第一章 第7节 无穷小的比轻 引例.x→0时，x,x2,six都是无穷小，但 lim x2 =0 lim =1, x->0 sinx x→0 X lim sinx =00 x-→0 可见无穷小趋于0的速度是多样的 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 第一章 x 0时, x, x ,sin x 2 都是无穷小, 第7节 引例 . x x x sin lim 2 0 0, 2 0 sin lim x x x , x x x sin lim 0 1, 但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 无穷小的比较
定义设(x),(x)是自变量同一变化过程中的无穷小 (1)若lm B() a(x) =0,则称Bx)是比(x)高阶的无穷小 记为B=o() (2)若1m =o,则称B(x)是比a)低阶的无穷小 a(x) (3)若1im B(x) a(x) =C≠0，则称α(x)和B(x)是同阶无穷小 (4)若1im B(x) =C≠0，则称B(x)是关于(x)的k阶无穷小 [a(x)] (5)若lm B() =1,则称a(x)和B(x)是等价无穷小 a(x) 记为a(x)~(x) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 0, [ ( )] ( ) lim C x x k 定义 0, ( ) ( ) lim x x (1)若 则称 (x) 是比 (x) 高阶的无穷小, o() , ( ) ( ) lim x x (2)若 (3)若 (4)若 1, ( ) ( ) lim x x (5)若 (x) ~ (x) 0, ( ) ( ) lim C x x 设 (x), (x) 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记为 则称 (x)是比 (x) 低阶的无穷小 则称 (x)和 (x)是同阶无穷小 则称 (x)是关于 (x)的 k 阶无穷小 则称 (x) 和 (x) 是等价无穷小, 记为
例如，当x→0时 x3=0(6x2);s nxx:tanx arcsinxx 又如， lim 1-cosx lim 2sm2菱=1-0=0 x→0 x x→0 x 故x→0时1-Cosx是比x高阶的无穷小. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例如 , 当 o( ) ～ x 0 时 3 x 2 6x ; sin x x ; tan x ～ x arcsin x ～ x x x x 1 cos lim 0 x x x 2 2 0 2sin lim 又如 ， 10 0 故 时 是比 x高阶的无穷小
定理1B与a是等价无穷小的充分必要条件是 B=a十o(a 证：&~B=1imP=1 lim($-1)=0,lim-=0 二阝-ca=o(&),即B=a+o(a) 例如，x>0时，sinxx,tanx~x,故 x→0时，sinx=x+o(x),tanx=x+o(x) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 ～ 定理1 β与α是等价无穷小的充分必要条件是 β＝α＋o(α) 证: lim 1 lim( 1) 0, lim 0 即 o(), 即 o() 例如, x 0 时, ～ tan x ～ x, 故 x 0 时, tan x x o(x)
定理2设a,B,y,a,B,y为在同一变化过程中 的非零无穷小，且a~a,B>,y~y,则有 lim B=lim B 证：lm lim aa B"'y =im 1. x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理2 设α，β，γ，α * ，β * ，γ *为在同一变化过程中 的非零无穷小，且α～α * ，β～β * ，γ～γ * ，则有 lim lim . * * * 证: lim * * * * * * lim lim 1 1 1 * * * lim . * * *
说明：设对同一变化过程，，B为无穷小，由等价 无穷小的性质，可得简化某些极限运算的下述规则 (1)和差取大规则：若B=o(a),则a士B~a sinx 例如， x 1 lim lim* x>03x 3 (2) 和差代替规则：若a~a',B~B'且B与不等价 则a-B-a-B,且lm2-P=1im-B 例如，1im tan 2x-sinx lim 2x-x =2 x01+x-1 x>0 x 注意~B时此结论未必成立！（见下页例1.7.4） BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 说明: 设对同一变化过程 , , 为无穷小 , 无穷小的性质, (1) 和差取大规则: 由等价 可得简化某些极限运算的下述规则. 若 = o() , (2) 和差代替规则: 若 ~ , ~ 且 与 不等价, 则 ~ , 例如, x x x x 3 sin lim 3 0 x x x 3 lim 0 3 1 则 ~ lim lim . 且 注意 ~ 时此结论未必成立！ 例如, 1 1 tan 2 sin lim 0 x x x x x x x x 2 1 0 2 lim 2 (见下页例1.7.4)
3) 因式代替规则：若a~B,且p(x)极限存在或有 界，则 lim ap(x)=lim Bo(x)） 例如， lim arcsinx.sin=limx.sin=0 x→0 xx->0 例1.7.4求lim tan x-sin x x→0 sin3x 解：原式=lim sinx(1-cosx)1 原式关网 一X x->0 sin x cosx x→0 x3 xx21 x→0 x3 COSX 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 (3) 因式代替规则: 若 ~ , 且(x) 极限存在或有 界, 则 lim (x) lim (x) 例如, . sin tan sin lim 3 0 x x x x 3 0 lim x x x x 原式 x x x x x cos 1 lim 3 2 2 1 0 例1.7.4 求 0 1 lim sin 1 limarcsin sin 0 0 x x x x x x 解: 原式
内容小结 1.无穷小的比较 设c(x),x)对同一自变量的变化过程为无穷小，且C≠0 B(x)是C(x)的高阶无穷小 B(x) B(x)是C(x)的低阶无穷小 a(x) C(≠0)，B(x)是(x)的同阶无穷小 1, B(x)是a(x)的等价无穷小 lim =C≠0，Bx)是a()的k阶无穷小 [a(x)]9 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 0 1. 无穷小的比较 设 (x), (x) 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 (x) 是 (x) 的高阶无穷小 (x)是 (x) 的低阶无穷小 (x)是 (x) 的同阶无穷小 (x) 是 (x) 的等价无穷小 (x)是 (x) 的 k 阶无穷小
常用等价无穷小：当x→0时， sinxx, tanx~x, arcsinx~x, 1-c08x~3x2, 1+x-1~x, e*-1~x, In(1+x)~x 2.等价无穷小替换定理 Th2 作业 P411;2(3);32),(4),(6) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 第8节目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 2. 等价无穷小替换定理 Th 2 作业 P41 1 ; 2(3) ; 3 (2), (4), (6), 常用等价无穷小 : 第8节
备用例题 例1求lim 0+x2)5-1 x-→0 cosx-1 解：当x→0时， 0+x2)-1x cosx-1-x2 5x2 原式=im 2 x>0 -x2 3 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例1 求 . cos 1 (1 ) 1 lim 3 1 2 0 x x x 解: 备用例题
