定积分 1.变上限的定积分对上限的求导方法 小结如果定积分上限是x的函数，那么利用复合函数求导公式 对上限求导；如果定积分的下限是x的函数，那么将定积分的下限变 为变上限的定积分，利用复合函数求导公式对上限求导：如果复合函 数的上限、下限都是x的函数，那么利用区间可加性将定积分写成两 个定积分的和，其中一个定积分的上限是x的函数，另一个定积分的 下限也是x的函数，都可以化为变上限的定积分来求导. 例1已知F到-+，求F). 解F()=∫+id=∫+id+∫m+d =-+id+m+i, F(x)=-v1+x2(2x)++sinx.cosx =-2x1+x2+1+sinx.cosx. 2.利用换元积分法计算定积分的方法 小结用换元积分法计算定积分，如果引入新的变量，那么求得 关于新变量的原函数后，不必回代，直接将新的积分上下限代入计算 就可以了.如果不引入新的变量，那么也就不需要换积分限，直接计 算就可以得出结果， 例2计算(1) (2) 01+√ ∫sec4 x tan xdx 解(1)利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限
定积分 1. 变上限的定积分对上限的求导方法 小结 如果定积分上限是 x 的函数，那么利用复合函数求导公式 对上限求导；如果定积分的下限是 x的函数，那么将定积分的下限变 为变上限的定积分，利用复合函数求导公式对上限求导；如果复合函 数的上限、下限都是 x的函数，那么利用区间可加性将定积分写成两 个定积分的和，其中一个定积分的上限是x的函数，另一个定积分的 下限也是 x的函数，都可以化为变上限的定积分来求导． 例 1 已知 t t x x F x 1 d sin ( ) 2 ， 求 F(x)． 解 x x F x t t sin 2 ( ) 1 d = c x t t 2 1 d + x c t t sin 1 d = 2 1 d x c t t x c t t sin 1 d ， F(x)= 1 (2 ) 2 x x + 1 sin x cos x = 2 2x 1 x 1 sin x cos x． 2. 利用换元积分法计算定积分的方法 小结 用换元积分法计算定积分，如果引入新的变量，那么求得 关于新变量的原函数后，不必回代，直接将新的积分上下限代入计算 就可以了．如果不引入新的变量，那么也就不需要换积分限，直接计 算就可以得出结果． 例 2 计算 （1） 4 0 d 1 1 x x x ， （2） 4π 0 4 sec x tan xdx ． 解 （1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限．
令t=VF，x=2,dx=2dt, 当x=0时，t=0,当x=4时，1=2，于是 4- =-2-4ln+=4-4n3 (2)原-sed6ec 44 3.利用分部积分法求定积分 小结被积函数中出现绝对值时必须去掉绝对值符号，这就要注 意正负号，有时需要分段进行积分 分部积分公式为 ∫dn=ne-Jdu. 例3计算(1) arctanxd, (2)∫xnxdx。 解(1) farctan ds =xaretand =元-n0+x28 42 =-n2. 42 (2)由于在[，1]上lnx≤0：在[1，e]上1nx≥0，所以 xilx+i =-nad受)+fnd受》
令 t x ，x 2 t ，dx 2tdt ， 当 x 0时，t 0，当x 4时，t 2，于是 4 0 d 1 1 x x x = 2 0 2 d 1 1 t t t t = 2 0 ]d 1 4 [4 2 t t t 4 4ln 3. 0 2 4 4ln1 2 t t t （2） 4π 0 4 sec x tan xdx = 4π 0 3 sec xd(sec x) 4 3 4 1 sec 1 4 1 4π 0 4 x ． 3. 利用分部积分法求定积分 小结 被积函数中出现绝对值时必须去掉绝对值符号，这就要注 意正负号，有时需要分段进行积分 分部积分公式为 b a b a b a udv uv vdu . 例 3 计算（1） 1 0 arctan xdx， （2） x ln xdx 2 e e 1 ． 解（1） 1 0 arctan xdx = 1 0 x arctan x 1 0 2 d 1 x x x = 1 0 2 ln(1 ) 2 1 4 π x = ln 2 2 1 4 ． （2） 由于在[ ,1 e 1 ]上ln x 0；在[ 2 1,e ]上ln x 0，所以 x ln xdx 2 e e 1 = ( x ln x)dx 1 e 1 + x ln xdx 2 e 1 = ) 2 ln d( 2 1 e1 x x + ) 2 ln d( 2 e1 2 x x
=[-nx+]+[号nx-] 2 4 2 4 =1(+)+(e-2e+) 4 4e22e2 4 =1313 2e4. 24e24 4.广义积分 小结由上例可见，对于积分区间是有限的积分，首先要判断是 定积分（称常义积分）还是被积函数有无穷间断点的广义积分.否则 会出现错误的结果。如上侧心，一=-兮-号错误结果。 例4判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值· ①a+，②-2 解 (1)因为积分区间为无穷区间，所以 1d+x)=lim 原式-a+y=地420 -1 故所给广义积分收敛，且其值为： (2)因为x→2时，1 (x-2)2 →0，所以x=2为间断点. 原式广八小 =2+©之 =店®-1+之， 6→061 52→0 故广义积分发散
=[ x x ln 2 2 + 4 2 x ] 1 e1 +[ x x ln 2 2 4 2 x ] 2 e1 = 4 1 （ 4 1 2 e 1 + 2 1 2 e 1 ）+（ 4 e 4 1 4 e + 4 1 ） = 2 1 4 3 2 e 1 + 4 3 4 e ． 4. 广义积分 小结 由上例可见，对于积分区间是有限的积分，首先要判断是 定积分（称常义积分）还是被积函数有无穷间断点的广义积分．否则 会出现错误的结果．如上例 3 0 2 ( 2) d x x = 3 0 2 1 x = 2 1 1 = 2 3 错误结果． 例 4 判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值 . (1) 0 2 2 d (1 ) x x x ， (2) x x d ( 2) 3 1 0 2 ． 解 (1) 因为积分区间为无穷区间，所以 原式= b lim b x x x 0 2 2 d (1 ) = b lim b x x 0 2 2 2 (1 ) d(1 ) 2 1 = b b x 2 0] 2(1 ) 1 lim[ = ] 2 1 2(1 ) 1 lim[ 2 b b = 2 1 ， 故所给广义积分收敛，且其值为 2 1 ． (2) 因为 x 2时， 2 ( 2) 1 x ，所以 x 2为间断点． 原式= 1 1 2 0 2 0 ( 2) d lim x x + 3 2 2 2 0 2 ( 2) d lim x x = 1 1 2 0 0 ] 2 1 lim [ x + 3 2 0 2 2 ] 2 1 lim [ x = ] 2 1 1 lim [ 1 1 0 + ] 1 lim [ 1 2 2 0 = ， 故广义积分发散．
定积分的应用 1.平面图形的面积 小结计算面积时要注意： (1)适当选择坐标系，以便简化计算.如题(2)若采用直角坐 标系计算就比较麻烦.一般地曲边梯形宜采用直角坐标系，曲边扇形 宜采用极坐标系。 (2)要考虑图形的对称性， (3)积分区间尽量少分块 例1求下列曲线所围成的图形的面 82) 积 yidy ☑ 2,-1) x-2y=4
定积分的应用 1. 平面图形的面积 小结 计算面积时要注意： （1） 适当选择坐标系，以便简化计算.如题（2）若采用直角坐 标系计算就比较麻烦.一般地曲边梯形宜采用直角坐标系，曲边扇形 宜采用极坐标系. （2）要考虑图形的对称性. （3）积分区间尽量少分块. 例 1 求下列曲线所围成的图形的面 积 x2y 4 2 2 x y （8,2） (2,-1) 0 x y y y+dy
(1)抛物线y2=工与直线x-2y=4, 2 (2)圆x2+y2=2am. 解(1)先画图，如图所示， 并由方程 求出交点为(2，-1)，(8,2). x-2y=4 解一取y为积分变量，y的变化区间为[-1,2]， 在区间[-1,2]上任取一子区间[y,y+dy], 则面积微元d4=(2y+4-2y2)dy, 则所求面积为 A2+4-2炒=(y2+4-子到)月=9. 解二取x为积分变量，x的变化区间 为[0,8]，由图知，若在此区间上任取子 (8,2) 区间， 需分成[0,2]，[2,8]两部分完成 在区间[0,2]上任取一子区间[x,x+dx] x-2y=4 则面积微元d4=2 , 在区间[2,8]上任取一子区间[x,x+dx], 则面积微元d4径-4】k, 于是得 A=A+A2 4=5*A5-+2
(1)抛物线 2 2 x y 与直线 x 2y 4， (2)圆 x y 2ax 2 2 . 解 (1)先画图，如图所示， 并由方程 2 4 2 2 x y x y ， 求出交点为（2，1），（8，2）. 解一 取 y 为积分变量, y 的变化区间为[ 1，2]， 在区间[ 1，2]上任取一子区间[ y ， y +dy ]， 则面积微元 dA =(2y 4 2y )dy 2 , 则所求面积为 A = 2 1 2 (2y 4 2y )dy = （ 2 3 3 2 y 4y y ） 21 =9. 解二 取x 为积分变量， x的变化区间 为[0，8]，由图知，若在此区间上任取子 区间， 需分成[0，2]，[2，8]两部分完成. 在区间[0，2]上任取一子区间[ x，x +dx ] 则面积微元 dA 1= x x ]d 2 [2 , 在区间[2，8]上任取一子区间[ x， x +dx ]， 则面积微元 dA 2=[ ( 4) 2 1 2 x x ]dx , 于是得 A = A 1+ A 2 A = 2 0 d 2 2 x x + A x x x 2)d 2 2 ( 8 2 y x2y 4 2 2 x y （8,2） (2,-1) O x
2929号2a1非9. =223. 显然，解法一优于解法二。因此作题时，要先画图，然后根据图 形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. (2)如图，利用极坐标计算 9的变化区间为[-受] r=2acos0 则面积微元 0+d0 dA ra =(2acosoy do, x2+y2=2ax 于是所求图形的面积为 =2a2∫cos2d0, 利用对称性，得A=4a2片cos2d0-2a2+cos20a0 -22(0+m20） =元a2, 事实上，r=2acos0表示一个半径为a的圆.面积A=πa2是正确的. 2.旋转体的体积 小结求旋转体体积时，第一要明确形成旋转的平面图形是由哪 些曲线围成，这些曲线的方程是什么：第二要明确图形绕哪一条坐标 轴或平行于坐标轴的直线旋转，正确选择积分变量，写出定积分的表 达式及积分上下限
= 2 3 3 2 2 x 2 0 +[ 2 3 3 2 2 x 2 2 4 x x ] 8 2 =9 . 显然，解法一优于解法二。因此作题时，要先画图，然后根据图 形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. (2) 如图，利用极坐标计算. 的变化区间为[ 2 π ， 2 π ] 则面积微元 dA = 2 1 2 r d = 2 1 2 (2a cos ) d , 于是所求图形的面积为 A = 2π 2π 2 (2 cos ) d 2 1 a =2 2 a 2π 2π 2 cos d , 利用对称性，得 A =4 2 a 2π 0 2 cos d =2 2 a 2π 0 (1 cos 2 )d =2 2 a （ + 2 1 sin 2 ） 2π 0 = π 2 a , 事实上，r 2a cos 表示一个半径为a的圆.面积 A = π 2 a 是正确的. 2. 旋转体的体积 小结 求旋转体体积时，第一要明确形成旋转的平面图形是由哪 些曲线围成，这些曲线的方程是什么；第二要明确图形绕哪一条坐标 轴或平行于坐标轴的直线旋转,正确选择积分变量，写出定积分的表 达式及积分上下限. r 2acos d x x y 2ax 2 2
例2求由曲线y=4,直线x=1,x=4,y=0绕x轴旋转一周而 形成的立体体积. 解先画图形，因为图形绕x轴旋转，所以取x为积分变量，x的 变化区间为[1,4]，相应于[1,4]上任取一子区间[x,x+dr]的小窄条， 绕x轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为dx,底面积为y2的小 圆柱体体积近似代替， 即体积微元为 dp=y2d=π()2d, 于是，体积 v=xS(dx xx+dx 4 =16是 =-16元=12x
例 2 求由曲线 xy 4 , 直线 x 1, x 4 , y 0绕 x 轴旋转一周而 形成的立体体积. 解 先画图形，因为图形绕x 轴旋转，所以取 x为积分变量，x的 变化区间为[1,4]，相应于[1，4]上任取一子区间[ x , x +dx ]的小窄条， 绕 x 轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为dx，底面积为 2 πy 的小 圆柱体体积近似代替， 即体积微元为 dV = 2 πy dx = π 2 ) 4 ( x dx , 于是，体积 V = π 4 1 2 ) d 4 ( x x =16 π 4 1 2 d 1 x x 16 π 4 1 1 x =12 π . O x x+dx x xy=4 y 1 4
