银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第十章 曲线积分和曲面积分

银川科技职业学院《高等数学》救素 第十章曲线积分和曲面积分 章节名称： 第十章 曲线积分和曲面积分 教学内容与学时分配： 教学目的和要求： 1. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2. 掌握计算两类曲线积分的方法。 3. 熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原 函数。 4. 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积 分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。 5. 知道散度与旋度的概念，并会计算。 6. 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。 重点： 1、两类曲线积分的计算方法： 2、格林公式及其应用： 3、两类曲面积分的计算方法： 4、高斯公式、斯托克斯公式： 5、两类曲线积分与两类曲面积分的应用。 难点： 1、两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系： 2、对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算： 3、应用格林公式计算对坐标的曲线积分： 4、应用高斯公式计算对坐标的曲面积分： 5、应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。 教学过程（教学环节设计与方法）： 教学手段： 作业： 第1页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 1 页 章节名称： 第十章 曲线积分和曲面积分 教学内容与学时分配： 教学目的和要求： 1. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2. 掌握计算两类曲线积分的方法。 3. 熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原 函数。 4. 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积 分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。 5. 知道散度与旋度的概念，并会计算。 6． 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。 重点： 1、两类曲线积分的计算方法； 2、格林公式及其应用； 3、两类曲面积分的计算方法； 4、高斯公式、斯托克斯公式； 5、两类曲线积分与两类曲面积分的应用。 难点： 1、两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系； 2、对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算； 3、应用格林公式计算对坐标的曲线积分； 4、应用高斯公式计算对坐标的曲面积分； 5、应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。 教学过程（教学环节设计与方法）： 教学手段： 作业：

银川科技职业学院《高等数学》救未 第十章曲线积分和曲面积分 S10.1对弧长的曲线积分 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量： 设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上，己知曲线形构 件在点(x,y)处的线密度为(x,y).求曲线形构件的质量， 把曲线分成n小段，△1，△s2,,△sn(△s,也表示弧长)； 任取(5，)E△s,得第i小段质量的近似值(5，)△s 整个物质曲线的质量近似为M≈25)Ay; i=l 令=max{△s1,△2，·，△sn}→0，则整个物质曲线的质量为 M=im2G,n)△. 元→0=] 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到 定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数x,y)在L上有界.在L上 任意插入一点列M,M,··,Mm-1把L分在n个小段.设第i个小段的长度为△s, 又（点，）为第i个小段上任意取定的一点，作乘积5，)△s,(=1,2,·,n),并作 和2G4,如果当各小弧段的长度的最大值0，这和的极限总存在，则 i= 称此极限为函数x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作 fxb,即∫fxk=m2fG)A 其中x,y)叫做被积函数，L叫做积分弧段. 设函数x,y)定义在可求长度的曲线L上，并且有界 将L任意分成n个弧段：△S1,△s2,,△sm并用△s,表示第i段的弧长； 在每一弧段△s上任取一点(，)，作和∑f5,)△s; i=l 令=max{△s1,△s,,△sm,如果当2→0时，这和的极限总存在，则称此极 限为函数x,)在曲线弧L上对弧长的 曲线积分或第一类曲线积分，记作∫fxs,即 (yds=m)s 0=1 其中x,y)叫做被积函数，L叫做积分弧段. 第2页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 2 页 §10.1 对弧长的曲线积分 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量 设一曲线形构件所占的位置在 xOy 面内的一段曲线弧 L 上 已知曲线形构 件在点(x y)处的线密度为(x y) 求曲线形构件的质量 把曲线分成 n 小段 s1 s2    sn(si 也表示弧长) 任取(i  i)si  得第 i 小段质量的近似值(i  i)si 整个物质曲线的质量近似为 i i i n i M  s   ( , ) 1     令 max{s1 s2    sn}0 则整个物质曲线的质量为 i i i n i M  s   lim  ( , ) 1 0      这种和的极限在研究其它问题时也会遇到 定义 设 L 为 xOy 面内的一条光滑曲线弧 函数 f(x y)在 L 上有界 在 L 上 任意插入一点列 M1 M2    Mn1 把 L 分在 n 个小段. 设第 i 个小段的长度为si  又(i  i)为第 i 个小段上任意取定的一点 作乘积 f(i  i)si  (i1 2   n ) 并作 和 i i i n i f s   ( , ) 1    如果当各小弧段的长度的最大值 0 这和的极限总存在 则 称此极限为函数 f(x y)在曲线弧 L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分 记作 f x y ds L ( , )   即 i i i n i L f x y ds  f s    ( , ) lim  ( , ) 1 0     其中 f(x y)叫做被积函数 L 叫做积分弧段 设函数 f(x y)定义在可求长度的曲线 L 上 并且有界 将 L 任意分成 n 个弧段 s1 s2    sn 并用si 表示第 i 段的弧长 在每一弧段si 上任取一点(i  i) 作和 i i i n i f s   ( , ) 1    令 max{s1 s2    sn} 如果当 0 时 这和的极限总存在 则称此极 限为函数 f(x y)在曲线弧 L 上对弧长的 曲线积分或第一类曲线积分 记作 f x y ds L ( , )   即 i i i n i L f x y ds  f s    ( , ) lim  ( , ) 1 0     其中 f(x y)叫做被积函数 L 叫做积分弧段

银川科技职业学院《高等激学》教案 第十章曲线积分和曲面积分 曲线积分的存在性：当x,y)在光滑曲线弧L上连续时，对弧长的曲线积分 Jfx,站是存在的.。以后我们总假定x,)在L上是连续的 根据对弧长的曲线积分的定义，曲线形构件的质量就是曲线积分∫，(x,yd 的值，其中x,)为线密度。 对弧长的曲线积分的推广：「 /，y=k=m2fGn,57)Ay. 1→0=1 如果L(或)是分段光滑的，则规定函数在（或）上的曲线积分等于函数在 光滑的各段上的曲线积分的和.例如设L可分成两段光滑曲线弧L,及L2,则规 定 f.ds=f(x.ds+f(.yds 闭曲线积分：如果L是闭曲线，那么函数x,y)在闭曲线L上对弧长的曲 线积分记作 f(x.yds. 对弧长的曲线积分的性质： 性质1设c1、c2为常数，则 JIqf(x.y)+cg(x.y)lds=aJf(x.yds+c2g(x.yds; 性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2,则 s.+ds; 性质3设在L上x,)gx,以，则 Jxds≤gxs 特别地，有 Ifcs华fx川 二、对弧长的曲线积分的计算法 根据对弧长的曲线积分的定义，如果曲线形构件L的线密度为x,),则曲 线形构件L的质量为 S.ys. 另一方面，若曲线L的参数方程为 x=0(),=Ψ()(a≤)， 则质量元素为 f(x.y)ds=fo(),v(lo(t)+v()dt, 曲线的质量为 第3页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 3 页 曲线积分的存在性 当 f(x y)在光滑曲线弧 L 上连续时 对弧长的曲线积分 f x y ds L ( , )  是存在的 以后我们总假定 f(x y)在 L 上是连续的 根据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分 x y ds L ( , )   的值 其中(x y)为线密度 对弧长的曲线积分的推广 i i i i n i f x y z ds  f s    ( , , ) lim  ( , , ) 1 0      如果 L(或)是分段光滑的 则规定函数在 L(或)上的曲线积分等于函数在 光滑的各段上的曲线积分的和 例如设 L 可分成两段光滑曲线弧 L1及 L2 则规 定 f x y ds f x y ds f x y ds L L L L ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 1 2        闭曲线积分 如果 L 是闭曲线 那么函数 f(x y)在闭曲线 L 上对弧长的曲 线积分记作 f x y ds L ( , )   对弧长的曲线积分的性质 性质 1 设 c1、c2 为常数 则 c f x y c g x y ds c f x y ds c g x y ds L L L [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , )  1 2 1 2     性质 2 若积分弧段 L 可分成两段光滑曲线弧 L1 和 L2 则 f x y ds f x y ds f x y ds L L L ( , ) ( , ) ( , ) 1 2       性质 3 设在 L 上 f(x y)g(x y) 则    L L f (x, y)ds g(x, y)ds 特别地 有    L L | f (x, y)ds| | f (x, y)|ds 二、对弧长的曲线积分的计算法 根据对弧长的曲线积分的定义 如果曲线形构件 L 的线密度为 f(x y) 则曲 线形构件 L 的质量为 L f (x, y)ds 另一方面 若曲线 L 的参数方程为 x(t) y (t) (t) 则质量元素为 f (x, y)ds f[ (t), (t)] (t) (t)dt 2  2        曲线的质量为

银川科技职业学院《高等激学》教案 第十章曲线积分和曲面积分 n.vl0+Od 即 fxy还=几o0,vp20)+y20t. 定理设x,)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为 x=00,=0)(a心)， 其中)、()在[a,上具有一阶连续导数，且p()+2()0,则曲线积分 fcd存在，且 Sf(x.yxds=[A.vho+d(ap. 证明（略） 应注意的问题：定积分的下限α一定要小于上限B. 讨论： (I)若曲线L的方程为=xa≤≤b),则∫fx,s=? 提示：L的参数方程为x=x,=x(a≤r≤b), fc=心x,wx+wPxd (2)若曲线L的方程为x=0yc≤≤，则∫fx,ys=? 提示：L的参数方程为x=o0y),=c≤d, Jf(x.yds=[fdy).ylo2)+idy (3)若曲T的方程为=0，=0，=00（≤≤， 则fcy=9 提示：「fy达=几o0.v0,o0o20+w0+o20d. 例1计算∫，其中L是抛物线=x2上点O0,0)与点BL,1)之间的一段 解曲线的方程为=x2(0≤≤1)，因此 2k=可Fi+乎=xi+4=65- 例2计算半径为R、中心角为2α的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量（设 线密度为e1). 解取坐标系如图所示，则1=∫Pds 曲线L的参数方程为 第4页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 4 页       f[(t),(t)]  (t)  (t)dt 2 2  即         f x y ds f  t  t  t  t dt L ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) 2 2  定理 设 f(x y)在曲线弧 L 上有定义且连续 L 的参数方程为 x(t) y(t) (t) 其中 (t)、(t)在[ ]上具有一阶连续导数 且  2 (t) 2 (t)0 则曲线积分 f x y ds L ( , )  存在 且 f x y ds f t t t t dt L ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) 2  2            (<) 证明（略） 应注意的问题 定积分的下限  一定要小于上限  讨论 (1)若曲线 L 的方程为 y(x)(axb) 则 f x y ds L ( , )  ? 提示 L 的参数方程为 xx y(x)(axb) f x y ds f x x x dx b L a   ( , )  [ , ( )] 1  ( )   2  (2)若曲线 L 的方程为 x(y)(cyd) 则 f x y ds L ( , )  ? 提示 L 的参数方程为 x(y) yy(cyd) f x y ds f y y y dy d L c   ( , )  [ ( ), ]  ( )1 2    (3)若曲  的方程为 x(t) y(t) z(t)(t) 则 f (x, y,z)ds  ? 提示 f (x, y,z)ds f[ (t), (t), (t)] (t) (t) (t)dt 2  2  2                 例 1 计算 yds L   其中 L 是抛物线 yx 2上点 O(0 0)与点 B(1 1)之间的一段 弧 解 曲线的方程为 yx 2 (0x1) 因此      1 0 2 2 2 yds x 1 (x ) dx L    1 0 2 x 1 4x dx (5 5 1) 12 1    例 2 计算半径为 R、中心角为 2 的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量 I(设 线密度为1) 解 取坐标系如图所示 则   L I y ds 2  曲线 L 的参数方程为

银川科技职业学院《高等数学》教集 第十章曲线积分和曲面积分 x=Rcos0,y=Rsin0(-a<e<a). 于是 I=yds=Rsin20-Rsin O+(RcosOdo -Rsin2@l0-R(a-sinacosa). 例3计算曲线积分(x2+y2+z2),其中「为螺旋线x=acos、=asin、2=k 上相应于1从0到达2的一段弧. 解在曲线T上有x2+y2+z2=(acos2+(asin2+k)}2=a+k212,并且 ds=(-asin 1)2+(acost)2+k2dt=Ja2+k2dt, 于是 2+2+2s=(a2+k22+R =2xa+k2(3a2+4r2k23). 3 小结：用曲线积分解决问题的步骤： (1)建立曲线积分； (2)写出曲线的参数方程（或直角坐标方程），确定参数的变化范围； (3)将曲线积分化为定积分； (4)计算定积分. 第5页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 5 页 xRcos yRsin (<) 于是   L I y ds 2       R  R  R  d 2 2 2 2 sin ( sin ) ( cos )     R d 3 2 sin R 3 (sin cos) 例 3 计算曲线积分 (x y z )ds 2 2 2     其中  为螺旋线 xacost、yasint、zkt 上相应于 t 从 0 到达 2的一段弧 解 在曲线上有 x 2 y 2 z 2 (a cos t) 2 (a sin t) 2 (k t) 2 a 2 k 2 t 2  并且 ds a t a t k dt a k dt 2 2 2 2 2  ( sin ) ( cos )     于是 (x y z )ds 2 2 2        2 0 2 2 2 2 2 (a k t ) a k dt (3 4 ) 3 2 2 2 2 2 2   a k a   k  小结 用曲线积分解决问题的步骤 (1)建立曲线积分 (2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程)  确定参数的变化范围 (3)将曲线积分化为定积分 (4)计算定积分

银川科技职业学院《高等数学》救 第十章曲线积分和曲面积分 §10.2对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 变力沿曲线所作的功： 设一个质点在xOy面内在变力Fx,y=P(x,y)i+Q(x,yi的作用下从点A沿光 滑曲线弧L移动到点B,试求变力F(x,y)所作的功 用曲线L上的点A=A0,A,A2,,An1,A=B把L分成n个小弧段， 设A=(x,)有向线段4A的长度为△%，它与x轴的夹角为，则 4A1={cosT,sin TAs(k=0,1,2,,n-1). 显然，变力Fx,y)沿有向小弧段A4所作的功可以近似为 F(x)A=P(xy)costk+0(xky)sin tlAsk 于是，变力Fx,y)所作的功 W)cosr+)sins 从而 W=[,[P(x,y)cosr+(x,y)sin rlds 这里=x,),{cosx,sint是曲线L在点(x,y)处的与曲线方向一致的单位切向量. 把L分成n个小弧段：L,L2,,Lm 变力在L,上所作的功近似为： F(5,)△s=P(5,7)△x+Q(5,7i)Ay; 变力在L上所作的功近似为： )A+A i=1 变力在L上所作的功的精确值： W=Iim∑P5,7)△x+Q5,7,)Ay], 其中元是各小弧段长度的最大值. 提示： 用△s={△x,△}表示从L的起点到其终点的的向量.用△表示△的模 对坐标的曲线积分的定义： 定义设函数x,)在有向光滑曲线L上有界.把L分成n个有向小弧段L1, 第6页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 6 页 §102 对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 变力沿曲线所作的功 设一个质点在 xOy 面内在变力 F(x y)P(x y)iQ(x y)j 的作用下从点 A 沿光 滑曲线弧 L 移动到点 B 试求变力 F(x y)所作的功 用曲线 L 上的点 AA0 A1 A2    An1 AnB 把 L 分成 n 个小弧段 设 Ak(xk  yk) 有向线段  Ak Ak1 的长度为sk 它与 x 轴的夹角为 k  则 k k k k k A A  s   {cos ,sin } 1   (k0 1 2    n1) 显然 变力 F(x y)沿有向小弧段 AkAk1  所作的功可以近似为 k k k k k k k k k k k x y A A  P x y Q x y s   ( , ) [ ( , )cos ( , )sin ] 1 F    于是 变力 F(x y)所作的功       1 1 1 ( , ) k k k k n k W F x y A A       1 1 [ ( , )cos ( , )sin ] n k k k k k k k k P x y  Q x y  s  从而    L W [P(x, y)cos Q(x, y)sin]ds 这里 (x y) {cos sin}是曲线 L 在点(x y)处的与曲线方向一致的单位切向量 把 L 分成 n 个小弧段 L1 L2    Ln 变力在 Li 上所作的功近似为 F(i  i)siP(i  i)xiQ(i  i)yi  变力在 L 上所作的功近似为 [ ( , ) ( , ) ] 1 i i i n i i i i  P x Q y       变力在 L 上所作的功的精确值 lim [ ( , ) ( , ) ] 1 0 i i i n i i i i W   P x Q y         其中是各小弧段长度的最大值 提示 用si{xi yi}表示从 Li 的起点到其终点的的向量 用si 表示si 的模 对坐标的曲线积分的定义 定义 设函数 f(x y)在有向光滑曲线 L 上有界 把 L 分成 n 个有向小弧段 L1

银川科技职业学院《高等激学》教案 第十章曲线积分和曲面积分 L2,··,Lm；小弧段L,的起点为(x-1,,终点为(x,以，△x=x一x-,△y=y一y- (,)为L上任意一点，入为各小弧段长度的最大值 如果极限m∑f传，)△x,总存在，则称此极限为函数 10=1 x,y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分，记作∫fx,,即 f(.y=mx 10=1 如果极限m之f作，n)4y总存在，则称此极限为函数 20e1 x,)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分，记作∫fx妙，即 /xd=m2f作n4y, 101 设L为xOy面上一条光滑有向曲线，{cosx,sint}是与曲线方向一致的单位切 向量，函数P(x,以、Q(x,)在L上有定义.如果下列二式右端的积分存在，我们 就定义 P(xd=P(xy)cosrds, ∫0x,y=∫Ox,)sin rds, 前者称为函数Px,)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分，后者称为函数Qx,) 在有向曲线L上对坐标y的曲线积分，对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分」 定义的推广： 设T为空间内一条光滑有向曲线，{cos%,cosB,cos乃是曲线在点(x,八，z)处的 与曲线方向一致的单位切向量，函数Px,y)、Qx,y,、Rx,y,)在「上有定 义.我们定义（假如各式右端的积分存在） P(x.y.=d=JP(x,y.=)coscds, [Ox.y.dy=[Ox.y.)cosAs. ∫Rxy2t=∫Rxy)coss. f/y.x-mnn.5 人→0 第7页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 7 页 L2    Ln 小弧段 Li的起点为(xi1 yi1) 终点为(xi  yi) xixixi1 yiyiyi1 (i  )为 Li 上任意一点  为各小弧段长度的最大值 如果极限     n i i i i f x 1 0 lim ( , )  总存在 则称此极限为函数 f(x y)在有向曲线 L 上对坐标 x 的曲线积分 记作 L f (x, y)dx  即       n i i i i L f x y dx f x 1 0 ( , ) lim ( , )   如果极限     n i i i i f y 1 0 lim ( , )  总存在 则称此极限为函数 f(x y)在有向曲线 L 上对坐标 x 的曲线积分 记作 L f (x, y)dy  即       n i i i i L f x y dy f y 1 0 ( , ) lim ( , )   设 L 为 xOy 面上一条光滑有向曲线 {cos sin}是与曲线方向一致的单位切 向量 函数 P(x y)、Q(x y)在 L 上有定义 如果下列二式右端的积分存在 我们 就定义    L L P(x, y)dx P(x, y)cosds    L L Q(x, y)dy Q(x, y)sinds 前者称为函数 P(x y)在有向曲线 L 上对坐标 x 的曲线积分 后者称为函数 Q(x y) 在有向曲线 L 上对坐标 y 的曲线积分 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分 定义的推广 设  为空间内一条光滑有向曲线 {cos cos cos}是曲线在点(x y z)处的 与曲线方向一致的单位切向量 函数 P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)在  上有定 义 我们定义(假如各式右端的积分存在) P(x, y,z)dx P(x, y,z)cosds     Q(x, y,z)dy Q(x, y,z)cosds       R(x, y,z)dz R(x, y,z)cosds           n i i i i i L f x y z dx f x 1 0 ( , , ) lim ( , , )  

银川科技职业学院《高等激学》教案 第十章曲线积分和曲面积分 f(x.y.dy-mn.y. 入→01 f...6 对坐标的曲线积分的简写形式： P(x.+.P(x.+Q.y:; 「Px,yz)dk+∫0xy2+fRx,yz =JP(x.y,=)dx+Q(x.y.z)dy+R(x.y.=)dE 对坐标的曲线积分的性质： (1)如果把L分成L,和L2,则 JPdx+Qdy=J Pdx+Qdy+J Pdx+Qdy. (2)设L是有向曲线弧，-L是与L方向相反的有向曲线弧，则 JP(x.y)d+Qxyd=-Px.yXb+Q(x.ydy. 两类曲线积分之间的关系： 设{cos,sin为与△s,同向的单位向量，我们注意到{△x,△}=△，所以 △x=cost△S,△y=sint△Si, fx达=m2 /G.n)s, 10=1 =m∑fGnn)cosr,As,=∫fx,)cosrds, 101 f(x.ydy=imn)y 10=1 im)sin s,(y)sin rds. 10=1 即 Pd+Qy[Pcost+Osin rlds, 或 ∫Adr=Atds 第8页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 8 页       n i i i i i L f x y z dy f y 1 0 ( , , ) lim ( , , )         n i i i i i L f x y z dz f z 1 0 ( , , ) lim ( , , )   对坐标的曲线积分的简写形式 P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy L L L ( , )  ( , )  ( , )  ( , )           P(x, y,z)dx Q(x, y,z)dy R(x, y,z)dz  P(x, y,z)dxQ(x, y,z)dyR(x, y,z)dz   对坐标的曲线积分的性质 (1) 如果把 L 分成 L1 和 L2 则         L L1 L2 Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy  (2) 设 L 是有向曲线弧 L 是与 L 方向相反的有向曲线弧 则      L L P(x, y)dx Q(x, y)d P(x, y)dx Q(x, y)dy  两类曲线积分之间的关系 设{cosi  sini}为与si 同向的单位向量 我们注意到{xi  yi}si  所以 xicosi si  yisini si        n i i i i L f x y dx f x 1 0 ( , ) lim ( , )         L n i f i i  i si f x y ds  lim ( , )cos ( , )cos 1 0        n i i i i L f x y dy f y 1 0 ( , ) lim ( , )         L n i f i i  i si f x y ds  lim ( , )sin ( , )sin 1 0  即      L L Pdx Qdy [Pcos Qsin]ds 或      L L A dr A tds

银川科技职业学院《高等激学》教案 第十章曲线积分和曲面积分 其中A={P,Q;,仁{cos石，sin为有向曲线弧L上点x,)处单位切向量， dr=tds={dx,dy;. 类似地有 [Pdx+Qdy+Rd-=[[Pcosa+QcosB+Rcosy]ds, 或 SA-dr=SA-tds=J Ads 其中A={P,Q,R,T={cosa,cosB,cos为有向曲线弧T上点(x,y,)处单们切向 量，d=Tds={d,d,dk},A,为向量A在向量t上的投影. 二、对坐标的曲线积分的计算： 定理：设P(x,以、Qx,)是定义在光滑有向曲线 L:x=0),=), 上的连续函数，当参数t单调地由α变到B时，点Mx,y)从L的起点A沿L运 动到终点B则 JP(x.yb-rtod ∫ecx=go.vl)dt. 讨论：∫P(x,+0xyd=? 提示：Px,yk+exd=o0,wuo0+go0.WOid. 定理：若Px,y)是定义在光滑有向曲线 L:x=0),=0a 上的连续函数，L的方向与t的增加方向一致，则 JP.-d 简要证明：不妨设o≤B.对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为{()， W()}, 所以cost= p'(0) Vo20+w2(0 从而 Pk=P(y)cos函 -ro0u0n7o0ya p'() =o20+w20dh =Pio0.wupodt. 第9页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 9 页 其中 A{P Q} t{cos sin}为有向曲线弧 L 上点(x y)处单位切向量 drtds{dx dy} 类似地有   PdxQdyRdz  [PcosQcos Rcos ]ds 或       d   ds A ds t A r A t  其中 A{P Q R} T{cos cos cos}为有向曲线弧  上点(x y z)处单们切向 量 drTds {dx dy dz } A t 为向量 A 在向量 t 上的投影 二、对坐标的曲线积分的计算 定理 设 P(x y)、Q(x y)是定义在光滑有向曲线 L x(t) y(t) 上的连续函数 当参数 t 单调地由  变到  时 点 M(x y)从 L 的起点 A 沿 L 运 动到终点 B 则       P x y dx P t  t  t dt L ( , ) [ ( ), ( )] ( )        Q x y dy Q  t  t  t dt L ( , ) [ ( ), ( )] ( )  讨论   L P(x, y)dx Q(x, y)dy ？ 提示          P x y dx Q x y dy P t  t  t Q t  t  t dt L ( , ) ( , ) { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )}  定理 若 P(x y)是定义在光滑有向曲线 L x(t) y(t)(t) 上的连续函数 L 的方向与 t 的增加方向一致 则       P x y dx P t  t  t dt L ( , ) [ ( ), ( )] ( )  简要证明 不妨设  对应于 t 点与曲线 L 的方向一致的切向量为{(t) (t)} 所以 ( ) ( ) ( ) cos 2 2 t t t           从而    L L P(x, y)dx P(x, y)cosds t t dt t t t P t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ), ( )] 2 2 2 2                       P[(t),(t)] (t)dt 

银川科技职业学院《高等激学》教案 第十章曲线积分和曲面积分 应注意的问题： 下限a对应于L的起点，上限B对应于L的终点，a不一定小于B. 讨论： 若空间曲线下由参数方程 =p),y=w(t),2=@(t) 给出，那么曲线积分 手Pxya+0axya冰+Rx.y.zY=? 如何计算 提示： 「Pxa+Ax.y.-)dy+Rxy2t -J2iP0.v).0k(+A.v0.o/W+Ro.vo0pOid. 其中a对应于下的起点，B对应于下的终点. 例题： 例1.计算∫x,其中L为抛物线广=x上从点4L,-1)到点B1,1)的一段弧. 解法一：以x为参数.L分为AO和OB两部分： AO的方程为y=-√，x从1变到0；OB的方程为y=,x从0变到1. 因此d=Aot+oBk =-+h=2k= 第二种方法：以y为积分变量.L的方程为y,y从-1变到1.因此 =02y=2=号 例2.计算yd (1)儿为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2; (2)从点A(a,0)沿x轴到点B(-a,0)的直线段. 解(1)儿的参数方程为 x=a cose,y=a sine, 0从0变到π 因 、 Sds=asin2Q-asin0xl0-a(I-cos2ONdcos0--a. (2)L的方程为=0，x从a变到-a. 因此 y2dx=Odx=0. 第10页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 10 页 应注意的问题 下限 a 对应于 L 的起点 上限  对应于 L 的终点  不一定小于   讨论 若空间曲线  由参数方程 x t) y = (t) z(t) 给出 那么曲线积分  P(x, y,z)dxQ(x, y,z)dyR(x, y,z)dz ？ 如何计算 提示  P(x, y,z)dxQ(x, y,z)dyR(x, y,z)dz      {P[(t),(t),(t)] (t) Q[(t),(t),(t)](t)R[(t),(t),(t)](t)}dt  其中  对应于  的起点  对应于  的终点 例题 例 1计算 L xydx 其中L为抛物线 y 2 x上从点 A(1 1)到点 B(1 1)的一段弧 解法一 以 x 为参数 L 分为 AO 和 OB 两部分 AO 的方程为 y x  x 从 1 变到 0 OB 的方程为 y x  x 从 0 变到 1 因此      L AO OB xydx xydx xydx 5 4 ( ) 2 1 0 2 3 1 0 0 1         x x dx x xdx x dx  第二种方法 以 y 为积分变量 L 的方程为 xy 2  y 从1 变到 1 因此     1 1 2 2 xydx y y(y ) dy L 5 4 2 1 1 4    y dy  例 2 计算 L y dx 2  (1)L 为按逆时针方向绕行的上半圆周 x 2 +y 2 =a 2  (2)从点 A(a 0)沿 x 轴到点 B(a 0)的直线段 解 (1)L 的参数方程为 xa cos ya sin  从 0 变到 因此         0 2 2 2 y dx a sin ( asin )d L       0 3 2 a (1 cos )d cos 3 3 4  a  (2)L 的方程为 y0 x 从 a 变到a 因此 0 0 2     a L a y dx dx 