《高等数学》课程教学资源（习题选解）第十章 级数10.5

第五节傅里叶级数 习题10-5 1.下列函数是以2π为周期的周期函数，它们在[-π，π)上的表达式如下， 试将它们展开成傅里叶级数： (1)f(x)=3x2+1(-π≤x<π)： (2)f(x)=e2x(-π≤x<π)： X, (3)f(x)= -π≤x<0, 2x, 0≤x<π 解：(1)所给函数满足收敛定理的条件，它在(-∞，+∞)连续，从而由收 敛定理知道f(x)的傅里叶级数处处收敛f(x). a=f)=32+达=x+x]=2(r+)月 -I.f(x)cosnxdw=I[.(3x+I)cosndx =（r+小nm,-o =na（0)儿-.cod个 -mm儿，=是-,a=2,3: 12 b,=∫fcx)sindx=（3x2+1小sin=0,n=l2,3.） 于是，(x)的傅里叶级数展开式为 f)=x2+1+12( n=0n2 cosr,x∈(-oo,+o): (2)所给函数满足收敛定理的条件，它在点x=(2n+1)π(n=0,±1，±2，)处不 连续，在其它点处均连续，从而由收敛定理知道(x)的傅里叶级数收敛，当 =(2+x时级数收敛于产，当x≠2m+)x时级数收效于. a=上e恤=e=e儿-

1 第五节 傅里叶级数 习题 10-5 1．下列函数是以2 为周期的周期函数， 它们在 ,  上的表达式如下， 试将它们展开成傅里叶级数： （1） 2 f (x)  3x 1   x    ； （2） 2 ( ) x f x  e   x    ； （3） , 0 , ( ) 2 , 0 . x x f x x x            解 ：（1）所给函数满足收敛定理的条件，它在(,) 连续，从而由收 敛定理知道 f (x) 的傅里叶级数处处收敛 f (x) ．   2 3 2 0 1 1 1 a f (x)dx (3x 1)dx x x 2 1                           ； 1 1 2 ( ) cos d (3 1) cos d n a f x nx x x nx x              1 1 2 6 3 1 sin cos d x x nx nx x n n                   2 1 x cos nx cos nxdx n               2 3 2 12 6 12 ( 1) sin ( 1) n n nx n n n          , (n 1,2,3,) ；   1 1 2 ( )sin d 3 1 sin d 0 n b f x nx x x nx x             , (n 1,2,3,) 于是， f (x) 的傅里叶级数展开式为   2 2 0 1 ( ) 1 12 cos n n f x nx n         ， x, ； （2）所给函数满足收敛定理的条件，它在点 x  2n 1 (n  0,1,2,) 处不 连续，在其它点处均连续，从而由收敛定理知道 f (x) 的傅里叶级数收敛，当 x  2n 1 时级数收敛于 2 2 2 e e     ，当 x  2n 1 时级数收敛于 f (x) ．   2 2 2 2 0 1 1 1 ( )d 2 2 x x e e a f x x e dx e                        ；

()cosmd-co =2a[e产csm儿.+e产d] -r-,e产sna或+w产ot 2元 _0(e2-e2）n 2π 所以0 2(-l(e2-e） (n=1,2,3,…: (n2+4)π 6=上sivads-上e '产simds =ae产sna儿，+ecsm (n2+4)元 (n=1,2,3, 于是，f(x)的傅里叶级数展开式为 -e+2以cosm-nsnm) fx)= 41 n2+4 (x∈(-oo,+oo),且x≠(2n+1)π，n=0,±1，±2，…)： (3)所给函数满足收敛定理的条件，它在点x=(2n+1)π(n=0,±1，±2，)处不 连续，在其它点处均连续，从而由收敛定理知道f(x)的傅里叶级数收敛，当 x=(2n+)r时级数收敛于-+2江-号，当x≠(2n+)z时级数收敛于j. 2 a=上e=上2+2= ()cosdx xcosdo n活n侧 (cosm-1)12.3

2 1 1 2 ( ) cos d cos d x n a f x nx x e nx x             1 2 2 cos sin d 2 x x e nx ne nx x                   2 2 2 2 1 sin cos d 2 4 n x x e e n e nx ne nx x                          2 2 1 2 2 4 n n e e n a         所以 n a      2 2 2 2 1 ( 4) n e e n         ， (n 1,2,3,) ； 1 1 2 ( )sin d sin d x n b f x nx x e nx x             1 2 2 sin cos d 2 x x e nx ne nx x             2 n n    a     2 2 2 1 ( 4) n n e e n          ，(n 1,2,3,) 于是， f (x) 的傅里叶级数展开式为     2 2 2 1 1 1 ( ) 2cos sin 4 4 n n e e f x nx n nx n                    ，  x(,),且x  2n 1,n  0,1,2, ； （3）所给函数满足收敛定理的条件，它在点 x  2n 1 (n  0,1,2,) 处不 连续，在其它点处均连续，从而由收敛定理知道 f (x) 的傅里叶级数收敛，当 x  2n 1 时级数收敛于 2 2 2      ，当 x  2n 1 时级数收敛于 f (x) ． 0 0 0 1 1 1 ( )d 2 2 a f x x xdx xdx                  ； 1 ( ) cos d n a f x nx x      0 0 1 1 x cos nxdx 2x cos nxdx         0 2 2 0 1 1 2 1 sin cos sin cos x x nx nx nx nx n n n n                        2 2 1 1 cos 1 ( 1) 1 n n n n             ，(n 1,2,3,) ；

A=上，()sinmd =，ind+22xsmad -g引]-ra=12a 于是，f(x)的傅里叶级数展开式为 2.将下列函数展开成傅里叶级数： (1)fx)=1-x2 (2)f(x)=2sin (-π≤x≤π)： (3)fx)= 0,-2≤x<0, k. (常数k≠0). 0≤x<2 解：(1)设F(x)为f(x)周期拓广而得的新函数，易见F(x)在(-o,+o)内 处处连续，故F(田的傅里叶级数在-)上收敛于w). 又4a-a--a-a-f君 a.=2[值fx)cos(2nx)dr=2值-xcos2nxH =4[(1-x)cos(2nzx)dx hin(mm))i mz2,(=12,3: ()smd)sin.(

3 1 ( )sin d n b f x nx x      0 0 1 1 x sin nxdx 2x sin nxdx          0 2 2 0 1 1 2 1 cos sin cos sin x x nx nx nx nx n n n n                        1 cos n 2 cos n n n                         3 1 1 n n    ， (n 1,2,3,) ； 于是， f (x) 的傅里叶级数展开式为   1 2 1 1 1 3( 1) ( ) cos sin 4 n n n f x nx nx n n                           ， 2．将下列函数展开成傅里叶级数： （1） 2 f (x) 1 x 1 1 2 2 x          ； （2） ( ) 2sin 3 x f x  (  x   ) ； （3） 0, 2 0, ( ) 0). , 0 2 x f x k k x           (常数 解 ：（1）设 F(x) 为 f (x) 周期拓广而得的新函数，易见 F(x)在(,) 内 处处连续，故 F(x)的傅里叶级数在 1 1 [ , ) 2 2  上收敛于 f (x) ． 又 1 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 0 1 1 0 2 2 0 11 2 ( )d 2 (1 ) 4 (1 ) 4 3 6 x a f x x x dx x dx x                    ；     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 ( ) cos 2 d 2 (1 ) cos 2 d n a f x nx x x nx x          1 2 2 0  4 (1 x ) cos 2n x dx          1 2 2 2 2 3 3 0 1 2 2 4 1 sin 2 cos 2 sin 2 2 4 8 x n x x n x n x n n n                 1 2 2 ( 1) n n     , (n 1,2,3,) ； 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 ( )sin 2 d 2 (1 )sin 2 d 0 n b f x nx x x nx x         , (n 1,2,3,)

于是，(x)的傅里叶级数展开式为 人l1+1cos2nr,x∈ 11、 12π2名 n2 (2)设F(x)为f(x)周期拓广而得的新函数，易见F(x)在(-π，+π)内连续， x=±π是f(x)的间断点，且[F(-π-0)+F(-π+0)l/2≠f(-π)， [F(π-O)+F(π+0)]/2≠f(π)，故在(-π，+π)内，F(x)的傅里叶级数 收敛于f(x),在x=±π处，F(x)的傅里叶级数不收敛于f(x). 又a=(x)cod=sn写osmd=0,u=0,l2: 3 6=上fe)snwd=2 sinsind r[w居小-m传小小a -cos n· cos na. 3 3n-1 3n+1 于是，f(x)的傅里叶级数展开式为 2sin-1852--usin 9n2-11 x∈（仁ππ）： 3π =1 (3)设F(x)为f(x)周期拓广而得的新函数，易见F(x)在(-2,0)及(0,2)内连续， x=±2、及x=0是f(x)的间断点，且[F(-2-0)+F(-2+0)]/2≠f(-2), [F(0-0)+F(0+0)]/2≠f(0),[F(2-0)+F(2+0)]/2≠f(2),故在(-2,0)及 (0,2)内，F(x)的傅里叶级数收敛于f(x),在x=+2及x=0处，F(x)的傅 里叶级数不收敛于(x). 4

4 于是， f (x) 的傅里叶级数展开式为 1 2 2 1 11 1 ( 1) 1 1 ( ) cos 2 , [ , ) 12 2 2 n n f x n x x n            ； （2）设 F(x)为 f (x) 周期拓广而得的新函数，易见 F(x)在(, ) 内连续， x   是 f (x) 的 间 断点 ， 且 F(  0)  F(  0) 2  f ( ) ， F(  0)  F(  0) 2  f ( ) ，故在(, ) 内，F(x)的傅里叶级数 收敛于 f (x) ，在 x   处， F(x)的傅里叶级数不收敛于 f (x) ． 又 1 1 ( ) cos d sin cos d 0 3 n x a f x nx x nx x             ，(n  0,1,2,) ； 0 1 2 ( )sin d sin sin d 3 n x b f x nx x nx x           0 2 1 1 cos cos d 3 3 n x n x x                          1 1 sin sin 2 3 3 1 1 3 3 n n n n                                              3 3 cos cos 1 2 2 3 1 3 1 n n n n                 ， 于是， f (x) 的傅里叶级数展开式为   1 2 1 18 3 sin 2sin ( 1) , , 3 9 1 n n x n nx x n             ； （3）设 F(x)为 f (x) 周期拓广而得的新函数，易见 F(x)在(2,0) 及(0,2) 内连续， x  2 、及 x  0 是 f (x) 的间断点，且F(2  0)  F(2  0) 2  f (2) ， F(0  0)  F(0  0) 2  f (0) ，F(2  0)  F(2  0) 2  f (2) ，故在(2,0) 及 (0, 2) 内， F(x) 的傅里叶级数收敛于 f (x) ，在 x  2及 x  0 处， F(x)的傅 里叶级数不收敛于 f (x) ．

又a=fx)灿=kd=k, =0,(n=1,2,3,…): n2。 ()sin inco 20 2k =k(1-COS)=2n-l)π ,n=l35. nπ 0, n=2,4,6… 于是，f(x)的傅里叶级数展开式为 @-登+42na.e20ua2 2 3.将下列函数展开成正弦级数： x, 0≤x<2 (1)f(x)=x2(0≤x≤2)： (2)f(x)= 1 -x,2≤x≤1 x2,x∈(0,2] 解：(1)对f(x)进行奇延拓，得F(x)= 0，x=0,再将F(x)周期 -x2,x∈(-2,0) 延拓，得G(x),x∈(-o,+∞)，易见x=2是G(x)的一个间断点.计算延拓后函 数G(x)的傅里叶系数： an=0(n=0,1,2,) 6-e)sm"d=rsn"受 品row受m受w受 =总-rtn-r- nπ 于是得所求的正弦级数为

5 又 2 2 0 0 0 1 1 ( )d d 2 2 a  f x x  k x  k   ， 2 2 2 0 0 0 1 1 ( ) cos d cos d sin 0 2 2 2 2 2 n n x n x k n x a f x x k x n          , (n 1,2,3,) ； 2 2 2 0 0 0 1 1 ( )sin d sin d cos 2 2 2 2 2 n n x n x k n x b f x x k x n           ,     2 , 1,3,5 1 cos 2 1 0 , 2,4,6 k k n n n n n                 于是， f (x) 的傅里叶级数展开式为 1 2 1 (2 1) ( ) sin , ( 2,0) (0,2) 2 n 2 1 2 k k n x f x x n             3．将下列函数展开成正弦级数： （1）   2 f (x)  x 0  x  2 ； （2） , 0 , 2 ( ) , . 2 l x x f x l l x x l            解：（1）对 f (x) 进行奇延拓，得 2 2 , (0,2] ( ) 0 , 0 , ( 2,0) x x F x x x x           ，再将 F(x) 周期 延拓，得G(x) ， x, ，易见 x  2 是G(x) 的一个间断点．计算延拓后函 数G(x)的傅里叶系数： 0 ( 0,1,2, ) n a  n   2 2 2 0 0 2 ( )sin d sin d 2 2 2 n n x n x b f x x x x       2 2 2 2 3 3 0 2 8 8 cos sin cos 2 2 2 n x n x n x x x n n n                 1 3 3 8 8 ( 1) ( 1) 1 n n n n            于是得所求的正弦级数为

r-r-可-受e刘 在端点x=2处，级数的和显然为零，它不代表原来函数f(x)的值. f(x),x∈(0，] (2)对f(x)进行奇延拓，得F(x)= 0,x=0,再将F(x)周期延 -f(x),x∈(-1,0) 拓，得G(x),x∈（(-o,+oo),易见在[0，I上，G(x)=f(x).计算延拓后函数G(x) 的傅里叶系数： an=0(n=0,1,2,… in hin 引学受引-咖受m [41(-1)-1 =x(2-10,n=135 0 n=2,4,6,… 于是得所求的正弦级数为 fm)=4员 元2(2n-1 sin 2n-1)zx xe[0,1] 4.将下列函数展开成余弦级数： (1)f(x)=x(0≤x≤π)： a- 0≤x<1, 1≤x≤2. 解：(1)对f(x)进行偶延拓，得F(x)=x,x∈(-π，π]，再将F(x)周期延拓，得 G(x),x∈(-o,+o),易见G(x)在(-o,+o)内处处连续，且在[0，]上， G(x)=f(x).计算延拓后函数G(x)的傅里叶系数： 6

6       1 2 3 2 1 8 1 2 1 1 sin , 0, 2 2 n n n n x x x n n                         在端点 x  2 处，级数的和显然为零，它不代表原来函数 f (x) 的值． （2）对 f (x) 进行奇延拓，得 ( ) , (0, ] ( ) 0 , 0 ( ) , ( ,0) f x x l F x x f x x l           ，再将 F(x)周期延 拓，得G(x)，x, ，易见在[0,l] 上，G(x)  f (x) ．计算延拓后函数G(x) 的傅里叶系数： 0 ( 0,1,2, ) n a  n     2 0 0 2 2 2 ( )sin d sin d sin d l l l n l n x n x n x b f x x x x l x x l l l l l                 2 2 2 2 0 2 cos sin l l n x l n x x l n l n l                2 2 2 2 2 cos sin l l l n x l n x l x l n l n l                 1 2 2 4 ( 1) , 1,3,5, 2 1 0 , 2,4,6, n l n n n               于是得所求的正弦级数为     1 2 2 1 4 ( 1) (2 1) ( ) sin , 0, . 2 1 n n l n x f x x l n l            4．将下列函数展开成余弦级数： （1） f (x)  x 0  x    ； （2） , 0 1, ( ) 1, 1 2. x x f x x         解：（1）对 f (x) 进行偶延拓，得 F(x)  x , x (,]，再将 F(x)周期延拓，得 G(x) ， x, ， 易 见 G(x) 在 , 内 处 处 连 续 ， 且 在 [0, ] 上 ， G(x)  f (x) ．计算延拓后函数G(x)的傅里叶系数： 0 0 2 a xdx      

πLn (2n-1y,n=L3,5 -4 0, n=2,4,6,… bn=0(n=1,2,3,… 于是得所求的余弦级数为 (2)对f(x)进行偶延拓，得F(x)=f(x),x∈(-2,2]，再将F(x)周期延拓，得 G(x),x∈(-0，+o),易见G(x)在(（-o,+o)内处处连续，在[0,2]上， G(x)三f(x).计算延拓后函数G(x)的傅里叶系数： -ffxd-fxds+[ldr-3 ()cocco nπ co-1 bn=0(n=1,2,3,… 于是得所求的余弦级数为 cos 2 nπx n cos 2 ，xe0,2] 5.设周期函数f(x)的周期为2π，证明f(x)的傅里叶系数为 12π an=-“f(x)cosnxdx (n=0,1,2,…) 元J0 (n=1,2,…) 证明： >

7 0 0 2 2 ( ) cos d cos d n a f x nx x x nx x         2 0 2 1 1 x sin nx cos nx n n            2 2 ( 1) 1 n  n          2 4 , 1,3,5, 2 1 0 , 2, 4,6, n n n              0 ( 1,2,3, ) n b  n   于是得所求的余弦级数为 2 1 4 1 1 1 cos(2 1) , [0, ] 2 (2 1) n x n x x n              ； （2）对 f (x) 进行偶延拓，得 F(x)  f (x) , x (2,2] ，再将 F(x)周期延拓，得 G(x) ， x, ， 易 见 G(x) 在 , 内 处 处 连 续 ， 在 [0,2] 上 ， G(x)  f (x) ．计算延拓后函数G(x)的傅里叶系数： 2 1 2 0 0 0 1 2 3 ( )d d 1d 2 2 a  f x x  x x  x     2 1 2 0 0 1 2 ( ) cos d cos d cos d 2 2 2 2 n n x n x n x a f x x x x x          1 2 0 1 2 2 2 sin cos sin 2 2 2 n x n x n x x n n n                      2 2 4 cos 1 2 n n           0 ( 1,2,3, ) n b  n   于是得所求的余弦级数为 2 2 1 cos 1 3 4 2 ( ) cos , [0,2] 4 n 2 n n x f x x n           . 5．设周期函数 f (x) 的周期为2 ，证明 f (x) 的傅里叶系数为 2 0 1 ( ) cos d n a f x nx x     (n  0,1,2,), 2 0 1 ( )sin d n b f x nx x     (n 1,2,). 证明：

()cod (ocomdcmds (1) 对式(1)中的第三个积分，令x=1+2π，d=dk,则 (comdc(com (2) 将式(2)代入式(1)，得 (x)cods (n=0,1,2,…2 同理 C)sinmds (n=1,2,…）

8 1 ( ) cos d n a f x nx x      0 2 0 2 1 1 1 f (x) cos nxdx f (x) cos nxdx f (x) cos nxdx              （1） 对式（1）中的第三个积分，令 x  t  2 ， dt  dx，则   0 2 0 1 1 1 f (x) cos nxdx f (t 2 ) cos n t 2 dt f (t) cos ntdt                    （2） 将式（2）代入式（1），得 2 0 1 ( ) cos d n a f x nx x     (n  0,1,2,), 同理 1 ( )sin d n b f x nx x      (n 1,2,).