第八章 重积分习题全解 习题8-1 1.利用二重积分定义证明： (1)∬do=o（其中o是D的面积)： (2)∬付x,do=f,do(k为常数 2.证明性质8中(1)设积分域D关于x轴对称，D表示D中y≥0的部分， (i)若f,)是y的奇函数，即fx,-)=-fx,y),则厂fx,Mo=0: (i)若fx)是y的偶函数，即fx,-)=fx,),则∬fx,yHo=2∬fx,HG。 证：由积分域D关于x轴对称，D表示D中 1y=0X y20的部分，则积分与如图8-1所示。则 D ∬/xo=广a/x 若f(x,-y)=-f(x,y),则 y=-φ(x) 图8-1 ∬fx,ig-dfx-心0d=0 若f(x,-y)=f(x,y),则 .-2d.d.. 3.设1=∬x+yo,其中D是矩形闭区域：-1≤x≤1与ys:又 L2=川(x2+y)o,其中D,是矩形闭区域：0≤x≤1,0≤y≤2.试用二重积分的 对称性质表示I与12之间的关系. 解：=∬+Pydo=4∬+)do=4 4.设D是由x+y=1,x-y=1及x=0所围成的三角 x-)y=1 x+)少=1x 图8-2
1 第八章 重积分习题全解 习题 8－1 1． 利用二重积分定义证明： （1） d D （ 其中 是 D 的面积）； （2） ( , )d ( , )d D D kf x y k f x y （ k 为常数）； 2．证明性质 8 中（1）设积分域 D 关于 x 轴对称, D1 表示 D 中 y 0 的部分, （i)若 f x y ( , ) 是 y 的奇函数,即 f x y f x y ( , ) ( , ), 则 ( , ) 0 D f x y d ； （ii)若 f x y ( , ) 是 y 的偶函数,即 f x y f x y ( , ) ( , ), 则 1 ( , )d 2 ( , )d D D f x y f x y 。 证：由积分域 D 关于 x 轴对称, D1 表示 D 中 y 0 的部分,则积分与如图 8-1 所示。则 ( ) ( ) ( , )d d ( , )d b x a x D f x y x f x y y 若 f x y f x y ( , ) ( , ), 则 ( ) ( ) ( , )d d ( , )d 0d 0 b x b a x a D f x y x f x y y x 若 f x y f x y ( , ) ( , ), 则 1 ( ) ( ) ( ) 0 ( , )d d ( , )d 2 d ( , )d 2 ( , )d b x b x a x a D D f x y x f x y y x f x y y f x y 。 3 ． 设 1 2 2 3 1 ( ) D I x y d ，其中 D1 是矩形闭区域： 1 1, 2 2 x y ； 又 2 2 2 3 2 ( ) D I x y d ，其中 D2 是矩形闭区域： 0 1,0 2 x y ．试用二重积分的 对称性质表示 1 I 与 2 I 之间的关系． 解： 1 2 2 2 3 2 2 3 1 2 ( ) 4 ( ) 4 D D I x y d x y d I 4．设 D 是由 x y x y 1, 1 及 x 0 所围成的三角 D D1 y x ( ) y x ( ) a b x y O 图 8-1 图 8-2
形，根据二重积分的对称性计算二重积分川do D 解：画出积分区域D的草图8-2，可见D对称于x轴，而 被积函数f(x,y)=y对y是奇函数，因此「do=0。 5.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： (1) ∬x+y)Pdo与J(x+y户do,其中积分区域D是由x轴，y轴与直线 x+y=1所围成： (2)∬ln(x+ydo与厂n(x+ydo,其中D是三角形闭区域，三顶点分别为L,0>, (1,1),(2,0). 解(1)画出积分区域D,D={(x,y)k>0,y>0,x+y≤1}，如图8-3 由于(x+y)2-(x+y)3=(x+y)2(1-x-y),所以，在D上 (x+y)2(1-x-y),即(x+y)2≥(x+y)月 x+y=1 由积分估值定理得：小x+少do≥∬x+)dc 解(2)小in(x+do≥∬nx+do· 6.利用二重积分的性质估计下列积分的值： 图8-3 (1)1=∬V(x+ydo， 其中D是矩形闭区域： 0≤x≤2,0≤y≤2， (2)1=∬sin2xsin2do,其中D是矩形闭区域：0≤x≤元，0≤y≤元. (3)1=小x+4y2+9)do,其中D是圆形闭区域：x2+≤4. 解(1)在D上f(xy)=√y(x+y),则fmn(x,y)=0,mx(x,y)=4,又D的面积 o=2×2=4,故由估值不等式得：0.0≤I≤44，即0≤1≤16。 解(2)因为0≤sin2x≤1,0≤sin2y≤1，所以0≤1≤π2。 解(3)在D上f(x,y)=x2+4y2+9 2
2 形，根据二重积分的对称性计算二重积分 d . D y 解：画出积分区域 D 的草图 8-2，可见 D 对称于 x 轴，而 被积函数 f x y y ( , ) 对 y 是奇函数，因此 d 0 D y 。 5．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1） 2 ( ) D x y d 与 3 ( ) D x y d ，其中积分区域 D 是由 x 轴， y 轴与直线 x y 1 所围成； （2） ln( ) D x y d 与 2 [ln( )] D x y d ，其中 D 是三角形闭区域，三顶点分别为（1，0）， （1，1），（2，0）． 解（1）画出积分区域 D ， D x y x y x y ( , ) 0, 0, 1 ，如图 8-3 由于 2 3 2 ( ) ( ) ( ) (1 ) x y x y x y x y ，所以，在 D 上 2 ( ) (1 ) x y x y ，即 2 3 ( ) ( ) x y x y 由积分估值定理得： 2 3 ( ) ( ) D D x y d x y d 解（2） 2 ln( ) [ln( )] D D x y d x y d 。 6． 利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1） ( ) D I xy x y d ， 其中 D 是矩形闭区域： 0 2,0 2 x y ． （2） 2 2 sin sin d D I x y ，其中 D 是矩形闭区域： 0 ,0 x y ． （3） 2 2 ( 4 9) D I x y d ，其中 D 是圆形闭区域： 2 2 x y 4 ． 解（1）在 D 上 f x y xy x y ( , ) ( ) ，则 min max f x y f x y ( , ) 0, ( , ) 4 ， 又 D 的面积 2 2 4 ，故由估值不等式得： 0 0 4 4 I ，即 0 16 I 。 解（2）因为 2 2 0 sin 1,0 sin 1 x y ，所以 2 0 I 。 解（3）在 D 上 2 2 f x y x y ( , ) 4 9 图 8-3
f(x,y)=x2+4y2+9=x2+y2+3y2+9≤3y2+13≤3.22+13=25 即fmx(x,y)=25,fn(x,y)=9,又D的面积o=πr2=π·2=4π，故由估值不等式得： 9.4π≤I≤16.4π，即36π≤1≤100π 习题8-2 1.化二重积分I=儿fx,ydo为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二 次积分)，其中积分区域D是： (1)由x轴及半圆周x2+y2=r2(y≥0)所围成的闭区域： (2)由直线y=x,x=2及双曲线y=上（x>0)围成的闭区域。 解W1Tf海或1=层f油 解(2)X-型区域（图8-4）： Y-型区域：划分成两部分（图8-5）： y=- x=2 x=2 图8-4 图8-5 因此1=fx,n,因此1=oir.+fx,达 2.计算下列二重积分： (1)∬(3x+2y)dc,其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域： (2)sin yda,其中D是矩形区域：0≤x≤2,0≤y≤ (3)」 xcos(x+yo,其中D是顶点分别为(0,0，(g,) 的三角形闭区域。 解(1)积分区域D(图8-6)如下： 3x+2a-46+2h-9 (2)sin yda sin 解(3)∬xcos(x+ydo=dr。cos(x+y x+y=2
3 2 2 2 2 2 2 2 f x y x y x y y y ( , ) 4 9 3 9 3 13 3 2 13 25 即 max min f x y f x y ( , ) 25, ( , ) 9 ，又 D 的面积 2 2 r 2 4 ，故由估值不等式得： 9 4 16 4 I ，即 36 100 I 习 题 8－2 1．化二重积分 ( , ) D I f x y d 为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二 次积分），其中积分区域 D 是： （1）由 x 轴及半圆周 2 2 2 x y r y ( 0) 所围成的闭区域； （2）由直线 y x x , 2 及双曲线 1 y x( 0) x 围成的闭区域。 解（1） 2 2 0 d ( , )d r r x r I x f x y y 或 2 2 2 2 0 d ( , )d r r x r x I y f x y x 解（2）X-型区域（图 8-4）： Y-型区域：划分成两部分（图 8-5）： 图 8-4 图 8-5 因此 2 1 1 ( , ) x x I dx f x y dy ， 因此 1 2 2 2 1 1 1 2 ( , ) ( , ) y y I dy f x y dx dy f x y dx 2．计算下列二重积分： （1） (3 2 ) D x y d ，其中 D 是由两坐标轴及直线 x y 2 所围成的闭区域； （2） 2 sin d D x y ，其中 D 是矩形区域： 0 2,0 2 x y ； （3） cos( )d D x x y ，其中 D 是顶点分别为（0，0）， ( ,0),( , ) 的三角形闭区域。 解（1）积分区域 D（图 8-6）如下： 2 2 0 0 20 (3 2 ) (3 2 ) 3 x D x y d dx x y dy 解（2） 2 /2 2 / 2 2 2 3 0 0 0 0 1 8 sin d d sin d ( cos ) 3 3 D x y x x y y x y 解（3） 0 0 cos( )d d cos( )d x D x x y x x x y y 图 8-6
x(sin2x-sin.x)dx=fxsin 2xdx-fxsin.xdx -dcos2x+axdcosx xo2+0coo +n2--m= (④川do,其中D是由y=x广=x所围成闭区域。 解(4)积分区域D(图8-7)如下： 4a-=1-sl y=x 3.画出积分区域，并计算下列二重积分： (1)小a,其中D是由两条抛物线 y=√了芋2所围成的闭区域： (2)小edo,其中D是由+≤1所确定的闭区 图8-7 域： 解：a-ad-yd --r-品-八-品号 x-y=1 解(2)x+y≤1可化为 x+y=1 则积分区域D -x-y=1 -x+y=1 (图8-8)如下： e"wdo=jead+∬e*rhd -x+y水x+y=1 D =kee'+eed=e-e。 -x-y=米x-y=1 图8-8 4
4 0 0 0 x x x x x x x x x x (sin 2 sin )d sin 2 d sin d 0 0 1 dcos2 dcos 2 x x x x 0 0 0 0 1 1 cos 2 cos2 d cos cos d 2 2 x x x x x x x x 0 0 1 1 3 sin 2 sin 2 4 2 x x （4） sin D y d y ，其中 D 是由 2 y x y x , 所围成闭区域． 解（4）积分区域 D（图 8-7）如下： 2 1 0 sin sin 1 sin1 y y D y y d dy dx y y 3．画出积分区域，并计算下列二重积分： （ 1 ） d D x y , 其 中 D 是由两条抛物线 2 y x y x , 所围成的闭区域； （2） x y D e d ，其中 D 是由 x y 1 所确定的闭区 域； 解: 2 2 1 1 3/ 2 0 0 2 d d 3 d d D x x x x x y y x x y x y x 1 1 3/ 4 3 11/ 4 5 0 0 2 2 4 1 2 4 1 6 ( )d 3 3 11 5 3 11 5 55 x x x x x x 解（2） x y 1 可化为 1 1 1 1 x y x y x y x y 则积分区域 D （图 8-8）如下： 1 2 x y x y x y D D D e d e dxdy e dxdy 0 1 1 1 1 1 1 0 1 x x x y x y x x dx e e dy dx e e dy e e 。 图 8-7 图 8-8
4.如果二重积分川f(x,y)dkd山的被积函数fx,)是两个函数f(x)及)的乘积， 即f(x,y)=f(x)(y),积分区域D为a≤x≤b,c≤y≤d,证明这个二重积分等于两 个单积分的乘积，即 ∬f)odd=可2fxd]f50 证：∬fxy)do=∬fx)小f(xd =广5(ew-[[Cw 5.设f(x,y)在D上连续，其中D是由直线y=x,y=a,x=bb>0)所围成的闭区域， 证明,yy=∫dfx,yar 证：积分区域D(图8-9)如下：改变积分次序，由X-型 y= 区域化为Y-型区域有 ∫,y=d"f.yd. 6.改换下列二次积分的积分次序： 图8-9 j时fx,y: 2)jdfx,yr: 8 d(.y:④jf。0fcx. 解(1)由题可知：D={x,y0≤y≤1VF≤x≤ y↑x=,y=x 积分区域（图8-10）如下：积分区域也是X-型区域，D也 可记为D={x,0≤x≤Lx≤y≤x,因此改变积分 次序得： [dv(x.dx(. 图8-10 解2d时xir=d5fx,灿 解adf炒=哥fx Inx 图8-11
5 4．如果二重积分 ( , ) D f x y dxdy 的被积函数 f x y ( , ) 是两个函数 1 f x( ) 及 2 f y( ) 的乘积， 即 1 2 f x y f x f y ( , ) ( ) ( ) ，积分区域 D 为 a x b c y d , ，证明这个二重积分等于两 个单积分的乘积，即 1 2 1 2 ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ]. b d a c D f x f y dxdy f x dx f y dy 证： 1 2 ( , ) ( ) ( ) D D f x y d f x f x dxdy 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b d b d a c a c dx f x f x dy f x dx f x dy 5．设 f x y ( , ) 在 D 上连续，其中 D 是由直线 y x y a x b b , , ( 0) 所围成的闭区域， 证明 d ( , )d d ( , )d . b x b b a a a y x f x y y y f x y x 证：积分区域 D（图 8-9）如下：改变积分次序，由 X-型 区域化为 Y-型区域有 d ( , )d d ( , )d . b x b b a a a y x f x y y y f x y x 6.改换下列二次积分的积分次序： （1） 1 0 ( , ) y y dy f x y dx ； （2） 2 2 2 0 d ( , )d y y y f x y x ； （3） 2 2 0 0 1 ( 1) d ( , )d x x f x y y ； （4） ln 1 0 ( , ) e x dx f x y dy 。 解（1）由题可知： D x y y y x y ( , ) 0 1, ， 积分区域（图 8-10）如下：积分区域也是 X-型区域， D 也 可记为 2 D x y x x y x ( , ) 0 1, ，因此改变积分 次序得： 2 1 1 0 0 d ( , )d d ( , )d y x y x y f x y x x f x y x 解（2） 2 2 2 4 0 0 / 2 d ( , )d d ( , )d y x y x y f x y x x f x y y 解（3） 2 2 2 2 0 0 1 ( 1) 0 1 1 1 1 1 d ( , d) d d ( , ) x y y x f x y y y f x y x 图 8-9 图 8-10 图 8-11
解(4)由题可知：D={(x,y)≤x≤e,0≤y≤Ix},积分区域（图8-11）如下：积分区 域也是Y-型区域，D也可i记为D={x,y)0≤y≤L,e'≤x≤e, 因此改变积分次序得： ∫dx(,yy-=dfx,ydr 7.设平面薄片所占的闭区域D由直线x+y=2,y=x和x轴所围成，它的面密度 p(x,y)=x2+y2，求该薄片的质量. 解：M=小cx2+yad-x+y=2-y-y]+2-2油 =8-12y+6y2-2y]+(2y-2y=3 8.求由平面x=0,y=0,x+y=1所围成的柱体被平面z=0及抛物面x2+y2=6-z截 得的立体的体积。 解：所围图形（图8-12）及在xoy面投影（图8-13）如下： y x+y=1 X 图8-12 图8-13 积分区域D={(x,y)0≤x≤1,0≤y≤1-x} r-小6---6--yrh-名， 9.求由曲面2=x2+2y2及z=6-2x2-y2围成的立体的体积。 解： z=x2+2y2 e=6-2x-y→+广=2D+ys2 r=J∬[【6-2x2-y)-(x2+2y]drdy 6
6 解（4）由题可知： D x y x e y Inx ( , ) 1 ,0 ，积分区域（图 8-11）如下：积分区 域也是 Y-型区域， D 也可记为 ( , ) 0 1, y D x y y e x e ，因此改变积分次序得： 1 0 d ( , )d e Inx x f x y y = 1 0 d ( , )d y e e y f x y x 7.设平面薄片所占的闭区域 D 由直线 x y y x 2, 和 x 轴所围成，它的面密度 2 2 ( , ) x y x y ，求该薄片的质量． 解： 1 2 1 2 2 2 2 3 3 2 0 0 1 ( )d d d ( )d { [(2 ) ] (2 2 )}d 3 y y D M x y x y y x y x y y y y y 1 2 3 2 3 0 1 4 { [8 12 6 2 ] (2 2 )}d 3 3 y y y y y y 8.求由平面 x y x y 0, 0, 1 所围成的柱体被平面 z 0 及抛物面 2 2 x y z 6 截 得的立体的体积． 解：所围图形（图 8-12）及在 xoy 面投影（图 8-13）如下： 图 8-12 图 8-13 积分区域 D x y x y x ( , ) 0 1,0 1 1 1 2 2 2 2 0 0 17 (6 ) (6 ) 6 x D V x y dxdy dx x y dy 。 9.求由曲面 2 2 z x y 2 及 2 2 z x y 6 2 围成的立体的体积． 解： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 : 2. 6 2 z x y x y D x y z x y 2 2 2 2 [(6 2 ) ( 2 )]d d D V x y x y x y
=3(2-x-y")dxdy =3f(2-r2)rdrd0 =d90-r-6a-2-4y-6m 10.画出积分区域，把积分 厂f(x,y)drdy表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D 是：(1)x2+y2≤2R: (2)a2≤x2+y2≤b2,其中0<a<b。 do(sind ()ddydorcos,rsinOdr. 11.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： d时fWF+r:@fk: 解D6drfF2+ydy=d0”frd. 解2)依题意，积分区域D={x0≤x≤11-x≤y≤V-} 积分区域（图8-14）》 如下： x+)y=1 图8-14 由0≤x≤1得0≤0s花：由1-x≤y≤V-x得1 ≤r≤1，因此积分 sinθ+cos0 1 区域在极坐标系下的不等式为D=亿，00≤0≤号m2十cs9≤r≤1，则 o(indr 12.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：
7 2 2 2 2 2 2 2 2 4 0 0 0 3 (2 )d d 3 (2 ) d d 1 3 d (2 ) d 6 ( ) 6 . 4 D D x y x y r r r r r r r r 10．画出积分区域，把积分 ( , )d d D f x y x y 表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域 D 是：（1） 2 2 x y Rx 2 ； （2） 2 2 2 2 a x y b ，其中 0 a b。 解（1） / 2 2 cos / 2 0 ( , )d d ( cos , sin ) d R D f x y x y d f r r r r 。 解（2） 2 0 ( , )d d d ( cos , sin ) d b a D f x y x y f r r r r 。 11．化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： (1) 2 3 2 2 0 d ( )d x x x f x y y ; (2) 2 1 1 0 1 ( , ) x x dx f x y dy ; 解（1） 2 3 /3 2sec 2 0 0 2 / 4 d ( )d d ( ) d x x x f x y y f r r r 。 解 (2 ) 依题意，积分区域 2 D x y x x y x ( , ) 0 1,1 1 ，积分区域（图 8-14） 如下： 图 8-14 由 0 1 x 得 0 2 ；由 2 1 1 x y x 得 1 1 sin cos r ，因此积分 区域在极坐标系下的不等式为 1 ( , ) 0 , 1 2 sin cos D r r ，则 2 1 1 0 1 d ( , )d x x x f x y y = 1 1 2 0 (sin cos ) d ( cos , sin ) d f r r r r 12．把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：
e+y: +d。 解()依题D={(x,)0≤x≤2a,0≤y≤V2a-x同， 图8-15则由y≤√2ar-x2得r≤2 acosp,故在极坐标系 p=21c0s9 下 D D-{cols0≤号0srs2aep 图8-15 原式0r2t=a 解aj6F+rd=∫d0g”rr -sac0u0-g“i+amr0da0 而1=+i=1+-6d+r --r- =-小Ff-i7=-4+t =√2-1+ln1+√2) I1=)v2+In1+W2) 所以」 dVF+y-2+In1+ 13.利用极坐标计算下列各题： ()∬e矿dG,其中D是由圆周x2+y2=4围成的闭区域： 解D∬erdg-d0ed=xe-. 8
8 (1) 2 2 2 2 2 0 0 ( ) a ax x dx x y dy ; (2) 2 2 0 0 d d a x x x y y 。 解 (1) 依题 2 D x y x a y ax x ( , ) 0 2 ,0 2 ， 图 8-15 则由 2 y ax x 2 得 r a 2 cos ，故在极坐标系 下 ( , ) 0 ,0 2 cos 2 D r r a ， 原式= 2 cos 2 2 3 0 0 3 4 a d r rdr a 。 解（2） / 4 sec 2 2 2 0 0 0 0 d d d d a x a x x y y r r 3 3 / 4 / 4 3 2 0 0 sec d 1 tan dtan 3 3 a a 而 1 1 1 2 2 2 0 0 0 I t t t t t t 1 d 1 d 1 2 2 1 1 0 0 2 2 1 1 2 d 2 d 1 1 t t t t t t 1 1 1 2 2 0 0 0 2 1 2 1 d d 2 ln( 1 ) 1 t t t I t t t 2 ln(1 2) I 1 [ 2 ln(1 2)] 2 I 所以 3 2 2 0 0 d d [ 2 ln(1 2)] 6 a x a x x y y 13．利用极坐标计算下列各题： (1) 2 2 x y D e d ，其中 D 是由圆周 2 2 x y 4 围成的闭区域； 解（1） 2 2 2 2 2 4 0 0 d d d ( 1) x y r D e e r r e 。 图 8-15
2∬sin+ydo,其中D:元2≤x2+y2≤4π： )sinda="dof"rsinrdr ()∬arctand,其中D是由圆周+y广=4，r+y产=1及直线y=0,y=x所围成的 在第一象限内的闭区域： (4)厂(x2+y1o,其中D是位于两圆x2+y2=2x及2+y2=4x之间的闭区域. 解wc+yHG-%d0rdr=60r%cosa0- 45 (5)『xdd少，其中D为第一象限的扇形AOB,其中A的坐标为(4，O),B的坐标为 (2√2,22) 解(5)扇形AOB在极坐标下可用不等式 0≤r≤4,0≤0 Γ4 表示（图8-16），应用极坐标公式得 1=∬shd=a0jrcos6-rsin9-rt 图8-16 =j”cos8-sin8u0rt 14.选用适当的坐标计算下列各题： (1) 川do,其中D是由直线x=2,y=x及曲线 xy=1所围成的闭区域： 解(1)积分区域D如图8-17：积分区域 x=2 图8-17
9 (2) 2 2 sin D x y d ，其中 D ： 2 2 2 2 x y 4 ； 解 (2) 2 2 2 2 2 0 sin sin 6 D x y d d r rdr (3) arctan d D y x ，其中 D 是由圆周 2 2 2 2 x y x y 4, 1 及直线 y y x 0, 所围成的 在第一象限内的闭区域； 解（3） / 4 2 0 0 sin arctan d d arctan d cos D y r r r x r 2 / 4 2 / 4 2 2 2 2 2 0 1 0 1 1 1 1 1 3 d d (4 1) 2 2 2 4 2 64 r r r （4） 2 2 ( )d D x y ，其中 D 是位于两圆 2 2 x y x 2 及 2 2 x y x 4 之间的闭区域． 解（4） / 2 4cos / 2 3 4 / 2 2cos 2 2 / 2 ( )d 45 d d 60 cos d 2 D x y r r 。 （5） d d , D xy x y 其中 D 为第一象限的扇形 AOB ,其中 A 的坐标为 (4,0), B 的坐标为 (2 2,2 2). 解（5） 扇形 AOB 在极坐标下可用不等式 0 4,0 4 r 表示(图 8-16), 应用极坐标公式得 / 4 4 0 0 / 4 4 3 0 0 / 4 4 2 4 0 0 cos sin cos sin 1 1 sin 16. 2 4 D I xydxdy d r r rdr d r dr r 14．选用适当的坐标计算下列各题： （1） 2 2 D x d y ，其中 D 是由直线 x y x 2, 及曲线 xy 1 所围成的闭区域； 解（1）积分区域 D 如图 8-17：积分区域 B o A x y 图 8-16 图 8-17
D-a小ss2小因此 2)广G,其中D是由圆周+少=1及坐标轴所围成的在第一象限内的 闭区域： so小o-a- 百【a臣tos-ae -授m+F0=g行--g-2y 3》广V+7dG,其中D是圆环形闭区域：4≤+y广5公. 解3)F+产do-d0jrd-2号6-a (4)x+y)do,其中D={x,lr+y≤x+y 解(0∬+yrdo=d0rrt (cosim00 42287 15.设平面薄片所占的闭区域D由螺线r=20上一段江《0≤日≤子)与直线日=号所用 成，它的面密度为p(x,y)=x2+y2,求这个薄片的质量. gw-小e+yro-a"r-4oa0--r 16计算以xOy面上的圆周x2+y2=ax围成的闭区域为底，而以曲面z=x2+y2为顶的 曲顶柱体的体积。 10
10 1 D x y x y x ( , ) 1 2, x ，因此 2 2 2 1 2 2 1 9 4 x D x x x d dx dy y y 。 （2） 2 2 2 2 1 d 1 D x y x y ，其中 D 是由圆周 2 2 x y 1 及坐标轴所围成的在第一象限内的 闭区域； 解（2） 2 2 2 / 2 1 2 2 2 0 0 1 1 d d d ( 2) 1 1 8 D x y r r r x y r 而 2 2 / 2 1 / 2 1 / 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 1 d d d d d d 1 2 1 2 1 r r r r r r r r r r 1 1 2 0 0 1 (arcsin 1 ) ( 1) ( 2) 2 2 4 2 8 r r （3） 2 2 d D x y ，其中 D 是圆环形闭区域： 2 2 2 2 a x y b ． 解（3） 2 2 2 2 3 3 0 2 d d ( ) 3 d b a D x y r r b a （4） 2 2 ( ) , D x y d 其中 2 2 D x y x y x y ( , ) 。 解（4） 7 / 4 cos sin 2 2 3 / 4 0 ( ) d d D x y d r r 7 / 4 3 / 4 4 2 4 / 4 / 4 1 1 (cos sin ) d 2 cos ( / 4)d 4 4 2 / 4 / 2 / 2 2 4 4 / 2 0 1 2 2 3 1 3 2 cos d cos d 2 4 4 4 2 2 8 t t t t t 15．设平面薄片所占的闭区域 D 由螺线 r 2 上一段弧（ 0 2 ）与直线 2 所围 成，它的面密度为 2 2 ( , ) x y x y ，求这个薄片的质量． 解 5 / 2 2 / 2 2 2 3 4 5 5 0 0 0 4 1 ( ) d d 4 d 5 2 40 D M x y d r r 。 16 计算以 xOy 面上的圆周 2 2 x y ax 围成的闭区域为底，而以曲面 2 2 z x y 为顶的 曲顶柱体的体积．