银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第十二章 常微分方程

银川科技职业学院《高签数学》救集 第土二童常微分方程 章节名称： 第十二章 常微分方程 教学内容与学时分配： 教学目的和要求： 1.了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2.熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分 方程。 4.会用降阶法解下列微分方程：ym=f(x),y”+f(x,y')和y"=f(y,y) 5.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线 性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次 线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9.会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 重点： 1可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2可降阶的高阶微分方程=fx),少"+fx,少和y”=f0y,y门 3二阶常系数齐次线性微分方程： 4自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微 分方程： 难点： 1齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程： 2线性微分方程解的性质及解的结构定理： 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非 齐次线性微分方程的特解。 4、欧拉方程 教学过程（教学环节设计与方法）： 教学手段： 作业： 第1页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 1 页 章节名称： 第十二章 常微分方程 教学内容与学时分配： 教学目的和要求： 1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分 方程。 4． 会用降阶法解下列微分方程： ( ) ( ) n y f x  ， y f x y    ( , ) 和 y f y y    ( , ) 5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线 性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次 线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 重点： 1 可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2 可降阶的高阶微分方程 ( ) ( ) n y f x  ， y f x y    ( , ) 和 y f y y    ( , ) 3 二阶常系数齐次线性微分方程； 4 自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微 分方程； 难点： 1 齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2 线性微分方程解的性质及解的结构定理； 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非 齐次线性微分方程的特解。 4、欧拉方程 教学过程（教学环节设计与方法）： 教学手段： 作业：

银川科技职业学院《高签数学》救未 第土二童常微分方程 S12.1微分方程的基本概念 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对 客观事物的规律性进行研究.因此如何寻找出所需要的函数关系，在实践中具 有重要意义.在许多问题中，往往不能直接找出所需要的函数关系，但是根据 问题所提供的情况，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式.这样的 关系就是所谓微分方程.微分方程建立以后，对它进行研究，找出未知函数来， 这就是解微分方程 例1一曲线通过点(L,2),且在该曲线上任一点M(x,)处的切线的斜率为 2x,求这曲线的方程 解设所求曲线的方程为yyx).根据导数的几何意义，可知未知函数 =x)应满足关系式（称为微分方程） 密-2x (1) 此外，未知函数=x)还应满足下列条件： =1时，y=2,简记为y儿-1=2 (2) 把(1)式两端积分，得（称为微分方程的通解） y=∫2xk,即=x2+C, (3) 其中C是任意常数 把条件“x=1时，=2”代入(3)式，得 2=12+C, 由此定出C=1.把C=1代入(3)式，得所求曲线方程（称为微分方程满足条件 y以=1=2的解)： =x2+1. 例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶；当制动时列 车获得加速度-0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这 段时间里行驶了多少路程？ 解设列车在开始制动后1秒时行驶了s米.根据题意，反映制动阶段列车 运动规律的函数S=()应满足关系式 祭04 (4) 此外，未知函数s=s()还应满足下列条件： D时，-0，=密-20.简记为小0外20 (5) 把(4)式两端积分一次，得 第2页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 2 页 §12 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对 客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具 有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据 问题所提供的情况 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的 关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程 例 1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点 M(x y)处的切线的斜率为 2x 求这曲线的方程 解 设所求曲线的方程为 yy(x) 根据导数的几何意义 可知未知函数 yy(x)应满足关系式(称为微分方程) x dx dy 2  (1) 此外 未知函数 yy(x)还应满足下列条件 x1 时 y2 简记为 y|x12 (2) 把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解)  y 2xdx  即 yx 2 C (3) 其中 C 是任意常数 把条件“x1 时 y2”代入(3)式 得 21 2 C 由此定出 C1 把 C1 代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件 y|x12 的解) yx 2 1 例 2 列车在平直线路上以 20m/s(相当于 72km/h)的速度行驶 当制动时列 车获得加速度04m/s2  问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这 段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后 t 秒时行驶了 s 米 根据题意 反映制动阶段列车 运动规律的函数 ss(t)应满足关系式 0.4 2 2  dt d s  (4) 此外 未知函数 ss(t)还应满足下列条件 t0 时 s0  20 dt ds v  简记为 s|t0=0 s|t0=20 (5) 把(4)式两端积分一次 得

银川科技职业学院《高整数学》救未 第土二童常微分方程 v=$=-041+C: (6) 再积分一次，得 S=-0.22+C11+C2, (7) 这里C1,C2都是任意常数， 把条件=0=20代入(6)得 20=C1; 把条件s=0代入(7)得0=C2. 把C,C2的值代入(6)及(7)式得 =-0.41+20, (8) s=-0.22+201 (9) 在(8)式中令=0，得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 139-500 再把仁50代入(9)，得到列车在制动阶段行驶的路程 s=-0.2x502+20x50=500(m). 解设列车在开始制动后1秒时行驶了s米， s"=-0.4,并且=0=0，Sl-0=20 把等式s"=-0.4两端积分一次，得 s=-0.41+C1,即=-0.41+C1(C1是任意常数)， 再积分一次，得 S=-0.2r+C1t+C2(C1,C2都C1是任意常数). 由-0=20得20=C1,于是1=-0.41+20； 由s-0=0得0=C2,于是s=-0.2+201. 令=0，得仁50(s).于是列车在制动阶段行驶的路程 s=-0.2×502+20×50=500(m). 几个概念 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程， 叫微分方程。 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程，叫常微分方程。 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程，叫偏微分方程。 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫微 分方程的阶 x3y"+x2y-4y'=3x2, y4-4y"+10y"-12y+5=sin2x, 第3页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 3 页 4 1 0. t C dt ds v    (6) 再积分一次 得 s02t 2 C1t C2 (7) 这里 C1 C2 都是任意常数 把条件 v|t020 代入(6)得 20C1 把条件 s|t00 代入(7)得 0C2 把 C1 C2 的值代入(6)及(7)式得 v04t 20 (8) s02t 2 20t (9) 在(8)式中令 v0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 50 0.4 20 t   (s) 再把 t50 代入(9) 得到列车在制动阶段行驶的路程 s02502 2050500(m) 解 设列车在开始制动后 t 秒时行驶了 s 米 s04 并且 s|t0=0 s|t0=20 把等式 s04 两端积分一次 得 s04tC1 即 v04tC1(C1 是任意常数) 再积分一次 得 s02t 2 C1t C2 (C1 C2 都 C1 是任意常数) 由 v|t020 得 20C1 于是 v04t 20 由 s|t00 得 0C2 于是 s02t 2 20t 令 v0 得 t50(s) 于是列车在制动阶段行驶的路程 s02502 2050500(m) 几个概念 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程 常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程 偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程 微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微 分方程的阶 x 3 yx 2 y4xy3x 2  y (4) 4y10y12y5ysin2x

银川科技职业学院《高整数学》救集 第土二童常微分方程 ym+1=0, 般n阶微分方程： Fx,y,…,0)）=0. ym=x,yy,…,r). 微分方程的解：满足微分方程的函数（把函数代入微分方程能使该方程成 为恒等式)叫做该微分方程的解.确切地说，设函数y=x)在区间I上有n阶连 续导数，如果在区间1上 Fx,x),(x)...(x0, 那么函数=x)就叫做微分方程Fx,yy,,ym)=0在区间I上的解 通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程 的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。 初始条件：用于确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.如 =0时，=0，y=y0. 一般写成 x=6=%,yx=6=6 特解：确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解.即不含任 意常数的解 初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题。 如求微分方程y=x,)满足初始条件=。=%的解的问题，记为 [y=f(x.y) =。=6 积分曲线：微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。 例3验证：函数 x=Cicos kt+C2 sin kt 是微分方程 dx+k"x=O di 的解 解求所给函数的导数： dx=-kC sin kt+kC2coskt, d dx--k2Ccoskt-k2Czsin ki=-k2(Cucoskt+Czsin kt). d 将及x的表达式代入所给方程，得 dr 第4页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 4 页 y (n) 10 一般 n 阶微分方程 F(x y y     y (n) )0 y (n) f(x y y     y (n1) )  微分方程的解 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成 为恒等式)叫做该微分方程的解 确切地说 设函数 y(x)在区间 I 上有 n 阶连 续导数 如果在区间 I 上 F[x (x) (x)     (n) (x)]0 那么函数 y(x)就叫做微分方程 F(x y y    y (n) )0 在区间 I 上的解 通解 如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程 的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解 初始条件 用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件 如 xx0 时 yy0  y y0  一般写成 0 0 y y xx   0 0 y y x x      特解 确定了通解中的任意常数以后 就得到微分方程的特解 即不含任 意常数的解 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题 如求微分方程 yf(x y)满足初始条件 0 0 y y xx  的解的问题 记为        0 0 ( , ) y y y f x y x x  积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线 例 3 验证 函数 xC1cos ktC2 sin kt 是微分方程 0 2 2 2 k x dt d x 的解 解 求所给函数的导数 kC kt kC kt dt dx sin cos  1  2  cos sin ( cos sin ) 1 2 2 2 2 1 2 2 2 k C k t k C k t k C k t C k t dt d x      将 2 2 dt d x 及 x 的表达式代入所给方程 得

银川科技职业学院《高签数学》教 第土二童常微分方程 -k(Cicos kt+C2sin kt)+k(Cicos kt+C2sin kt)=0. 这表明函数XC1cos+C2sinM满足方程4+k2x=0,因此所给函数是所 d? 给方程的解 例4已知函数=C1cos+CaSinkrk-0)是微分方程2+k2r=0的通解，求 满足初始条件 x0=A,x|-0=0 的特解。 解由条件x0=A及x=C1cos+C2sinL,得 C1=A. 再由条件x'|o=0,及x'()=-kC1sin+kC2cosL,得 C2=0. 把C1、C2的值代入x=C1 cos kt+-C2sinM中，得 x=Acos kt. 第5页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 5 页 k 2 (C1cos ktC2sin kt) k 2 (C1cos ktC2sin kt)0 这表明函数 xC1cosktC2sinkt 满足方程 0 2 2 2 k x dt d x  因此所给函数是所 给方程的解 例 4 已知函数 xC1cosktC2sinkt(k0)是微分方程 0 2 2 2 k x dt d x 的通解 求 满足初始条件 x| t0 A x| t0 0 的特解 解 由条件 x| t0 A 及 xC1 cos ktC2 sin kt 得 C1A 再由条件 x| t0 0 及 x(t) kC1sin ktkC2cos kt 得 C20 把 C1、C2 的值代入 xC1cos ktC2sin kt 中 得 xAcos kt

银川科技职业学院《高整数学》救集 第土二童常微分方程 S12.2可分离变量的微分方程 观察与分析： 1.求微分方程y=2x的通解.为此把方程两边积分，得 =x2+C 一般地，方程y=x)的通解为y=∫fx)+C(此处积分后不再加任意常 数). 2.求微分方程y=2x的通解. 因为y是未知的，所以积分「2xd无法进行，方程两边直 接积分不能求出通解， 为求通解可将方程变为立小=2x血，两边积分，得 -1=x2+C,或y=-1 x2+C' 可以验证函数)=十c是原方程的通解。 般地，如果一阶微分方程y=x,y)能写成 g(y)dy=fx)dx 形式，则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G(y)=F(x)+C, 由方程G(y)=Fx)+C所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程： 一阶微分方程有时也写成如下对称形式： P(x,y)dx+O(x,y)dy=0 在这种方程中，变量x与y是对称的 若把x看作自变量、y看作未知函数，则当Qxy)0时，有 少=_Px,y dx O(x,y) 若把y看作自变量、x看作未知函数，则当P(x,y)≠0时，有 dxa(x,y) 少Pxy) 可分离变量的微分方程： 如果一个一阶微分方程能写成 gy)=fx)dk(或写成y'=ox)y》 的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和，另一端只含x的 第6页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 6 页 §12 2 可分离变量的微分方程 观察与分析 1 求微分方程 y2x 的通解 为此把方程两边积分 得 yx 2 C 一般地 方程 yf(x)的通解为 y f x dxC  ( ) (此处积分后不再加任意常 数) 2 求微分方程 y2xy 2 的通解 因为 y 是未知的 所以积分  xy dx 2 2 无法进行 方程两边直 接积分不能求出通解 为求通解可将方程变为 dy xdx y 2 1 2   两边积分 得 x C y    1 2  或 x C y   2 1  可以验证函数 x C y   2 1 是原方程的通解 一般地 如果一阶微分方程 y(x, y)能写成 g(y)dyf(x)dx 形式 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G(y)F(x)C 由方程 G(y)F(x)C 所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程 一阶微分方程有时也写成如下对称形式 P(x y)dxQ(x y)dy0 在这种方程中 变量 x 与 y 是对称的 若把 x 看作自变量、y 看作未知函数 则当 Q(x,y)0 时 有 ( , ) ( , ) Q x y P x y dx dy   若把 y 看作自变量、x 看作未知函数 则当 P(x,y)0 时 有 ( , ) ( , ) P x y Q x y dy dx   可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dyf(x)dx (或写成 y(x)(y)) 的形式 就是说 能把微分方程写成一端只含 y 的函数和 dy 另一端只含 x 的

银川科技职业学院《高签数学》救集 第土二童常微分方程 函数和x,那么原方程就称为可分离变量的微分方程」 讨论：下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1)y=2xy, 是.→yh=2xd. (2)3x2+5x-y=0, 是.→=(3x2+5x)dx. (3r2+y2)d-xd=0,不是 (4y=1+x+y2+2,是.y=(1+x1+y), (5y=10, 是.=10d=10dx. (6)y'=+上 不是 y x 可分离变量的徽分方程的解法： 第一步分离变量，将方程写成gy)dy=x)的形式； 第二步两端积分：「g)d=∫fx)d,设积分后得G0以Fx)+C: 第三步求出由GOy)=F(x)+C所确定的隐函数y=x)或x=y Gy)=Fx)+C,=中(x)或x=y)都是方程的通解，其中Gy)=Fx)+C称为隐式 (通)解. 例1求微分方程少=2xy的通解 dr 解此方程为可分离变量方程，分离变量后得 Idy=2xdx, 两边积分得 2, 即 lnby=x2+Ci, 从而 y=tex+C=teCiex, 因为±e9仍是任意常数，把它记作C,便得所给方程的通解 y=Cex2 解 此方程为可分离变量方程，分离变量后得 y=2xdx, y 两边积分得 2x, 即 Inby=x2+InC, 第7页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 7 页 函数和 dx 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y2xy 是 y 1 dy2xdx  (2)3x 2 5xy0 是 dy(3x 2 5x)dx (3)(x 2 y 2 )dxxydy=0 不是 (4)y1xy 2 xy 2  是 y(1x)(1y 2 ) (5)y10xy  是 10y dy10x dx (6) x y y x y     不是 可分离变量的微分方程的解法 第一步 分离变量 将方程写成 g(y)dy f(x)dx 的形式 第二步 两端积分   g(y)dy f (x)dx  设积分后得 G(y)F(x)C 第三步 求出由 G(y)F(x)C 所确定的隐函数 y(x)或 x(y) G(y)F(x)C  y (x)或 x(y)都是方程的通解 其中 G(y)F(x)C 称为隐式 (通)解 例 1 求微分方程 xy dx dy 2 的通解 解 此方程为可分离变量方程 分离变量后得 dy xdx y 2 1   两边积分得   dy xdx y 2 1  即 ln|y|x 2 C1 从而 2 1 1 2 x C C x ye e e   因为 e C1 仍是任意常数 把它记作 C 便得所给方程的通解 2 x yCe  解 此方程为可分离变量方程 分离变量后得 dy xdx y 2 1   两边积分得   dy xdx y 2 1  即 ln|y|x 2 lnC

银科技职业学院《高慈数学》教宋 第土二童常微分方程 从而 y=Cer. 例2铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比.己知仁0时轴 的含量为Mo,求在衰变过程中轴含量M()随时间1变化的规律. 解铀的衰变速度就是M0)对时间1的导数 dt 由于轴的衰变速度与其含量成正比，故得微分方程 dM=-M, di 其中0)是常数，1前的曲面号表示当1增加时M单调减少.即4<0. dt 由题意，初始条件为 M=0=M6. 将方程分离变量得 =-dt M 两边积分，得∫兴-山， 即 lnME-+lnC,也即MCeu 由初始条件，得M=Ce°=C, 所以铀含量M(t)随时间t变化的规律M=Meu. 例3设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落 伞离开跳伞塔时速度为零.求降落伞下落速度与时间的函数关系， 解设降落伞下落速度为④.降落伞所受外力为F=mg-(k为比例系 数).根据牛顿第二运动定律F=ma,得函数v()应满足的方程为 md-mg-kv, d 初始条件为 y=0=0. 方程分离变量，得 dydi mg-ky m 丙边积分，得利中供。 mg-k品+C, m 即 v=m+Ce扁(c=-gg ) 将初始条件-0=0代入通解得C=-mg 第8页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 8 页 从而 2 x y Ce  例 2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量 M 成正比 已知 t0 时铀 的含量为 M0 求在衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 变化的规律 解 铀的衰变速度就是 M(t)对时间 t 的导数 dt dM  由于铀的衰变速度与其含量成正比 故得微分方程 M dt dM   其中 (>0)是常数  前的曲面号表示当 t 增加时 M 单调减少 即 0 dt dM  由题意 初始条件为 M|t0M0 将方程分离变量得 dt M dM   两边积分 得     dt M dM ( )  即 lnMtlnC 也即 MCet  由初始条件 得 M0Ce0 C 所以铀含量 M(t)随时间 t 变化的规律 MM0e t  例 3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落 伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系 解 设降落伞下落速度为 v(t) 降落伞所受外力为 Fmgkv( k 为比例系 数) 根据牛顿第二运动定律 Fma 得函数 v(t)应满足的方程为 mg kv dt dv m    初始条件为 v|t00 方程分离变量 得 m dt mg kv dv    两边积分 得     m dt mg kv dv  1 ln( ) 1 C m t mg kv k      即 t m k Ce k mg v    ( k e C kC1  ) 将初始条件 v|t00 代入通解得 k mg C 

银川科技职业学院《高签数学》教集 第土二童常微分方程 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为v-mg1-e品). k 例4求微分方程少=1+x++x的通解。 d 解方程可化为 密0+0+月， 分离变量得 1+=1+xk, 1 两边积分得 ∫中=a+h,即arctany=2+x+C. 于是原方程的通解为y=tan(x2+x+C). 例4有高为1m的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面面积 为1cm2.开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随 时间1变化的规律， 解由水力学知道，水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算： 0--062si. 其中0.62为流量系数，S为孔口横截面面积，g为重力加速度.现在孔口横截面 面积S=1cm2,故 .2ghdv=0.2ghd. 另一方面，设在微小时间间隔[L,t+dl内，水面高度由h降至h+dh(dh0的缘故.又因 r=√1002-(100-h2=√200h-h2, 所以 dW=-200h-h2)dh. 通过比较得到 0.62√2ghdh=-π(200h-h2)adh, 这就是未知函数h=h()应满足的微分方程. 此外，开始时容器内的水是满的，所以未知函数=)还应满足下列初始 条件： hl=0=100. 第9页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 9 页 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为 (1 ) t m k e k mg v     例 4 求微分方程 2 2 1 x y xy dx dy     的通解 解 方程可化为 (1 )(1 ) 2 x y dx dy     分离变量得 dy x dx y (1 ) 1 1 2     两边积分得      dy x dx y (1 ) 1 1 2  即 y x  xC 2 2 1 arctan  于是原方程的通解为 ) 2 1 tan( 2 y x  xC  例 4 有高为 1m 的半球形容器 水从它的底部小孔流出 小孔横截面面积 为 1cm2  开始时容器内盛满了水 求水从小孔流出过程中容器里水面高度 h 随 时间 t 变化的规律 解 由水力学知道 水从孔口流出的流量 Q 可用下列公式计算 S gh dt dV Q 0.62 2  其中 0 62 为流量系数 S 为孔口横截面面积 g 为重力加速度 现在孔口横截面 面积 S1cm2  故 gh dt dV 0.62 2  或 dV 0.62 2ghdt  另一方面 设在微小时间间隔[t tdt]内 水面高度由 h 降至 hdh(dh0) 则又可得到 dVr 2 dh 其中 r 是时刻 t 的水面半径 右端置负号是由于 dh0 而 dV0 的缘故 又因 2 2 2 r  100 (100h)  200hh  所以 dV(200hh 2 )dh 通过比较得到 0.62 2ghdt (200h h )dh 2    这就是未知函数 hh(t)应满足的微分方程 此外 开始时容器内的水是满的 所以未知函数 hh(t)还应满足下列初始 条件 h|t0100

银川科技职业学院《高签数学》救集 第土二童常微分方程 将方程0.62,2ghdt=-π(200h-h2)dh分离变量后得 di=- (200h2-h2)dh 0.622g 两端积分，得 o6d2gJ2w-hh, π 即 1=- π 0.62√2g 3 其中C是任意常数， 由初始条件得 5 1=- 400<102-2x10o)+C, 0.622g 5 C=- π 400000.200000)=。元2 0.62√2g 、3 5 0.622e15x105. 5 因此 1= π。(7x105-103h2+3h2). 0.62√2g 上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h与时间1之间的函数 关系 第10页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 10 页 将方程 0.62 2ghdt (200h h )dh 2   分离变量后得 h h dh g dt (200 ) 0.62 2 2 3 2 1      两端积分 得    h h dh g t (200 ) 0.62 2 2 3 2 1   即 h h C g t   ) 5 2 3 400 ( 0.62 2 2 5 2 3   其中 C 是任意常数 由初始条件得 C g t    100 ) 5 2 100 3 400 ( 0.62 2 2 5 2 3   5 10 15 14 0.62 2 ) 5 200000 3 400000 ( 0.62 2      g g C    因此 (7 10 10 3 ) 0.62 2 2 5 2 3 5 3h h g t       上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度 h 与时间 t 之间的函数 关系