第五章不定积分 一、本章学习要求与内容提要 (一)学习要求 1.了解原函数、不定积分的概念及其性质. 2.掌握不定积分的基本公式. 3.掌握不定积分的换元法和分部积分法， 重点原函数、不定积分的概念，不定积分的基本公式，不定积 分的换元法和分部积分法. 难点不定积分的换元法和分部积分法·
1 第五章 不定积分 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1．了解原函数、不定积分的概念及其性质． 2．掌握不定积分的基本公式． 3．掌握不定积分的换元法和分部积分法． 重点 原函数、不定积分的概念，不定积分的基本公式，不定积 分的换元法和分部积分法． 难点 不定积分的换元法和分部积分法．
(二)内容提要 1.原函数与不定积分 (1)原函数 设函数y=f(x)在某区间上有定义，若存在函数F(x),使得在该 区间任一点处，均有 F(x)=f(x)dF(x)=f(x)dx, 则称F(x)为f(x)在该区间上的一个原函数. 关于原函数的问题，还要说明两点： ①原函数的存在问题：如果∫(x)在某区间上连续，那么它的原函 数一定存在（将在下章加以说明）. ②原函数的一般表达式：若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+C 是fx)的全部原函数，其中C为任意常数. (2)不定积分 若F(x)是f(x)在某区间上的一个原函数，则(x)的全体原函数 F(x)+C（C为任意常数)称为f(x)在该区间上的不定积分，记为 ∫fx)dr,即 ∫f(x)dr=F(x)+C 积分运算与微分运算之间有如下的互逆关系： ①fx)dx'=f(x)或dfx)dr]=fx)dr,此式表明，先求积分再求 导数（或求微分），两种运算的作用相互抵消 ②[F'(x)dr=F(x)+C或[dF(x)=F(x)+C,此式表明，先求导数（或求
2 （二）内容提要 1．原函数与不定积分 （1）原函数 设函数 y f (x) 在某区间上有定义，若存在函数 F(x)，使得在该 区间任一点处，均有 F(x) f (x)或dF(x) f (x)dx , 则称F(x)为 f (x)在该区间上的一个原函数． 关于原函数的问题，还要说明两点: ①原函数的存在问题：如果 f (x)在某区间上连续，那么它的原函 数一定存在（将在下章加以说明）． ②原函数的一般表达式：若F(x)是 f (x)的一个原函数，则F(x) C 是 f (x)的全部原函数，其中C 为任意常数． (2)不定积分 若 F(x)是 f (x) 在某区间上的一个原函数，则 f (x) 的全体原函数 F(x) C （C 为任意常数）称为 f (x) 在该区间上的不定积分，记为 f (x)dx，即 f (x)dx F(x) C 积分运算与微分运算之间有如下的互逆关系： ①[ f (x)dx] f (x) d[ f (x)dx] f (x)dx 或 ,此式表明，先求积分再求 导数（或求微分），两种运算的作用相互抵消． ② F(x)dx F(x) C或 dF(x) F(x) C,此式表明，先求导数（或求
微分)再求积分，两种运算的作用相互抵消后还留有积分常数C,对 于这两个式子，要记准，要熟练运用. 2.不定积分的基本积分公式 不定积分的基本积分公式如下： (①)kdr=+C(k为常数) (2fx"dx= +C(4≠-1) 4+1 (6片dr=l+c (4)[e*dx=e*+C (5fa'dx-4+C: Ina (6)[cosxdx=sinx+C: (7)[sin xdx =-cosx+C: 8例ozdk=∫sec2dk=iamx+c 例2s-小'=-+6 (10)[secx tan xdx=tanx+C; dx (11)cscx cot xdx=-cscx+C; (I2)∫=arcsin+G 3 dx arctanx+C. 3.不定积分的性质 (1)积分对于函数的可加性，即 ∫[fx)+g(x)ldx=∫f(x)dr+∫g(x)dx, 可推广到有限个函数代数和的情况，即 fx)±f(x)土…±fn(xr=∫fx)d±∫f(x)dr±…±∫f(x)dr
3 微分）再求积分，两种运算的作用相互抵消后还留有积分常数C ．对 于这两个式子，要记准，要熟练运用． 2．不定积分的基本积分公式 不定积分的基本积分公式如下： ( 1) 1 (1) d ( ) (2) d 1 C x k x kx C k为常数 x x x x C x C x x d ln (4) e d e 1 (3) x ; (6) cos d sin ; ln (5) d C x x x C a a a x x x d sec d tan ; cos 1 (7) sin d cos ; (8) 2 2 x x x x C x x x x C d csc d cot ; (10) sec tan d tan ; sin 1 (9) 2 2 x x x x C x x x x C x arcsin ; 1-d (11) csc cot d csc ; (12) 2 x C x x x x x x C arctan . 1 d (13) 2 x C x x 3．不定积分的性质 （1）积分对于函数的可加性，即 [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx , 可推广到有限个函数代数和的情况，即 f x f x f x x f x x f x x f x x n n [ ( ) ( ) ( )]d ( )d ( )d ( )d 1 2 1 2 ．
(2)积分对于函数的齐次性，即 ∫(x)dr=Kfx)drk≠0. 4.分部积分公式∫udv=w-∫dv. 二、主要解题方法 1.直接积分法 例1计算(1) 片， (2) 解(1)不能直接用公式，用加项减项变换，即 片2列+可 =-2x+3arctanx+C (2)不能直接用公式，用二项和公式展开再利用三角变换.得 原式=[l+sin xkx=∫dr+∫sin xdx=x-cosx+C. 小结计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本 公式进行计算：有时需要先利用代数运算或三角恒等变形将被积函数 进行整理.然后分项计算
4 (2)积分对于函数的齐次性，即 kf (x)dx k f (x)dx k 0． 4．分部积分公式 udv uv udv． 二、主要解题方法 1．直接积分法 例 1 计算（1） x x x d 1 1 2 2 2 ， （2） x x x ) d 2 sin 2 (cos 2 ． 解 （1）不能直接用公式，用加项减项变换 ，即 x x x d 1 1 2 2 2 = 2 2 2 1 d d 2 d 3 1 2 2 3 x x x x x x = 2x 3arctan x C （2）不能直接用公式，用二项和公式展开再利用三角变换． 得 原式= [1 sin x]dx = dx + sin xdx = x cos x C ． 小结 计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本 公式进行计算；有时需要先利用代数运算或三角恒等变形将被积函数 进行整理．然后分项计算．
2.换元积分法 (1)第一换元积分法（凑微分法） ∫fp(x)]p'(x)dr=∫fp(xdo(x) u=(x) ∫fwd积2Fo+C 回 FTo(x)]+C. 例2计算 (1) dx 解(1)选择换元函数u=p(x)使所给积分化为基本积分∫ad形 式，再求出结果。 为此，令"=则血=警于是 ∫gd=-jrdw=- +C. Ina Ina 为简便起见，令“=1这一过程可以不写出来，解题过程写成下 面形式即可， 称为凑微分). 小结 凑微分法一般不明显换新变量“，而是隐换，像上面所做， 这样省掉了回代过程，更简便. (2)第二换元积分法 ff=F)+C+C (其中p()是单调可微函数)
5 2．换元积分法 （1）第一换元积分法(凑微分法） f [(x)](x)dx = f [(x)]d(x) u （x） f u u F u C ( )d ( ) 积分 回代 F[(x)] C . 例 2 计算 （1） x x a x d 2 1 ， （2） x x x d (1 ) 1 ． 解 （1） 选择换元函数u x使所给积分化为基本积分 a x xd 形 式，再求出结果． 为此，令 x u 1 ，则 2 d d x x u ，于是 x x a x d 2 1 = d u a u = ln u a C a = C a a x ln 1 ． 为简便起见，令 x u 1 这一过程可以不写出来，解题过程写成下 面形式即可, x x a x d 2 1 = ) 1 d( 1 x a x = C a a x ln 1 （ ) 1 d( d 2 x x x 称为凑微分）． （2） x x x d (1 ) 1 = d( ) 1 1 2 x x = 2arctan x C． 小结 凑微分法一般不明显换新变量u ，而是隐换，像上面所做， 这样省掉了回代过程，更简便． （2）第二换元积分法 f (x)dx u （x） f [(t )](t )dt = F(t) C t x 1 F x C [ ( )] 1 （其中 (t)是单调可微函数）
例3计算 解（1)令V1+x=t,则x=2-1,dx=21d,于是 原式品=可'=-2-2+c =2W1+x-2lnl+1+x+C. (2)设x=sint,√-x2=cost,dr=cosd,于是 原式m2 -号jd-fcos2a20 11 /1- isin 2t+C=. 1 sintcost+C 2 4 2 -aesinx-C. 小结第二换元法常用于消去根号，但有时也用于某些多项式， 像∫x+d 也可用函数的三角代换求出结果.通常 当被积分函数含有根式√a2-x2时，可令x=asinx, 当被积分函数含有根式Va2+x2时，可令x=atanx, 当被积分函数含有根式Vx2-a2时，可令x=asecx. 3.分部积分法 分部积分的公式为 ∫udv=w-Jdu, 应用此公式应注意： (1)v要用凑微分容易求出， (2)∫vdu比∫dv容易求
6 例 3 计算 （1） x x d 1 1 1 ， （2） x x x d 1 2 2 ． 解（1） 令 1 x t , 则 x 1 2 t , dx 2tdt ,于是 原式= t t t d 1 2 = t t t d 1 1 1 2 = ] 1 d 2[ d t t t =2t 2ln1 t C = 2 1 x 2ln1 1 x C . （2） 设 x sin t , 1 x cost 2 ,dx costdt , 于是 原式= t t t t d cos sin cos 2 = sin tdt 2 = t t d 2 1 cos 2 = 2 1 cos 2 d(2 ) 4 1 dt t t = t sin 2t C 4 1 2 1 t sin t cost C 2 1 2 1 = x C x x 2 1 2 arcsin 2 1 ． 小结 第二换元法常用于消去根号，但有时也用于某些多项式 ， 像 x x a d ( ) 1 2 2 2 也可用函数的三角代换求出结果．通常 当被积分函数含有根式 2 2 a x 时，可令 x a sin x , 当被积分函数含有根式 2 2 a x 时，可令 x a tan x , 当被积分函数含有根式 2 2 x a 时，可令 x a sec x . 3.分部积分法 分部积分的公式为 udv =uv vdu . 应用此公式应注意: （1） v要用凑微分容易求出, （2） vdu比 udv容易求. 2 1 x x 1 t
例4计算 (1)「x2+1)e'dr, (2)「sec3xdr. 解（1)选u=x2+1,dv=edx,v=e, du=2xdr,于是 原式=(x2+l)e-2[xedr, 对于∫xedr再使用分部积分法， 选u=x,d=erdx,则du=dr,v=e,从而 ∫xe'dr=xe'-∫edr=xe'-e+C. 原式=e-2(xe*-e+C,)=(x2+2x+)e*+C(C-2C), 为了简便起见，所设u=x,v=e等过程不必写出来，其解题步 骤如下： ∫xe'dk=∫xde=xe*-∫e'dr=xe-e+C. (2)∫sec3xdr=∫sec xd(tanx)=secx tanx-∫tanxd(secx) =sec xtanx-tan2 xsec xdx =secxtanx-[(sec2x-1)sec xdx =sec xtanx-∫sec3xdr+∫secxdx -secxtanx-[secxdx+Insecx+tanx, 式中出现了“循环”，即再出现了[sec3xdr移至左端，整理得 fscc[seextan x+ecx+taC 小结此积分一般用于被积函数为不同类型的函数乘积式，但也 用于某些函数，如对数函数、反三角函数等，对于被积函数是指数函 数与三角函数乘积，还有∫sin(Inx)dr以及上面所讲的[sec'dr等，需多 次使用分部积分公式，在积分中出现原来的被积分函数再移项，合并
7 例 4 计算 （1） x x x ( 1) e d 2 ， （2） 3 sec xdx ． 解 （1） 选 1 2 u x ，dv x e dx， v x e ， du 2xdx , 于是 原式 ( 1) 2 x x e 2 x x e dx , 对于 x x e dx再使用分部积分法, 选u x， dv x e dx , 则 du dx，v x e ,从而 x x e dx = x x e x x e d = x x e C x e ． 原式= x e 2(xe e C1 ) x x ( 2 1) 2 x x C x e （ 1 C 2C ）, 为了简便起见，所设 u x ,v x e 等过程不必写出来，其解题步 骤如下: x x e dx = x d x e = x x x C x x x x e e d e e . （2） 3 sec xdx = sec xd(tan x) =sec x tan x tan xd(sec x) =sec x tan x tan x sec xdx 2 =sec x tan x (sec x 1)sec xdx 2 =sec x tan x sec xdx 3 + sec xdx =sec x tan x sec xdx 3 +ln sec x tan x , 式中出现了“循环”，即再出现了 sec xdx 3 移至左端，整理得 3 sec xdx = 2 1 [sec x tan x +ln sec x tan x ]+C． 小结 此积分一般用于被积函数为不同类型的函数乘积式,但也 用于某些函数，如对数函数、反三角函数等，对于被积函数是指数函 数与三角函数乘积，还有 sin(ln x)dx 以及上面所讲的 sec xdx 3 等，需多 次使用分部积分公式，在积分中出现原来的被积分函数再移项，合并
解方程，方可得出结果，而且要记住，移项之后，右端补加积分常数 C. 三、学法建议 1.本章的重点是原函数与不定积分的概念、基本积分公式、换元 积分法与分部积分法.难点是第一换元积分法，既基本又灵活，必须 多下工夫，除了熟记积分基本公式外，还要熟记一些常用的微分关系 式.如ed=de,dh，s=2a, sinxdx=-d(cosx),sec2xdr=d(tanx)等等. 2.不定积分计算要根据被积函数的特征灵活运用积分方法.在具 体的问题中，常常是各种方法综合使用针对不同的问题采用不同的积 分方法 如「(arcsinx)dr,先换元，令t=arcsinx,再用分部积分法即可， 「(arcsinx)'dr=∫2costdr,也可多次使用分部积分公式. 3.求不定积分比求导数要难得多，尽管有一些规律可循，但在具 体应用时，却十分灵活，因此应通过多做习题来积累经验，熟悉技巧， 才能熟练掌握
8 解方程，方可得出结果，而且要记住，移项之后，右端补加积分常数 C ．三、学法建议 1．本章的重点是原函数与不定积分的概念、基本积分公式、换元 积分法与分部积分法．难点是第一换元积分法，既基本又灵活，必须 多下工夫，除了熟记积分基本公式外，还要熟记一些常用的微分关系 式．如 x e dx ) x d(e ， 1 d(ln x) x ， x x x d 2d 1 ， sin xdx d( cos x) , 2 sec xdx d(tan x) 等等． 2．不定积分计算要根据被积函数的特征灵活运用积分方法．在具 体的问题中，常常是各种方法综合使用针对不同的问题采用不同的积 分方法． 如 (arcsin x) dx 2 ，先换元，令t arcsin x ，再用分部积分法即可， (arcsin x) dx 2 = t costdt 2 ，也可多次使用分部积分公式． 3．求不定积分比求导数要难得多，尽管有一些规律可循，但在具 体应用时，却十分灵活，因此应通过多做习题来积累经验，熟悉技巧， 才能熟练掌握．