第九章曲线积分与曲面积分习题全解 习题9-1 1.计算下列对弧长的曲线积分： ()∫(x+y)心，其中L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段： 解(1)因为直线方程为x+y=1,所以j(x+yd=∫1ds=V反。 (2)重，(x2+y2)”d,其中L为圆周x=acost,y=asint(0≤t≤2x): 解(2)，(x2+y2)yds=i,(a2cos2t+a2sin2t）”ds=a21ds=2πa2m1。 (3)重xd,其中L为由直线y=x及抛物线y=x己所围成的区域的整个边界： 解(3)重xd=xd+,xd=6xV+ex2Tdr+6xV+xTdr -i+4r+-=8号0+4ry6+x=b65+65-. (④)山ed西，其中L为圆周x2+y2=ad2,直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇 形的整个边界. 解(4)设L=4+山，+，（如图9=10所示，则1，e可=之，e可 :{0s9。.-+- ly=x' 重，e可b=fea=efe-l h:0e1经女-mdm-a te可w=jeai=年ae 4:{00ssa,-+ ev ds=fe'dx =e"-1
1 第九章 曲线积分与曲面积分习题全解 习 题 9－1 1．计算下列对弧长的曲线积分： (1) ( ) L x y ds ，其中 L 为连接(1，0)及(0，1)两点的直线段； 解（1）因为直线方程为 x y 1 ，所以 ( )d 1d 2 L L x y s s 。 (2) 2 2 ( )n L x y ds ，其中 L 为圆周 x a t cos ， y a t sin (0 2 ) t ； 解（2） 2 2 ( )n L x y ds = 2 2 2 2 2 2 1 cos sin 2 n n n L L a t a t ds a ds a 。 (3) d L x s ，其中 L 为由直线 y x 及抛物线 2 y x 所围成的区域的整个边界； 解（3） 1 2 1 1 2 2 2 0 0 d d d 1 [( ) ] d 1 [( ) ] d L L L x s x s x s x x x x x x 1 1 2 2 3/ 2 1 2 1 0 0 0 0 1 2 1 1 1 4 d 2d [(1 4 ) ] [ 2 ] (5 5 6 2 1) 8 3 2 12 x x x x x x x 。 (4) 2 2 x y L e ds ，其中 L 为圆周 2 2 2 x y a ，直线 y x 及 x 轴在第一象限内所围成的扇 形的整个边界． 解（4）设 L L L L 1 2 3 （如图 9-10 所示），则 2 2 2 2 3 1 i x y x y L L i e ds e ds L1 ： x x y x ， 2 0 2 x a ， 2 2 ds dx dy dx 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 0 0 2 1 a a x y x x a L e ds e dx e e L2 ： cos sin x a t y a t ，0 4 t ， 2 2 2 2 ds a t a tdt adt sin cos 2 2 2 4 0 4 x y a a L e ds e adt ae L3 ： 0 x x y ，0 x a ， 2 2 ds dx dy dx 2 2 1 0 1 a x y x a L e ds e dx e
故重e-ie可=e-1+ar4e-1=e+2. 2.计算下列对弧长的曲线积分： 1 r+y+F山，其中T为曲线x=Ccos,y=Csn,:=d上相应于1从0变 到2的这段弧： 解(1)由于d=Va)2+(d)2+(d) -e (cost-sint)+[e(sint+cost)+(ed=d (2)∫xz,其中T为折线ABCD,这里A、B、C、D依次为点(0,0,0)、(0,0， 2)、(1,0,2)、(1,3,2): 解(2)已知T=AB+BC+CD,注意到 AB:x=0,y=0,z=1,0≤1≤2，BC:x=1,y=0,z=2,0≤1≤1 (在AB及BC上，被积函数xz等于零，∫西xzd=cxzd=0) CD:x=l,y=t,z=2,0≤1≤3，ds=V)2+(d)2+(d)}'=di, 则rxzd=∫x2zd+cx2zds+jx2zd=可xzds=21d=9。 (3)j2yds,其中L为摆线的-拱x=a1-sin),y=a(1-cos)(0≤1≤2π)： (3)Syds="a'(1-cost)a(t-sint)+[a(1-cost)d (cacdrsin =om'sm时=w0-awas管c. (④j(x2+y)ds其中L为曲线x=a(cost+isin),y=a(sint-tcos)(0≤1≤2π). 解④由于ds=Vd+(d'-(at cos）'+(atsin）di=amd t 所以Jx2+y)d=[a2(cos1+1sin1）+d2(sint-1cos）]adh 2
2 故 2 2 2 2 3 1 1 1 2 2 i 4 4 x y x y a a a a L L i e ds e ds e ae e e a 。 2．计算下列对弧长的曲线积分： (1) 2 2 2 1 ds x y z ，其中 为曲线 cos t x e t ， sin t y e t ， t z e 上相应于 t 从 0 变 到 2 的这段弧； 解(1)由于 2 2 2 ds dx dy dz 2 2 2 cos sin sin cos 3 t t t t e t t e t t e dt e dt 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 3 3 3 3 1 2 2 2 2 t t t t ds e dt e dt e e x y z e 。 (2) 2 x yzds ，其中 为折线 ABCD ，这里 A 、 B 、C 、 D 依次为点(0，0，0)、(0，0， 2)、(1，0，2)、(1，3，2)； 解(2)已知 AB BC CD , 注意到 AB ： x y z t t 0, 0, , 0 2 ， BC ： x t y z t , 0, 2 , 0 1 （在 AB 及 BC 上，被积函数 2 x yz 等于零， 2 2 0 AB BC x yzds x yzds ） CD ： x y t z t 1, , 2 , 0 3， 2 2 2 ds dx dy dz dt ， 则 3 2 2 2 2 2 0 2 9 AB BC CD CD x yzds x yzds x yzds x yzds x yzds tdt 。 (3) 2 d L y s ，其中 L 为摆线的一拱 x a t t ( sin ) ， y a t (1 cos ) (0 2 ) t ； 解（3） 2 2 2 2 2 2 0 d (1 cos ) [ ( sin ) ] [ (1 cos ) ] d L y s a t a t t a t t 2 2 2 2 3 5 0 0 1 (1 cos ) 2 (1 cos )d 2 4 2 sin d 2 a t a t t a t t 2 2 3 4 3 2 2 3 0 0 1 1 1 1 256 8 sin sin d 8 (1 cos ) dcos 2 2 2 2 15 a t t t a t t a 。 (4) 2 2 ( ) L x y ds 其中 L 为曲线 x a t t t (cos sin )， y a t t t (sin cos ) (0 2 ) t ． 解(4)由于 2 2 2 2 ds dx dy at t at t dt atdt cos sin ， 所以 2 2 2 2 2 2 2 0 ( ) cos sin sin cos L x y ds a t t t a t t t atdt
-40+rh=a5+-2r0*r) 3.计算∫ly1d,其中L是双扭线(x2+y2)2=a2(x2-y2),(a>0)一周。 解：在极坐标系下，L:r2=a2cos20,它在第一象限部分为 L:r=a√c0s20(0≤9≤4)利用对称性，得 I=4 yds=4frsim(0)do=4adeos20sim0-a d0 cos28 -rs如8a0-4rcm时“-4d0-9)-20-万a. 4.求空间曲线x=31,y=312,2=213从O0,0,0)至A(3,3,2)的弧长 解 由于ds=Vd)2+(dy)2+(d)2, =√9+36t2+361d=31+21)d 所以所求弧长s=d=31+2=31+2=6。 5.求半径为a、中心角为20的均匀圆弧（线密度p=1) 的重心 图9-1 解取坐标系如图9-1所示，由对称性知，y=0, xpds xds pds ds 2a0 4h=2aoacas0-ad0-8sn优-a02 6.设螺旋形弹簧一圈的方程为x=acost,y=asint,z=t,其中0≤t≤2π，它的线 密度p(x,乃)=x2+y2+z2.求： (1)它关于z轴的转动惯量I:(2)它的重心坐标 ds=(dx)+(dy)+(d)=(-asinx)'+(acosx)'+kdi=a+k'dt M=J P(x,y.ls=J(++ys=f"(a cos't+a'sin't+kP)a+kd 3
3 2 2 4 2 3 2 3 2 3 2 0 0 1 2 1 2 2 4 t t a t t dt a a 。 3．计算 | | d , L y s 其中 L 是双扭线 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ),( 0) x y a x y a 一周。 解：在极坐标系下， 2 2 L r a : cos 2 , 它在第一象限部分为 1 2 0 4 L r a : cos ( ) 利用对称性 , 得 4 4 2 2 0 0 1 4 4 4 2 2 d sin ( ) ( ) d cos sin d cos L a I y s r r r a 4 4 2 2 2 2 0 0 2 4 4 4 1 2 2 2 2 / a a a a sin d cos ( ) ( ) 。 4．求空间曲线 2 3 x t y t z t 3 , 3 , 2 从 O(0,0,0) 至 A(3,3, 2) 的弧长． 解 由于 2 2 2 ds dx dy dz ， 2 4 9 36 36 3(1 2 ) t t dt t dt 所以所求弧长 1 1 1 2 0 0 0 s ds t dt t t 3(1 2 ) 3 6 。 5．求半径为 a 、中心角为 2 的均匀圆弧（线密度 ＝1） 的重心． 解 取坐标系如图 9-1 所示，由对称性知 ， y 0， 0 1 1 sin cos sin 2 2 L L L L L x ds xds a a x xds a ad ds ds a a 。 6．设螺旋形弹簧一圈的方程为 x a t cos ， y a t sin ，z kt ，其中 0 2 t ，它的线 密度 2 2 2 ( ) x y z x y z ， ， .求： (1) 它关于 z 轴的转动惯量 z I ；(2) 它的重心坐标． 解 2 2 2 2 2 2 2 2 ds dx dy dz a x a x k dt a k dt sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 ( , , ) ( ) cos sin L L M x y z ds x y z ds a t a t k t a k dt L O a x 图 9-1
-a+小F+长=号匠F+(d+4r) (1)1.=j(x2+y)px,y2d=(x2+y)x+y2+z2) -c女+kr小后+安h-号a匠+(x+4rk) (2)重心坐标为(，以，2，其中 =c+r+h=aos(g+kr匠+ =[a后+cas+ak2+E.FcosiW ak2√a2+k2 ak2.4π 6ak2 Γ后+E(女+4好次) 3π3a2+4xk） 3a2+4π2k sasint-(d =[o匠+E.s+a后+E.esini ak2√a2+k ak2.(-4π2） -6πak2 号nF+(Ba+r 3x(3a2+4r22) 3a2+4π2k20 =6+广+s="(口+kr匠+ =匠+(ai+行h kWa+k2-(2aπ2+4πk2）3πk(a2+2n2k2） 号r后+(a+4r次】 3a2+4π2k2 7.求圆柱面x2+y2=2ax被球面x2+y2+z2=4a2所截取部分的侧面积A. x=a+acos0 解圆柱面在xOy面上的准线x2+y2=2ax的参数方程为L: y=asine (0≤0≤2r),又s=Vd)'+(d)'-V-asin'+(acos0)'dB=ad0 于是由对称性知：圆柱面x2+y2=2ax被球面x2+y2+2=4a2所截取部分的侧面积为 A=2 4a'-x2-y'ds=2[4a2-(a+acos0)2-(asin0)'ade 4
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 3 4 3 a k t a k dt a k a k （1） 2 2 2 2 2 2 2 ( , , ) z L L I x y x y z ds x y x y z ds 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 3 4 3 a a k t a k dt a a k a k （2）重心坐标为 x y z , , ，其中 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 ( ) cos L x x x y z ds a t a k t a k dt M M 2 3 2 2 2 2 2 2 0 1 a a k t ak a k t t dt cos cos M 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 4 6 cos 2 2 3 4 3 4 3 4 3 3 ak a k ak ak t tdt a k a k a k a k 。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 ( ) sin L y y x y z ds a t a k t a k dt M M 2 3 2 2 2 2 2 2 0 1 a a k t ak a k t t dt sin sin M 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 sin 2 3 4 3 ak a k t tdt a k a k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 6 2 3 4 3 4 3 ak ak a k a k 。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 ( ) L z z x y z ds kt a k t a k dt M M 2 2 2 2 2 3 0 1 k a k a t k t dt M 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 2 3 4 3 4 3 k a k a k k a k a k a k a k 。 7．求圆柱面 2 2 x y ax 2 被球面 2 2 2 2 x y z a 4 所截取部分的侧面积 A . 解 圆柱面在 xOy 面上的准线 2 2 x y ax 2 的参数方程为 L ： cos sin x a a y a 0 2 ，又 2 2 2 2 ds dx dy a a d ad sin cos 于是由对称性知:圆柱面 2 2 x y ax 2 被球面 2 2 2 2 x y z a 4 所截取部分的侧面积为 2 2 2 2 2 2 2 0 2 4 2 4 ( cos ) ( sin ) L A a x y ds a a a a ad
=22aa9=rkosh=16ojfosh=16c. 8设曲线L:y=sin0,风，证明不等式：g刀≤d≤)2x, 证明：ds=xW+cosx≤d=2 另-方面，6+cos2xdr巴(a-1+cos7d crd-cos drc-co rd -ri7an号洁aaw0油9号 428 习题9-2 1.计算下列对坐标的曲线积分： (1)∫(x2-y),其中L是抛物线y=x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧： 解化为对x的定积分.L:y=x2,x=x,x从0变到2.所以 (2)xdr,其中L为圆周(x-a)2-y2=a2（a>0)及x轴所围成的在第一象限内的 区域的整个边界（按逆时针方向绕行）： [x=a+acost L: (0≤1≤x) y=asint 解(2)L=L+L2,其中 所以 x=x =0 (0sx≤2a） a(+cos )asin((a+acosdrd =-snrh+sin小-a2 (3)∫dr+xdy,其中L为圆周x=Rcost,y=Rsint,上对应1从0到产的一段弧： (3)ydx+xdy=[Rsint(-Rsint)+RcostRcost]dt=RfPcos2rdt=0. 5
5 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 cos 8 cos 16 cos 16 2 a d a t dt a tdt a 。 8. 设曲线 L y x x : sin , [0, ] ，证明不等式： 3 2 2 2 2 d . 8 2 L x s 证明： 2 2 0 0 2 d 1 cos d 2 d . 2 L x s x x x x x 另一方面， 2 2 0 0 1 cos d ( ) 1 cos d x t x x x t t t 2 2 2 2 0 0 0 0 1 cos d 1 cos d 1 cos d 1 cos d 2 t t t t t t t t t 2 2 2 2 0 0 0 2 1 cos 1 2 3 3 2 1 cos d d (1 cos )d . 2 2 2 4 2 8 1 cos 2 t t t t t t t 习 题 9－2 1．计算下列对坐标的曲线积分： （1） 2 2 ( ) L x y dx ，其中 L 是抛物线 2 y x 上从点(0，0)到点(2，4)的一段弧； 解 化为对 x 的定积分． L ： 2 y x ， x x ， x 从 0 变到 2．所以 2 3 5 1 2 4 0 0 56 ( ) 3 5 15 x x I x x dx ． （2） d L xy x ，其中 L 为圆周 2 2 2 ( ) x a y a （ a >0）及 x 轴所围成的在第一象限内的 区域的整个边界（按逆时针方向绕行）； 解（2） L L L 1 2 ，其中 1 2 0 0 2 0 cos : ( ) sin : ( ) x a a t L t y a t x x L x a y 所以 1 2 d d d L L L xy x xy x xy x 2 0 0 (1 cos ) sin ( cos ) 0 a a t a t a a t dt dx 3 2 2 3 0 0 1 sin sin sin . 2 a tdt td t a （3） d d L y x x y ，其中 L 为圆周 x R t cos ， y R t sin ，上对应 t 从 0 到 2 的一段弧； 解（3） / 2 / 2 2 0 0 d d [ sin ( sin ) cos cos ]d cos 2 d 0 L y x x y R t R t R tR t t R t t
(④)重，任+-任-沙，其中L为圆周+少=心（按逆时针方向绕行》 x2+y2 x=acose 解(4)L的参数方程为 0从0变到2π，则 y=asine 重红+体-x- x2+y2 (aco+asi0)-(-asin)-(aco0-i)(acodo =0(-1）d0=-2π。 2.计算下列对坐标的曲线积分： (1)∫xdr+dy-止，其中T为曲线x=k0,y=acos0,2=asin0上对应0从0 到π的一段弧： 解(1)∫rdr+zdy-d=∫[(kθ)'(k)'+asin(acos0)'-acosθasinθ)]d8 =kg-a210=5k-a。 (2)∫xdr+dy+(x+y-1)d,其中T是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线： x=1+t 解(2)T的参数方程为{y=1+21(0≤1≤1) z=1+31 pxdr++(x+y-l)d=[+01+y+(1+21)1+20'+(1+301+3)门d =06+141d=13。 (3)重d-dy+d止，其中T为有向闭折线ABCA,这里的A、B、C依次为点(1,0， 0),(0,1,0),(0,0,1): 解(3)已知「=AB+BC+CD,注意到 AB:x+y=1,2=0,=-d,x从1变到0， BC:x=0,y+z=1,d=-y,y从1变到0， CA:x+z=1,y=0,d=-正，二从1变到0 6
6 （4） 2 2 ( ) ( ) L x y dx x y dy x y ，其中 L 为圆周 2 2 2 x y a （按逆时针方向绕行）． 解（4） L 的参数方程为 cos sin x a y a ， 从 0 变到 2 ，则 2 2 ( ) ( ) L x y dx x y dy x y 2 2 0 1 a a a a a a d cos sin sin cos sin cos a 2 0 1 2 d 。 2．计算下列对坐标的曲线积分： （1） 2 x x z y y z d d d ，其中 为曲线 x k ， y a cos ， z a sin 上对应 从 0 到 的一段弧； 解（1） 2 2 0 x x z y y z k k a a a a d d d [( ) ( ) sin ( cos ) cos ( sin ) ]d 3 2 2 3 3 2 0 1 [ ]d 3 k a k a 。 （2） x x y y x y z d d ( 1)d ，其中 是从点(1，1，1)到点(2，3，4)的一段直线； 解（2） 的参数方程为 1 1 2 (0 1) 1 3 x t y t t z t x x y y x y z d d ( 1)d 1 0 [(1 )(1 ) (1 2 )(1 2 ) (1 3 )(1 3 ) ]d t t t t t t t 1 0 [6 14 ]d 13 t t 。 （3） dx dy ydz ，其中 为有向闭折线 ABCA ，这里的 A 、 B 、C 依次为点(1，0， 0)，(0，1，0)，(0，0，1)； 解（3）已知 AB BC CD ,注意到 AB ： x y z dy dx 1 , 0 , ， x 从 1 变到 0， BC ： x y z dz dy 0 , 1 , ， y 从 1 变到 0， CA ： x z y dx dz 1 , 0 , ， z 从 1 变到 0
则c-dy+dt=∫dk-d+t+∫cdk-dy+ydt+ad-dy+yd证 =∫[k-(-)d]+f[-y-y(-1)dy]+(-1)d正 =2-0+-在=-2+1 (4)∫(x2-2xy)d+y2-2xy)y,其中L是抛物线y=x2上从点(-1,1)到点 (1,1)的一段弧 解：(4)化为对x的定积分.L:y=x2,x=x,x从-1变到1.所以 ∫(x2-2xy)k+y2-2y)=∫[(x2-2xx2)+(x-2xx2）2x4 =-2r-r+2x=2c-4s-后普 3.计算∫(x+y)dr+0y-x)y,其中L是： (1)抛物线y2=x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧： 解(1)∫(x+y)dr+0y-x)y=∫2[0y2+yy2y+(1-y2y)门dy -2++州-兰 (2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段： 解(2)J(x+y)r+(y-x)dy=[(3y-2+y3y-2y'+(y-3y+2d =∫[10y-4]y=11。 (3)先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线： 解(3)令A1,1),B(1,2),C(4,2),则L=AB+BC jx++0-=j广0-号 ke+t+0-=x+2w=9 所以，e+t+0-=+k++0-博-+ =14。 (4)曲线x=22+1+1,y=2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 解(4)∫(x+y)dr+y-x)y=6[(32+1+2(22+1+1y+(-2-)t2+1门d 7
7 则 AB BC CA dx dy ydz dx dy ydz dx dy ydz dx dy ydz 0 0 0 1 1 1 dx dx dy y dy dz ( 1) ( 1) ( 1) 0 0 0 1 1 1 3 1 2 (1 ) 2 1 2 2 dx y dy dz 。 （4） 2 2 ( 2 ) ( 2 ) L x xy dx y xy dy ，其中 L 是抛物线 2 y x 上从点(－1，1)到点 (1，1)的一段弧． 解：（4）化为对 x 的定积分． L ： 2 y x ， x x ， x 从 1 变到 1．所以 1 2 2 2 2 4 2 1 ( 2 ) ( 2 ) 2 2 2 L x xy dx y xy dy x x x x x x x dx 1 3 5 1 1 2 3 4 5 2 4 1 0 0 4 14 2 4 2 2 4 2 3 5 15 x x x x x x dx x x dx 。 3．计算 ( )d ( )d L x y x y x y ，其中 L 是： （1） 抛物线 2 y x 上从点(1，1)到点(4，2)的一段弧； 解（1） 2 2 2 2 1 ( )d ( )d [( )( ) (1 )( ) ]d L x y x y x y y y y y y y 2 3 2 1 34 [2 ]d 3 y y y y 。 （2） 从点(1，1)到点(4，2)的直线段； 解（2） 2 1 ( )d ( )d [(3 2 )(3 2) ( 3 2)]d L x y x y x y y y y y y y 2 1 [10 4]d 11 y y 。 （3） 先沿直线从点(1，1)到点(1，2)，然后再沿直线到点(4，2)的折线； 解（3）令 A B C (1,1), (1, 2), (4, 2) ，则 L AB BC 2 1 1 ( )d ( )d ( 1)d 2 AB x y x y x y y y 4 1 27 ( )d ( )d ( 2)d 2 BC x y x y x y x x 所以 ( )d ( )d L x y x y x y 1 27 ( )d ( )d 14 2 2 AB BC x y x y x y 。 （4） 曲线 2 x t t 2 1， 2 y t 1 上从点(1，1)到点(4，2)的一段弧． 解（4） 1 2 2 2 2 0 ( )d ( )d [(3 2)(2 1) ( )( 1) ]d L x y x y x y t t t t t t t t
=610r2+5r+91+21H=32 。 4.设力的方向指向坐标原点，大小与质点跟坐标原点的距离成正比，设此质点按逆时针方 向描绘出曲线？+ +存=1(x之0，y≥0，试求力所作的功. 解设质点为M(x,y),则MMiy j,Od=√2+y。由题意知下=-kxi+y), x=acost 其中k>0为比例常数。又积分曲线L的参数方程为 1从0变到区，则力所作 y=bsint 的功为 w=j-ad-d=-kd+=-k[[（(acos）-(←asin)+(bsin）-(bcos)]h 2 5.设：轴与重力的方向一致，求质量为m的质点从位置(x%二)沿直线移到 (x2y2二2)时重力所作的功. 解F={0,0,nmg},W=0dk+0d+mgt=mgd正=mg(a-)。 6.把对坐标的曲线积分，P(x,y)d+Qy,x)y化成对弧长的曲线积分，其中L为： (1)沿抛物线y=x2从点(0,0)到点(1,1)： (2)沿上半圆周x2+y2=2x从点(0,0)到点(1,1). 解(1)因为d6=V)2+(d)'=V1+4xdk, 1 2x L的方向余弦为cosa= ds4x cosB=sina=-cosa= 1+4x2 所以 JP(x.d+(.dy= Px,》+2xx,2dk。 V1+4x2 (2)因为y=V2x-x, 8
8 1 2 2 0 32 [10 5 9 2]d 3 t t t t 。 4．设力的方向指向坐标原点，大小与质点跟坐标原点的距离成正比，设此质点按逆时针方 向描绘出曲线 2 2 2 2 1( 0, 0), x y x y a b 试求力所作的功． 解 设质点为 M x y ( , ) ，则 OM x y i j ， 2 2 OM x y 。由题意知 F i j k x y ( ) ， 其中 k 0 为比例常数。又积分曲线 L 的参数方程为 cos sin x a t y b t ，t 从 0 变到 2 ，则力所作 的功为 2 0 cos sin sin cos L L W kxdx kydy k xdx ydy k a t a t b t b t dt 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 sin ( ) ( ) cos sin ( ) 2 2 t k a b k a b t tdt k a b 5．设 z 轴与重力的方向一致，求质量为 m 的质点从位置 1 1 1 ( ) x y z ， ， 沿直线移到 2 2 2 ( ) x y z ， ， 时重力所作的功． 解 F 0,0,mg ， 2 1 2 1 0 0 ( ) z L z W dx dy mgdz mg dz mg z z 。 6．把对坐标的曲线积分 ( , ) ( , ) L P x y dx Q y x dy 化成对弧长的曲线积分，其中 L 为： （1）沿抛物线 2 y x 从点(0，0)到点(1，1)； （2）沿上半圆周 2 2 x y x 2 从点(0，0)到点(1，1)． 解（1）因为 2 2 2 ds dx dy x dx 1 4 ， L 的方向余弦为 2 1 cos 1 4 dx ds x ， 2 2 2 cos sin 1 cos 1 4 x x ， 所以 2 ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) 1 4 L L P x y xQ x y P x y dx Q x y dy ds x 。 （2）因为 2 y x x 2 ， 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 x ds dx dy dx dx x x x x
L的方向余弦为cosa=4=V2x-X,cosB=sina=V-cos2a=1-x, ds 所以JP(x,y+Ox,y=P(x,yW2x-+O(x,yI-)d 7.设厂为曲线x=ky=户、z=t上相应于1从0变到1的曲线弧.把坐标的曲线积分 ∫Pd+Qd+R正化成对弧长的曲线积分. 解由x=t,y=12,z=t得d=dl,dy=21dl=2xd,d止=31d=3vdh, ds=Vd)2+(d)}2+(d)}2=1+(2x2+(3y2d=V1+4x2+9yd L的方向余弦为c0sa=瓜- dscos 1 2x ds 1+4x+9 cosy=」 3y 二1 ds 1+4xr2+9y2 因此 S Pdx+Ody+Rd== P+2x0+3yR ds。 V1+4x2+9y2 y2.z2 .设质点从原点沿直线运动到椭球面怎+长+三=1上的点M(于，X,行多 (x>0,y>0,3,>0),求在此运动过程中力F=yzi+2y+k所做的功W,并确定M 使W取最大值， 解原点到点M(x,,)的直线方程为：x=x4,y=4,z=t,t从0变到1，力 F=yzi+zy+x)k沿直线T所做的功为 W=f ydx+zxdy+xyd=3xfdi=xy 求最大功的问题实为求w=2在条件+上。 +6+。=1下的极值问题。 作拉格朗日函数F(x,y,,)=灯z+ +小 9
9 L 的方向余弦为 2 cos 2 dx x x ds ， 2 cos sin 1 cos 1 x ， 所以 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , )(1 ) L L P x y dx Q x y dy P x y x x Q x y x ds 7．设 为曲线 2 3 x t y t z t 、 、 上相应于 t 从 0 变到 1 的曲线弧．把坐标的曲线积分 Pdx Qdy Rdz 化成对弧长的曲线积分． 解 由 2 3 x t y t z t , , 得 2 dx dt dy tdt xdt dz t dt ydt , 2 2 3 3 , ， 2 2 2 2 2 2 2 ds dx dy dy x y dt x y dt 1 2 (3 ) 1 4 9 L 的 方 向 余 弦 为 2 2 1 cos 1 4 9 dx ds x y ， 2 2 2 cos 1 4 9 dy x ds x y ， 2 2 3 cos 1 4 9 dz y ds x y ， 因此 2 2 2 3 1 4 9 P xQ yR Pdx Qdy Rdz ds x y 。 8 ． 设 质 点 从 原 点 沿 直 线 运 动 到 椭 球 面 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c 上的点 1 1 1 M x y z ( , , ) 处 1 1 1 ( 0, 0, 0), x y z 求在此运动过程中力 F i j k yz zx xy 所做的功 W, 并确定 M 使 W 取最大值. 解 原点到点 1 1 1 M x y z ( , , ) 的直线方程为： 1 1 1 x x t y y t z z t , , ， t 从 0 变到 1，力 F i j k yz zx xy 沿直线 所做的功为 1 2 1 1 1 1 1 1 0 W yzdx zxdy xydz x y z t dt x y z 3 ， 求最大功的问题实为求 w xyz 在条件 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c 下的极值问题。 作拉格朗日函数 F x y z xyz ( , , , ) 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c
F=2+ 2x1=0 F=x+2 60 由方程组 y2 z元 a?s C2 F=x+ F= 2,y2,22 ++1=0 将= 代入+ 2 2++之1=0中即得x=, b a b 由问题的实际意义知点( C 5'5' )即为所求最值点，且Wx= -abc。 9 9.试证曲线积分的估值公式：儿Pd+Qd≤M.其中1是光滑曲线L的长度， M=max√p2+Q,P与Q在L上任意点处连续。 证令F={P,Q},则有 JPt+Ot=JF·ds≤flF1ds=jVp2+g.dssMI ds=M 习题9一3 1.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： (1)星形线x=acos3t,y=asin3t 解（①）A=-h =2心[acos'1-3asim21cos-(asin-3acos4(←sin）jh -号广eos1sh-sm2-c0-esh-a. (2)椭圆9x2+16y2=144; 解(2)椭圆的参数方程为x=4cost,y=3sint, A=[- =2[4cos1-3cos）-(6sin1-(←4sinh=6d=12x (3)圆x2+y2=2am ⊙
10 由方程组 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 2 0 1 0 x y x x F yz a y F xz b x y z z a b c F xy c x y z F a b c 将 2 2 2 2 2 2 x y z a b c 代入 2 2 2 2 2 2 1 0 x y z a b c 中即得 3 a x ， 3 b y ， 3 c z 。 由问题的实际意义知点（ 3 a ， 3 b ， 3 c ）即为所求最值点，且 max 3 9 W abc 。 9．试证曲线积分的估值公式： . L Pdx Qdy Ml 其中 l 是光滑曲线 L 的长度， 2 2 ( , ) max , x y L M P Q P 与 Q 在 L 上任意点处连续． 证 令 F = { , } P Q ，则有 2 2 ds | | d d d . L L L L L Pdx Qdy s P Q s M s Ml F F 习题 9－3 1．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： （1）星形线 3 3 x a t y a t cos , sin ; 解（1） 1 2 L A xdy ydx 2 3 2 3 2 0 1 cos 3 sin cos sin 3 cos sin 2 a t a t t a t a t t dt 2 2 2 2 2 2 2 0 0 3 3 cos sin sin 2 2 8 a t tdt a tdt 2 2 2 0 3 3 1 cos 4 16 8 a t dt a 。 （2）椭圆 2 2 9 16 144; x y 解（2）椭圆的参数方程为 x t y t 4cos , 3sin ， 1 2 L A xdy ydx 2 2 0 0 1 4cos 3cos 3sin 4sin 6 12 2 t t t t dt dt （3）圆 2 2 x y ax 2
