第十章多元函数微分学 一、本章学习要求与内容提要 (一)学习要求 1.理解多元函数的概念，知道多元函数的极限的概念，理解多元 函数偏导数的概念 2.了解全微分的概念，知道全微分存在的必要条件和充分条件， 3.会求多元初等函数的一阶偏导数和二元函数的二阶偏导数 4.掌握复合函数求导法则，会求复合函数和隐函数的一阶偏导数， 5.会求曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程 6.了解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值. 7.了解多元函数条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极 值. 8.会解一些简单的多元函数的最大值与最小值应用题 重点二元函数的概念，偏导数的概念与计算，全微分的概念， 多元复合函数的求导公式与计算，隐函数的求导方法，曲线切线的方 向向量，曲面的切平面和法向量，曲线的切线和法平面方程及曲面的 切平面和法线方程，多元函数极值的必要条件和充分条件，条件极值 的概念与拉格朗日乘数法， 难点二元函数的极限与连续、偏导数存在与全微分之间关系， 多元复合函数的求导公式与计算，多元函数极值的充分条件，条件极 值的概念与拉格朗日乘数法
1 第十章 多元函数微分学 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1.理解多元函数的概念,知道多元函数的极限的概念,理解多元 函数偏导数的概念. 2.了解全微分的概念，知道全微分存在的必要条件和充分条件. 3.会求多元初等函数的一阶偏导数和二元函数的二阶偏导数. 4.掌握复合函数求导法则,会求复合函数和隐函数的一阶偏导数. 5.会求曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程. 6.了解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值. 7.了解多元函数条件极值的概念,会用拉格朗日乘数法求条件极 值. 8.会解一些简单的多元函数的最大值与最小值应用题. 重点 二元函数的概念，偏导数的概念与计算，全微分的概念， 多元复合函数的求导公式与计算，隐函数的求导方法，曲线切线的方 向向量,曲面的切平面和法向量,曲线的切线和法平面方程及曲面的 切平面和法线方程，多元函数极值的必要条件和充分条件，条件极值 的概念与拉格朗日乘数法. 难点 二元函数的极限与连续、偏导数存在与全微分之间关系， 多元复合函数的求导公式与计算，多元函数极值的充分条件，条件极 值的概念与拉格朗日乘数法
(二)内容提要 1.多元函数 ()二元函数设D是平面上的一个非空点集，如果有一个对应规 律∫，使每一个点(x,y)∈D都对应于惟一确定的值：，则称：为D上的 二元函数.记做：=f(x,y),其中x与y称为自变量，函数：也称为因变 量，D称为该函数的定义域 (2)点函数设2是一个点集，对任意的点P∈2，变量u按某一法 则总有惟一确定的值与之对应，则称u是2上的点函数，记作u=fP) 当2是x轴上的点集时，点函数u=fP)是一元函数；当2是xOy平 面上的点集时，点函数u=fP)是二元函数；当2是n维空间上的点集 时，点函数u=fP)是n元函数；当2是三维空间上的点集时，点函数 u=fP)是三元函数. 自变量多于一个的函数统称为多元函数 (3)二元函数的几何意义函数：=f(x,y)的几何图形一般在空间直 角坐标系中表示一张曲面，而其定义域D就是此曲面在xOy坐标面上 的投影 2.二元函数的极限与连续 (1)二元函数的极限
2 （二）内容提要 1.多元函数 ⑴二元函数 设D是平面上的一个非空点集，如果有一个对应规 律 f ，使每一个点(x, y) D 都对应于惟一确定的值 z ，则称z 为D上的 二元函数.记做 z f (x, y) ，其中 x与y称为自变量，函数 z 也称为因变 量，D称为该函数的定义域. ⑵点函数 设 是一个点集,对任意的点 P ,变量u 按某一法 则总有惟一确定的值与之对应,则称u 是 上的点函数,记作u f (P) . 当 是 x 轴上的点集时,点函数u f (P) 是一元函数;当 是 xOy 平 面上的点集时,点函数u f (P)是二元函数; 当 是n 维空间上的点集 时,点函数u f (P) 是 n 元函数; 当 是三维空间上的点集时,点函数 u f (P)是三元函数. 自变量多于一个的函数统称为多元函数. ⑶二元函数的几何意义 函数z f (x, y) 的几何图形一般在空间直 角坐标系中表示一张曲面，而其定义域D就是此曲面在 xOy 坐标面上 的投影. 2. 二元函数的极限与连续 ⑴二元函数的极限
设函数z=f(xy)在点P,(x。,)的某个邻域内有定义（在点P,(x,y)》 处可以无定义)，如果当点P(x,y)以任意方式趋向于点P(x,%)时，相 应的函数值f(x,y)无限接近于一个确定的常数A,则称当(x,)→ (0,o)时，函数fx,y)以A为极限，记作 limf(x,y)=A或f(x,y)→A(x→xo,y→o). x0 y→0 (2)二元函数的连续性 ①在一点连续的两个等价的定义 定义1设有二元函数z=fx,y),如果1imfx,)=fo,o),则称二 元函数：=fx,y)在点P(x,y)处连续。 定义2设△=f(x。+△x,y。+△y)-fxy)(称△为函数fx,y)的全 增量)，若im上=0，则称二元函数z=f(x,y)在点P,(x,)处连续. Ay-0 ②如果f(x,y)在区域D内的每一点都连续，则称fx,y)在区域D上 连续。 ③如果fx,y)在点P(xo,y)不连续，则称点P(xoo)是二元函数 :=f(x,y)的不连续点或间断点. 3.偏导数的定义 (I)在一点的偏导数设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某个领域内有 定义，固定自变量y=。,而自变量x在x处有改变量△x,如果极限 3
3 设函数 z f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 的某个邻域内有定义（在点 ( , ) 0 0 0 P x y 处可以无定义），如果当点P(x, y) 以任意方式趋向于点 ( , ) 0 0 0 P x y 时，相 应的函数值 f (x, y) 无限接近于一个确定的常数 A ，则称当 (x, y) ( , ) 0 0 x y 时，函数 f (x, y)以 A为极限，记作 lim ( , ) 0 0 f x y A y y x x 或 f (x, y) A ( , ) 0 0 x x y y . ⑵二元函数的连续性 1 在一点连续的两个等价的定义 定义 1 设有二元函数 z f (x, y) ,如果 lim ( , ) 0 0 f x y y y x x = ( , ) 0 0 f x y ,则称二 元函数 z f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 处连续. 定义 2 设 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 z f x x y y f x y (称z 为函数 f (x, y)的全 增量),若lim 0 0 0 z y x ,则称二元函数 z f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 处连续. ②如果 f (x, y)在区域D内的每一点都连续，则称 f (x, y)在区域D上 连续. ③如果 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 不连续，则称点 ( , ) 0 0 0 P x y 是二元函数 z f (x, y) 的不连续点或间断点. 3.偏导数的定义 ⑴在一点的偏导数 设函数 z f (x, y) 在点( , ) 0 0 x y 的某个领域内有 定义，固定自变量 0 y y ，而自变量 x 在 0 x 处有改变量x ，如果极限
一+心存在，则称此极限值为函数：=化)在点 △x (,)处关于x的偏导数，记作 8z af xx=x0 Z,(x00)或(x0%); xx=x0 y=Yo 类似地，函数z=fx,)在点(x,)处关于y的偏导数定义为 lim f(xo2yo+Ay)-f(xo2yo) A→0 △y 记作 af Zy(x0,%)或fy(x0,%)· 8yx=xo =xo y=Yo (2)偏导函数如果函数：=f(x,y)在区域D内每一点(x,)处，对x 的偏导数x,)都存在，则对于区域D内每一点(x,),都有一个偏导数 的值与之对应，这样就得到了一个新的二元函数，称为函数：=f(x,y) 关于变量x的偏导函数，记作 类似地，函数：=f(x,y)关于自变量y的偏导函数，记作 能影方政功 由偏导数的概念可知，函数z=f(x,y)在点(x,)处关于x的偏导 数f(,0)就是偏导函数fx,)在点(x,)的函数值，而f,(0,o)就是偏 导函数，(x,)在点(x,)处的函数值.以后，在不至于混淆的地方把偏 导函数简称为偏导数， 4.偏导数的求法
4 x f x x y f x y x ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 存在，则称此极限值为函数 z f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处关于 x 的偏导数，记作 , , z ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 x y f x y x f x z x x y y x x y y x x 或 ; 类似地，函数 z f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处关于 y 的偏导数定义为 y f x y y f x y y ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 , 记作 , , z ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 x y f x y y f y z y y y y x x y y x x 或 . ⑵偏导函数 如果函数 z f (x, y) 在区域D内每一点(x, y)处，对 x 的偏导数 f (x, y) x 都存在,则对于区域D内每一点(x, y)，都有一个偏导数 的值与之对应，这样就得到了一个新的二元函数，称为函数 z f (x, y) 关于变量 x的偏导函数，记作 x z ， , z , f f (x, y) x f x x 或 x . 类似地，函数 z f (x, y) 关于自变量 y 的偏导函数，记作 , , z , f f (x, y) y f y z y y 或 y . 由偏导数的概念可知，函数 z f (x, y) 在点( , ) 0 0 x y 处关于 x 的偏导 数 ( , ) 0 0 f x y x 就是偏导函数 f (x, y) x 在点( , ) 0 0 x y 的函数值，而 ( , ) 0 0 f x y y 就是偏 导函数 f (x, y) y 在点( , ) 0 0 x y 处的函数值.以后,在不至于混淆的地方把偏 导函数简称为偏导数. 4.偏导数的求法
从偏导数的定义可以看出，求：=f(x,y)的偏导数并不需要用新方 法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量被看作是固定的， 所以仍旧可用一元函数的微分法求上时，只要把y暂时看作常量而 8 x 对x求导数：求上时，只要把x暂时看作常量而对y求导数. 1v 5.高阶偏导数 (I)函数：=x,y)的偏导数的偏导数称为二阶偏导数.z=fx,y) 的四个二阶偏导数如下： 80z a2: a2=fa(x,川=w, 8 axl ax -=fm(x,y)=zx, OxOv a082z =fx(x,y)=Zx, ayay 02=m(x川=5w 二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 (2)混合偏导数与次序无关的定理 如果函数z=(x,y)的两个混合偏导数在点(x,y)连续，则在点(x,y) 处，有 022022 Oxdy oyox 6.复合函数求偏导数的公式 (1)复合函数求导法则 5
5 从偏导数的定义可以看出，求 z f (x, y) 的偏导数并不需要用新方 法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量被看作是固定的， 所以仍旧可用一元函数的微分法.求 x f 时，只要把 y 暂时看作常量而 对 x求导数；求 y f 时，只要把x 暂时看作常量而对 y 求导数. 5.高阶偏导数 ⑴函数 z f (x, y) 的偏导数的偏导数称为二阶偏导数. z f (x, y) 的四个二阶偏导数如下: xx xx f x y z x z x z x ( , ) 2 2 , xy xy f x y z x y z x z y ( , ) 2 , yx yx f x y z y x z y z x ( , ) 2 , yy yy f x y z y z y z y ( , ) 2 2 . 二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. ⑵混合偏导数与次序无关的定理 如果函数 z f (x, y) 的两个混合偏导数在点(x, y)连续，则在点(x, y) 处，有 y x z x y z 2 2 . 6.复合函数求偏导数的公式 ⑴复合函数求导法则
设函数u=x,yW,v=wx,)在点(x,y)处有偏导数，函数z-f(u,w)在相 应点(u,w)处有连续偏导数，则复合函数：=f(x,y),w(x,y)川在点(x,y)处 有偏导数，且 o=o=ou o=ov 8x ou 8x ou ox 8:_8=ou0=0v ay ou oy ou oy (2)全导数公式 设u=(x),D=v(x)在x处可导，z=f(u,D)处有连续偏导数，则复合函数 z=fu(x,w(x]在x处可导，且对x的全导数为 d止_ozdu.ozdw dx ou dx ov dx 7.全微分 (1)全微分 若二元函数z=fxy)在点(，)的全增量 △=f(x+△x,+△y)-f(x,)可表示为 △x=A△x+B△y+o(P), 其中A,B与△x,△y无关，只与x,y有关，p=V△x)2+(Ay2),则称二元函数 z=f(x,y)在点(xo,o)处可微，并称A△r+BAy是：=f(x,y)在点(xo,)处的 全微分，记作止，即 dz=A△x+B△y. 6
6 设函数u (x, y), (x, y)在点(x, y)处有偏导数，函数 z f (u,)在相 应点(u,)处有连续偏导数，则复合函数 z f (x, y), (x, y)在点(x, y)处 有偏导数，且 x z x u u z x z ,y z y u u z y z . (2)全导数公式 设u u(x), (x)在x处可导,z f (u,)处有连续偏导数，则复合函数 z f [u(x),(x)]在x处可导，且对 x的全导数为 x z x u u z x z d d d d d d . 7.全微分 ⑴全微分 若 二 元 函 数 z f (x, y) 在 点 ( , ) 0 0 x y 的 全 增 量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 z f x x y y f x y 可表示为 z Ax By o()， 其中 A, B与x,y 无关，只与 x, y 有关， ( ) ( ) 2 2 x y ,则称二元函数 z f (x, y) 在点( , ) 0 0 x y 处可微，并称Ax By是 z f (x, y) 在点( , ) 0 0 x y 处的 全微分,记作dz,即 dz Ax By
若二元函数：=f(x,)在点(xo,)处可微，则函数三=f(x,y)在点 (xoyo)处一定连续 (2)可微的必要条件 若函数z=fx,y)在点(xo,)可微，则函数：=f(x,y)在点(xo,)处的 两个偏导数存在，且A=(x0,%),B=2,(xo0) 二元函数：=f(x,y)在点(x,y)处的全微分可以写成如下形式： d==0dx+ 三dy· 8x y (3)可微的充分条件 若函数：=fx,)的偏导数三，三在点，处连续，则函数 0x'ov z=fx,y)在点(xoy)处可微 8.隐函数的微分法 若由方程F(x,八，z)=0确定了：是x,y的函数，则称这种由方程所确定 的函数称为隐函数， 1
7 若二元函数 z f (x, y) 在点( , ) 0 0 x y 处可微，则函数 z f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处一定连续. ⑵ 可微的必要条件 若函数z f (x, y) 在点( , ) 0 0 x y 可微，则函数z f (x, y) 在点( , ) 0 0 x y 处的 两个偏导数存在，且 ( , ) 0 0 A z x y x , ( , ) 0 0 B z x y y . 二元函数z f (x, y) 在点(x, y)处的全微分可以写成如下形式： y y z x x z dz d d . ⑶可微的充分条件 若函数 z f (x, y) 的偏导数 y z x z , 在点 0 0 x , y 处连续，则函数 z f (x, y) 在点( , ) 0 0 x y 处可微. 8.隐函数的微分法 若由方程F(x, y,z) 0确定了z 是x, y 的函数，则称这种由方程所确定 的函数称为隐函数
(1)一元隐函数的求导公式 设方程F(x,y)=0确定了y是x的函数y=(x),且F,(x,y),F,(x,y)连续 及F,k妙≠0，则业=-吾 dx F. (2)二元隐函数的求导公式 设方程F(x,y,)=0确定了：是x,y的函数z=(x,y),且 F(xy,),F,(x,y,),F(x,y,)连续及F(x,y,)≠0，则 6x F. ’ayF 一般地，求由方程确定的隐函数的偏导数，对方程两边同时求偏 导更为方便. 9.曲线的切向量和曲面的切平面的法向量 (1)空间曲线的切线的切向量 设空间曲线C的参数方程为
8 ⑴一元隐函数的求导公式 设方程 F(x, y) 0 确定了 y 是 x 的函数 y y(x), F (x, y),F (x, y) 且 x y 连续 及F (x, y) 0, y 则 y x F F x y d d . ⑵二元隐函数的求导公式 设 方 程 F(x, y,z) 0 确 定 了 z 是 x, y 的 函 数 z z(x, y) ， 且 F (x, y,z), x F (x, y,z) y ，F (x, y,z) z 连续及F (x, y,z) 0 z ，则 zx F F x z , zy F F y z , 一般地,求由方程确定的隐函数的偏导数,对方程两边同时求偏 导更为方便. 9. 曲线的切向量和曲面的切平面的法向量 ⑴空间曲线的切线的切向量 设空间曲线C 的参数方程为
x=x(t), y=y), (≤t≤B) 2=2(1), 当t=t,时，曲线C上的对应点为M。(x,),并假定函数 x=x),y=),:=0可导，且x'(),y'。),z)不同时为零，则曲线C 在点M。处的切向量（即切线的方向向量）为T={x(6),y(o),z'()}. (2)曲面的切平面的法向量 设曲面∑的方程F(x,y,)=0,Mo(xo,0o)为∑上的一点，F,F,F: 在点M。处连续，且不同时为零，则该曲面在点M。处的切平面的法向 量为 n={F(0020,F,(x0,20),F.(x00,0)}, 若曲面方程由显函数：=fx,)给出，移项可得f(x,y)-:=0,即 为F(x,y,)=0形式. 10.二元函数的极值与驻点 (1)极值与驻点 9
9 ( ) , ( ) , ( ) , z z t y y t x x t ( t ) 当 0 t t 时 ， 曲 线 C 上 的 对 应 点 为 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z ， 并 假 定 函 数 x x(t), y y(t),z z(t)可导，且 ( ) 0 x t , ( ) 0 y t , ( ) 0 z t 不同时为零,则曲线C 在点M 0处的切向量(即切线的方向向量)为T x(t0 ), y(t0 ),z(t0 ). ⑵曲面的切平面的法向量 设曲面∑ 的方程F(x, y,z) 0, ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 为∑上的一点，F x F y F z , , 在点M 0处连续,且不同时为零,则该曲面在点 M 0处的切平面的法向 量为 n Fx (x0 , y0 ,z0 ),Fy (x0 , y0 ,z0 ),Fz (x0 , y0 ,z0 ), 若曲面方程由显函数 z f (x, y) 给出，移项可得 f (x, y) z 0 ， 即 为F(x, y,z) 0 形式. 10. 二元函数的极值与驻点 ⑴ 极值与驻点
①极值设函数z=f(x,y)在点P,(xo,)的某个邻域内有定义，如果 对在此邻域内除点P(o,o)外的任意点P(x,y),均有f(x,y)f(x,)),则称点R(oo)为函数：=fx,)的极大值点 (或极小值点)·f(x,)称为极大值（或极小值），极大值点和极小 值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值： ②驻点使(x,)=0,,(x,y)=0同时成立的点(x,y)称为函数 2=f(x,y)的驻点. (2)极值存在的必要条件 设函数：=f(x,y)在点P(x,o)的某个邻域内有定义，且存在一阶 偏导数，如果P(x,%)是极值点，则必有∫(x%)=0,,(x6)=0. 注意可导函数的极值点必定为驻点，但是函数z=f(x,y)的驻点 却不一定是极值点 (3)极值存在的充分条件 设函数z=f(x,y)在点B(x0,)的某个邻域内具有二阶连续偏导数， 且B(6)是驻点.设A=(x06),B=f(06),C=n(xoo),则 ①当B2-AC0时，点P(x%)是极小值点： ②当B2-AC>0时，点B,(x,)不是极值点： o
10 ①极值 设函数 z f (x, y)在点 ( , ) 0 0 0 P x y 的某个邻域内有定义，如果 对在此邻域内除点 ( , ) 0 0 0 P x y 外的任意点 P(x, y) ，均有 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y （或 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ），则称点 ( , ) 0 0 0 P x y 为函数 z f (x, y) 的极大值点 （或极小值点）. ( , ) 0 0 f x y 称为极大值（或极小值），极大值点和极小 值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. ②驻点 使 f (x, y) 0, f (x, y) 0 x y 同时成立的点 (x, y) 称为函数 z f (x, y)的驻点. ⑵ 极值存在的必要条件 设函数 z f (x, y)在点 ( , ) 0 0 0 P x y 的某个邻域内有定义，且存在一阶 偏导数，如果 ( , ) 0 0 0 P x y 是极值点，则必有 ( , ) 0, ( , ) 0 f x x0 y0 f y x0 y0 . 注意 可导函数的极值点必定为驻点，但是函数 z f (x, y)的驻点 却不一定是极值点. ⑶极值存在的充分条件 设函数 z f (x, y)在点 ( , ) 0 0 0 P x y 的某个邻域内具有二阶连续偏导数， 且 ( , ) 0 0 0 P x y 是驻点.设 ( , ) 0 0 A f x y xx ， ( , ) 0 0 B f x y xy , ( , ) 0 0 C f x y yy ，则 ①当 0 2 B AC 时，点 ( , ) 0 0 0 P x y 是极值点，且当 A 0时，点 ( , ) 0 0 0 P x y 是极大值点；当 A 0时，点 ( , ) 0 0 0 P x y 是极小值点； ②当 0 2 B AC 时，点 ( , ) 0 0 0 P x y 不是极值点；