1.利用洛必达法则求极限 小结使用洛必达法则时，应注意以下几点： (1)洛必达法则可以连续使用，但每次使用法则前，必须检验 是否属于8或二未定型，若不是未定型，就不能使用法则： (2)如果有可约因子，或有非零极限的乘积因子，则可先约去 或提出，以简化演算步骤； 例1求下列极限 (1)lim xcotx-1 (2)lim cosxIn(x-3) x-0 x2 x→3* In(e*-e3) 1-11n1+x刃 (3)1im二- x0xx2 (4)lim(/x.Inx) (5)1im 1+cosx 30 T)+0 解(1)由于x→0时，xcotx=x→l,故原极限为型，用洛 tanx 0 必达法则 所以 xcotx-1 xcosx-sinx 3 lim x→0 x2 sinx =lim cosx-sinx (分母等价无穷小代换) x3 lim cosx-xsin x-cosx x-0 3x =-lim sinx=-1 30x (2) 此极限为”，可直接应用洛必达法则 所以lim cosxIn(r-3) In(x-3) x→3ln(er-e3) lim cosx.lim x3 3*In(e*-e3) 1 =cos3:g。 ex-e3 →3x-3 =e·cos3.lime=cos3. 1 x3 (3)所求极限为∞-∞型，不能直接用洛必达法则测，通分后可
1. 利用洛必达法则求极限 小结 使用洛必达法则时，应注意以下几点： （1）洛必达法则可以连续使用，但每次使用法则前，必须检验 是否属于 0 0 或 未定型，若不是未定型，就不能使用法则； （2）如果有可约因子，或有非零极限的乘积因子，则可先约去 或提出，以简化演算步骤； 例 1 求下列极限 （1） 2 0 cot 1 lim x x x x （2） ln(e e ) cos ln( 3) lim 3 3 x x x x （3） ln(1 )] 1 1 lim[ 2 0 x x x x （4） lim( ln ) 0 x x n x （5） x x x 1 cos lim 解 （1）由于x 0时， 1 tan cot x x x x ，故原极限为 0 0 型，用洛 必达法则 所以 x x x x x x x x x x sin cos sin lim cot 1 lim 2 0 2 0 3 0 cos sin lim x x x x x （分母等价无穷小代换） 2 0 cos sin cos limx 3 x x x x x 0 1 sin lim 3 x x x 31 . （2） 此极限为 ，可直接应用洛必达法则 所以 ln(e e ) cos ln( 3) lim 3 3 x x x x = ln(e e ) ln( 3) lim cos lim 3 3 3 x x x x x 3 e e lim e 1 cos3 lim 3 3 3 x x x x x x x cos3 lim e e 1 3 3 cos 3 . （3） 所求极限为 型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可
1、1 变成。或”型. 00 回a圳=®一0-回 x2 -惯0+方 11 (4)所求极限为00型，得 m-nx=月 Inx (”型) x-0 12 =-limr” 1 lim- 0*110X0、 x-→0*n n (5)此极限为”型，用洛必达法则，得 00 lim x+cosx lim m1-sinx不存在， 1 1+-cosx 1 但1im +cosx-lim+lim cosx=1+0-1. T一→+0 X++0 1 x++02X (3)当imx不存在时，并不能断定1imfg也不存在，此时 g'(x) 8(x) 应使用其他方法求极限， 2.利用导数判断函数的单调性 小结用单调性来证明不等式，其方法是将不等式两边的解析式 移到不等式的一边，再令此不等式的左边为函数(x);利用导数判定 f(x)的单调性；最后利用已知条件与单调性，得到不等式。由例3知， 用二阶导数讨论函数在某点的极值不需列表也很方便，但它的使用范 围有限，对∫"(x)=0、f"(x)及f"(x)同时不存在的点不能使用. 例2试证当x≠1时，ex>ex
变成 0 0 或 型. ln(1 )] 1 1 lim[ 2 0 x x x x x x x x x x x 2 1 1 1 lim ln(1 ) lim 0 2 0 2 1 2(1 ) 1 lim 2 (1 ) 1 1 lim 0 0 x x x x x x . （4）所求极限为0 型，得 n x n x x x x x 1 0 0 ln lim ln lim （ 型） = 1 1 0 1 1 lim n x x n x = 0. 1 lim lim 0 1 1 0 n n x x nx x n x （5）此极限为 型，用洛必达法则，得 1 1 sin lim cos lim x x x x x x 不存在， 但 cos 1 0 1 1 1 lim 1 cos 1 1 lim cos lim x x x x x x x x x x . （3）当 ( ) ( ) lim g x f x 不存在时，并不能断定 ( ) ( ) lim g x f x 也不存在，此时 应使用其他方法求极限. 2. 利用导数判断函数的单调性 小结 用单调性来证明不等式，其方法是将不等式两边的解析式 移到不等式的一边，再令此不等式的左边为函数 f (x)；利用导数判定 f (x)的单调性；最后利用已知条件与单调性，得到不等式。由例 3 知， 用二阶导数讨论函数在某点的极值不需列表也很方便，但它的使用范 围有限，对 f (x) 0、 f (x)及 f (x)同时不存在的点不能使用. 例 2 试证当 x 1时， x x e e
证 令f(x)=e-x,易见f(x)在(-o,+o)内连续，且 f(1)=0 f'(x)=e*-e. 当xfI)=0. 当x>1时，f'(x)=e-e>0,可知f(x)为[l,+o)上的严格单调增加 函数， 即f(x)>f)=0. 故对任意x≠1，有f(x)>0,即 e*-ex>0. e>ex. 例3求函数y=-x的单调性与极值， 4 解 函数的定义域为(-o,+o). y=x3-3x2=x2(x-3), 令y=0,驻点x1=0,x2=3 列表 (-0,0) 0 (0,3) 3 (3,+0) 0 0 极小 由上表知，单调减区间为(-0,3)，单调增区间为(3，+∞)，极小值 3)=-27 求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中 y”=3x2-6x,y1。=0不能确定x=0处是否取极值
证 令 f x x x ( ) e e ， 易 见 f (x) 在 (,) 内 连 续 ， 且 f (1) 0 ( ) e e x f x . 当 x 1时， ( ) e e x f x 0可知 f (x) 为(,1]上的严格单调减少函数， 即 f (x) f (1) 0. 当 x 1时， ( ) e e x f x 0，可知 f (x) 为[1,)上的严格单调增加 函数， 即 f (x) f (1) 0 . 故对任意 x 1,有 f (x) 0,即 e ex 0. x x x e e . 例 3 求函数 3 4 4 x x y 的单调性与极值. 解 函数的定义域为(,) . 3 ( 3) 3 2 2 y x x x x ， 令 y 0,驻点 0, 3 x1 x2 列表 x (,0) 0 (0,3) 3 (3,) y 0 0 + y 极小 由上表知，单调减区间为(,3) ，单调增区间为(3,) ，极小值 4 27 y(3) 求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中 3 6 , 0 0 2 x y x x y 不能确定x 0处是否取极值
y1=9>0,得3)=-22是极小值. 3.利用导数求曲线的凹凸区间及其拐点 小结求函数的凹向与拐点只需用拐点的定义及凹向的判别定 理即可，注意拐点也可在使y不存在的点取得. 例4求函数y=ln(1+x2)的凹向及拐点. 解函数的定义域(-o,+o), y'= 2x y=21+x)-2x.2x-21-x) 1+r2 (1+x2)2 (1+x2)2 令y”=0,得y=±1， 列表 (-1, (-0,-1) -1 1 (1,+0) 1) 0 0 ∩ 拐点 U 拐点 ∩ 由此可知，上凹区间(-1，)，下凹区间(-o,-)UL,+o),曲线的拐点 是（±1，ln2). 小结求函数的凹向与拐点只需用拐点的定义及凹向的判别定 理即可，注意拐点也可在使y”不存在的点取得 4.利用导数求函数的最大（小)值
9 0, 3 x y 得 4 27 y(3) 是极小值. 3. 利用导数求曲线的凹凸区间及其拐点 小结 求函数的凹向与拐点只需用拐点的定义及凹向的判别定 理即可，注意拐点也可在使 y不存在的点取得. 例 4 求函数 ln(1 ) 2 y x 的凹向及拐点. 解 函数的定义域 (,) ， , 1 2 2 x x y 2 2 2 2 2 2 (1 ) 2(1 ) (1 ) 2(1 ) 2 2 x x x x x x y ， 令 y 0, 得 y 1， 列表 由此可知，上凹区间(1,1) ,下凹区间(,1) (1,) ，曲线的拐点 是(1,ln 2) . 小结 求函数的凹向与拐点只需用拐点的定义及凹向的判别定 理即可，注意拐点也可在使 y不存在的点取得. 4. 利用导数求函数的最大（小）值 x (,1) 1 ( 1, 1) 1 (1,) y 0 + 0 y 拐点 拐点
小结函数的最大（小）值是整个区间上的最大（小）值，求最 大（小）值的一般步骤为(1)求出fx)在(a,b)内的所有驻点及不可 导点：(2)求出函数在驻点、不可导点、区间端点处的函数值：(3) 比较这些值的大小，其中最大者即为函数的最大值，最小者即为函数 的最小值. 例5求函数y=(2x-5)x3在区间[-1,2]上的最大值与最小值. 解函数在-12]上连续，由于y=10(x- 3x3 令y=0,则x=1,y在x=0处不存在.故 ymx=max{f(-1),f(2),f(0),f(I)} =max{-7,-23,0,-3}=0, ymm=min{-7,-23,0,-3}=-7. 5.求实际问题中的最大值和最小值 小结求最优化问题，关键是在某个范围内建立目标函数∫(x), 若根据实际问题本身可以断定可导函数∫(x)一定存在最大值或最小 值，而在所讨论的区间内部f()有惟一的极值点，则该极值点一定是 最值点 例8一条边长为a的正方形薄片，从四角各截去一个小方块， 然后折成一个无盖的方盒子，问截取的小方块的边长等于多少时，方 盒子的容量最大？ 解设截取的小方块的边长为x0<x<号)，则方盒子的容积为
小结 函数的最大（小）值是整个区间上的最大（小）值，求最 大（小）值的一般步骤为（1）求出 f (x)在(a,b)内的所有驻点及不可 导点；（2）求出函数在驻点、不可导点、区间端点处的函数值；（3） 比较这些值的大小，其中最大者即为函数的最大值，最小者即为函数 的最小值. 例 5 求函数 3 2 y (2x 5)x 在区间[1,2]上的最大值与最小值 . 解 函数在[1,2]上连续， 由于 3 1 3 10( 1) x x y ， 令 y 0， 则 x 1 ， y在 x 0处不存在. 故 max{ ( 1), (2), (0), (1)} max y f f f f max{ 7, 2 ,0, 3} 0, 3 2 min{ 7, 2 ,0, 3} 7 3 2 ymin . 5. 求实际问题中的最大值和最小值 小结 求最优化问题，关键是在某个范围内建立目标函数 f (x)， 若根据实际问题本身可以断定可导函数 f (x)一定存在最大值或最小 值，而在所讨论的区间内部 f (x)有惟一的极值点，则该极值点一定是 最值点. 例 8 一条边长为a的正方形薄片，从四角各截去一个小方块， 然后折成一个无盖的方盒子，问截取的小方块的边长等于多少时，方 盒子的容量最大？ 解 设截取的小方块的边长为 ) 2 (0 a x x ，则方盒子的容积为
v(x)=x(a-2x)2=a2x-4ar2+4x3 v'(x)=a2-8ar+12x2 令)=0，得驻点=名=号（不合题意，舍去） 由于在(0，名)内只有一个驻点，由实际意义可知，无盖方盒子的容 积一定有最大值。 因此，当x=时)取得最大值。 故当正方形薄片四角各截去一个边长是“的小方块后，折成一个 无盖方盒子的容积最大·
2 2 2 3 v(x) x(a 2x) a x 4ax 4x 2 2 v(x) a 8ax 12x 令 v(x) 0， 得驻点 2 , 6 1 2 a x a x （不合题意，舍去） 由于在 ) 2 (0, a 内只有一个驻点，由实际意义可知，无盖方盒子的容 积一定有最大值. 因此， 当 6 a x 时 v(x)取得最大值. 故当正方形薄片四角各截去一个边长是 6 a 的小方块后，折成一个 无盖方盒子的容积最大