《高等数学》课程教学资源（习题选解）第十章 级数10.4

习题10一4 1.将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间： 1)1e-e): (2)ln(10+x): (3)a: (4)sin2x; 1 (5) 1+x 2x2-3x+1 (6)n1-x g-m-含-含客(x树 2)ha0+0=h0+h+总=hi0+-l)-{，xe-o,1g (3)4=e=2 Inayy xe←，to) o n! wm-0-w2--立-8 2 2(2n)l ，re(o0,to) (5) 2品.grr-空r-2e-we(为》 。n-9--含-w4-r2 2.将函数f(x)=cosx展开成(x+乃)的幂级数. 解：osx=eox+孕- 2-r+停2-ra+

1 习题 10—4 1．将下列函数展开成 x 的幂级数，并求展开式成立的区间： （1） 1 ( ) 2 x x e e   ； （2）ln(10  x) ； （3） x a ； （4） 2 sin x ; （5） 2 1 2x 3x 1 （6） 1 ln 1 x x   ． 解：（1）   0 0 1 1 ( ) 2 2 ! ! n n x x n n x x e e n n                   2 1 1 (2 1)! n n x n      ， x, （2） 1 1 1 ln(10 ) ln10 ln(1 ) ln10 ( 1) , ( 10,10] 10 10 n n n x x x x n                    （3） ln 0 (ln ) ( , ) ! n x x a n n a a e x x n         （4） 2 2 0 1 1 (2 ) sin (1 cos 2 ) 1 ( 1) 2 2 (2 )! n n n x x x n               2 1 1 (2 ) ( 1) , ( , ) 2(2 )! n n n x x n          （5） 1 2 0 0 0 1 2 1 1 1 2 2 (2 1) , ( , ) 2 3 1 1 2 1 2 2 n n n n n n n n x x x x x x x x                        （6）     1 1 0 0 1 1 1 ln ln(1 ) ln(1 ) ( 1) ( 1) 1 2 2 1 1 n n n n n n x x x x x x n n                            1 3 1 5 3 5  x  x  x ， (1 x 1) 2．将函数 f (x)  cos x 展开成( ) 3 x   的幂级数． 解：cos cos[( ) ] 3 3 x x      cos( ) cos sin( )sin 3 3 3 3 x x         1 3 cos( ) sin( ) 2 3 2 3 x x       2 2 1 0 0 1 1 3 1 ( 1) ( 1) 2 (2 )! 3 2 (2 1)! 3 n n n n n n x x n n                            

2n+ x∈(-0，∞) 3.将函数fx)=分别展开成x和(x-2）的幂级数. r+2 解：展开成x的幂级数如下： f(x)= 1=1.1= x+221+ x- 2(-2-器，e22: 2 展开成x-2的幂级数如下： fw)=1-11 月=0 4 4.将函数f)=x+4x+3 。1一展开成(x-)的幂级数。 1 1 111）1 解@-7+**e+可*，习+可 而 29-旷 -1<x<3, 4+ -3<x<5, 81+ 2- 所以 4x+3=-r（2a2)x-旷，1<x<) x2+4x+3 5.利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值： (1)1n3(误差不超过0.0001)：(2)√e(误差不超过0.001)： (3)522(误差不超过0.00001). 解：（1,1+x-lnl+x)-n1--35+×、y 2* x∈(-1,10 1-x 令+x=3,得x= 1-x 2e←1)

2 2 2 1 0 1 1 3 ( 1) 2 (2 )! 3 (2 1)! 3 n n n n x x n n                               ， x (,) 3．将函数 1 ( ) 2 f x x   分别展开成 x 和(x  2) 的幂级数． 解：展开成 x 的幂级数如下： 1 0 0 1 1 1 1 ( ) ( 1) , ( 2,2) 2 2 2 2 2 1 2 n n n n n n x x f x x x x                        ； 展开成 x  2的幂级数如下：   1 0 0 1 1 1 1 2 ( 2) ( ) ( 1) , ( 2,6) 2 4 2 4 4 4 1 4 n n n n n n x x f x x x x                          4．将函数 2 1 ( ) 4 3 f x x x    展开成(x 1)的幂级数． 解：    2 1 1 ( ) 4 3 1 3 f x x x x x       1 1 1 1 1 2 1 3 1 1 4 1 8 1 2 4 x x x x                             而   1 1 1 ( 1) 1 1 3 1 4 2 4 1 2 n n n n x x x                  ，   1 1 1 ( 1) 1 3 5 1 8 4 8 1 4 n n n n x x x                  ， 所以     2 2 2 3 0 1 1 1 ( 1) 1 , 1 3 4 3 2 2 n n n n n x x x x                     5．利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值： （1）ln 3（误差不超过0.0001）； （2） e （误差不超过0.001）； （3） 9 522 （误差不超过0.00001）． 解：（1） ln(1 ) ln(1 ) 1 1 ln x x x x       ) ( 1,1) 3 5 2 1 2( 3 5 2 1           x n x x x x n   令 3 1 1    x x ，得 1 ( 1,1) 2 x   

1 1+ ,111 n3=ln2=2 1- 2 (2n-1022+… 232+5-2++ 设余项为，则 =2[ 1 2n+1-22+2n+3)-2m+… 1+2n+):2a2n+10-221 (2n+1)）-22m*W (2n+3)-22m*g (2n+5)-22m*s+… 2 2 1-32n+0-22网 经试算 3l7*0o012kM332*0w0a 取n=6,则n32(吃+3-2 52++、1 1,1,1 +1-2)=1.09858≈1.0986 2)由于e=1+x++ +…(-0<x<+0). 21 n! 取x=分，则有6=1++ 2222+…+ 2+…, 1 余项r-m2n+12+, aw .1,1,）111 3nl2 5352=0.0003, 1,1 取n=4,则E1+2+22+2+42164841.648 1 1 （5》5亚=+0=20+95，利用0+r的展开式，取x-”m-写则

3 3 5 2 1 1 1 1 1 1 1 2 ln 3 ln 2( ) 1 2 3 2 5 2 (2 1)2 1 2 n n                设余项为 nr ，则 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 3 2 5 2 1 2 4 2 1 2 2 1 1 2[ ] (2 1) 2 (2 3) 2 2 (2 1) 2 (2 1) 2 1 (2 1) 2 (2 3) 2 (2 5) 2 2 1 1 2 1 1 1 (2 1) 2 2 2 (2 1) 2 1 3(2 1) 2 1 4 n n n n n n n n n n n r n n n n n n n n n n                                                             经试算 0.000 12, 3 11 2 1 5 8    r  6 10 1 0.000 03, 3 13 2 r     取n  6，则 ) 1.0 9858 1.0986 11 2 1 5 2 1 3 2 1 2 1 ln3 2( 3 5 11            （2）由于 ( ) 2! ! e 1 2         x   n x x x n x   ． 取 2 1 x  ，则有          n n!2 1 2!2 1 2 1 e 1 2 ， 余项   1 1 1 1 ! 2 1 ! 2 n n n r n n         ， 2 1 1 1 1 1 1 ! 2 1 2 ( 2)( 1) 2 n n n n n                  2 2 1 1 1 1 1 1 1 ! 2 2 2 ! 2 1 3 ! 2 1 4 n n n n n n                     5 3 1 0.000 3 3 5! 2 r     ， 取n  4，则 1.648 4 1.648 4!2 1 3!2 1 2!2 1 2 1 e 1 2 3 4           （3） 9 1 9 9 9 9 ) 2 10 522  2 10  2(1 , 利用 m (1 x) 的展开式，取 9 1 , 2 10 9 x  m  ，则

92+21 18 =2 +1.10_9^9102 1 929-21 18 因1.10 )28=002170, 99102 2128=0.000019, 所以/522≈21+0.002170-0.000019)≈2.00430 6.计算下列定积分的近似值，要求误差不超过0.001： (1)edx: (2)arctan 解（1)e=1-x+文-…+ 211 ++…(0=001,1-51192010 11 1 =0.001 9.4!2161000 erd1-tb+20748 31042216 (2)arctanx=x 3+5+←1少 2n*+… (-1<x<1) 35+°，” arctan 十… (xe(-1,0)U(0,1) 2n+1

4 1 2 9 9 9 9 18 9 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 10 1 10 9 9 10 9 9 9 10 522 2(1 ) 2 1 2 9 2 2! 2 ! 2 n n n n                             2 9 18 1 8 1 10 9 9 10 2 1 9 2 2! 2                 因 0.002 170 2 10 9 1 9   ， 0.000 019 2 10 2! 9 8 9 1 18 2    ， 所以 9 522  2(1 0.002170  0.000 019)  2.00430 6．计算下列定积分的近似值，要求误差不超过0.001： （1） 1 2 0 d x e x   ； （2） 0.5 0 arctan d x x x  ． 解（1） ( ) ! ( 1) 2! e 1 4 2 2 2 2             x n x x x n x   2 4 2 1 1 2 0 0 1 3 5 7 9 11 2 1 0 ( 1) e d (1 )d ( ) 2! ! ( 1) ( ) 3 5 2! 7 3! 9 4! 11 5! (2 1) ! 1 1 1 1 1 3 5 2! 7 3! 9 4! 1 1 1 1 1 3 10 42 216 n n x n n x x x x x x n x x x x x x x n n                                                     1 1 1 0.001 9 4! 216 1000     ， 1 1 1 0.001 11 5! 1320 1000     1 2 0 1 1 1 1 e d 1 0.748 3 10 42 216 x x         （2） ( 1 1) 2 1 ( 1) 3 5 arctan 3 5 2 1             x n x x x x x n  n  2 4 2 arctan 1 ( 1) ( ( 1,0) (0,1)) 3 5 2 1 n x x x n x x x n             

∫0 arctanx=--3+5F% +…)dr (x∈(-1,0)U(0,1) 2n+1 0.5 111.1111 292325254927 111+1.1-1≈0.487 292+25249271

5 2 4 2 0.5 0.5 0 0 0.5 3 5 7 0 3 5 3 5 arctan d (1 ( 1) )d ( ( 1,0) (0,1) 3 5 2 1 [ ] 9 25 49 1 1 1 1 1 1 1 2 9 2 25 2 49 27 1 1 1 1 1 1 1 0.487 2 9 2 25 2 49 27 n x x x n x x x x x n x x x x                                      