银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第一章 函数与极限

银川能源学院《高签激学》救素 第一童函数、极限与连缕 章节名称： 第一章函数、极限与连续 教学内容与学时分配： 1、初等函数；2、数列的极限(2学时)：3、函数的极限；4、无穷小和无穷大(2学时)：5、 极限的运算法则：6、极限存在准则及两个重要极限(2学时)：7、无穷小的比较：8、函数的连 续性(2学时)：9、闭区间上连续函数的性质(2学时)。共计(10学时) 教学目的和要求： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的 关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最 大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。 重点： 1、复合函数及分段函数的概念：2、基本初等函数的性质及其图形： 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较： 6、函数连续性及初等函数的连续性：7、区间上连续函数的性质。 难点： 1、分段函数的建立与性质：2、左极限与右极限概念及应用：3、极限存在的两个准则的应 用：4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。 教学过程（教学环节设计与方法)： 1、引入： 2、概念、性质的证明： 3、例题分析： 4、小结。 教学手段： 探究式教学，讲练结合。 作业： 课后部分习题 第1页

银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 1 页 章节名称： 第一章 函数、极限与连续 教学内容与学时分配： 1、初等函数；2、数列的极限（2 学时）；3、函数的极限；4、无穷小和无穷大（2 学时）；5、 极限的运算法则；6、极限存在准则及两个重要极限（2 学时）；7、无穷小的比较；8、函数的连 续性（2 学时）； 9、闭区间上连续函数的性质（2 学时）。 共计（10 学时） 教学目的和要求： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的 关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最 大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 重点： 1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。 难点： 1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应 用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。 教学过程（教学环节设计与方法）： 1、引入； 2、概念、性质的证明； 3、例题分析； 4、小结。 教学手段： 探究式教学，讲练结合。 作业： 课后部分习题

银川能源学院《高签激学》救案 第一童函数、极限与连缕 第一节初等函数 一、领域 有限区间 设a<b,称数集{xa<r<b}为开区间，记为(a,b),即 (a,b)={xa<x<b}. 类似地有 [a,b]={x|a≤r≤b}称为闭区间， [a,b)={x|a≤r<b}、(a,b]={x|a<x≤b}称为半开区间， 其中a和b称为区间(a,b)、[a,b、[a,b)、(a,b的端点，b-a称为区间的长度 无限区间： [a,+o)={x|a≤x},(-0,b]={x|x<b},(-0,+o)={xllx|<+o} 区间在数轴上的表示： 邻域：以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a). 设6是一正数，则称开区间(a-6,a+)为点a的6邻域，记作U(a,,即 U(a,8)={x a-x<a+8 ={xllx-ad水 其中点a称为邻域的中心，6称为邻域的半径 去心邻域U(a, 0(a,={x10<x-aK 二、函数的概念 定义设数集DcR,则称映射子：D→R为定义在D上的函数，通常简记为 =x),x∈D,其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作D5,即 DD. 应注意的问题： 记号∫和x)的含义是有区别的，前者表示自变量x和因变量y之间的对应 法则，而后者表示与自变量x对应的函数值.但为了叙述方便，习惯上常用记 号“x,x∈D”或“=x,x∈D”来表示定义在D上的函数，这时应理解为由 它所确定的函数f 函数符号：函数y=x)中表示对应关系的记号∫也可改用其它字母，例如 “F”,“o”等.此时函数就记作y=p(x),=F(x) 函数的两要素： 函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在R内，因此构成函数的要素 是定义域D及对应法则∫.如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那 么这两个函数就是相同的，否则就是不同的 函数的定义域： 函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是对有实际背景的函数， 第2页

银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 2 页 第一节 初等函数 一、领域 有限区间: 设 a<b, 称数集{x|a<x<b}为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b){x|a<x<b}. 类似地有 [a, b]  {x | a xb }称为闭区间, [a, b)  {x | ax<b }、(a, b]  {x | a<xb }称为半开区间. 其中 a 和 b 称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, ba 称为区间的长度. 无限区间: [a, )  {x | ax }, (, b]  {x | x < b } , (, ){x | | x | < }. 区间在数轴上的表示: 邻域: 以点 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域, 记作 U(a). 设  是一正数, 则称开区间(a, a)为点 a 的  邻域, 记作 U(a, ), 即 U(a, ){x | a< x < a} {x | | xa|<}. 其中点 a 称为邻域的中心,  称为邻域的半径. 去心邻域  U (a, ):  U (a, ){x |0<| xa |<} .二、函数的概念 定义 设数集 DR, 则称映射 f : D R 为定义在 D 上的函数, 通常简记为 yf(x), xD, 其中 x 称为自变量, y 称为因变量, D 称为定义域, 记作 D f , ，即 D fD. 应注意的问题: 记号 f 和 f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量 x 和因变量 y 之间的对应 法则, 而后者表示与自变量 x 对应的函数值. 但为了叙述方便, 习惯上常用记 号“f(x), xD”或“y=f(x), xD”来表示定义在 D 上的函数, 这时应理解为由 它所确定的函数 f . 函数符号: 函数 yf(x)中表示对应关系的记号 f 也可改用其它字母, 例如 “F”, “”等. 此时函数就记作 y (x), yF(x). 函数的两要素: 函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在 R 内, 因此构成函数的要素 是定义域 D f 及对应法则 f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那 么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的. 函数的定义域: 函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数

银川能源学院《高签激学》救集 第一童函数、极限与连缕 根据实际背景中变量的实际意义确定」 求定义域举例： 求函数y=1-√x2-4的定义域 1” 要使函数有意义，必须≠0，且x2-4≥0 解不等式得引x≥2 所以函数的定义域为D={xI川x2},或D=(-o,2小U[2,+]) 单值函数与多值函数： 在函数的定义中，对每个xD,对应的函数值y总是唯一的，这样定义的 函数称为单值函数.如果给定一个对应法则，按这个法则，对每个x∈D,总有 确定的y值与之对应，但这个y不总是唯一的，我们称这种法则确定了一个多 值函数.例如，设变量x和y之间的对应法则由方程x2+y2=2给出.显然，对每 个x[-,小，由方程x2+y2=2,可确定出对应的y值，当=r或=-r时，对应=0 一个值；当x取(-r,)内任一个值时，对应的y有两个值.所以这方程确定了一 个多值函数 对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样 得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如，在由方程x+y2=2给出的对 应法则中，附加“20”的条件，即以“x2+y2=2且20”作为对应法则，就可 得到一个单值分支y=y(x)=V2-x2;附加“0”的条件，即以“x2+y2=2且ys0” 作为对应法则，就可得到另一个单值分支y=2x)=-P-x 表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公式法），这在中 学里大家已经熟悉.其中，用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐标 平面上的点集 {P(x,yb=fx),x∈D} 称为函数=x),x∈D的图形.图中的R表示函数=x)的值域. 例1.函数4。= 0,1a O,}此函数在电子技术中经常遇到，称为单位阶跃函数，这种用两个以上 解析式表示的函数成为分段函数。该函数的图形如图所示。 例2.函数){0 x x20 称为绝对值函数.其定义域为D=(-o,+o),值域为Rr=[0,+o), 「1x>0 例3.函数y=sgnx={ 0x=0 -1x<0 称为符号函数.其定义域为D=(-o,+o),值域为Rf={-1,0,1}. 第3页

银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 3 页 根据实际背景中变量的实际意义确定. 求定义域举例: 求函数 4 1 2   x  x y 的定义域. 要使函数有意义, 必须 x0, 且 x 2  40. 解不等式得| x |2. 所以函数的定义域为 D{x | | x |2}, 或 D(, 2][2, ]). 单值函数与多值函数: 在函数的定义中，对每个 xD, 对应的函数值 y 总是唯一的, 这样定义的 函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个 xD, 总有 确定的 y 值与之对应, 但这个 y 不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多 值函数. 例如, 设变量 x和 y 之间的对应法则由方程 x 2 y 2 r 2 给出. 显然, 对每 个 x[r, r]，由方程 x 2 y 2 r 2 ,可确定出对应的 y 值, 当 xr 或 xr 时, 对应 y0 一个值; 当 x 取(r, r)内任一个值时, 对应的 y 有两个值. 所以这方程确定了一 个多值函数. 对于多值函数, 往往只要附加一些条件, 就可以将它化为单值函数, 这样 得到的单值函数称为多值函数的单值分支. 例如, 在由方程 x 2 y 2 r 2 给出的对 应法则中, 附加“y0”的条件, 即以“x 2 y 2 r 2 且 y0”作为对应法则, 就可 得到一个单值分支 2 2 1 y y (x) r x ; 附加“y0”的条件, 即以“x 2 y 2 r 2 且 y0” 作为对应法则, 就可得到另一个单值分支 2 2 2 y y (x) r x . 表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法), 这在中 学里大家已经熟悉. 其中, 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 即坐标 平面上的点集 {P(x, y)|yf(x), xD} 称为函数 yf(x), xD 的图形. 图中的 R f 表示函数 yf(x)的值域. 例1. 函数  其定义域为（ ， ）（ ， ）       ( ), - a a 1 , 0 , a R t a t a ua ，值域为 0，1.此函数在电子技术中经常遇到，称为单位阶跃函数，这种用两个以上 解析式表示的函数成为分段函数。该函数的图形如图所示。 例 2. 函数         0 0 | | x x x x y x . 称为绝对值函数. 其定义域为 D(, ), 值域为 R f [0, ). 例 3. 函数            1 0 0 0 1 0 sgn x x x y x . 称为符号函数. 其定义域为 D(, ), 值域为 R f {1, 0, 1}

银川能源学院《高签数学》救案 第一童函数、极限与连缕 例4.设x为任上实数.不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作[x] 函数 y=[x] 称为取整函数.其定义域为D=(-o,+o),值域为Rr=Z 月=0,21，[-3，-1=-1，-3.5-4 三、函数的简单性质 ()函数的有界性 设函数x)的定义域为D,数集XcD.如果存在数K1,使对任一x∈X有 x)K,则称函数x)在X上有上界，而称K1为函数x)在X上的一个上界.图 形特点是=x)的图形在直线=K1的下方. 如果存在数K,使对任一x∈X,有x2K,则称函数x)在X上有下界， 而称K2为函数x)在X上的一个下界.图形特点是，函数=x)的图形在直线 y=K2的上方. 如果存在正数M,使对任一x∈X,有lx)M,则称函数x)在X上有界 如果这样的M不存在，则称函数x)在X上无界.图形特点是，函数y=x)的图 形在直线=-M和y=M的之间. 函数x)无界，就是说对任何M,总存在x1∈X,使Ix)>M. 例如 (1)x)=sinx在(-o,+o)上是有界的：Isinx1 (2)函数)=在开区间0,1)内是无上界的.或者说它在(0,1)内有下界， 无上界 这是因为，对于任一1，总有x:0<<<山，使 M, 所以函数无上界 函数fx)=1在(1,2)内是有界的 (2)函数的单调性 设函数y=x)的定义域为D,区间IcD.如果对于区间I上任意两点x灯 及2，当x1<x2时，恒有 fxi<fx2), 则称函数x)在区间I上是单调增加的 如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1<2时，恒有 AxiAx2), 则称函数x)在区间I上是单调减少的 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数， 函数单调性举例： 函数y=x2在区间(-，0]上是单调增加的，在区间[0，+∞)上是单调减少的， 在(-0，+o)上不是单调的 (③)函数的奇偶性 第4页

银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 4 页 例 4.设 x 为任上实数. 不超过 x 的最大整数称为 x 的整数部分, 记作[ x ]. 函数 y  [ x ] 称为取整函数. 其定义域为 D(, ), 值域为 R f Z . ] 0 7 5 [  , [ 2]1 , []3, [1]1, [3. 5]4. 三、函数的简单性质 (1)函数的有界性 设函数 f(x)的定义域为 D, 数集 XD. 如果存在数 K1, 使对任一 xX, 有 f(x)K1, 则称函数 f(x)在 X 上有上界, 而称 K1为函数 f(x)在 X 上的一个上界. 图 形特点是 yf(x)的图形在直线 yK1 的下方. 如果存在数 K2, 使对任一 xX, 有 f(x) K2, 则称函数 f(x)在 X 上有下界, 而称 K2 为函数 f(x)在 X 上的一个下界. 图形特点是, 函数 yf(x)的图形在直线 yK2 的上方. 如果存在正数 M, 使对任一 xX, 有| f(x) |M, 则称函数 f(x)在 X 上有界; 如果这样的 M 不存在, 则称函数 f(x)在 X 上无界. 图形特点是, 函数 yf(x)的图 形在直线 y  M 和 y  M 的之间. 函数 f(x)无界, 就是说对任何 M, 总存在 x1X, 使| f(x) | > M. 例如 (1)f(x)sin x 在(, )上是有界的: |sin x|1. (2)函数 x f x 1 ( ) 在开区间(0, 1)内是无上界的. 或者说它在(0, 1)内有下界, 无上界. 这是因为, 对于任一 M>1, 总有 x1: 1 1 0 1  M x , 使 M x f x   1 1 1 ( ) , 所以函数无上界. 函数 x f x 1 ( ) 在(1, 2)内是有界的. (2)函数的单调性 设函数 y  f(x)的定义域为 D, 区间 I D. 如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2, 当 x1 f(x2), 则称函数 f(x)在区间 I 上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 函数单调性举例: 函数 y  x 2 在区间(, 0]上是单调增加的, 在区间[0, )上是单调减少的, 在（, ）上不是单调的. (3)函数的奇偶性

银川能源学院《高签数学》教案 第一童函数、极限与连然 设函数x)的定义域D关于原点对称（即若x∈D,则-x∈D).如果对于任一 xED,有 A-x)=f(x). 则称x)为偶函数， 如果对于任一x∈D,有 -x)=-x), 则称x)为奇函数 偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称 奇偶函数举例： =x2,=cosx都是偶函数.=x3,=sinx都是奇函数，=sinx+cosx是非奇非 偶函数 (4)函数的周期性 设函数x)的定义域为D.如果存在一个正数1，使得对于任一xD有 (x±)∈D,且 x+)=x) 则称x)为周期函数，1称为x)的周期 周期函数的图形特点：在函数的定义域内，每个长度为1的区间上，函数 的图形有相同的形状 四、反函数与复合函数 1、反函数： 设函数∫：D-→D)是单射，则它存在逆映射f:D)→D,称此映射厂1为函 数f的反函数 按此定义，对每个yED),有唯一的x∈D,使得x)=y,于是有 (y)=x. 这就是说，反函数广1的对应法则是完全由函数∫的对应法则所确定的. 一般地，=x,xeD的反函数记成=f'(x),x∈D) 若∫是定义在D上的单调函数，则f:DD)是单射，于是f的反函数广 必定存在，而且容易证明厂1也是D)上的单调函数 相对于反函数=∫-(x)来说，原来的函数yx)称为直接函数.把函数 =x)和它的反函数 ∫(x)的图形画在同一坐标平面上，这两个图形关于直线=x是对称的.这是 因为如果P(a,b)是=fx)图形上的点，则有b=a).按反函数的定义，有a= (b),故Qb,a)是='(x)图形上的点；反之，若Qb,a)是=∫x)图形上的点 则P(a,b)是=x)图形上的点.而P(a,b)与Qb,a)是关于直线=x对称的 2、复合函数： 复合函数是复合映射的一种特例，按照通常函数的记号，复合函数的概念 可如下表述 设函数y=W的定义域为D1,函数=gx)在D上有定义且g(D)cD1,则 由下式确定的函数 =f几gx],x∈D 称为由函数=gx)和函数=八w)构成的复合函数，它的定义域为D,变量u称为 中间变量， 函数g与函数f构成的复合函数通常记为f·g,即 第5页

银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 5 页 设函数 f(x)的定义域 D 关于原点对称(即若 xD, 则xD). 如果对于任一 xD, 有 f(x)  f(x), 则称 f(x)为偶函数. 如果对于任一 xD, 有 f(x)  f(x), 则称 f(x)为奇函数. 偶函数的图形关于 y 轴对称, 奇函数的图形关于原点对称, 奇偶函数举例: yx 2 , ycos x 都是偶函数. yx 3 , ysin x都是奇函数, ysin xcos x是非奇非 偶函数. (4)函数的周期性 设函数 f(x)的定义域为 D. 如果存在一个正数 l , 使得对于任一 xD 有 (xl)D, 且 f(xl)  f(x) 则称 f(x)为周期函数, l 称为 f(x)的周期. 周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为 l 的区间上, 函数 的图形有相同的形状. 四、反函数与复合函数 1、反函数: 设函数f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射f 1 : f(D)D, 称此映射f 1为函 数 f 的反函数. 按此定义, 对每个 yf(D), 有唯一的 xD, 使得 f(x)y, 于是有 f 1 (y)x. 这就是说, 反函数 f 1的对应法则是完全由函数 f 的对应法则所确定的. 一般地, yf(x), xD 的反函数记成 yf 1 (x), xf(D). 若 f 是定义在 D 上的单调函数, 则 f : Df(D)是单射, 于是 f 的反函数 f 1 必定存在, 而且容易证明 f 1 也是 f(D)上的单调函数. 相对于反函数 yf 1 (x)来说, 原来的函数 yf(x)称为直接函数. 把函数 yf(x)和它的反函数 yf 1 (x)的图形画在同一坐标平面上, 这两个图形关于直线 yx 是对称的. 这是 因为如果 P(a, b)是 yf(x)图形上的点, 则有 bf(a). 按反函数的定义, 有 af 1 (b), 故 Q(b, a)是 yf 1 (x)图形上的点; 反之, 若 Q(b, a)是 yf 1 (x)图形上的点, 则 P(a, b)是 yf(x)图形上的点. 而 P(a, b)与 Q(b, a)是关于直线 yx 对称的. 2、复合函数: 复合函数是复合映射的一种特例, 按照通常函数的记号, 复合函数的概念 可如下表述. 设函数 yf(u)的定义域为 D 1, 函数 ug(x)在 D 上有定义且 g(D) D 1, 则 由下式确定的函数 yf[g(x)], xD 称为由函数ug(x)和函数yf(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为 中间变量. 函数 g 与函数 f 构成的复合函数通常记为 f  g , 即

银川能源学院《高签激学》救朱 第一童函数、极限与连缕 (fog)/g(x)1. 与复合映射一样，g与f构成的复合函数fg的条件是：是函数g在D上的 值域g(D)必须含在∫的定义域Dr内，即gD)cDr否则，不能构成复合函数. 例如，=u)=arcsin u,的定义域为-l,1,u=g(x)=2W1-x2在 D=l-号u号)上有定义，且gD-1,山，则g与f可构成复合函数 y=arcsin2v1-x2,xED: 但函数y=arcsin u和函数=2+x2不能构成复合函数，这是因为对任xeR,e2+x2 均不在y=arcsin u的定义域[-l,1]内 3、函数的运算 设函数x,gx)的定义域依次为D1,D2,D=D1OD2O,则我们可以定义 这两个函数的下列运算 和（差）f±g:(f±gx)=fx)壮g(x),x∈D, 积fg: (fg)(x)fx)g(x),xED; 商:Xx=f因，xeD(-)0y g g(x) 例5.设函数x)的定义域为(-1，)，证明必存在(-1，)上的偶函数g(x)及奇函 数h(x),使得 x)=g(x)+hx)】 分析如果x)=gx)+hx),则-x=gx)-hx),于是 g(x)=jlf(x)+f(-x)],l(x)=j[f(x)-f(-x)] 证作8x)=之/)+f-训，x)=/x)-f-x训，则ix)-g(x)+h(, g 8-x)-=/-x+fx=gx. hi-x)=jlf(-x)-f(x)l--jlf(x)-f(-x)]--Mx). 五、初等函数 基本初等函数： 幂函数：=x“(ueR是常数)： 指数函数：y=a'(a心0且a≠1)方 对数函数：=logx(a0且a≠l,特别当a=e时，记为y=lnx; 三角函数：)=sinx,=cosx,y=tanx,=cotx,=secx,=Cscx; 反三角函数：)=arcsinx,=arccos x,J=arctan x,=arccot x 初等函数： 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤 所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如 第6页

银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 6 页 ( f  g )f[g(x)]. 与复合映射一样, g 与 f 构成的复合函数 f  g 的条件是: 是函数 g 在 D 上的 值域 g(D)必须含在 f 的定义域 D f 内, 即 g(D)D f . 否则, 不能构成复合函数. 例 如 , yf(u)arcsin u, 的定义域为 [1, 1], 2 ug(x)2 1x 在 ,1] 2 3 ] [ 2 3 D[1,   上有定义, 且 g(D)[1, 1], 则 g 与 f 可构成复合函数 2 yarcsin2 1x , xD; 但函数yarcsin u和函数u2x 2不能构成复合函数, 这是因为对任xR, u2x 2 均不在 yarcsin u 的定义域[1, 1]内. 3、函数的运算 设函数 f(x), g(x)的定义域依次为 D 1, D 2, DD 1D 2, 则我们可以定义 这两个函数的下列运算: 和(差)f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD; 积 f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD; 商 g f : ( ) ( ) ( )( ) g x f x x g f  , xD\{x|g(x)0}. 例 5.设函数 f(x)的定义域为(l, l), 证明必存在(l, l)上的偶函数 g(x)及奇函 数 h(x), 使得 f(x)g(x)h(x). 分析 如果 f(x)g(x)h(x), 则 f(x)g(x)h(x), 于是 [ ( ) ( )] 2 1 g(x) f x  f x , [ ( ) ( )] 2 1 h(x) f x  f x . 证 作 [ ( ) ( )] 2 1 g(x) f x  f x , [ ( ) ( )] 2 1 h(x) f x  f x , 则 f(x)g(x)h(x), 且 [ ( ) ( )] ( ) 2 1 g(x) f x  f x g x , [ ( ) ( )] ( ) 2 1 [ ( ) ( )] 2 1 h(x) f x  f x  f x  f x h x . 五、 初等函数 基本初等函数: 幂函数: yx  (R 是常数); 指数函数: ya x (a0 且 a1); 对数函数: yloga x (a0 且 a1, 特别当 ae 时, 记为 yln x); 三角函数: ysin x, ycos x, ytan x, ycot x, ysec x, ycsc x; 反三角函数: yarcsin x, yarccos x, yarctan x, yarccot x . 初等函数: 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤 所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 例如

银川能源学院《高签激学》救案 第一童函数、极限与连缕 y,sin.cot 等都是初等函数 双曲函数： 双曲正弦：shr=e-e 双曲余弦：chr=e+ 2 双曲正切：thx=shr_e-e chx exte-x =chx y=thx 双曲函数的性质： sh(x+y)=sh x-ch ytch x-sh y; ch(xty)=ch xch y+sh xsh y. ch"x-sh"x-l; sh2x=2sh x.ch x; ch2x=ch2x+shx 下面证明sh(x+y)=sh x.chy+ch x-sh y: shrchy+chsh=e-eeteee 22 22 eygtee-laney tee 4 =exty-e -=sh(x+y) 2 反双曲函数 双曲函数=shx,y=chx20),y=hx的反函数依次为 反双曲正弦：y=arshx; 反双曲余弦：=archx; 反双曲正切：=arth x. 反双曲函数的表示达式： =arshx是x=shy的反函数，因此，从 x=er-e-y 2 中解出y来便是arshx.令=e',则由上式有u2-2r-1=0. 这是关于的一个二次方程，它的根为 u=x±Vx2+1 第7页

银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 7 页 2 y 1x , ysin2 x, 2 cot x y 等都是初等函数. 双曲函数: 双曲正弦: 2 sh x x e e x    ; 双曲余弦: 2 ch x x e e x    ; 双曲正切: x x x x e e e e x x x       ch sh th . 双曲函数的性质: sh(xy)sh xch ych xsh y; ch(xy)ch xch ysh xsh y. ch2 xsh2 x1; sh2x2sh xch x; ch2xch2 xsh2 x . 下面证明 sh(xy)sh xch ych xsh y: 2 2 2 2 sh c h c h sh x x y y x x y y e e e e e e e e x y x y              4 4 x y y x x y (x y) x y y x x y (x y) e e e e e e e e                   sh( ) 2 ( ) x y e e x y x y        . 反双曲函数: 双曲函数 ysh x, ych x(x0), yth x 的反函数依次为 反双曲正弦: yarsh x; 反双曲余弦: yarch x; 反双曲正切: yarth x . 反双曲函数的表示达式: yarsh x 是 xsh y 的反函数, 因此, 从 2 y y e e x    中解出 y 来便是 arsh x . 令 ue y , 则由上式有 u 2 2x u10. 这是关于 u 的一个二次方程, 它的根为 1 2 ux x  . y=ch x y=sh x 1 x y O y= e 1 -x 2 y= e 1 x 2 1 -1 O x y y=th x

银川能源学院《高签激学》救案 第一童函数、极限与连缕 因为=e~0,故上式根号前应取正号，于是 u=x+Vx2+i】 由于y=ln,故得 y=arshx=ln(x+Vx2+1) 函数=arsh x的定义域为(-o,+o),它是奇函数，在区间(-o,+o)内为单调 增加的 类似地可得 1,1+x y=archr=In(x+-1),y=arth= 第8页

银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 8 页 因为 ue y 0, 故上式根号前应取正号, 于是 1 2 ux x  . 由于 yln u, 故得 arsh ln( 1) 2 y x x x  . 函数 yarsh x 的定义域为(, ), 它是奇函数, 在区间(, )内为单调 增加的. 类似地可得 arch ln( 1) 2 y x x x  , x x y x     1 1 ln 2 1 arth

银川能源学院《高签激学》救未 第一童函数、极限与连缕 第二节数列的极限 一、数列极限的例子 如可用渐近的方程法求圆的面积？ 设有一圆，首先作内接正四边形，它的面积记为A1:再作内接正八边形， 它的面积记为A2;再作内接正十六边形，它的面积记为A3;如此下去，每次边 数加倍，一般把内接正8×2”-1边形的面积记为Am.这样就得到一系列内接正 多边形的面积： A1,A2,A3,··,Am, 设想n无限增大（记为n→o,读作n趋于穷大），即内接正多边形的边数无 限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时A,也无限接近于 某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积.这个确定的数值在数学 上称为上面有次序的数（数列）A,A2,A,…,Am,当n→o时的极限. 二、数列与整标函数 数列的概念：如果按照某一法则，使得对任何一个正整数n有一个确定 的数xm,则得到一列有次序的数 X1,X2,X3,···,xn,·· 这一列有次序的数就叫做数列，记为{x},其中第n项xm叫做数列的一般项. 数列的例子： （1)A2,A3,,An’ a1安5日， 1 n (3)2,4,8,…,2”, (5)1,-1,1,…,(-1"+,; (6)2克，…， n+(-I)- n 它们的一般项依次为4，，2京，1++ n 数列的几何意义：数列{xm}可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上 的点x1,2,x3,·,Xn, 数列与函数：数列{xm}可以看作自变量为正整数n的函数： xf(n), 它的定义域是全体正整数 三、数列的极限： 数列的极限的通俗定义：对于数列{xm},如果当n无限增大时，数列的 般项xn无限地接近于某一确定的数值a,则称常数a是数列{xm}的极限，或称 第9页

银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 9 页 第二节 数列的极限 一、数列极限的例子 如可用渐近的方程法求圆的面积？ 设有一圆 首先作内接正四边形 它的面积记为 A1；再作内接正八边形 它的面积记为 A2；再作内接正十六边形 它的面积记为 A3；如此下去 每次边 数加倍 一般把内接正 8×2 n  1 边形的面积记为 An  这样就得到一系列内接正 多边形的面积 A1 A2 A3        An    设想 n 无限增大（记为 n 读作 n 趋于穷大） 即内接正多边形的边数无 限增加 在这个过程中 内接正多边形无限接近于圆 同时 An 也无限接近于 某一确定的数值 这个确定的数值就理解为圆的面积 这个确定的数值在数学 上称为上面有次序的数（数列） A1 A2 A3     An   当 n 时的极限 二、数列与整标函数 数列的概念如果按照某一法则 使得对任何一个正整数 n 有一个确定 的数 xn  则得到一列有次序的数 x1 x2 x3     xn     这一列有次序的数就叫做数列 记为{xn} 其中第 n 项 xn 叫做数列的一般项 数列的例子 （1） A2 , A3 ,   , An，   （2）1, 2 1  3 1  n 1      n 1    （3）2 4 8     2 n     （4） 2 1  4 1  8 1      2n 1      （5）1 1 1     (1)n  1      （6）2 2 1  3 4      n n n 1 ( 1)         它们的一般项依次为 An， n 1  2 n  2n 1  (1)n  1  n n n 1 ( 1)     数列的几何意义 数列{xn}可以看作数轴上的一个动点 它依次取数轴上 的点 x1 x2 x3     xn     数列与函数 数列{xn}可以看作自变量为正整数 n 的函数 xnf (n) 它的定义域是全体正整数 三、数列的极限 数列的极限的通俗定义：对于数列{xn} 如果当 n 无限增大时 数列的一 般项 xn 无限地接近于某一确定的数值 a 则称常数 a 是数列{xn}的极限 或称

银川能源学院《高签激学》救集 第一童函数、极限与连线 数列{xn收敛a.记为mxn=a.如果数列没有极限，就说数列是发散的. 例如 m希=，名=0，m+ n-→on 而{2，{(-1+}，是发散的. 对无限接近的刻划： xn无限接近于a等价于xm一a无限接近于O, 极限的精确定义： 定义如果数列{xm}与常a有下列关系：对于任意给定的正数ε（不论它多 么小)，总存在正整数N,使得对于n>N时的一切xm,不等式 kxn-a0,要使km-1k1 证明：因为Ye>0,3N=[∈N,当>N时，有 k,-非-y-非10,要使k-0水8，只要0,3N=-∈N,当>N时，有 k-0a, 1 (n+1)2 所以中=0 例3.设gK1,证明等比数列 1,9,g,…,g1,… 的极限是0. 第10页

银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 第 10 页 数列{xn}收敛 a  记为 xn a n   lim  如果数列没有极限 就说数列是发散的 例如 1 1 lim   n n n  0 2 1 lim   n n  1 ( 1) lim 1      n n n n  而{2 n } { (1)n  1 } 是发散的 对无限接近的刻划 xn 无限接近于 a 等价于|xna |无限接近于 0 极限的精确定义 定义 如果数列{xn}与常 a 有下列关系对于任意给定的正数 不论它多 么小 总存在正整数 N  使得对于 n >N 时的一切 xn 不等式 |xna |0 要使|xn1|  只要  n 1  即  1 n  证明 因为 0,  ] 1 [  N  N   当 nN 时 有 |xn1|       n n n n 1 1| ( 1) | 1  所以 1 ( 1) lim 1      n n n n  例 2 证明 0 ( 1) ( 1) lim 2     n n n  分析 |xn0| 0| ( 1) ( 1) | 2     n n 1 1 ( 1) 1 2     n n  对于 0 要使|xn0|  只要  1 1 n  即 1 1    n  证明 因为 0  1] 1 [   N N   当 nN 时 有 |xn0|         1 1 ( 1) 1 0| ( 1) ( 1) | n 2 n 2 n n  所以 0 ( 1) ( 1) lim 2     n n n  例 3 设|q |<1 证明等比数列 1 q  q 2      q n1     的极限是 0