银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第二章导数与微分.pdf_大学文库

银川能源学院《高等数学》教案第二章导数与微分第 2 页第一节导数的概念一、引例 1．直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动 时刻 t 质点的坐标为 s s 是 t 的函数 sf(t) 求动点在时刻 t0 的速度 考虑比值 0 0 0 0 ( ) ( ) t t f t f t t t s s       这个比值可认为是动点在时间间隔 tt0 内的平均速度 如果时间间隔选较短 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度 但这样做是不精确的 更确地应当这样 令 t t00 取比值 0 0 ( ) ( ) t t f t f t   的极限 如果这个极限存在 设为 v  即 0 0 ( ) ( ) lim 0 t t f t f t v t t      这时就把这个极限值 v 称为动点在时刻 t 0 的速度 2．切线问题设有曲线 C 及 C 上的一点 M 在点 M 外另取 C 上一点 N 作割线 MN 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置 MT 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线 设曲线 C 就是函数 yf(x)的图形 现在要确定曲线在点 M(x0, y0)(y0f(x0)) 处的切线 只要定出切线的斜率就行了 为此 在点 M 外另取 C 上一点 N(x, y) 于是割线 MN 的斜率为 0 0 0 0 ( ) ( ) tan x x f x f x x x y y         其中为割线 MN 的倾角 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 xx0 如果当 x 0 时 上式的极限存在 设为 k  即 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x k x x     存在 则此极限 k 是割线斜率的极限 也就是切线的斜率 这里 ktan  其中 是切线 MT 的倾角 于是 通过点 M(x0, f(x0))且以 k 为斜率的直线 MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线 二、导数的概念 1 函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x     令xxx0 则yf(x0x)f(x0) f(x)f(x0) xx0 相当于x 0 于是

银川能源学院《高等数学》教案第二章导数与微分第 3 页 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x    成为 x y x    0 lim 或 x f x x f x x      ( ) ( ) lim 0 0 0  定义 1 设函数 yf(x)在点 x0 的某个邻域内有定义 当自变量 x 在 x0 处取得增量x(点 x0x 仍在该邻域内)时 相应地函数 y 取得增量yf(x0x)f(x0) 如果y 与x 之比当x0 时的极限存在 则称函数 yf(x)在点 x0处可导 并称这个极限为函数 yf(x)在点 x0 处的导数 记为 0 | x x y    即 x f x x f x x y f x x x             ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0  也可记为 0 | x x y    0 dx x x dy  或 0 ( ) dx x x df x   函数 f(x)在点 x0 处可导有时也说成 f(x)在点 x0 具有导数或导数存在 导数的定义式也可取不同的形式 常见的有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0       0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x       在实际中 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题 在数学上就是所谓函数的变化率问题 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述 如果极限 x f x x f x x      ( ) ( ) lim 0 0 0 不存在 就说函数 yf(x)在点 x0 处不可导 如果不可导的原因是由于       x f x x f x x ( ) ( ) lim 0 0 0  也往往说函数 yf(x)在点 x0 处的导数为无穷大 如果函数 yf(x)在开区间 I 内的每点处都可导 就称函数 f(x)在开区间 I 内可导 这时 对于任一 x I 都对应着 f(x)的一个确定的导数值 这样就构成了一个新的函数 这个函数叫做原来函数 yf(x)的导函数 记作 y   f (x)  dx dy  或 dx df (x)  导函数的定义式 x f x x f x y x        ( ) ( ) lim 0  h f x h f x h ( ) ( ) lim 0     f (x0)与 f (x)之间的关系 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f (x)就是导函数 f (x)在点 xx0 处的函数值 即 0 ( ) ( ) 0 x x f x f x      导函数 f (x)简称导数 而 f (x0)是 f(x)在 x0处的导数或导数 f (x)在 x0处的值 左右导数 所列极限存在 则定义

银川能源学院《高等数学》教案第二章导数与微分第 4 页 f(x)在 0 x 的左导数 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0         f(x)在 0 x 的右导数 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0         如果极限 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 0 0    存在则称此极限值为函数在 x0的左导数 如果极限 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 0 0    存在则称此极限值为函数在 x0的右导数 导数与左右导数的关系 f (x0 ) A  f (x0 ) f (x0 ) A  2．求导数举例例 1．求函数 f(x)C（C 为常数）的导数 解 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0      lim 0 0     h C C h  即(C ) 0 例 2．求函数 f(x)x n (n 为正整数)在 xa 处的导数 解 f (a) x a f x f a x a     ( ) ( ) lim x a x n an x a     lim xa lim (x n1 ax n2   a n1 )na n1  把以上结果中的 a 换成 x 得 f (x)nx n1  即 (x n )nx n1  (C)0 2 1 ) 1 ( x x    x x 2 1 ( )   1 ( )        x x  更一般地 有(x  )x 1  其中为常数 例 3．求函数 f(x)sin x 的导数 解 f (x) h f x h f x h ( ) ( ) lim 0     h x h x h sin( ) sin lim 0      2 )sin 2 2 cos( 1 lim 0 h h x h h      x h h h x h cos 2 2 sin ) 2 lim cos( 0       即 (sin x)cos x  用类似的方法 可求得 (cos x )sin x  例 4．求函数 f(x)log a x (a>0 a 1) 的导数 解 h x h x h f x h f x f x a a h h log ( ) log lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0           h x a h a h a h x h x x h h x x x x h h lim log (1 ) 1 lim log (1 ) 1 log ( ) 1 lim 0 0 0          x a e x a ln 1 log 1    解 h x h x f x a a h log ( ) log ( ) lim 0      log (1 ) 1 lim 0 x h h a h   

银川能源学院《高等数学》教案第二章导数与微分第 8 页第二节导数的四则运算法则一、函数的和、差、积、商的求导法则定理 1 如果函数 uu(x)及 vv(x)在点 x 具有导数 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点 x 具有导数 并且（1） [u(x) v(x)]u(x) v(x)  （2） [u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x) （3） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u x v x u x v x v x u x             证明 (1) h u x h v x h u x v x u x v x h [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0                     h v x h v x h u x h u x h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 u(x)v(x) 法则(1)可简单地表示为 (uv)uv  (2) h u x h v x h u x v x u x v x h ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] lim 0        [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] 1 lim 0 u x h v x h u x v x h u x v x h u x v x h h                      h v x h v x v x h u x h u x h u x h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 h v x h v x v x h u x h u x h u x h h h ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 0             u(x)v(x)u(x)v(x) 其中 0 lim h v(xh)v(x)是由于 v(x)存在 故 v(x)在点 x 连续 法则(2)可简单地表示为 (uv)uvuv (3) v x h v x h u x h v x u x v x h h v x u x v x h u x h v x u x h h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) 0 0                   v x h v x h u x h u x v x u x v x h v x h ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] lim 0         ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 v x h v x h v x h v x v x u x h u x h u x h         ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u  x v x u x v  x   法则(3)可简单地表示为 2 ( ) v u v uv v u      

银川能源学院《高等数学》教案第二章导数与微分第 9 页 (uv)uv (uv)uvuv 2 ( ) v u v uv v u       定理 1 中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形 例如 设 uu(x)、vv(x)、ww(x)均可导 则有 (uvw)uvw (uvw)[(uv)w](uv)w(uv)w (uvuv)wuvwuvwuvwuvw 即 (uvw) uvwuvwuvw 在法则(2)中 如果 vC(C 为常数) 则有 (Cu)Cu 例 1．y2x 3 5x 2 3x7 求 y 解 y(2x 3 5x 2 3x7) (2x 3 )5x 2 )3x)7) 2 (x 3 ) 5 x 2 ) 3 x) 23x 2 52x36x 2 10x3 例 2 2 ( ) 3 4cos sin  f x x  x  求 f (x)及 ) 2 (  f   解 f x x x ) 3x 4sin x 2 ( )( 3)(4cos )(sin   2    4 4 3 ) 2 (  2   f  例 3．ye x (sin xcos x) 求 y 解 ye x )(sin xcos x) e x (sin xcos x)  e x (sin xcos x) e x (cos x sin x) 2e x cos x 例 4. 设 2 1 ln x x y   ，求 ' y 解： 4 ' 2 2 ' ' 2 ' (1 ln ) (1 ln )( ) ) 1 ln ( x x x x x x x y        4 3 3 2 1 2(1 ln ) 1 2ln (1 ln )2 1 x x x x x x x x x           例 5．ytan x  求 y 解 x x x x x x x y x 2 cos (sin ) cos sin (cos ) ) cos sin (tan ) (           x x x x x 2 2 2 2 2 sec cos 1 cos cos sin      即 (tan x)sec2 x  例 6．ysec x 求 y 解 x x x x y x 2 cos (1) cos 1 (cos ) ) cos 1 (sec ) (           x x 2 cos sin  sec x tan x  即 (sec x)sec x tan x  用类似方法 还可求得余切函数及余割函数的导数公式 (cot x)csc 2 x  (csc x)csc x cot x 

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