北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第2章 导数与微分 第2节 导数的四则运算法则

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目录 上页 下页 返回 结束 第2节 导数的四则运算法则 第二章

解决求导问题的思路： f'(x)=lim s f(x+△x)-f(x) (构造性定义) △x>0 △x 本节内容 求导法则 (C)y=0 (sinx)'= cOSx 证明中利用了 其他基本初等 (Inx)'= 两个重要极限 X 函数求导公式 初等函数求导问题 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 解决求导问题的思路: x f x x f x f x x         ( ) ( ) ( ) lim 0 ( 构造性定义 ) 求导法则 其他基本初等 函数求导公式 0 cos x x 1 (C )  (sin x )  (ln x )  证明中利用了 两个重要极限 初等函数求导问题 本节内容

导数的四则运算法则 定理 函数u=u(x)及v=v(x)都在点x可导 (x)及v(x)的和、差、积、商（分母 不为0)都在点x可导，且有 (1)[u(x)士v(x)'=u'(x)±v'(x) (2)[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) u"(x)v(x)-u(x)v"(x) (v(x)≠0) v2(x) 下面分三部分加以证明 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 导数的四则运算法则 定理 的和、差、积、商 (分母 不为 0) 都在点 x 可导, 且有 下面分三部分加以证明. 函数u  u(x)及v  v(x)都在点x可导 u(x)及v(x) (1) [u(x)  v(x)]  u (x)  v (x) (2) [u(x)v(x)]  u (x)v(x)  u(x)v (x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) 2 v x u x v x u x v x v x u x          ( v(x) 0)

(1)(u±v)y=±y' 证：设f(x)=(x)士v(x),△x=h,则 f"(x)=lim f(x+h)-f(x) h>0 h lim [u(x+h)士v(x+h]-[u(x)±v(x)] h->0 h lim (x+h)-u(x) ±lim v(x+h)-v(x) h-0 h h->0 h =u'(x)士v(x) 故结论成立 此法则可推广到任意有限项的情形例如， (u+v-w)'=u+y'-w BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上负 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 此法则可推广到任意有限项的情形. 证: 设 则 (1) (u  v)  u   v  故结论成立. 例如, f (x)  u(x)  v(x) ,x  h, h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0      h u x h v x h u x v x h [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0        h u x h u x h ( ) ( ) lim 0     h v x h v x h ( ) ( ) lim 0      u (x)  v (x) (u  v  w)  u   v   w 

(2)（uy)'=u'y+v 证：设f(x)=u(x)v(x),△x=h,则有 f(x)=lim- f(x+h)-f(x) Ji u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x) h->0 h->0 h lim u(x+h)-u(x) h→0 h x+8++》 =u'(x)v(x)+u(x)p'(x) 故结论成立 推论：1)(Cu)'=Cu（C为常数) 2)(ww)}=u'w+2w'w+w 》oe,y-g xlna BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 上页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 (2) (uv)  u  v  u v  证: 设 f (x)  u(x)v(x) ,x  h, 则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0      h u x h v x h u x v x h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0       u (x)v(x)  u(x)v (x) 故结论成立.        h u x h h ( ) lim 0 u(x) v(x  h)      h v(x) u(x) v(x  h) 推论: 1) (Cu )  2) (uvw)  Cu  u  vw  uv  w  uvw  3) (loga x )         a x ln ln x ln a 1  ( C为常数 )

u'v-uv' (3)(”)= 证：设()=得，△x=h,则有 u(x+h) u(x) f(x)=lim f(x+h)-f(x) lim v(x+h) v(x) h→0 h h->0 h u(x+h)-u(x) vx)-(x) v(x+h)-v(x) lim h h→0 v(x+h)v(x) u'(x)v(x)-u(x)v'(x) 故结论成立 v2(x) 推论： (C为常数)》 1 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 返回 结柬

目录 上页 下页 返回 结束          ( ) ( ) lim h 0 v x h v x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v x h v x u x h v x u x v x h     h  u(x)v(x) (3)   2 v u v u v v u      证: 设 f (x)  则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0      h h lim 0  , , ( ) ( ) x h v x u x   ( ) ( ) v x h u x h   ( ) ( ) v x u x  h u(x  h)  u(x) v(x) h v(x  h)  u(x)  v(x) 故结论成立. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u  x v x  u x v  x  推论:   2 v C v v C     ( C为常数 )

例2.2.5证明(tanx)}'=sec2x, 证：(a知xy- 乙O3=(sin x)cosx二sin (cosx' cos2 x cos2 x +sinx =sec2 x cos-x 类似可证： (cotx)'=-csc2x,(secx)'=secxtanx. (cscx)'=-cscxcotx. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上 下负返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例2.2.5 证明 (tan ) sec , 2 x   x 证: (csc x)  csc x cot x .          x x x cos sin (tan )  x 2 cos (sin x)cos x  sin x (cos x)  x 2 cos x 2 cos x 2  sin x 2  sec 类似可证: (cot ) csc , 2 x    x (sec x)  sec x tan x

内容小结 导数的四则运算法则 注意：(w)'≠uv', 思考与练习 (D 对吗？ BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 导数的四则运算法则 注意: (uv)  u  v  , v u v u           4 1 1 4 3        x        x x 1               4 3 1 x  思考与练习 对吗? 2 1 1 4 3 4 1 x x         

作业 P62 1(2),(4),(6),(8),(10),(12),(16),(20),(22) 3； 5； 6; BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 第3节 目录上页 下 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 作业 P 62 1(2) , (4) , (6), (8) , (10), (12), (16), (20), (22) 3; 5; 6; 第3节