习题选解 第一章习愿选解。 习题1-1 1-间+0 k 器特器 1+1+1 =+x,fx+=+=-,x f(x)1-x1-x 1+(x+1)2+x 1+x 2.下列各题中，函数f(x)与g(x)是否相同？为什么？ )f)=2-4 g(x)=x+2: x-2 解：因为f(x)的定义域为(-0,2)U(2,+o),而g(x)的定义域为(-0，+o),所以f(x)与 g(x)定义域不同，因此f(x)与g(x)不相同 (2)fx)=V(3x-1)2,g(x)=3x-1: 解：因为f(x)与g(x)定义域相同，对应法则相同，故f(x)与g(x)相同. 8》f=ng)=nx+)-hr-. x-1≠0 x+1>0 解：由了x+1。解出f(x)的定义域为(-0，-1)U(L,+o),而由 >0 x-1>0解出8()的定义拨 x-1 为(1，+o),所以f(x)与g(x)定义域不同，因此f(x)与g(x)不相同. ④f)=nge)=nr+-r2+D. 解：因为f(x)与g(x)定义域相同，对应法则相同，故f(x)与g(x)相同. 3.设f(x)= 1-2x,y≤1 1x2+1, 时>1求f0.f0.-.f-
习题选解 第一章 习题选解. 习 题 1－1 1．设 x x f x 1 1 ( ) ，求 f (x) ， ) 1 ( x f ， ( ) 1 f x ， f (x 1) ． 解： 1 ( ) 1 x f x x 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 x x f x x x ， 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 x x f x x x 1 1 1 ( ) 1 1 1 x f x x x x ， 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 2 x x f x x x 2．下列各题中，函数 f (x) 与 g(x) 是否相同？为什么？ （1） 2 4 ( ) 2 x x f x ， g(x) x 2 ； 解：因为 f (x) 的定义域为 ( ,2) (2, ) ，而 g x( ) 的定义域为 ( , ) ，所以 f x( ) 与 g x( ) 定义域不同，因此 f x( ) 与 g x( ) 不相同． （2） 2 f (x) (3x 1) ， g(x) 3x 1 ； 解：因为 f x( ) 与 g x( ) 定义域相同，对应法则相同，故 f x( ) 与 g x( ) 相同． （3） 1 1 ( ) ln x x f x ， g(x) ln(x 1) ln(x 1) ； 解：由 1 0 1 0 1 x x x 解出 f x( ) 的定义域为 ( , 1) (1, ) ，而由 1 0 1 0 x x 解出 g x( ) 的定义域 为 (1, ) ，所以 f x( ) 与 g x( ) 定义域不同，因此 f x( ) 与 g x( ) 不相同． （4） 1 1 ( ) ln 2 x x f x ， ( ) ln( 1) ln( 1) 2 g x x x ． 解：因为 f x( ) 与 g x( ) 定义域相同，对应法则相同，故 f x( ) 与 g x( ) 相同． 3．设 1 1 1 2 1 ( ) 2 x x x x f x ， ， ，求 f (0) ， f (1) ， f (1) ， ) 2 3 f ( ， ) 2 3 f ( ．
k0=10=1-=3-华- 4.设f(x)=lnx,证明f(x)+f(x+1)=f[x(x+1)]. 证：因为f(x)+f(x+l)=lnx+ln(x+l), 又f[x(x+l]=ln[x(x+I]=lnx+ln(x+1),得证。 5.下列函数哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是非奇非偶函数？ (1)y=2x-3x35: 解：因为f(x)=2x-3x,于是 f(-x)=-2x+3x3=-(2x-3x),所以原函数为奇函数. (2)y=sinx+sin2x: 解：因为f(x)=sinx+sin2x,于是 f(-x)=sin(-x)+sin2(-x)=-sinx+sin2x,不等于f(x)或-f(x), 所以原函数为非奇非偶函数。 (3)y=sin(sinx): 解：因为f(x)=sin(sinx),于是 f(-x)=sin(sin(-x)=sin(-sinx)=-sin(sinx)=-f(x),所以原函数为奇函数。 (4)y=a-a ，(a>1): 2 解：因为f)=心-a 2 .(a>1),于是 仁=”4。-4=)，所以厚西数为音商数 2 2 (5)y=a+a .(a>1): 2 解：因为闭)=+a 2 (a>1),于是
解： f (0) 1 ， f (1) 1 ， f ( 1) 3 ， 3 13 ( ) 2 4 f ， 3 13 ( ) 2 4 f ． 4．设 f (x) ln x ，证明 f (x) f (x 1) f [x(x 1)] ． 证：因为 f x f x x x ( ) ( 1) ln ln( 1) ， 又 f x x x x x x [ ( 1)] ln[ ( 1)] ln ln( 1) ， 得证。 5．下列函数哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是非奇非偶函数？ （1） 5 y 2x 3x ； 解：因为 5 f x x x ( ) 2 3 ，于是 5 5 f x x x x x ( ) 2 3 (2 3 ) ，所以原函数为奇函数． （2） y x x 2 sin sin ； 解：因为 2 f x x x ( ) sin sin ，于是 2 2 f x x x x x ( ) sin( ) sin ( ) sin sin ，不等于 f x( ) 或 f x( ) ， 所以原函数为非奇非偶函数． （3） y sin(sin x)； 解：因为 f x x ( ) sin(sin ) ， 于是 f x x x x f x ( ) sin(sin( )) sin( sin ) sin(sin ) ( ) ，所以原函数为奇函数。 （4） ( 1) 2 a a a y x x ； 解：因为 ( ) ( 1) 2 x x a a f x a ，于是 ( ) ( ) 2 2 x x x x a a a a f x f x =- =- ，所以原函数为奇函数． （5） ( 1) 2 a a a y x x ； 解： 因为 ( ) ( 1) 2 x x a a f x a ，于是
()-Q+a=-d+af(x),所以原函数为偶函数. 2 a'-1 (6)y= (a>1): a'+1 解：因为f)=x产- ，于是 a+1 f-x)=- a-1_1-a-1 a+1 l+ai=x =一x +ifx),所以原函数为偶函数。 (7)y=1g 2-x 2+x 解因为f)=1g2-x ,于是 2+x f(-x)=lg 2+x=-1g 2- =一f(x)，所以原函数为奇函数. 2-x 2+x (8)y=sinx-cosx+1: 解：因为f(x)=sinx-coSx+1,于是 f(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sinx-coSx+1,不等于f(x)或-f(x),所以原函数 为非奇非偶函数。 COSx (9)y= V1-x2 解：因为fx)=c0sx ,于是 V1-x2 f(-x)=-cos(-x)=cosx V一一疗-产=)，所以原函数为锅通数 (10)y=lg(x+V1+x2). 解：因为f(x)=lg(x+√1+x2),于是 1 f(-x)=lg(-x+√1+(-x)2)=-lg -lg++x-1ex++r)=-f vI+x2-x 1 ,所以原函数为奇函数 6.对于下列函数f(x)与g(x),求复合函数f[g(x)]和g[f(x)],并确定它们的定义域
( ) ( ) 2 2 x x x x a a a a f x f x =- = ，所以原函数为偶函数． （6） ( 1) 1 1 a a a y x x x ； 解： 因为 1 ( ) 1 x x a f x x a ，于是 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 x x x x x x a a a f x x x x f x a a a = ，所以原函数为偶函数． （7） x x y 2 2 lg ； 解：因为 2 ( ) lg 2 x f x x ，于是 2 2 ( ) lg lg ( ) 2 2 x x f x f x x x = ，所以原函数为奇函数． （8） y sin x cos x 1； 解：因为 f x x x ( ) sin cos 1 ，于是 f x x x x x ( ) sin( ) cos( ) 1 sin cos 1 ，不等于 f x( ) 或 f x( ) ，所以原函数 为非奇非偶函数． （9） 2 1 cos x x y ； 解：因为 2 cos ( ) 1 x f x x ，于是 2 2 cos( ) cos ( ) ( ) 1 ( ) 1 x x f x f x x x = ，所以原函数为偶函数． （10） lg( 1 ) 2 y x x ． 解：因为 2 f x x x ( ) lg( 1 ) ，于是 2 2 2 2 1 1 ( ) lg( 1 ( ) ) lg lg lg( 1 ) ( ) 1 1 x x f x x x x x f x x x =- ，所以原函数为奇函数． 6．对于下列函数 f (x) 与 g(x) ，求复合函数 f [g(x)] 和 g f x [ ( )] ，并确定它们的定义域．
(1)f(x)=2x+3, g(x)=x2-1: 解：f[g(x)]=2(x2-1)+3=2x2+1,x∈(-0，+o): g[f(x]=(2x+3)2-1=4x2+12x+8,x∈(-o,+o). (2)fx)=Vx-1, g(x)=x4: 解：f[g(x)]=Vx4-1,x∈(-o,-1]UL,+oo): g[f(x)]=(x-1)2,x∈[1，+o). (3)f(x)=2,g(x)=sin(x+1) 解：fg(x】=2mx+,x∈(-oo,+oo). g[f(x)]=sin(2*+1),x(-0o,+0) 7.设f(x)=ax+b,满足fLf(x)]=x,且f(2)=-1,求f(x) 解：因为f[f(x)]=a(ax+b)+b=a2x+(a+1)b=x,得a2=【a}be, 当a=1时，b=0,f(x扌，与f(2)=-1矛盾：所以，a=-1,此时， f(x)=-x+b, 由f(2)=-1知，b=1,故f(x)=-x+1, 8.设y=arcsin u,l=e',v=-√x,试将y表示成x的函数. 解：y=arcsine 9.指出下列各复合函数是由哪些简单函数复合而成的 (1)y=(arcsin v1-x2)2: 解：由y=2,u=arcsinv,y=√f,t=1-x2复合而成. (2)y=sec31-马： 解，由y=d,u=SeC,y=1-1复合面成 (3)y=log。sine+:
（1） ( ) 2 3 ( ) 1 2 f x x ， g x x ； 解： 2 2 f g x x x x [ ( )] 2( 1) 3 2 1, ( , ) ； 2 2 g f x x x x x [ ( )] (2 3) 1 4 12 8, ( , ) ． （2） 4 f (x) x 1， g(x) x ； 解： 4 f g x x x [ ( )] 1,, ( , 1] [1, ) ； 2 g f x x x [ ( )] ( 1) , [1, ) ． （3） f (x) 2 g(x) sin(x 1) x ， ． 解： sin( 1) [ ( )] 2 , ( , ) x f g x x ． [ ( )] sin(2 1), ( , ) x g f x x ． 7．设 f (x) ax b ，满足 f [ f (x)] x ，且 f (2) 1 ，求 f (x) ． 解：因为 2 f f x a ax b b a x a b x [ ( )] ( ) ( 1) ，得 2 a a b 1,( 1) 0 ， 当 a 1 时 ， b f x x 0, ( ) ， 与 f (2) 1 矛盾；所以， a 1 ，此时， f x x b ( ) ， 由 f (2) 1 知， b 1 ，故 f x x ( ) 1 ． 8．设 y u u e v x v arcsin ， ， ，试将 y 表示成 x 的函数． 解： arcsin x y e ． 9．指出下列各复合函数是由哪些简单函数复合而成的． （1） 2 2 y (arcsin 1 x ) ； 解：由 2 2 y u u v v t t x , arcsin , , 1 复合而成． （2） ) 1 sec (1 3 x y ； 解：由 3 1 y u u v v , sec , 1 x 复合而成． （3） 1 log sin x a y e ；
解：由y=log u,u=sinv,v=e,t=x+1复合而成. x-1 (4)y=arctan 解：由y=arctanu,u=f,v=X 2 复合而成。 10.以下各对函数y=∫()与4=g(x)中，哪些可以复合成复合函数f[g(x)]？哪些不能复 合？为什么？ (1)y=arcsin(2+u), u=x2: 解：因为2+x2≥2不在arcsint的定义域内，所以y=f()与u=g(x)不能复合成复合 函数f[g(x)]. (2)y=arccosu, u=- +x2: 为1十7∈(-1,1)在ac0su的定义城内，所以y=/)与u=g能复合成复 X 解：因为 合函数f[g(x)]: (3)y=Vu, u=In- 解：因为u=ln, +平≤0不在y=Vi的定义城内，所以y=f仙与u=g不能起 合成复合函数f[g(x)] (4)y=ln(1-w), u=sinx. 解：因为l-sinx≥0与y=lnt的定义域交集非空，所以y=f(u)与u=g(x)能复合 成复合函数f[g(x)]. 11.设f(x)的定义域为[0，l],问(1)f(x2):(2)f(sinx),(3)f(x+a)(a>0): (4)f(x+a)+f(x-a)(a>O)的定义域各是什么？ 解：(1)0≤x2≤1，即-1≤x≤1，所以f(x2)的定义域为[-1,1]： (2)0≤sinx≤1，即2nm≤x≤(2n+1)m,n=1,2,3…所以f(sinx)的定
解：由 log , sin , , 1 t a y u u v v e t x 复合而成． （4） 3 2 1 arctan x y ． 解：由 2 1 arctan , , 3 x y u u v v 复合而成． 10．以下各对函数 y f (u) 与 u g(x) 中，哪些可以复合成复合函数 f [g(x)] ？哪些不能复 合？为什么？ （1） 2 y arcsin(2 u)， u x ； 解：因为 2 2 2 x 不在 arcsint 的定义域内，所以 y f (u) 与 u g(x) 不能复合成复合 函数 f [g(x)]． （2） 2 1 arccos x x y u u ， ； 解：因为 2 ( 1,1) 1 x x 在 arccosu 的定义域内，所以 y f (u) 与 u g(x) 能复合成复 合函数 f [g(x)]． （3） 2 1 1 ln x y u u ， ； 解： 因为 2 1 ln 0 1 u x 不在 y u 的定义域内，所以 y f (u) 与 u g(x) 不能复 合成复合函数 f [g(x)]． （4） y ln(1 u)， u sin x ． 解： 因为 1 sin 0 x 与 y t ln 的定义域交集非空，所以 y f (u) 与 u g(x) 能复合 成复合函数 f [g(x)]． 11．设 f (x) 的定义域为 [0，1] ，问（1） ( ) 2 f x ；（2） f (sin x) ，（3） f (x a)(a 0) ； （4） f (x a) f (x a)(a 0) 的定义域各是什么？ 解：（1） 2 0 1 x ，即 1 1 x ，所以 ( ) 2 f x 的定义域为 [ 1,1] ； （2） 0 sin 1 x ，即 2 (2 1) n x n ， n 1,2,3 所以 f (sin x) 的定
义域为 [2nm,(2n+1)π]，n=1,2,3… (3)0≤x+a≤1，即-a≤x≤1-a,所以f(x+a)(a>0)的定义域为[-a,l-a. (4)0≤x+a≤1且0≤x-a≤1，即-a≤xI-a且a≤x≤1+a,所以 0>0是类05 习题1-2 1.设limx=a,证明：lim=ad. n 证因为x-a≤kn-a,所以廿s>0,由limx=a知3N,当n>N时，有 7-→00 xn-la≤x,-d0,取N>,当n>N时，有 n n 2+wge+-2 四归-7ca>as>0v~得 当n>N时，有 n n(n2+4+n)n 即可：所以VE>0,取N>4,当n>N时，有 m2+4 n 小<44 <￡成立，由定 nN
义域为 [2 ,(2 1) ] n n ， n 1,2,3 （3） 0 1 x a ，即 a x a 1 ，所以 f (x a)(a 0) 的定义域为 [a,1 a] ． （ 4 ） 0 1 x a 且 0 1 x a ， 即 a x a 1 且 a x a 1 ，所以 f (x a) f (x a)(a 0) 的定义域为：若 2 1 0 a ， 则为 [a,1 a] ；若 2 1 a ，则为空集 ． 习 题 1－2 1．设 lim n n x a ，证明： lim n n x a ． 证 因为 n n x a x a ，所以 0 ，由 lim n n x a 知 N ，当 n N 时，有 n n x a x a 成立，由定义知 lim n n x a ． 2．根据数列极限的 N 定义证明 （1） ) 2 1 lim(2 n n ； （2） 2 1 lim 0 n n ； （3） 1 lim 1 n 1 n n ； （4） 2 4 lim 1 n n n ． 证 （ 1 ） 由 于 1 1 (2 ) 2 n n ，所以 0 ， 取 1 N ， 当 n N 时，有 1 1 1 (2 ) 2 n n N 成立，由定义知 ) 2 1 lim(2 n n ； （2） 要使 2 2 1 1 0 n n ，只要 1 n 即可．所以 0 ，取 1 N ， 当 n N 时，有 2 2 2 1 1 1 0 n n N 成立，由定义知 2 1 lim 0 n n ； （4）要使 2 2 2 4 4 4 4 1 ( 4 ) n n n n n n n n n ，只要 4 n 即可．所以 0 ，取 4 N ，当 n N 时，有 2 4 4 4 1 n n n N 成立，由定
义知lim n2+4 =1. n一→网 n 3.设x1=0.9,x2=0.99,…,xn=0999…9,问limx=？求出N,使n>N m个 时，xn与其极限之差的绝对值小于0.0001. 证 700 x-= 10n 4,当n>N,有k,-=0,使得对一切xn,有x≤M,又Iimn=0,故 6>0,VN,当n>N时小水后于是，当n>N时，郁e小水kM克=8 M 由定义知 limxy=0. 5.对于数列{xn},若x2k-1→a(化→∞)，x2k→a(k→0)，证明： xm→a(n→oo) 证因为x2k-1→a(k→0)，x2k→a(k→)，所以V￡>0,3K>0,使得 当k>K时，有x2k-1-aN时， 有xn-a<6,由定义知xn→a(n→0) 习题1-3 1.根据函数极限的定义证明 (1)lim(3x-1)=5: (2)li x2-x-2 x→-1x+1 (3) ,1+x31 lim 3x2=3 (4)lim sinx=0
义知 2 4 lim 1 n n n ． 3．设 个 ， ， ， n n x 0.9 x 0.99 x 0.999 9 1 2 ，问 lim ? n n x 求出 N ，使 n N 时， n x 与其极限之差的绝对值小于 0.0001． 证 1 0.999 9 1 n n x 1 10n ，显然 lim 1 n n x ． 要 使 1 n x 1 0.0001 10n ， 只要 N 4 ，当 n N ，就有 1 n x 4 1 1 1 0.0001 10 10 10 n N 4．设数列 { }n x 有界，又 lim 0 n n y ，证明： lim 0 n n n x y ． 证 因为数列 { }n x 有界，故 M 0 ，使得对一切 n x ，有 n x M ，又 lim 0 n n y ，故 0, , N 当 n N 时，有 n y M ，于是，当 n N 时，有 n n n n x y x y M M ， 由定义知 lim 0 n n n x y ． 5 ．对于数列 { }n x ， 若 2 1 k x a ( ) k ， 2k x a ( ) k ，证明： n x a ( ) n 证 因为 2 1 k x a ( ) k ， 2k x a ( ) k ，所以 0 ， K 0 ，使得 当 k K 时，有 2 1 k x a ， 2k x a 成立，令 N K 2 ，则当 n N 时， 有 n x a ，由定义知 n x a ( ) n ． 习 题 1－3 1．根据函数极限的定义证明 （1） lim(3 1) 5 2 x x ； （2） 2 1 2 lim 3 x 1 x x x ． （3） 3 1 3 1 lim 3 3 x x x ； （4） sin lim 0 x x x ．
证(1) 《3x-1)-5列3那-2斗，e>0要3-2水0.取X> E当小X时有 1 33产之即可.所以，￡>0， 11 取X>已，则当x>X时有 X时，-<001？ x2+3
证（1） (3 1) 5 3 2 x x ， 0 要使 3 2 x ，只要 2 3 x 即可． 于是取 3 ，则当 0 2 x 时，就有 (3 1) 5 3 2 3 x x ，由定义知 lim(3 1) 5 2 x x ． （2） 2 2 ( 1)( 2) 3 3 1 1 1 x x x x x x x ， 0 ，要使 2 2 3 1 x x x ， 只要 x 1 即可．于是取 ，则当 0 1 x 时， 2 2 3 1 1 x x x x 成立，由定义知 2 1 2 lim 3 x 1 x x x ． （3）要使 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 3 3 3 3 x x x x x x ，只要 3 1 3 x 即可．所以， 0 ，取 3 1 3 X ，当 x X 时，有 3 3 3 3 1 1 1 1 3 3 3 3 x x X x 成立，由定义知 3 1 3 1 lim 3 3 x x x ． （4）要使 sin 1 0 x x x ，只要 2 1 x 即可．所以， 0 ， 取 2 1 X ，则当 x X 时，有 sin 1 1 0 x x x X 成立，由定义知 sin lim 0 x x x ． 2．设 3 1 3 3 ( ) x x x x f x ， ， ，讨论 x 3 时 f (x) 的左、右极限． 解： 3 3 lim ( ) lim 3 x x f x x ， 3 3 lim ( ) lim(3 1) 8 x x f x x ． 3．当 x 时， 1 3 1 2 2 x x y ，问 X 应为何值，才能使 x X 时， y 1 0.01 ？
-40o1暖20呵 故取X>20,当x>X时，有y-10,取δ=6，当00， X,>0,当x>X1时，有f(x)-A0,当xX时，就有f(x)-AX时，有f(x)0,当>X时，有Vx)-A小X时，有f(x=/f(x)-A+A≤f(x)-A+AX时，有f(x)<M. 习题1-4 1.两个无穷小量的商是否一定是无穷小量？举例说明之。 解：两个无穷小量的商不一定是无穷小量.例如：当x→O时，x,SinX,1一COSx均是无 穷小，但lim sinx=1.lim x→0X -0 1-c0S=0,即当x→0时，sinx与x的商不是无穷小 X 1-C0Sx与X的商是无穷小
解：要使 2 2 2 2 2 2 1 3 4 4 4 1 1 1 0.01 3 3 3 x x y x x x x ，只要 x 20 即可． 故取 X 20 ，当 x X 时，有 y 1 0.01． 4．证明函数 f x x ( ) 当 x 0 时极限为零． 证：因为 f x x x ( ) 0 0 0 ，所以， 0 ，取 ，当 0 0 x 时， 有 f x x ( ) 0 0 ，由定义知 0 lim ( ) 0 x f x 5 ．证明：若 x 及 x 时，函数 f x( ) 的极限都存在且都等于 A ， 则 lim ( ) x f x A ． 证：因为 x 及 x 时，函数 f x( ) 的极限都存在且都等于 A ，所以， 0 ， 1 X 0 ， 当 1 x X 时，有 f x A ( ) ； 又 2 X 0 ， 当 2 x X 时 ， 有 f x A ( ) ．取 X X X max , 1 2 ，当 x X 时，就有 f x A ( ) 成立， 由定义知， lim ( ) x f x A ． 6．设 lim ( ) x f x A 存在，证明：存在正数 M 及 X ，使得当 x X 时，有 f x M ( ) ． 证：由于 lim ( ) x f x A ，所以对于 1， X 0 ，当 x X 时，有 f x A ( ) 1 ，于 是当 x X 时，有 f x f x A A f x A A A ( ) ( ) ( ) 1 ， 取 M A 1 ， 则当 x X 时，有 f x M ( ) ． 习 题 1－4 1．两个无穷小量的商是否一定是无穷小量？举例说明之。 解：两个无穷小量的商不一定是无穷小量．例如：当 x 0 时， x ，sin x ，1 cos x 均是无 穷小，但 0 sin lim 1 x x x ， 0 1 cos lim 0 x x x ，即当 x 0 时， sin x 与 x 的商不是无穷小， 1 cos x 与 x 的商是无穷小．
2.用定义证明： ①)a时=-4当x2时为无穷小： x+2 时2g-2k-2小v>0.6=,00.取6=8.当0M,微 1+2x=0: 4.函数y=xC0SX在(-o,+∞)内是否有界？这个函数当X→十0时是否为无穷大？为什么？ 解：显然，函数y=xC0Sx在(-0，+o)内无界，但X→十0时不是无穷大，因为对 52-1 π，无论n多么大，XnC0Sxn=0小于任意的正数. 2 习题1-5 1.计算下列极限
2．用定义证明： （1） 2 4 ( ) 2 x x x 当 x 2 时为无穷小； 证：由于 2 4 ( 2)( 2) 2 2 2 x x x x x x ，所以 0 ，取 ，当 0 2 x 时，有 2 4 2 2 x x x ，即 2 4 ( ) 2 x x x 当 x 2 时为无穷小． （2） 1 ( ) sin x x x 当 x 0 时为无穷小． 证：由于 1 x x sin x ，所以 0 ，取 ，当 0 0 x x 时， 有 1 x x sin x ，即 1 ( ) sin x x x 当 x 0 时为无穷小． 3．用定义证明：函数 1 2x y x 当 x 0 时为无穷大． 证：由于 1 2 1 1 2 2 x x x x ．所以 M 0 ，要使 1 2 M x ，只要 1 2 x M 即可．取 1 M 2 ，则当 0 0 x 时， 就有 1 2 1 2 x M x x ， 故 0 1 2 lim x x x = ． 4．函数 y x x cos 在 ( , ) 内是否有界？这个函数当 x 时是否为无穷大？为什么？ 解：显然，函数 y x x cos 在 ( , ) 内无界，但 x 时不是无穷大，因为对 2 1 2 n n x ，无论 n 多么大， cos 0 n n x x 小于任意的正数． 习 题 1－5 1．计算下列极限．