第四章 微分学的应用 一、本章学习要求与内容提要 (一)学习要求 1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理， 2.会用洛必达法则求未定式的极限. 3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法 4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会 解简单一元函数的最大值与最小值的应用题. 5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的 图形. 重点用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调 性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元 函数的最大值与最小值的应用题
1 第四章 微分学的应用 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理. 2.会用洛必达法则求未定式的极限. 3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法. 4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会 解简单一元函数的最大值与最小值的应用题. 5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的 图形.重点 用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调 性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元 函数的最大值与最小值的应用题
(二)内容提要 1.三个微分中值定理 (I)罗尔(Rol1e)定理 如果函数y=(x)满足下列三个条件： ①在闭区间[a,b1上连续； ②在开区间(a,b)内可导； ③f(a)=f(b), 则至少存在一点5∈(a,b),使"(5)=0. (2)拉格朗日(Lagrange)中值定理 如果函数y=f(x)满足下列两个条件： ①在闭区间[a,b]上连续； ②在开区间(a,b)内可导， 则至少存在一点5e(a,b)， 使得f)=b)-f@,或 b-a f(b)-f(a=f'(5)b-a). (3)柯西(Cauchy)中值定理 如果函数f(x)与g(x)满足下列两个条件： ①在闭区间[a,b1上连续； ②在开区间(a,b)内可导，且g'(x)≠0，x∈(a,b), 则在(a,b)内至少存在一点5，使得 fb)-f(a-f'(⑤2 g(b)-g(ag'(5) 2.洛必达法则
2 （二）内容提要 1. 三个微分中值定理 ⑴ 罗尔（Rolle）定理 如果函数 y f (x)满足下列三个条件： ①在闭区间[a,b]上连续; ②在开区间(a,b)内可导; ③ f (a) f (b) , 则至少存在一点 (a,b),使 f ( ) 0 . ⑵ 拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 y f (x)满足下列两个条件： ①在闭区间[a,b]上连续； ②在开区间(a,b)内可导, 则 至 少 存 在 一 点 (a,b) ， 使 得 , ( ) ( ) ( ) b a f b f a f 或 f (b) f (a) f ( )(b a) . ⑶ 柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x)与g(x)满足下列两个条件： ①在闭区间[a,b]上连续； ②在开区间(a,b)内可导，且 g(x) 0, x (a,b) , 则在(a,b)内至少存在一点 ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g f g b g a f b f a . 2.洛必达法则
如果 1lim f(x)=0,lim g(x)=0 ②函数f(x)与g(x)在x某个邻域内（点x,可除外)可导，且 g'(x)≠0； ③ 1im田=AA为有限数，也可为n,+o或-o),则 →xg'(x) lim)=limf(x)=4. x→08(x)→0g'(x) 注意上述定理对于x→∞时的9型未定式同样适用，对于x→ 或x→∞时的”型未定式也有相应的法则. 00 3.函数的单调性定理 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则有 ①若在(a,b)内f'(x)>0,则函数fx)在[a,b]上单调增加； ②若在(a,b)内f"(x)f(x),则称 f(x)是函数f(x)的极小值. 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点 x称为函数f(x)的极值点
3 如果 ① lim ( ) 0, 0 f x x x lim ( ) 0 0 g x x x ; ② 函数 f (x) 与 g(x) 在 0 x 某个邻域内（点 0 x 可除外）可导，且 g(x) 0； ③ ( , , ) ( ) ( ) lim 0 A A为有限数 也可为 或 g x f x x x ,则 A g x f x g x f x x x x x ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 . 注意 上述定理对于 x 时的 0 0 型未定式同样适用,对于 0 x x 或x 时的 型未定式也有相应的法则. 3. 函数的单调性定理 设函数 f (x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则有 ①若在(a,b)内 f (x) 0，则函数 f (x)在[a,b]上单调增加； ②若在(a,b)内 f (x) 0，则函数 f (x)在[a,b]上单调减少. 4 . 函数的极值、极值点与驻点 ⑴ 极值的定义 设函数 f (x)在点 0 x 的某邻域内有定义，如果对于 该邻域内任一点 ( ) 0 x x x ，都有 ( ) ( ) 0 f x f x ，则称 ( ) 0 f x 是函数 f (x) 的 极大值；如果对于该邻域内任一点 ( ) 0 x x x ，都有 ( ) ( ) 0 f x f x ，则称 ( ) 0 f x 是函数 f (x)的极小值. 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点 0 x 称为函数 f (x)的极值点
(2)驻点使f"(x)=0的点x称为函数f(x)的驻点， (3)极值的必要条件设函数f(x)在x处可导，且在点，处取得极 值，那么f"(x)=0. (4)极值第一充分条件 设函数f(x)在点x连续，在点x的某一去心邻域内的任一点x处可 导，当x在该邻域内由小增大经过x时，如果 ①f"(x)由正变负，那么x,是f(x)的极大值点，f(x)是fx)的极大 值； ②f"(x)由负变正，那么x,是f(x)的极小值点，f(x)是f(x)的极小 值： ③f'(x)不改变符号，那么x。不是f(x)的极值点 (⑤)极值的第二充分条件 设函数f(x)在点x处有二阶导数，且∫"(x)=0,∫"x)≠0，则x。是 函数f(x)的极值点，f(x)为函数fx)的极值，且有 ①如果∫”(x)0,则f(x)在点x处取得极小值. 5.函数的最大值与最小值 在闭区间上连续函数一定存在着最大值和最小值.连续函数在闭 区间上的最大值和最小值只可能在区间内的驻点、不可导点或闭区间 的端点处取得
4 ⑵ 驻点 使 f (x) 0的点x称为函数 f (x)的驻点. ⑶ 极值的必要条件 设函数 f (x)在 0 x 处可导，且在点 0 x 处取得极 值，那么 ( ) 0 f x0 . ⑷ 极值第一充分条件 设函数 f (x)在点 0 x 连续，在点 0 x 的某一去心邻域内的任一点 x 处可 导,当x 在该邻域内由小增大经过 0 x 时，如果 ① f (x)由正变负，那么 0 x 是 f (x)的极大值点， ( ) 0 f x 是 f (x)的极大 值； ② f (x)由负变正，那么 0 x 是 f (x)的极小值点， ( ) 0 f x 是 f (x)的极小 值； ③ f (x)不改变符号，那么 0 x 不是 f (x)的极值点. ⑸ 极值的第二充分条件 设函数 f (x)在点 0 x 处有二阶导数，且 0 f x0 ， 0 f x0 ，则 0 x 是 函数 f (x)的极值点， ( ) 0 f x 为函数 f (x)的极值，且有 ①如果 ( ) 0 f x0 ，则 f (x)在点 0 x 处取得极大值； ②如果 ( ) 0 f x0 ，则 f (x)在点 0 x 处取得极小值. 5.函数的最大值与最小值 在闭区间上连续函数一定存在着最大值和最小值.连续函数在闭 区间上的最大值和最小值只可能在区间内的驻点、不可导点或闭区间 的端点处取得
6.函数图形的凹、凸与拐点 (I)曲线凹向定义若在区间(a,b)内曲线y=f(x)各点的切线都位 于该曲线的下方，则称此曲线在(a,b)内是向上凹的（简称上凹，或称 下凸)：若曲线y=f(x)各点的切线都位于曲线的上方，则称此曲线在 (a,b)内是向下凹的（简称下凹，或称上凸）. (2)曲线凹向判定定理设函数在区间(a,b)内具有二阶导数， ①如果在区间(a,b)内f"x)>0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是上凹的. ②如果在区间(a,b)内∫"(x)<0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是下凹 的 (3)拐点若连续曲线y=f(x)上的点Px,%)是曲线凹、凸部分的分 界点，则称点P是曲线y=f(x)的拐点. 7.曲线的渐近线 (I)水平渐近线若当x→o(或x→+0或x→-0)时，有fx)→b(b 为常数)，则称曲线y=)有水平渐近线y=b. (2)垂直渐近线若当x→a(或x→a或x→a)(a为常数)时，有 f(x)→o,则称曲线y=f(x)有垂直渐近线x=a. 3)斜渐近线若函数y=f)满足a=m，b=imf)-a网（其 中自变量的变化过程x→0可同时换成x→+0或x→-o),则称曲线 y=f(x)有斜渐近线y=ar+b
5 6. 函数图形的凹、凸与拐点 ⑴曲线凹向定义 若在区间(a,b)内曲线 y f (x) 各点的切线都位 于该曲线的下方，则称此曲线在(a,b)内是向上凹的（简称上凹，或称 下凸）；若曲线 y f (x)各点的切线都位于曲线的上方，则称此曲线在 (a,b)内是向下凹的（简称下凹，或称上凸）. ⑵曲线凹向判定定理 设函数在区间(a,b)内具有二阶导数， ① 如果在区间(a,b)内 f (x) 0 ，则曲线 y f (x)在(a,b)内是上凹的. ② 如果在区间(a,b)内 f (x) 0 ，则曲线 y f (x) 在(a,b)内是下凹 的.⑶拐点 若连续曲线 y f (x)上的点 ( , ) 0 0 P x y 是曲线凹、凸部分的分 界点，则称点P 是曲线 y f (x)的拐点. 7. 曲线的渐近线 ⑴水平渐近线 若当 x (或 x 或 x )时，有 f (x) b（b 为常数），则称曲线 y f (x) 有水平渐近线 y b . ⑵垂直渐近线 若当 x a (或 x a 或 x a )（a为常数）时，有 f (x) ，则称曲线 y f (x) 有垂直渐近线 x a . ⑶斜渐近线 若函数 y f (x) 满足 x f x a x ( ) lim ， b lim[ f (x) ax] x (其 中自变量的变化过程 x 可同时换成 x 或 x )，则称曲线 y f (x) 有斜渐近线 y ax b
二、主要解题方法 1·用洛必达法则求未定式的极限的方法 例1求下列极限 (1)lim xcotx-1 (2)lim cosxIn(x-3) (3)lim2-ln+x划 x-0 In(e*-e3) (4)lim(x.Inx) (5) 1+coSx lim- 01 解(1)由于x→0时，xotx=x→1，故原极限为型，用洛 tanx 0 必达法则 所以 limcot1lim xcosx-sinx x2 x-0 x2 sinx limcosx-sinx (分母等价无穷小代换) x→0 x3 lim Cosx-xsinx-cosx x一0 3x2 sinx -1 -lim- 30x31 (2) 此极限为”，可直接应用洛必达法则 cosxIn(x-3) 所以inle-e) =1 im cosx·li In(x-3) T→3 In(e*-e3) 1 cos3.lim- .lim ee 3e→3x-3 eco3.lim e=cos3. 1 →3 (3)所求极限为0-∞型，不能直接用洛必达法则，通分后可 1、1 变成或二型 lim上_inl+x】=limX-n0+=lim2x2 回204分 6
6 二 、主要解题方法 1 . 用洛必达法则求未定式的极限的方法 例 1 求下列极限 （1） 2 0 cot 1 lim x x x x （2） ln(e e ) cos ln( 3) lim 3 3 x x x x （3） ln(1 )] 1 1 lim[ 2 0 x x x x （4） lim( ln ) 0 x x n x （5） x x x 1 cos lim 解 （1）由于 x 0时， 1 tan cot x x x x ，故原极限为 0 0 型，用洛 必达法则 所以 x x x x x x x x x x sin cos sin lim cot 1 lim 2 0 2 0 3 0 cos sin lim x x x x x （分母等价无穷小代换） 2 0 cos sin cos limx 3 x x x x x 0 1 sin lim 3 x x x 31 . （2） 此极限为 ，可直接应用洛必达法则 所以 ln(e e ) cos ln( 3) lim 3 3 x x x x = ln(e e ) ln( 3) lim cos lim 3 3 3 x x x x x 3 e e lim e 1 cos3 lim 3 3 3 x x x x x x x cos3 lim e e 1 3 3 cos 3 . （3） 所求极限为 型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可 变成 0 0 或 型. ln(1 )] 1 1 lim[ 2 0 x x x x x x x x x x x 2 1 1 1 lim ln(1 ) lim 0 2 0 2 1 2(1 ) 1 lim 2 (1 ) 1 1 lim 0 0 x x x x x x
(4)所求极限为0o型，得 limInx=lim Inx 0*1 (”型) 1 4 lim-x -=-lim 、2x 1 1 -=-n limx=0. x0* x→0* x→0 n n (5)此极限为”型，用洛必达法则，得 00 lim x+cosx lim 1-sinx不存在， x→+0 x-+4o1 1 1+cosx 但 x+COSx lim- ,1—=1+1 imcosx=1+0=1. limx 小结使用洛必达法则时，应注意以下几点： (1)洛必达法则可以连续使用，但每次使用法则前，必须检验 是否属于0或”未定型，若不是未定型，就不能使用法则： 0 (2)如果有可约因子，或有非零极限的乘积因子，则可先约去 或提出，以简化演算步骤； (3)当1im因不存在时，并不能断定imf因也不存在，此时 g'(x) 8(x) 应使用其他方法求极限， 2·单调性的判别与极限的求法 例2试证当x≠1时，e>ex. 证 令fx)=e-x，易见f(x)在(-o,+o)内连续，且 fI)=0f'(x)=e-e. 当x<1时，∫'(x)=e-e<0可知f(x)为(-o,]上的严格单调减少函 1
7 （4）所求极限为0 型，得 n x n x x x x x 1 0 0 ln lim ln lim （ 型） = 1 1 0 1 1 lim n x x n x = 0. 1 lim lim 0 1 1 0 n n x x nx x n x （5）此极限为 型，用洛必达法则，得 1 1 sin lim cos lim x x x x x x 不存在， 但 cos 1 0 1 1 1 lim 1 cos 1 1 lim cos lim x x x x x x x x x x . 小结 使用洛必达法则时，应注意以下几点： （1）洛必达法则可以连续使用，但每次使用法则前，必须检验 是否属于 0 0 或 未定型，若不是未定型，就不能使用法则； （2）如果有可约因子，或有非零极限的乘积因子，则可先约去 或提出，以简化演算步骤； （3）当 ( ) ( ) lim g x f x 不存在时，并不能断定 ( ) ( ) lim g x f x 也不存在，此时 应使用其他方法求极限. 2 . 单调性的判别与极限的求法 例 2 试证当 x 1时， x x e e . 证 令 f x x x ( ) e e ， 易 见 f (x) 在 (,) 内 连 续 ， 且 f (1) 0 ( ) e e x f x . 当 x 1时， ( ) e e x f x 0可知 f (x) 为(,1] 上的严格单调减少函
数，即 f(x)>fI)=0 当x>1时，∫'(x)=e-e>0,可知fx)为l,+o)上的严格单调增加 函数， 即f(x)>f①=0. 故对任意x≠l,有f(x)>0,即e-er>0.er>ex. 例3求函数y-号-×的单调性与极值， 解 函数的定义域为(-0，+o). y'=x3-3x2=x2(x-3), 令y=0,驻点x1=0,x2=3 列表 (-0,0) 0 (0,3) 3 (3,+∞) 0 0 极小 由上表知，单调减区间为(-∞，3)，单调增区间为(3，+∞)，极小值 3)=-27 4 求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中 y”=3x2-6x,y1=0不能确定x=0处是否取极值， 1=9>0,得)=-2是极小值. 小结用单调性来证明不等式，其方法是将不等式两边的解析式 移到不等式的一边，再令此不等式的左边为函数f(x);利用导数判定
8 数，即 f (x) f (1) 0. 当 x 1时， ( ) e e x f x 0，可知 f (x) 为[1,)上的严格单调增加 函数， 即 f (x) f (1) 0 . 故对任意 x 1,有 f (x) 0,即 e ex 0. x x x e e . 例 3 求函数 3 4 4 x x y 的单调性与极值. 解 函数的定义域为(,) . 3 ( 3) 3 2 2 y x x x x ， 令 y 0,驻点 0, 3 x1 x2 列表 x (,0) 0 (0,3) 3 (3,) y 0 0 + y 极小 由上表知，单调减区间为(,3) ，单调增区间为(3,) ，极小值 4 27 y(3) 求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中 3 6 , 0 0 2 x y x x y 不能确定 x 0处是否取极值， 9 0, 3 x y 得 4 27 y(3) 是极小值. 小结 用单调性来证明不等式，其方法是将不等式两边的解析式 移到不等式的一边，再令此不等式的左边为函数 f (x)；利用导数判定
f(x)的单调性；最后利用已知条件与单调性，得到不等式。由例3知， 用二阶导数讨论函数在某点的极值不需列表也很方便，但它的使用范 围有限，对∫"(x)=0、f'(x)及∫"(x)同时不存在的点不能使用. 3.求函数的凹向及拐点的方法 例4求函数y=ln(1+x2)的凹向及拐点. 解函数的定义域(-o,+), y'= 2x 1+r2 y=21+x)-2x2x=201-x2 (1+x2)2 (1+x2)2 令y"=0,得y=1, 列表 (-1, (-0,-1) -1 1 (L,+0) 1) 0 0 拐点 拐点 ∩ 由此可知，上凹区间(-1,1)，下凹区间(-0，-1)UL,+∞)，曲线的拐点 是（±1，ln2) 小结求函数的凹向与拐点只需用拐点的定义及凹向的判别定 理即可，注意拐点也可在使y”不存在的点取得. 9
9 f (x)的单调性；最后利用已知条件与单调性，得到不等式。由例 3 知， 用二阶导数讨论函数在某点的极值不需列表也很方便，但它的使用范 围有限，对 f (x) 0、 f (x)及 f (x)同时不存在的点不能使用. 3. 求函数的凹向及拐点的方法 例 4 求函数 ln(1 ) 2 y x 的凹向及拐点. 解 函数的定义域 (,)， , 1 2 2 x x y 2 2 2 2 2 2 (1 ) 2(1 ) (1 ) 2(1 ) 2 2 x x x x x x y ， 令 y 0, 得 y 1， 列表 由此可知，上凹区间(1,1) ,下凹区间(,1) (1,) ，曲线的拐点 是(1,ln 2) . 小结 求函数的凹向与拐点只需用拐点的定义及凹向的判别定 理即可，注意拐点也可在使 y不存在的点取得. x (,1) 1 ( 1, 1) 1 (1,) y 0 + 0 y 拐点 拐点
4.求函数的最大值与最小值的方法 例5求函数y=(2x-5)x3在区间[-1,2]上的最大值与最小值. 解函数在-1,21上连续，由于y=10(x-), 3r3 令y=0,则x=1,y在x=0处不存在.故 ymax max{f(-1),f(2),f(0),f(1) =max{-7,-23,0,-3}=0, ymm=min{-7,-23,0,-3}=-7. 小结函数的最大（小）值是整个区间上的最大（小）值，求最 大（小）值的一般步骤为(1)求出fx)在(a,b)内的所有驻点及不可 导点；(2)求出函数在驻点、不可导点、区间端点处的函数值；(3) 比较这些值的大小，其中最大者即为函数的最大值，最小者即为函数 的最小值. 5.求曲线渐近线的的方法 例6求下列曲线的渐近线 (1)y=1nx (2)y=2-2x+2 x-1 解(1)所给函数的定义域为(0，+o). 1 由于mxm nInx=lim=0, 可知 y=0为所给曲线y=血x的水平渐近线. 由于lim >0x o
10 4. 求函数的最大值与最小值的方法 例 5 求函数 3 2 y (2x 5)x 在区间[1,2]上的最大值与最小值 . 解 函数在[1,2]上连续， 由于 3 1 3 10( 1) x x y ， 令 y 0， 则 x 1 ， y在 x 0处不存在. 故 max{ ( 1), (2), (0), (1)} max y f f f f max{ 7, 2 ,0, 3} 0, 3 2 min{ 7, 2 ,0, 3} 7 3 2 ymin . 小结 函数的最大（小）值是整个区间上的最大（小）值，求最 大（小）值的一般步骤为（1）求出 f (x) 在(a,b)内的所有驻点及不可 导点；（2）求出函数在驻点、不可导点、区间端点处的函数值；（3） 比较这些值的大小，其中最大者即为函数的最大值，最小者即为函数 的最小值. 5 . 求曲线渐近线的的方法. 例 6 求下列曲线的渐近线 （1） x x y ln （2） 1 2 2 2 x x x y . 解 （1）所给函数的定义域为(0,) . 由于 0 1 1 lim ln lim x x x x x ， 可知 y 0为 所给曲线 x x y ln 的水平渐近线. 由于 x x x ln lim 0