导数与微分 1.求分段函数的导数 小结求分段函数的导数时，除了在分界点处的导数用导数定义 求之外，其余点则仍按初等函数的求导公式求得. 例1求y=x√F在x=0处的导数 解由导数的定义知 fo)=吗0+a-0-4-0=▣=0. △x )△x 例2求f)= In(1+x), 0，的导数。 x0时，fx=, 1+x 当x0, x≤0 2.用和、差、积、商及复合函数的求导法则求导 小结若函数变形后能简化求导运算，应先简化后再求导，在求 高阶导数时更要注意这一点.另外，还要注意应用四则运算法则的前
导数与微分 1. 求分段函数的导数 小结 求分段函数的导数时，除了在分界点处的导数用导数定义 求之外，其余点则仍按初等函数的求导公式求得. 例 1 求 y x x 在 x 0处的导数. 解 由导数的定义知 lim 0 0 lim (0 ) (0) (0) lim 0 0 0 x x x x x f x f f x x x . 例 2 求 ， ， x x f x ln 1 ( ) 0 0 x x ，的导数. 解 当 x 0时， x f x 1 1 ( ) ， 当 x 0时， f (x) 1， 当 x 0时， x f x f x f x f f x x ( ) (0) lim 0 ( ) (0) (0) lim 0 0 ， 所以 1 0 (0) lim 0 x x f x ， lim ln(1 ) ln e 1 ln(1 ) 0 (0) lim 1 0 0 x x x x x x f ， 因此 f (0) 1， 于是 1 , , 1 1 ( ) x f x 0 . 0 , x x 2. 用和、差、积、商及复合函数的求导法则求导 小结 若函数变形后能简化求导运算，应先简化后再求导，在求 高阶导数时更要注意这一点.另外，还要注意应用四则运算法则的前
提条件是：函数f(x)在点x。可导，否则法则失效.如y=x√F在x=0点， 用四则运算法则求导，y'(O)不存在，但由例1知y=x√F在x=0的导 数为0.对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求 完，对例4中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的. 例3设==F-派+1，求. 解f=--+-x--1+x, x 6 3 例4设y=lnx+√x+i)求y'. 解利用复合函数求导法求导，得 y'=[In(x+Vx2+1)]' =(x+Vx2+1)” x+Vx2+ 1-1+(Nx2+1)门 x+vx2+1 -I =+1x2+ x+Vx2+12Vx2+1 -1+-x x+Vx2+1√x2+1√x2+1 3.对数求导法 小结对数求导法适合两类函数的求导：(1)幂指函数，(2)函 数是由几个初等函数经过乘、除、乘方、开方构成的. 例5已知 y= x(x2-1) (x-2)2 ,求y
提条件是：函数 f (x)在点 0 x 可导，否则法则失效.如 y x x 在 x 0点， 用四则运算法则求导，y (0) 不存在，但由例 1 知 y x x 在 x 0的导 数为 0.对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求 完，对例 4 中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的. 例 3 设 , 1 ( ) 3 3 x x x x f x 求 f (x) . 解 3 1 6 1 3 2 3 3 1 1 ( ) x x x x x x x f x ， 1 5 4 3 6 3 2 1 1 ( ) 3 6 3 f x x x x . 例 4 设 y ln(x x 1) 求 y . 解 利用复合函数求导法求导，得 ( 1) 1 1 [ln( 1)] 2 2 2 x x x x y x x [1 ( 1) ] 1 1 2 2 x x x ( 1) ] 2 1 1 [1 1 1 2 2 2 x x x x 1 1 ] 1 [1 1 1 2 2 2 x x x x x . 3. 对数求导法 小结 对数求导法适合两类函数的求导：（1）幂指函数，（2）函 数是由几个初等函数经过乘、除、乘方、开方构成的. 例 5 已知 y = x x x x 2 2 ( 2) ( 1) ，求 y
解两边取对数，得：lny=1[mx+ln(x2-)-2In(x-2, 两边对同一自变量x求导，得 }y-x*r--2-2明++-2 -x2, 4.隐函数的求导 小结在对隐函数求二阶导数时，要将y的表达式代入y中，注 意，在y"的最后表达式中，切不能出现y 例6已知arctan=lnVx2+y,求y. 解 两端对x求导，得 1+()2 .y-y' 2x+2y.y' x2+y2y2 vx2+y2 2vx2+y2 整理得+x)y=y-x,故y=y-x, y+x 上式两端再对x求导，得 y=y-10y+)-0y+10y- (y+x)2 =y-y+xy'-x-yy+xy'-y+x (y+x)2 =2y'-2y （y+x)2 将y=-x代入上式，得 y+x
解 两边取对数，得： ln ln( 1) 2 ln( 2) 1 ln 2 x x x x y ， 两边对同一自变量x 求导，得 ] 2 2 1 1 2 [ 1 [ln ln( 1) 2ln( 2)] 1 1 2 2 2 x x x x x x x x x y y ， ] ( 2) 2 1 1 2 ( 2) ( 1) ln 1 [ ( 2) ( 1) 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x y x . 4. 隐函数的求导 小结 在对隐函数求二阶导数时，要将 y的表达式代入 y中，注 意，在 y的最后表达式中，切不能出现 y 例 6 已知 2 2 arctan ln , x x y y 求 y. 解 两端对 x求导，得 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 2 2 2 2 2 x y x y y x y x ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 x y x y y y x y y xy x y y ， 整理得 ( y x) y y x ，故 y x y x y ， 上式两端再对 x求导，得 2 2 ( ) ( ) ( 1)( ) ( 1)( ) y x yy y xy x yy xy y x y x y y x y y x y = 2 ( ) 2 2 y x xy y ， 将 y x y x y 代入上式，得
2x.y-x-2y y"=-Y+x 2y-2x2-2y2-2y-2x2+2 (y+x)2 (x+y)3 (y+x)3 5.参数方程所确定函数的求导 小结求由参数方程所确定的函数的导数时，不必死记公式，可 以先求出微分dy、r,然后作比值业，即作微商.求二阶导数时，应 dx 按复合函数求导法则进行，必须分清是对哪个变量求导. 例7设x=(-cos1, 求dy y=sint dr2 解 dy (sint) cost dx (t-cost)1+sint =d(cost)=d(cos).dr=( cos1、'1 dx2 dx dx 1+sint dt 1+sint'dx 1+sint dx dt =-sint (1+sint)-cos2t 1 -1 (1+sin)2 1+sint (1+sint)2' 6.函数的微分 小结求函数微分可利用微分的定义，微分的运算法则，一阶微 分形式不变性等.利用微分形式不变性可以不考虑变量之间是怎样的 复合关系，有时求微分更方便， 例8求函数y=xehx的微分. 解一用微分的定义dy=f'(x)dr求微分，有 dy=(xeln un)dx=[em tan*+xe tn1 ·sec2x]dr tanx en(1+2x)dx. sin 2x
2 ( ) 2 2 y x y y x y x x y 3 2 2 ( ) 2 2 2 2 x y xy x y xy 3 2 2 ( ) 2( ) y x x y . 5. 参数方程所确定函数的求导 小结 求由参数方程所确定的函数的导数时，不必死记公式，可 以先求出微分dy、dx，然后作比值 x y d d ，即作微商.求二阶导数时，应 按复合函数求导法则进行，必须分清是对哪个变量求导. 例 7 设 cos sin x t t y t ， ， 求 2 2 d d x y . 解 d (sin ) cos d ( cos ) 1 sin y t t x t t t ， 2 2 d d d cos d cos d cos 1 ( ) ( ) ( ) d d d 1 sin d 1 sin d 1 sin d d y y t t t t x x x t t t x t x t 2 2 2 sin (1 sin ) cos 1 1 (1 sin ) 1 sin (1 sin ) t t t t t t . 6. 函数的微分 小结 求函数微分可利用微分的定义，微分的运算法则，一阶微 分形式不变性等.利用微分形式不变性可以不考虑变量之间是怎样的 复合关系，有时求微分更方便. 例 8 求函数 x y x ln tan e 的微分. 解一 用微分的定义dy f (x)dx 求微分， 有 x x x y x x x x x x sec ]d tan 1 d ( e ) d [e e ln tan ln tan ln tan 2 x x x x )d sin 2 2 e (1 ln tan
解二利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得 dy =d(xeln tanx)=eln tan *dx+xdeln tanx eln tan*dx+xeln tan*d(In tanx) =eln tandx+xe tnI -d(tan x) tanx =elntanxdx+xelntanx 11 dx tanx cos2x =eln(1+2x)dx. sin 2x 7.利用微分求近似值 小结利用公式f(x。+△x)≈f(x)+∫"(x)△x计算函数近似值时，关 键是选取函数f(x)的形式及正确选取x。,△x.一般要求f(x),f'(x)便 于计算，△越小，计算出函数的近似值与精确值越接近.另外，在计 算三角函数的近似值时，△x必须换成弧度. 例9求sin29°的近似值， 解设fx)=sinx，由近似公式f(。+△x)≈f(xo)+f'(x)△x,得 sin(xo+△x)≈sin xo+COSXo·△x, 6，x=忍，则有 取x。= 180 Si200=2+2（180-08g 例10有一批半径为1cm的球，为减少表面粗糙度，要镀上一层 钢，厚度为0.01cm,估计每只球需要用铜多少克？（铜的密度为8.9） 解所镀铜的体积为球半径从1cm增加0.0lcm时，球体的增量.故 由=号和知，所镀铜的体积为△n=dn=(兮儿△=4红×001=04x, 质量为m=0.04π…8.9g=1.2g·
解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得 x x x y x x x ln tan ln tan ln tan d d( e ) e d d e e d e d (ln tan ) ln tan ln tan x x x x x d(tan ) tan 1 e d e ln tan ln tan x x x x x x x x x x x x x d cos 1 tan 1 e d e 2 ln tan ln tan x x x x )d sin 2 2 e (1 ln tan . 7. 利用微分求近似值 小结 利用公式 f (x x) f (x ) f (x )x 0 0 0 计算函数近似值时，关 键是选取函数 f (x) 的形式及正确选取 x , x 0 .一般要求 ( ), ( ) 0 0 f x f x 便 于计算，x 越小，计算出函数的近似值与精确值越接近.另外，在计 算三角函数的近似值时，x 必须换成弧度. 例 9 求 sin 29 的近似值. 解 设 f (x) sin x ，由近似公式 f (x x) f (x ) f (x )x 0 0 0 ，得 x x x x x 0 0 0 sin( ) sin cos ， 取 180 , x 6 x0 ，则有 ) 0.4849 180 ( 2 3 2 1 sin 29 0 . 例 10 有一批半径为1cm 的球，为减少表面粗糙度，要镀上一层 钢，厚度为0.01cm，估计每只球需要用铜多少克？（铜的密度为 3 cm g 8.9 ） 解 所镀铜的体积为球半径从1cm 增加0.01cm时，球体的增量.故 由v 3 π 3 4 r 知，所镀铜的体积为 v π ) 4π 0.01 0.04π 3 4 d ( 1 3 v r r r ， 质量为 m 0.04π 8.9g 1.2g
8.导数的应用 小结对于求变化率的模型，要先根据几何关系及物理知识建立 变量之间的函数关系式.若是相关变化率模型，求变化率时要根据复 合函数的链式求导法，弄清是对哪个变量的导数 例1Ⅱ求曲线x-++=的切线，使该切线平行于直线 2x+y=8. 解方程 -+0+-两端对x求导，得 2x-0+20+3y'=0,y6+20=2-2x,y=2-2x 3+2y 由于该切线平行于直线2x+y=8,所以有 2-2=-2,1-x=-3+2),x-2y-4=0,x=4+2y. 3+2y 因为切线必在曲线上，所以，将x=4+2y代入曲线方程得 4+2-+0+- 5y2+15y+10=0,y2+3y+2=0, 解之片=-1,2=-2，此时x1=4+2×(-)=2,x2=4+2×(-2)=0, 切点的坐标为(2，-1)，(0，-2)，切线的斜率分别为 =2-2×2--2」 k=y2-)=3+2y2y3+2x-1)7s、 -2, 2-2x 2-0 2 k=a+2列ag3+2x-2- =-2, 因此得切线的方程分别为 y+1=-2(x-2),即 2x+y-3=0, y+2=-2(x-0),即 2x+y+2=0
8．导数的应用 小结 对于求变化率的模型，要先根据几何关系及物理知识建立 变量之间的函数关系式.若是相关变化率模型，求变化率时要根据复 合函数的链式求导法，弄清是对哪个变量的导数. 例 11 求曲线 2 3 2 5 ( 1) ( ) 2 4 x y 的切线，使该切线平行于直线 2x y 8 . 解 方 程 2 3 2 5 ( 1) ( ) 2 4 x y 两 端 对 x 求 导 ， 得 3 2( 1) 2( ) 0 2 x y y ， y(3 2y) 2 2x， y x y 3 2 2 2 ， 由于该切线平行于直线 2x y 8,所以有 2 3 2 2 2 y x ，1 x (3 2y) ， x 2y 4 0 ， x 4 2y . 因为切线必在曲线上，所以，将x 4 2y代入曲线方程得 2 3 2 5 [(4 2 ) 1] ( ) 2 4 y y ， 5 15 10 0 3 2 0 2 2 y y ，y y ， 解之 1, 2 y1 y2 ，此时 4 2 ( 1) 2, 4 2 ( 2) 0 x1 x2 ， 切点的坐标为(2,1),(0, 2)，切线的斜率分别为 2 1 2 3 2 ( 1) 2 2 2 3 2 2 2 (2, 1) (2, 1) 1 y x k y ， 2 1 2 3 2 ( 2) 2 0 3 2 2 2 (0, 2) (0, 2) 2 y x k y ， 因此得切线的方程分别为 y 1 2(x 2) ， 即 2x y 3 0， y 2 2(x 0) ， 即 2x y 2 0
例12落在平静水面上的石头，产生同心圆形波纹，若最外一圈 半径的增大率总是6ms,问2s末受到扰动的水面面积的增大率为多 少？ 解设最外圈波纹半径为r,扰动水面面积为S,则S= 两边同时对求导，得智-2 d dt =2 =2rl,2×6=12rle2, 数，故r=61(类似于匀速直线运动 间的关系)， 因此2=12，故有 =12元12=-144π(m): 因此，2s末受到扰动的水面面积的增大率为144π(
例 12 落在平静水面上的石头，产生同心圆形波纹，若最外一圈 半径的增大率总是6m s ，问 2 s 末受到扰动的水面面积的增大率为多 少？ 解 设最外圈波纹半径为r ，扰动水面面积为S ，则 2 S πr 两边同时对 t求导，得 t r r t S d d π 2 d d 从而 2 2 2 2 2π 6 12π d d 2π d d t t t t r r t r r t S ， 又 6 d d t r 为常数，故 r 6t （类似于匀速直线运动路程与速度、时 间的关系）， 因此 12 2 t r ，故有 12π 12 144π( ) d d s m 2 2 t t S . 因此，2 s 末受到扰动的水面面积的增大率为144π( )s m 2