习题6-1 1.设u=a-b+2c,v=-a+3b-c.试用a、b、c表示2u-3v. 解2u-3v=5M-11b+7C. 2.试用向量证明：三角形两边中点的连线平行且等于底边的一半. 解设三角形ABC中，E是BC的中点，F是AC的中点（图6一1），则 正-瓜、F=)C 又EF=AF-AE,BC=AC-AB 所以F=(ac-©)=8C, 图6-1 即EF平行且等于底边BC的一半。 3.求平行于向量a=4i-3k的单位向量. 解所求单位向量为士写，03头，即传0-和0. 3 4.求点M(-3,4,5)到各坐标轴的距离. 解过M点做与x轴垂直相交的直线，其交点坐标为(-3,0，O),所以，点M到x轴 的距离为V4+52=√4.类似求得，点M到y轴的距离为√-3}+52-√34，到Z轴 的距离为V-3)2+42=5. 5.在yOz面上，求与三点A(3,1,2)、B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点. 解设点P(0,y,)与A、BC三点等距离，则P4=|PB=|PC2, 即 32+(1-y)2+(2-z)2=42+(-2-y)2+(-2-z)2 (5-y)》2+1-z)》2=42+(-2-y)2+(-2-z)}2 解方程组得，y=1,z=-2,故所求点为(0,1-2). 6.求证以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三 角形. 解因为M,M={3,-2,,MM={1,-1,2},M2M={-2,1,1},则 MM =M,M =6 故三角形M,M,M3是一个等腰三角形
1 习 题 6－1 1．设 u a b c 2 ， v a b c 3 ．试用 a 、b 、c 表示 2 3 u v ． 解 2 3 u v = 5 a －11 b ＋7 c ． 2．试用向量证明：三角形两边中点的连线平行且等于底边的一半． 解 设三角形 ABC 中， E 是 BC 的中点， F 是 AC 的中点（图 6－1），则 1 1 , , 2 2 AE AB AF AC 又 EF AF AE BC AC AB , , 所以 1 1 ( ) 2 2 EF AC AB BC ， 图 6－1 即 EF 平行且等于底边 BC 的一半。 3．求平行于向量 a i k 4 3 的单位向量． 解 所求单位向量为 1 4, 0, 3 5 ，即 4 3 { ,0, } 5 5 和 4 3 { ,0, } 5 5 ． 4．求点 M (-3, 4 ,5)到各坐标轴的距离． 解 过 M 点做与 x 轴垂直相交的直线，其交点坐标为 (-3,0,0)，所以，点 M 到 x 轴 的距离为 2 2 4 5 41 ．类似求得，点 M 到 y 轴的距离为 2 2 ( 3) 5 34 ，到 Z 轴 的距离为 2 2 ( 3) 4 5 ． 5．在 yOz 面上，求与三点 A (3,1,2)、 B (4,-2,-2)和 C (0,5,1)等距离的点． 解 设点 P y z (0, , ) 与 A B C 、 、 三点等距离，则 2 2 2 PA PB PC , 即 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 (1 ) (2 ) 4 ( 2 ) ( 2 ) (5 ) (1 ) 4 ( 2 ) ( 2 ) y z y z y z y z ， 解方程组得， y z 1, 2 ，故所求点为 (0,1, 2) ． 6．求证以 M1 (4,3,1)、 M2 (7,1,2)、 M3 (5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三 角形． 解 因为 M M M M M M 1 2 1 3 2 3 3, 2,1 , 1, 1,2 , 2,1,1 ，则 M M1 3 2 3 M M 6 故三角形 M M M 1 2 3 是一个等腰三角形． A B F C E F
7.已知两点M,(4,√5,1)和M2(3,0,2).计算向量MM,的模、方向余弦和方向角. 解因为M,M={-l,-V2,1},所以模MM=2:方向余弦分别为cosa=- ,c057=2方向角分别为2红，3江，” CosB=-2 3’4’3 8.已知向量a=4i-4j+7k的终点在点B(2,-1,7),求这向量起点A的坐标. 解设A点坐标为(x,,)，则AB={2-x,-1-y,7-卡4，-4}，解得 x=-2,y=3,z=0,故A(-2,3,0). 9.设m=3+5j+8欧n=2-年-R和p=5i+j-4k.求向量a=4m+3n-p在 y轴上的分向量. 解由于a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k 故1在y轴上的分向量为7j. 10.设0=(1,4,5)，b=(1,1,2),求1使a+入b垂直于a-b 解由于两个向量垂直，所以 (a+2b)(a-b)=la2-22b=42-62=0, 解得九=±7. 11.设质量为200kg的物体从点M1(2,5,6)沿直线移动到点M2(1,2,3),计算重力 所作的功（长度单位为m,重力方向为z轴负方向）. 解由于位移s=MM2={-1,-3,-3},重力F-{0,0,-200g}(g=98m/s2), 所以，重力所作的功W=F·s={0,0,-200g}{-1,-3,-3}=600g=5880J. 习题6一2 1.设a=3i-j-2k,b=i+2j-k,求 (1)a·b及a×b:(2)1与b的夹角的余弦. 2
2 7．已知两点 M1 (4, 2 ,1)和 M2 (3,0,2)．计算向量 M M1 2 的模、方向余弦和方向角． 解 因为 M M1 2 1, 2,1 ，所以模 1 2 M M 2 ；方向余弦分别为 1 cos , 2 2 cos , 2 1 cos 2 ；方向角分别为 2 3 ， 3 4 ， 3 ． 8．已知向量 a i j k 4 4 7 的终点在点 B (2,-1,7)，求这向量起点 A 的坐标． 解 设 A 点 坐 标 为 ( , , ) x y z ， 则 AB 2 , 1 ,7 4, 4,,7 x y z ， 解 得 x y z 2, 3, 0 ，故 A (－2，3，0)． 9．设 m i j k,n i j k 3 5 8 2 4 7 和 p i j k 5 4 ．求向量 a m n p 4 3 在 y 轴上的分向量． 解 由于 a i j k i j k i j k 4(3 5 8 ) 3(2 4 7 ) (5 4 ) 13 7 15 i j + k 故 a 在 y 轴上的分向量为 7 j ． 10．设 a ＝(1，4，5)，b ＝(1，1，2)，求 使 a b 垂直于 a b ． 解 由于两个向量垂直，所以 2 2 2 2 ( ) ( ) 42 6 0 a b a b a b ， 解得 7 ． 11．设质量为 200kg 的物体从点 M1 (2，5，6)沿直线移动到点 M2 (1，2，3)，计算重力 所作的功（长度单位为 m，重力方向为 z 轴负方向）． 解 由于位移 s = M M1 2 1, 3, 3 ，重力 F 0,0, 200g （ 2 g m s 98 / ）， 所以, 重力所作的功 W g g J F s = 0,0, 200 1, 3, 3 600 5880 ． 习题 6－2 1．设 a i j k b i j k 3 2 , 2 ，求 (1) a b 及 a b ； (2) a 与 b 的夹角的余弦．
i j k 解(1)a·b=3; a×b=3 -1-2=5i+i+7k: 12-1 a.b 3 (2)cos(a,b)= la2V21 2.设a与b互相垂直，且@=3，b=4.求 (1)(a+b)×(a-b:(2)l(3a+b)×(a-2b) 解(1)(a+b)×(a-b)=a×a-a×b+b×a-b×bl =l-2ax-2lalsin-2x3x4-24. (2)(3a+b)×(a-2b)=3a×a-6a×b+b×a-2b×b --7ax-7lbsin-7x3x4-84. 3.已知M1(1,-1,2)、M2(3,3,1)和M3(3,1,3).求与MM2、M2M3同时垂 直的单位向量 解由于MM×M2M={2,4,-1}×{0,-2,2}=2{3,-2,-2},故与MM2、M2M 同时垂直的单位向量为士 i万(3i-2j-2k. 4.已知三角形的三个顶点坐标分别为A(0,1,-1),B(2,-1,-4),C(4,1,5),求 △ABC的面积， 解三角形面积Sx=B×4d=)2,-2-3到×40,6=4(-3,62引=14. 5.已知向量a=2i-3j+k,b=i-j+3k和c=i-2j,计算： (1)(a·b)c-(a·c)b:(2)(a+b)×(b+c):(3)(a×b)c. 解(1)(a·b)c-(a·c)b=-8j-24k: (2)(a+b)×(b+c)=-j-k;
3 解 (1) 3; 3 1 2 5 7 1 2 1 ijk a b a b i j k ； (2) cos( , ) a b ＝ 3 2 21 a b a b ． 2．设 a 与 b 互相垂直，且 a b 3, 4 ．求 （1） ( ) ( ) a b a b ；（2） (3 ) ( 2 ) a b a b ． 解 （1） ( ) ( ) a b a b a a a b + b a b b 2a b 2 sin 2 3 4 24 2 a b ． （2） (3 ) ( 2 ) a b a b 3a a 6a b + b a 2b b 7a b 7 sin 7 3 4 84 2 a b ． 3．已知 M1 (1，-1，2)、 M2 (3，3，1)和 M3 (3，1，3)．求与 M M1 2 、 M M2 3 同时垂 直的单位向量． 解 由于 M M M M 1 2 2 3 2,4, 1 0, 2,2 2 3, 2, 2 ，故与 M M1 2 、M M2 3 同时垂直的单位向量为 1 17 ( 3 i -2 j -2 k ）． 4．已知三角形的三个顶点坐标分别为 A(0，1，-1)，B(2，-1，-4)，C (4，1，5)，求 ABC 的面积． 解 三角形面积 1 1 1 2, 2, 3 4,0,6 4 3,6,2 14 2 2 2 ABC S AB AC ． 5．已知向量 a i j k b i j k c i j 2 3 , 3 2 和 ，计算： (1) ( ) ( ) a b c a c b ； (2) ( ) ( ) a b b c ；(3) ( ) a b c ． 解 (1) ( ) ( ) a b c a c b = k 8 j 24 ； (2) ( ) ( ) a b b c j k ；
(3)(a×b)c=2· 6.问：向量a=-2i+3i+k,b=-j+k,c=i-j-k是否共面？ -231 解 因为混合积(a×b)·c=0-11=0,所以三个向量共面 1-1-1 习题6一3 1.指出下列各平面的特殊位置，并画图： (1)3x-1=0: (2)2x-3y-6=0: (3)x-√3y=0: (4)6x+5y-z=0. 答(1)平行于yOz面的平面： (2)平行于z轴的平面： (3)通过z轴的平面： (4)通过原点的平面： 2.求通过点(3,2，一1)，且与平面2x-y+z-3=0平行的平面方程. 解所求平面方程为2(x-3)-(y-2)+(z+1)=0,即2x-y+z-3=0. 3.求通过三点(1,1，-1)、(-2，-2,2)和(1，-1,2)的平面方程. 解设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0.则将三点坐标分别代入方程，即有 A+B-C+D=0, -2A-2B+2C+D=0, A-B+2C+D=0, 1 3 解方程组得：A=-二C,B=三C,D=0,代入所设平面方程并消去C,求得所求平面方程 2 2 为x-3y-2z=0. 4.分别按下列条件求出平面方程： (1)平行于xOz面且经过点(2，-5,3)： (2)通过z轴和点(-3,1，一2)： (3)经过两点(4,0，-2)和(5,1,7)且平行于x轴. 解(1)因为所求平面平行于xOz坐标面，所以方程可设为By+D=0.又因平面通
4 (3) ( ) 2 a b c = ． 6．问: 向量 a i j k b j k c i j k 2 3 , , 是否共面？ 解 因为混合积 2 3 1 ( ) 0 1 1 0 1 1 1 a b c ，所以三个向量共面． 习题 6－3 1．指出下列各平面的特殊位置，并画图： (1) 3 1 0 x ； (2) 2 3 6 0 x y ； (3) x y 3 0 ； (4) 6 5 0 x y z ． 答 (1) 平行于 yOz 面的平面； (2) 平行于 z 轴的平面； (3) 通过 z 轴的平面； (4) 通过原点的平面； 2．求通过点(3，2，－1)，且与平面 2 3 0 x y z 平行的平面方程． 解 所求平面方程为 2( 3) ( 2) ( 1) 0 x y z ，即 2 3 0 x y z ． 3．求通过三点(1，1，－1)、(－2，－2，2)和(1，－1，2)的平面方程． 解 设所求平面方程为 Ax By Cz D 0 ．则将三点坐标分别代入方程，即有 0, 2 2 2 0, 2 0, A B C D A B C D A B C D 解方程组得： 1 3 , , 0 2 2 A C B C D ，代入所设平面方程并消去 C ，求得所求平面方程 为 x y z 3 2 0 ． 4．分别按下列条件求出平面方程： (1 ) 平行于 xOz 面且经过点(2，－5，3)； (2 ) 通过 z 轴和点(－3，1，－2)； (3 ) 经过两点(4，0，－2 )和( 5，1，7 ) 且平行于 x 轴． 解 (1) 因为所求平面平行于 xOz 坐标面，所以方程可设为 By D 0 ．又因平面通
过点(2，-5,3)，故-5B+D=0,D=5B,代入上式，并消去B,得所求平面方程为 y+5=0. (2)因为平面通过z轴，所以可设平面的方程为Ax+By=0.又因平面通过点 (一3,1，-2)，所以-3A+B=0,B=3A,代入上式，并消去A,得所求平面方程为 x+3y=0.: (3)因为平面平行于x轴，所以可设平面方程为By+Cz+D=0.代入已知点得 方程组{ :2C+D=0,解得B=-9D,C=D,代入上式，并消去D,符所求平面 B+7C+D=0 方程为9y-z-2=0. 5.求过两点(1，-5,1)和(3,2，-2)且垂直于xOy面的平面方程. 解因为所求平面垂直于xOy坐标面，即平行于z轴，所以可设平面方程为 Ax+By+D=0.又因平面通过两点(1，-5,1)和(3,2，-2)，所以 [A-5B+D=0, 3A+2B+D=0 解方程组得A=-子D,B=名D,代入方程+B+D=0,并消去D,求得平面方程 171 17 7x-2y-17=0. 6.求三平面x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=3的交点. x+3y+z=1 解求解方程组 2x-y-z=0,得交点为(1，-1,3). -x+2y+2z=3 7.求点(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距离. 解 利用点到平面距离公式，可得 d=1x1+2x2+2x1-10=1. V12+22+22 8.求平行于平面x+y+2=100且与球面x2+y2+z2=4相切的平面方程
5 过点(2,－5, 3)，故 5 0, 5 B D D B ，代入上式，并消去 B ，得所求平面方程为 y 5 0 ． (2) 因为平面通过 z 轴，所以可设平面的方程为 Ax By 0 ．又因平面通过点 (－3,1,－2)，所以 3 0, 3 A B B A ，代入上式，并消去 A ，得所求平面方程为 x y 3 0 ．； (3) 因为平面平行于 x 轴，所以可设平面方程为 By Cz D 0 ．代入已知点得 方程组 2 0, 7 0 C D B C D ，解得 9 1 , 2 2 B D C D ，代入上式，并消去 D ，得所求平面 方程为 9 2 0 y z ． 5．求过两点 (1, －5, 1 )和 ( 3, 2, －2 )且垂直于 xOy 面的平面方程． 解 因为所求平面垂直于 xOy 坐标面，即平行于 z 轴，所以可设平面方程为 Ax By D 0 ．又因平面通过两点 (1,－5, 1)和 (3, 2,－2)，所以 5 0, 3 2 0 A B D A B D 解方程组得 7 2 , 17 17 A D B D ，代入方程 Ax By D 0 ，并消去 D ，求得平面方程 7 2 17 0 x y ． 6．求三平面 x y z 3 1， 2 0 x y z ， x y z 2 2 3 的交点． 解 求解方程组 3 1 2 0 2 2 3 x y z x y z x y z ，得交点为(1，－1，3)． 7．求点(1，2，1)到平面 x y z 2 2 10 0 的距离． 解 利用点到平面距离公式，可得 222 |1 1 2 2 2 1 10 | 1 1 2 2 d + ． 8．求平行于平面 x y z 100 且与球面 2 2 2 x y z 4 相切的平面方程．
解因为所求切平面与已知平面平行，则切平面方程为x+y+z+D=0.由于球心到 切平面距离等于2，于是d=D=2,从而D=士25.故所求平面方程为： 3 x+y+z+2V5=0以及x+y+z-2W5=0. 习题6一4 1.求下列直线方程 (1)过点(4，一1,3)且平行于向量S=(2,1,S)的直线方程： (2)过点(-1,0,2)且垂直于平面2x-y+3z-6=0的直线方程： (3)过点(2，-3,5)和(2，-1,4)的直线方程. 2=y+1=3 解()所求直线方程为-4三 (2②)所求直线方程为x+1-上=-2 2-13 (3)直线的方向向量为s=(0,2-),则所求直线方程为一2=y+3_-5 02-1 2.用对称式方程及参数式方程表示直线 x-y+2z+1=0, 2x+z+2=0. 解取直线的方向向量s=n1×m2={1,-1,2}×{2,0,1}={-1,3,2}, 又求出直线上一点（仁1,0,0），故直线的对称式方程为： x+1=Y=三，参数式方程为： -132 x=-1-1,y=31,z=21. 3.求直线x+2=y-=+1与直线-2-y+1=的夹角。 -4 5=2=-1 解由于两条直线的方向向量分别为S=包，-4，}，52={5，-2，-1}.故它们的夹角 2 2 余弦c0sp= s2 12 ,从而夹角p=arccos ss,√8√30√ 15 4.求点(-1,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影. 解过点(-1,2,0做与平面垂直的直线L,其方程为x+1=y-2=二0， 2 参数方 1 -1 6
6 解 因为所求切平面与已知平面平行，则切平面方程为 x y z D 0 ．由于球心到 切平面距离等于２，于是 | | 2 3 D d ，从而 D 2 3 ．故所求平面方程为： x y z 2 3 0 以及 x y z 2 3 0 ． 习题 6－4 1．求下列直线方程 (1) 过点(4，－1，3)且平行于向量 s (2,1,5) 的直线方程； (2) 过点 (－1，0，2)且垂直于平面 2 3 6 0 x y z 的直线方程； (3) 过点(2，－3，5)和(2，－1，4)的直线方程． 解 (1) 所求直线方程为 4 3 1 2 5 x z y ； (2) 所求直线方程为 1 2 2 1 3 x y z ； (3) 直线的方向向量为 s (0, 2, 1) ，则所求直线方程为 2 3 5 0 2 1 x y z ． 2．用对称式方程及参数式方程表示直线 2 1 0, 2 2 0. x y z x z 解 取直线的方向向量 s n n 1 2 1, 1,2 2,0,1 1,3,2 ， 又求出直线上一点 1,0,0 ，故直线的对称式方程为： 1 1 3 2 x y z ，参数式方程为： x t y t z t 1 , 3 , 2 ． 3．求直线 1 2 1 4 y x z 与直线 2 1 1 5 2 1 x y z 的夹角． 解 由于两条直线的方向向量分别为 s , s 1 2 1, 4,1 5, 2, 1 ．故它们的夹角 余弦 1 2 1 2 12 2 cos 18 30 15 s s s s ，从而夹角 2 arccos 15 ． 4．求点( 1，2，0)在平面 x y z 2 1 0 上的投影． 解 过点( 1，2，0)做与平面垂直的直线 L ，其方程为 1 2 0 1 2 1 x y z ，参数方
程为x=-1+4y=2+21,2=-1,代入平面方程，得1=- ，于是交点为 522 33’3 5.求坐标原点关于平面6x+2y-9z+121=0的对称点. 解过已知点做与已知平面垂直的直线L,其方程为=)=三。，参数方程为 62-9 x=61,y=21,z=-9.由于坐标原点与对称点到平面的距离相等，则 d=1361+4+81t+121。 1121 V62+22+(-9y7V6+22+(-9y 解得t=-2,故所求对称点的坐标为(-12，-4,18). x=1+t 6求与两直线=少+2=：及少=-11平行，且过点，0.-1的平面方程 z=0 解两条直线的方向向量分别为S,={2,1,1},52={1,-1,0},又所求平面与两条直 线都平行，故取平面的法向量 i j k n=5×s2=211={1,1,-3} 1-10 从而所求平面方程为：(x-1)+(y-0)-3(z+1)=0,即x+y-3z-4=0. 7.求过点(3,1，-2)且通过直线x-4=y+3-三 5=2=1 =二的平面方程， 解由于已知点P(3,1,-2)及直线上点Q(4,-3,0)均在平面上，又直线的方向向量 S={5,2,1,故取平面的法向量为 ii k n=s×PQ=5 21={8,-9,-22} 1-42 因而，所求平面方程为8(x-3)-9(y-1)-22(z+2)=0,即8x-9y-22z-59=0. 8.已知平面心-y-:+5=0,问当n为何值时，平面与直线x-4=y+3=平行？ -2 解平面法向量n={n,-1,-1},直线方向向量s={1,-2,4,由于直线与平 面垂直，则ns=0,即{n,-1,-1}{1-2,4}=n-2=0→n=2. >
7 程为 x t y t z t 1 , 2 2 , ，代入平面方程，得 2 3 t ，于是交点为 5 2 2 , 3 3 3 ， ． 5. 求坐标原点关于平面 6 2 9 121 0 x y z 的对称点． 解 过已知点做与已知平面垂直的直线 L ，其方程为 6 2 9 x y z ，参数方程为 x t y t z t 6 , 2 , 9 ．由于坐标原点与对称点到平面的距离相等，则 2 2 2 2 2 2 | 36 4 81t 121| |121| 6 2 ( 9) 6 2 ( 9) t t d 解得 t 2 ，故所求对称点的坐标为( 12， 4，18 )． 6. 求与两直线 1 1 2 1 2 0 x t x y z y t z 及 平行，且过点(1，0，－1)的平面方程． 解 两条直线的方向向量分别为 s , s 1 2 2,1,1 1, 1,0 ，又所求平面与两条直 线都平行，故取平面的法向量 1 2 2 1 1 1, 1, 3 1 1 0 i j k n s s ， 从而所求平面方程为：( 1) ( 0) 3( 1) 0 x y z ，即 x y z 3 4 0 ． 7．求过点(3，1，－2)且通过直线 4 3 5 2 1 x y z 的平面方程． 解 由于已知点 P(3,1, 2) 及直线上点 Q(4, 3,0) 均在平面上，又直线的方向向量 s 5, 2,1 ，故取平面的法向量为 5 2 1 8, 9, 22 1 4 2 PQ i j k n s 因而，所求平面方程为 8( 3) 9( 1) 22( 2) 0 x y z ，即 8 9 22 59 0 x y z ． 8．已知平面 nx y z 5 0 ，问当 n 为何值时，平面与直线 3 4 2 4 y z x 平行？ 解 平面法向量 n n, 1, 1 ，直线方向向量 s 1, 2, 4 ，由于直线与平 面垂直，则 n s 0 ，即 n n n , 1, 1 1, 2, 4 2 0 2 ．
9.求直线x+1-y-2=牛1与平面x+2y-+2=0的交点坐标. 2-13 解将x+1=y-2+1】 的参数方程为x=-1+21,y=2-1,z=-1+31,代入已知 2-13 平面方程，求得1=2，于是直线与平面的交点为(3,0,5). [2x-4y+z=0 10.求直线L: 3x-y-2z-9=0 在平面Π：4x-y+2=1上的投影直线的方程. 解过直线L的平面束方程为Π2：(2x-4y+2)+(3x-y-2z-9)=0, 即 (2+32)x+(-4-)y+(1-22)z-92=0. 要在Π，中确定一个平面垂直于己知平面Π，只要n,n=0,即 {2+3元，-4-元，1-2}{4，-1,1}=0 解得元=-斤故n,:17x+31y-37:-17=0与平面n垂直，所求直线乙在平面n上 13 的投影直线为 17x+31y-37z-117=0 4x-y+z-1=0 x+y-z+1=0, 11.求点P(3,-1,2)到直线 2x-y+z-4=0 的距离。 解求得直线L的方向向量为S=-3{0,1,},过点(L,-2,0),因此直线的参数方程 为x=1,y=-2+1,2=1.又过点P(3,-1,2)做与直线L垂直的平面Π为 0(x-3)+(y+1)+(z-2)=0,即y+z-1=0. 将直线的参数式代入上述平面方程，解得1-，则平面与直线的交点为QL-2, 3 故所求点到直线的距离为PQ=3 2 12.求过点2,1,3)且与直线x+!-”,1-三垂直相交的直线方程。 3=2=1 解过点P2,1,3)作与已知直线L垂直的平面Π（法向量取作n=5={3,2,-1),其 方程为3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0,即3x+2y-z-5=0
8 9．求直线 1 2 1 2 1 3 x y z 与平面 x y z 2 2 0 的交点坐标． 解 将 1 2 1 2 1 3 x y z 的参数方程为 x t y t z t 1 2 , 2 , 1 3 ，代入已知 平面方程，求得 t 2，于是直线与平面的交点为 (3,0,5) ． 10．求直线 2 4 0 : 3 2 9 0 x y z L x y z 在平面 : 4 1 x y z 上的投影直线的方程． 解 过直线 L 的平面束方程为 : (2 4 ) (3 2 9) 0 x y z x y z ， 即 (2 3 ) ( 4 ) (1 2 ) 9 0 x y z ． 要在 中确定一个平面垂直于已知平面 ，只要 0 n n ，即 2 3 , 4 , 1 2 4, 1,1 0 解得 13 11 ，故 :17 31 37 117 0 x y z 与平面 垂直，所求直线 L 在平面 上 的投影直线为 17 31 37 117 0 4 1 0 x y z x y z ． 11．求点 P (3，－1，2)到直线 1 0, 2 4 0 x y z x y z 的距离． 解 求得直线 L 的方向向量为 s 3 0,1,1 ，过点 (1, 2,0) ，因此直线的参数方程 为 x 1, y t 2 , z t ．又过点 P(3, 1, 2) 做与直线 L 垂直的平面 为 0 ( 3) ( 1) ( 2) =0 x y z ， 即 y z 1=0． 将直线的参数式代入上述平面方程，解得 3 2 t ，则平面与直线的交点为 1 3 (1, , ) 2 2 Q ， 故所求点到直线的距离为 PQ 3 2 2 ． 12．求过点 (2，1，3 )且与直线 1 1 3 2 1 x y z 垂直相交的直线方程． 解 过点 P(2, 1,3)作与已知直线 L 垂直的平面 (法向量取作 n s = 3,2, 1 )，其 方程为 3( 2) 2( 1) ( 3) =0 x y z ，即 3 2 5=0 x y z ．
由于直线L的参数方程为x=-1+31,y=1+2,:=-1,代入上式解得1=)，从而 7 直线L与平面Π的交点为Q号号-弓，益所求直线的方向响呈 所求直线方程为x-2=y-1_2-3 2-14 13.求平面x-2y+2z+21=0与7x+24z-5=0的夹角的平分面的方程 解由已知条件，所求平面上任意一点M(x,y,)到两个平面的距离相等，则 1x-2y+2:+21_|7x+242-51 VP+(-2)2+22 V72+242 即 号x-2y+2+20=±30x+24-列. 解得所求平面方程分别为 23x-25y+61z+255=0及2x-25y-11z+270=0. 习题6一5 1.求与点A(2,3,1)和点B(4,5,6)等距离的点的轨迹方程. 解由于动点M(x,y,)到点A和B的距离相等，即 Vx-22+y-3)2+(z-1)2=Vx-4)2+0y-5)2+(z-6)月 化简求得点的轨迹方程为：4x+4y+10z-63=0】 2.求到z轴距离为定常数a(a>O)的点的轨迹方程. 解由于动点M(x,y,z)到z轴的距离为√x2+y2=a,方程两边平方求得点的轨迹方 程为：x2+y2=a2.该方程表示母线平行于z轴的圆柱面. 3.建立以点(1,3，-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程， 解所求球面方程为：(x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14 4.方程x2+y2+z2-4x-2y+2z-19=0表示什么曲面？ 解将方程完全平方得：(x-2)2+(y-1)2+(z+1)2=25.故方程表示的曲面是以点 9
9 由于直线 L 的参数方程为 x t y t z t 1 3 , 1 2 , ，代入上式解得 3 7 t ，从而 直线 L 与平面 的交点为 2 13 3 ( , , ) 7 7 7 Q ，故所求直线的方向向量 2 13 3 6 2, 1, 3 2, 1,4 7 7 7 7 PQ s ， 所求直线方程为 2 1 3 2 1 4 x y z ． 13. 求平面 x y z 2 2 21 0 与 7 24 5 0 x z 的夹角的平分面的方程 解 由已知条件，所求平面上任意一点 M x y z ( , , ) 到两个平面的距离相等，则 2 2 2 2 2 | 2 2 21| | 7 24 5 | 1 ( 2) 2 7 24 x y z x z ， 即 1 1 ( 2 2 21) (7 24 5) 3 25 x y z x z ． 解得所求平面方程分别为 23 25 61 255 0 x y z 及 2 25 11 270 0 x y z ． 习题 6－5 1．求与点 A(2，3，1)和点 B(4，5，6)等距离的点的轨迹方程． 解 由于动点 M x y z ( , , ) 到点 A 和 B 的距离相等，即 2 2 2 2 2 2 ( 2) ( 3) ( 1) ( 4) ( 5) ( 6) x y z x y z 化简求得点的轨迹方程为:： 4 4 10 63 0 x y z ． 2．求到 z 轴距离为定常数 a a( 0) 的点的轨迹方程． 解 由于动点 M x y z ( , , ) 到 z 轴的距离为 2 2 x y a ，方程两边平方求得点的轨迹方 程为： 2 2 2 x y a ．该方程表示母线平行于 z 轴的圆柱面． 3．建立以点(1，3，-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程． 解 所求球面方程为： 2 2 2 ( 1) ( 3) ( 2) 14 x y z 4．方程 2 2 2 x y z x y z 4 2 2 19 0 表示什么曲面？ 解 将方程完全平方得： 2 2 2 ( 2) ( 1) ( 1) 25 x y z ．故方程表示的曲面是以点
(2,1,-1)为球心，半径等于5的球面. 5.将xOz坐标面上的抛物线z2=5x绕x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程. 解所求的旋转曲面方程为：y2+z2=5x 6.将O坐标面上的双曲线4x2-9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的 旋转曲面方程. 解双曲线4x2-9y2=36绕x轴旋转一周生成的旋转曲面的方程为 4x2-9(y2+z2)=36 绕y轴旋转一周生成的旋转曲面的方程为 4(x2+z2)-9y2=36. 7.画出下列方程所表示的曲面： w-+r--若号-0 解各方程表示的曲面如图6-2、6-3及64 图6-2 图6-3 图6-4 8.说明下列旋转曲面是怎样形成的？ (1)x+少2 +g=1:(2)x2-y +z2=1:(3)(2-a)2=x2+y2. 499 4 解 （1)该方程表示的曲面是由xOy平面上椭圆曲线+上=1绕x轴旋转一周， 49 面上椭圆曲线入+。=1绕x轴旋转一周而形 0
10 (2，1，－1)为球心，半径等于 5 的球面． 5．将 xOz 坐标面上的抛物线 2 z x 5 绕 x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程． 解 所求的旋转曲面方程为： 2 2 y z x 5 ． 6．将 xOy 坐标面上的双曲线 2 2 4 9 36 x y 分别绕 x 轴及 y 轴旋转一周，求所生成的 旋转曲面方程． 解 双曲线 2 2 4 9 36 x y 绕 x 轴旋转一周生成的旋转曲面的方程为 2 2 2 4 9( ) 36 x y z 绕 y 轴旋转一周生成的旋转曲面的方程为 2 2 2 4( ) 9 36 x z y ． 7．画出下列方程所表示的曲面： (1) 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 a a x y ； (2) 2 2 3 4 9 z x y ； (3) 2 y z 0 ． 解 各方程表示的曲面如图 6-２、6-３及 6-４ 图 6-２ 图 6-３ 图 6-４ 8．说明下列旋转曲面是怎样形成的？ （1） 2 2 2 1 499 x y z ； （2） 2 2 2 1 4 y x z ； （3） 2 2 2 ( ) z a x y ． 解 （1） 该方程表示的曲面是由 xOy 平面上椭圆曲线 2 2 1 4 9 x y 绕 x 轴旋转一周， 或 xOz 平面上椭圆曲线 2 2 1 4 9 x z 绕 x 轴旋转一周而形成的旋转曲面． z x x x O y O z x x x O y x x z O y