = ) 1 4 4 2 sin 2 lim(4 sin lim 0 x x x x x x ． （2）解一 原式= 1 0 ) ] 1 ) lim[(1 1 ) lim(1 1 ) (1 1 lim(1 x x x x x x x x x x x =ee 1 1 ， 解二 原式= ) 1 ( ( ) 2 ) ] 1 lim[(1 2 x x x x =e 1 0 ． 5. 利用等价无穷小求函数极限 小结 利用等价无穷小可代换整个分子或分母，也可代换分子或分 母中的因式，但当分子或分母为多项式时，一般不能代换其中一项。 否则会出错．
当x→0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(l+x)~ex-l, 1-cosx,2x~sin2x~tan2x. 2 例5求下列函数的极限 (1)lim 1-cosx (2)lim- tanx-sinx +03x2 X+0 x3 解 (1)liml-cosx=lim 2 x→0 3x2 (x→0,1-c0sx 3x2=6 2 (2)lim tanx-sin x=lim sin x(1-cosx) x>0 sin'x x→0 x3cOSx sinx (1-cosx)1 =lim- x→0X x2 COSx 2sin2 如上题回=一行=0，即得一错误结果。 x>0 sin3x 6.利用函数的连续性求函数极限 小结利用“函数连续的极限值即为函数值”可求连续函数的极 限。在一定条件下复合函数的极限，极限符号与函数符号可交换次序. 例6求下列函数的极限 (1) x2+sinx lim (2)lim arcsin(x2+x-x). e*v1+x2 解()）因为+sm是初等函数，在x=2处有定义， e*v1+x2 所以lim x2+sinx 4+sin2 2e2V1+x2e25 (2)函数arcsin(Vx2+x-x)看成由y=sinu,u=√x2+x-x复合而成
当 x 0 时, x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x) ~ e 1 x , 2 2 1 1 cos x ~ x , 2x ~ sin 2x ~ tan 2x． 例 5 求下列函数的极限 （1） 2 0 3 1 cos lim x x x ， （2） 3 0 tan sin limx x x x ． 解 （1） 2 0 3 1 cos lim x x x = 6 1 3 2 1 lim 2 2 0 x x x （ 2 2 1 x 0,1 cos x ~ x ）． （2） x x x x 3 0 sin tan sin lim = x x x x x cos sin (1 cos ) lim 3 0 2 0 sin (1 cos ) 1 lim cos x x x x x x = 2 2 0 2 2sin lim x x x = 2 1 （ 2 2 2 ~ 2 0,sin x x x ） ． 如上题 lim 0 sin tan sin lim 3 0 3 0 x x x x x x x x , 即得一错误结果． 6. 利用函数的连续性求函数极限 小结 利用“函数连续的极限值即为函数值”可求连续函数的极 限。在一定条件下复合函数的极限，极限符号与函数符号可交换次序． 例 6 求下列函数的极限 （1） 2 lim x 2 2 e 1 sin x x x x ， （2） lim arcsin( ) 2 x x x x ． 解 (1) 因为 2 2 e 1 sin x x x x 是初等函数，在 x 2处有定义， 所以 e 5 4 sin 2 e 1 sin lim 2 2 2 2 2 x x x x ， (2) 函数arcsin( ) 2 x x x 看成由 y u u x x x 2 sin , 复合而成