级数 1.判断数项级数的敛散性的方法 小结对任意级数先取绝对值，判断绝对值级数的敛散性，因为绝对值级数是正项级数，所 以可以用只适用于正项级数的比较判别法和比值判别法来判断，若收敛即为绝对收敛，若发 散再看是否为交错级数，若是交错级数再用莱布尼茨判别法判断其敛散性， 当然，不论判断何类级数，都先用收敛的必要条件来判断是否发散，当判断不出时，再考虑 用其他方法. 例1判断下列级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛 1 2 (a>0) Inn 1+a” 解 (1)先判断级数 的敛散性，显然级数是正项级数，因为 nn Inn ，而级数了1 发散，由比较判别法知级数1发散。又因为级数-少是一交错 n n Inn 级数，mnn =0且 Inn In(n+1) 由莱布尼茨判别法知，级数了一少 收敛，故此级 Inn 数条件收敛， 1 (2)当01时，先判断级数 分1 1+a 的敛散性，因为lim 1+a" =lim a" a+ a" -上<1，由比值判别法知，级数少绝对收敛。 台1+a 2.幂级数收敛区间或收敛域的方法 an+l u(Kx）“n 求得.若不属于标准形式，缺奇次（或偶次）项，则可用比值判别法求得 例2求下列幂级数的收敛域 w3,e2·o (2n)1
级数 1． 判断数项级数的敛散性的方法 小结 对任意级数先取绝对值，判断绝对值级数的敛散性，因为绝对值级数是正项级数，所 以可以用只适用于正项级数的比较判别法和比值判别法来判断，若收敛即为绝对收敛，若发 散再看是否为交错级数，若是交错级数再用莱布尼茨判别法判断其敛散性． 当然，不论判断何类级数，都先用收敛的必要条件来判断是否发散，当判断不出时，再考虑 用其他方法． 例 1 判断下列级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛 (1) 2 ln ( 1) n n n ， (2) 1 1 ( 1) n n n a (a 0)． 解 (1)先判断级数 2 ln ( 1) n n n = 2 ln 1 n n 的敛散性，显然级数 2 ln 1 n n 是正项级数，因为 ln n 1 > n 1 ，而级数 2 1 n n 发散，由比较判别法知级数 2 ln 1 n n 发散．又因为级数 2 ln ( 1) n n n 是一交错 级数， n ln n 1 lim =0 且 ln n 1 > ln( 1) 1 n ，由莱布尼茨判别法知，级数 2 ln ( 1) n n n 收敛，故此级 数条件收敛． (2) 当 0< a 1 时， n n 1 a 1 lim 0，由级数收敛的必要条件知级数 1 1 ( 1) n n n a 发散． 当 a 1 时,先判断级数 1 1 ( 1) n n n a = 1 1 1 n n a 的敛散性，因为 1 1 1 lim n n n a a = n n n a a a 1 1 1 lim = a 1 <1 ，由比值判别法知，级数 1 1 ( 1) n n n a 绝对收敛． 2． 幂级数收敛区间或收敛域的方法 小结 如果幂级数属于 n0 n n a x 或 0 0 ( ) n n n a x x 形式，其收敛半径可按公式 R 1 = n n n a a 1 lim 求得．若不属于标准形式，缺奇次（或偶次）项，则可用比值判别法求得． 例 2 求下列幂级数的收敛域 (1) n n x n ) 3 ( 1 1 ， (2) 0 ) 2 1 ( n x n ， (3) 0 2 (2 )! ( 1) n n n n x ．
解(1)因为lm an+i =lim n3" =lim n_1 (n+103时#0n+1)331 所以收敛半径R=3,收敛区间为 (-3,3). 当x=一3时，级数为 子-)”，收敛， n 当x=3时，级数为 显然发散. 故收敛域为[-3,3). 2" 1 (2)因为lm 22 =lim 所以收敛半径R=2, nan 由x+1<2得，收敛区间为(-3,1)， 当x=-3时，级数为 （-1,发散， n=0 当x=1时，级数为 发散， 故级数的收敛域为(-3,1). (3)幂级数 - x2m*2(2n）1 缺少奇次项，直接用比值判别法有 lim =0 (2n)川 (2n+2)1x2n 闲2 lim =0, n-∞(2n+2)(2n+1) 收敛半径R=+0,收敛域为(-o,+0). 3.求幂级数的和函数的方法 小结掌握幂级数在其收敛区间内和函数的求法，首先要熟悉几个常用的初等函数的幂级数 展开式，其次还必须分析所给幂级数的特点，找出它与和函数已知的幂级数之间的联系，从 而确定出用逐项求导法还是用逐项积分法求所给幂级数的和函数. 例3利用逐项求导和逐项微分，求下列级数在其收敛区间的和函数 35 x" 2n(n-1) 解(1)由于幂级数的系数含有幂指数加1的因子，所以采用“先积后微”的方法， 设s)=立m,(=∑md-r产x，<1,于是
解 (1) 因为 n n n a a 1 lim = 1 ( 1)3 3 lim n n n n n = ( 1)3 lim n n n = 3 1 ， 所以收敛半径 R =3，收敛区间为 （ 3，3）． 当 x = 3 时，级数为 1 ( 1) n n n ，收敛， 当 x =3 时，级数为 1 1 n n ，显然发散． 故收敛域为 [ 3，3 ) ． (2) 因为 n n n a a 1 lim = 1 2 2 lim n n n = 2 1 ，所以收敛半径 R =2， 由 x1 <2 得，收敛区间为（ 3，1）， 当 x 3 时，级数为 n n ( 1) 0 ，发散， 当 x =1 时，级数为 0 1 n ，发散， 故级数的收敛域为（ 3，1）． (3) 幂级数 0 2 (2 )! ( 1) n n n n x 缺 少 奇 次 项 ， 直 接 用 比 值 判 别 法 有 n n n n x x n 2 2 2 (2 2)! (2 )! lim = (2 2)(2 1) lim 2 n n x n =0， 收敛半径 R = ，收敛域为（, ）． 3． 求幂级数的和函数的方法 小结 掌握幂级数在其收敛区间内和函数的求法，首先要熟悉几个常用的初等函数的幂级数 展开式，其次还必须分析所给幂级数的特点，找出它与和函数已知的幂级数之间的联系，从 而确定出用逐项求导法还是用逐项积分法求所给幂级数的和函数． 例 3 利用逐项求导和逐项微分，求下列级数在其收敛区间的和函数 (1) 1 1 n n nx ， (2) 2 2 ( 1) n n n n x ． 解 （1）由于幂级数的系数含有幂指数加 1 的因子，所以采用“先积后微”的方法， 设 s(x) = 1 1 n n nx ， x s x x 0 ( )d = x n n nx x 0 1 1 d = n1 n x = x x 1 ， x 1 ，于是
=0d=a 即 ，<1 (2)由于幂级数的系数含有幂指数的因子，所以采用“先微后积”的方法 段-名 x 则空号 1 台221-x) sw=时t-520=-号nm- )-[s(s)dx-x+lnd-)-xll) 即 2n(n-1=[x+In-)-xInd-x]. 4.把函数展开成幂级数的方法 小结把函数f(x)展开为(x一x。)的幂级数的方法有二： (1)直接展开法（泰勒展开）此方法计算量大，∫(x)的一般表达式不易求出，并且讨论 余项R,(x)当n→o时是否趋于0也困难.为了避免这些缺点，常用间接展开法. (②)间接展开法利用已知的函数展开式，通过恒等变换、变量代换、幂级数的代数运算及 逐项求导或逐项积分把f(x)展开成幂级数. 例4把下列函数展开为(x-x)的幂级数 0f倒-1 +1’-4: 3x ②f)F2-x-x6=0. 解(1)利用等比级数求和公式 11 x+1x+4-3 31-x+ 3) 因为已-立r(-1Kx1,所以 1-x0 3
s(x) = [ ( )d ] 0 x s x x = ] 1 [ x x = 2 (1 ) 1 x ， 即 1 1 n n nx = 2 (1 ) 1 x ， x 1. (2) 由于幂级数的系数含有幂指数的因子，所以采用“先微后积”的方法 设 s(x) = 2 2 ( 1) n n n n x ， 则 s (x) = 2 1 2( 1) n n n x ， s (x) = 2 2 n 2 n x = 2(1 ) 1 x ， s (x) = x s x x 0 ( )d = x x x 0 d 2(1 ) 1 = 2 1 ln(1 x)， s(x) = x s x x 0 ( )d = 2 1 [ x ln(1 x) xln(1 x) ]， 即 2 2 ( 1) n n n n x = 2 1 [ x ln(1 x) xln(1 x) ]． 4． 把函数展开成幂级数的方法 小结 把函数 f (x) 展开为（ 0 x x ）的幂级数的方法有二： (1) 直接展开法（泰勒展开） 此方法计算量大， ( ) ( ) f x n 的一般表达式不易求出，并且讨论 余项 R (x) n 当 n 时是否趋于 0 也困难．为了避免这些缺点，常用间接展开法． (2) 间接展开法 利用已知的函数展开式，通过恒等变换、变量代换、幂级数的代数运算及 逐项求导或逐项积分把 f (x) 展开成幂级数． 例 4 把下列函数展开为（ 0 x x ）的幂级数 (1) f (x) = 1 1 x ， 0 x = 4 ； (2) f (x) = 2 2 3 x x x ， x0 0 ． 解 (1) 利用等比级数求和公式 1 1 x = 4 3 1 x = ) 3 4 3(1 1 x ， 因为 1 x 1 = n0 n x （ 1< x <1），所以 3 4 1 1 x = 0 ) 3 4 ( n x n
这里 -1<x+4<1,得-7Kx<-1,于是 3 1=-x+4” (-7<x<-1). x+1台3 (2 3x =1-2=1-1 2-x-x21-x2+x1-x1+x =+tr+…）-2+-克+…小 =3x+3x2+9x+l5x4+… 9 (-1<x<1). 4 8”16 ,1的收敛区间为(-1,1D）可知1的幂级数收敛区间为(-2,2， 3x 由 1-x 1+ 2-x-x2 2 的麦克劳林级数的收敛区间取(-1,1)与(-2,2)中较小的一个，即(-1,1). 5.傅里叶级数的展开法 小结把f(x)(满足收敛定理条件)展开成傅里叶级数主要工作是计算傅里叶系数.因 此要根据函数的特点尽量用适当的恒等变形或适当变量代换，把函数转化成求具有奇偶性的 函数的傅里叶系数，这样可以简化运算 例5设f(x)是以2π为周期的函数，它在[-π，π]上的表达式为 e-6 ,-π≤x<0, ,0≤x<π 将f(x)展开成傅里叶级数. 解f(x)满足收敛定理条件， f(x)的图形如图所示 y 因此a,-f=d=-受 -21 ()cosmd-xcomdx 2m n2元 n=1,3,5. 0 n=2,4,6
这里 1< 3 x 4 <1 ，得 7< x < 1 ，于是 1 1 x = 0 1 3 ( 4) n n n x （ 7< x < 1 ）． (2) 2 2 3 x x x = 1 x 1 2 2 x = 1 x 1 1 1 2 x =（1+ x + 2 x + n x + ） [ 2 x +( 2 ) 2 x + +( x n ) 2 + ] = 2 3 x + 2 4 3 x + 3 8 9 x + 4 16 15 x + （ 1< x <1）． 由 1 x 1 的收敛区间为 （ 1，1）可知 2 1 1 x 的幂级数收敛区间为（ 2，2）， 2 2 3 x x x 的麦克劳林级数的收敛区间取（ 1，1）与（ 2，2）中较小的一个，即（ 1，1）． 5．傅里叶级数的展开法 小结 把 f (x) （满足收敛定理条件）展开成傅里叶级数主要工作是计算傅里叶系数．因 此要根据函数的特点尽量用适当的恒等变形或适当变量代换，把函数转化成求具有奇偶性的 函数的傅里叶系数，这样可以简化运算． 例 5 设 f (x) 是以 2 π 为周期的函数，它在[ π， π ]上的表达式为 f (x) = 0 , 0 π , , π 0 , x x x 将 f (x) 展开成傅里叶级数． 解 f x( ) 满足收敛定理条件， f x( ) 的图形如图所示 因此 a0 = 1 π π f (x)dx = π 1 0 π xdx = 2 π ， an = π 1 π π f (x)cosnxdx = π 1 0 π xcosnxdx = π 1 ( n xsin nx + 2 cos n nx ) 0 π = 0 , 2,4,6..., , 1,3,5... , π 2 2 n n n π 2π π 3π -π -2π -π x y O
6,=()sin nd=元j2 d=（-xosm,sn)g,- n2 又f(x)在除x=(2k+1)π外处处连续，故f(x)的傅里叶级数展开式为 f-子r2osx+sn)-号sn2r品w3a+吋n3x)sn 1 4元 32π 3 327cos5x+5sin5x)-…(-0<x<∞且x≠(2k+l)， 当x=(2k+)π时，级数收敛于-刀
bn = π 1 π π f (x)sin nxdx = π 0 π xsin nxdx = π 1 ( n xcosnx + 2 sin n nx ) 0 π = 2 1 ( 1) n n ． 又 f (x) 在除 x (2k 1) π 外处处连续，故 f (x) 的傅里叶级数展开式为 f (x) = 4 π +( π 2 cos sin x x ) 2 1 sin 2x +( 3 π 2 2 cos3x + 3 1 sin3x ) 4 1 sin 4x +( 5 π 2 2 cos5x + 1 sin5 ) 5 x ( x 且 x ( 2k 1 ) π )， 当 x (2k 1) π 时，级数收敛于 2 π ．
