第七章 定积分的应用 一、本章学习要求与内容提要 (一)学习要求 1.掌握定积分的微元法. 2.会用定积分的微元法求平面图形的面积. 3.会用定积分的微元法求旋转体的体积. 4.会用定积分的微元法求变力所做的功. 5.会用定积分的微元法求液体的侧压力. 重点定积分的微元法，利用微元法求平面图形的面积和旋转体 的体积 难点定积分的微元法，微元法在实际问题中的应用
1 第七章 定积分的应用 一 、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1．掌握定积分的微元法. 2．会用定积分的微元法求平面图形的面积. 3．会用定积分的微元法求旋转体的体积. 4．会用定积分的微元法求变力所做的功. 5．会用定积分的微元法求液体的侧压力. 重点 定积分的微元法，利用微元法求平面图形的面积和旋转体 的体积. 难点 定积分的微元法，微元法在实际问题中的应用
(二)内容提要 1.定积分的微元法 (1)在区间[a,b]上任取一个微小区间[x,x+dr],然后写出在这个小 区间上的部分量△Q的近似值，记为dQ=f(x)dr(称为Q的微元)； (2)将微元dQ在[a,]上无限“累加”，即在[a,b]上积分，得 g=∫fx)dr 上述两步解决问题的方法称为微元法， 关于微元dQ=f(x)dr,我们有两点要说明： ①f(x)dr作为△Q的近似表达式，应该足够准确，确切地说，就是 要求其差是关于△x的高阶无穷小，即△Q-f(x)dr=o(△x).称做微元的 量f(x)dx,实际上就是所求量的微分dQ. ②具体怎样求微元呢？这是问题的关键，需要分析问题的实际意 义及数量关系。一般按在局部[x,x+dr]上以“常代变”、“直代曲”的 思路（局部线性化），写出局部上所求量的近似值，即为微元 do=f(x)dx. 2.面积微元与体积微元 (1)面积微元 ①由曲线y=f(x)≥0，x=a,x=b及x轴所围成的图形，其面积微元 dA=f(x)dr,面积A-∫fx)dr. 2
2 （二）内容提要 1．定积分的微元法 (1)在区间a,b上任取一个微小区间x, x dx,然后写出在这个小 区间上的部分量Q的近似值,记为dQ f (x)dx (称为Q的微元)； （2）将微元dQ在a,b上无限“累加”，即在a,b上积分，得 b a Q f (x)dx 上述两步解决问题的方法称为微元法. 关于微元dQ f (x)dx，我们有两点要说明： ① f (x)dx作为Q的近似表达式，应该足够准确，确切地说，就是 要求其差是关于x 的高阶无穷小，即Q f (x)dx o(x) .称做微元的 量 f (x)dx，实际上就是所求量的微分dQ . ②具体怎样求微元呢？这是问题的关键，需要分析问题的实际意 义及数量关系。一般按在局部x, x dx上以“常代变”、“直代曲”的 思路（局部线性化），写出局部上所求量的近似值，即为微元 dQ f (x)dx . 2.面积微元与体积微元 （1）面积微元 ①由曲线 y f (x) 0, x a, x b及x 轴所围成的图形,其面积微元 dA f (x)dx ,面积 b a A f (x)dx
②由上下两条曲线y=f(x),y=f(x)(f2(x)≥(x)及x=a,x=b所围 成的图形，其面积微元d4=[/,(x)-f(x)x,面积A=∫/(x)-f(x)dx. ③由左右两条曲线x=g1y),x=g2y)(g2(y)≥g1y》及y=c,y=d所 围成的图形，其面积微元d4=g,(y)-g(y)y,面积 A-∫[g)-gody(注意，这时应取横条矩形为A,即取y为积分 变量) (2)体积微元 不妨设直线为x轴，则在x处的截面面积4(x)是x的已知连续函 数，求该物体介于x=a和x=b(a<b)之间的体积. 用“微元法”.为求出体积微元dΨ，在微小区间[x,x+dr]上视4(x) 不变，即把x,x+dr]上的立体薄片近似看作以Ax)为底，dr为高的柱 片，于是其体积微元dΨ=A(x)dr,再在x的变化区间[a,b上积分，则 有P=∫A(x)dr. 3.弧微元与平面曲线弧微分公式 设曲线y=fx)在[a,b上有一阶连续导数，仍用微元法，取x为积 分变量，在[a,]上任取小区间[x,x+dx],切线上相应小区间的小段MT 的长度近似代替一段小弧M的长度，得弧长微元为 ds=MT=(dx)2+(dy)2=+y2dx, 这里 ds=(dx)2+(dy)2=x2(t)+y2(t)dt. 3
3 ②由上下两条曲线 y f (x), y f (x) ( f (x) f (x)); x a, x b 2 1 2 1 及 所围 成的图形，其面积微元dA f (x) f (x)dx 2 1 ，面积 A f x f x x b a ( ) ( ) d 2 1 . ③由左右两条曲线 ( ), ( ) ( ( ) ( )) , 1 2 2 1 x g y x g y g y g y 及 y c y d 所 围 成 的 图 形 ， 其 面 积 微 元 dA g ( y) g ( y)dy 2 1 ， 面 积 A g y g y y d c ( ) ( ) d 2 1 （注意，这时应取横条矩形为dA，即取 y 为积分 变量）. （2）体积微元 不妨设直线为 x 轴，则在 x 处的截面面积 A(x)是 x 的已知连续函 数，求该物体介于x a 和 x b(a b) 之间的体积. 用“微元法”.为求出体积微元dV ，在微小区间x, x dx上视 A(x) 不变，即把x, x dx上的立体薄片近似看作以 A(x)为底，dx为高的柱 片，于是其体积微元dV A(x)dx ，再在 x 的变化区间a,b上积分，则 有 b a V A(x)dx . 3．弧微元与平面曲线弧微分公式 设曲线 y f (x) 在a,b上有一阶连续导数,仍用微元法，取 x 为积 分变量，在a,b上任取小区间x, x dx，切线上相应小区间的小段MT 的长度近似代替一段小弧MN 的长度，得弧长微元为 ds MT (dx) (dy) 1 y dx 2 2 2 , 这里 ds (dx) (dy) x (t) y (t)dt 2 2 2 2
二、主要解题方法（微元法） 1.求平面图形的面积的方法 例1求下列曲线所围成的图形的面 积 (8,2) (1)抛物线y2=x与直线x-2y=4, (2)圆x2+y2=2ar. 解(1)先画图，如图所示， x-2y=4 并由方程 求出交点为(2， x-2y=4 -1),(8,2). 解一取y为积分变量，y的变化区间为[-1,2]， 在区间[-1,2]上任取一子区间[y,y+dy], 则面积微元d4=(2y+4-2y2)dy, 则所求面积为 4i2+4-2y海=(y+4y-子y)日=9. 解二取x为积分变量，x的变化区间 为[0,8]，由图知，若在此区间上任取子 (8.2) 区间， 需分成[0,2]，[2,8]两部分完成. 在区间[0,2]上任取一子区间[x,x /x-2y=4 +dr], 4
4 二 、主要解题方法（微元法） 1．求平面图形的面积的方法 例 1 求下列曲线所围成的图形的面 积 (1)抛物线 2 2 x y 与直线 x 2y 4， (2)圆 x y 2ax 2 2 . 解 (1)先画图，如图所示， 并由方程 2 4 2 2 x y x y ， 求出交点为（2， 1），（8，2）. 解一 取 y 为积分变量, y 的变化区间为[ 1，2]， 在区间[ 1，2]上任取一子区间[ y ， y +dy ]， 则面积微元 dA =(2y 4 2y )dy 2 , 则所求面积为 A = 2 1 2 (2y 4 2y )dy = （ 2 3 3 2 y 4y y ） 21 =9. 解二 取 x为积分变量， x的变化区间 为[0，8]，由图知，若在此区间上任取子 区间， 需分成[0，2]，[2，8]两部分完成. 在区间[0，2]上任取一子区间[ x ， x +dx ]， x2y 4 2 2 x y （8,2） (2,-1) 0 x y y y+dy y x2y 4 2 2 x y （8,2） (2,-1) O x
则面积微元。 =, 在区间[2,8]上任取一子区间[x,x+d], 则面积微元d4[行x-]山， 于是得 A=A十A2 4-r+45-支+2t 22+25-+29 显然，解法一优于解法二。因此作题时，要先画图，然后根据图 形选择适当的积分变量，尽量使计算方便 (2)如图，利用极坐标计算. 0的变化区间为[-受 0+d0 r=2acos0 则面积微元 d4 r2d 2 (2acos do, x2+y2=2ax 于是所求图形的面积为 A= =2a2且cos2d0, 利用对称性，得A=4a2后cos2d0=-2a2后1+cos20u0 5
5 则面积微元 dA 1= x x ]d 2 [2 , 在区间[2，8]上任取一子区间[ x， x +dx ]， 则面积微元 dA 2=[ ( 4) 2 1 2 x x ]dx , 于是得 A = A 1+ A 2 A = 2 0 d 2 2 x x + A x x x 2)d 2 2 ( 8 2 = 2 3 3 2 2 x 2 0 +[ 2 3 3 2 2 x 2 2 4 x x ] 8 2 =9 . 显然，解法一优于解法二。因此作题时，要先画图，然后根据图 形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. (2) 如图，利用极坐标计算. 的变化区间为[ 2 π ， 2 π ] 则面积微元 dA = 2 1 2 r d = 2 1 2 (2a cos ) d , 于是所求图形的面积为 A = 2π 2π 2 (2 cos ) d 2 1 a =2 2 a 2π 2π 2 cos d , 利用对称性，得 A =4 2 a 2π 0 2 cos d =2 2 a 2π 0 (1 cos 2 )d r 2acos d x x y 2ax 2 2
=2a2( 2 sin20) =元a2, 事实上，r=2acos0表示一个半径为a的圆.面积A=πa2是正确的. 小结计算面积时要注意： (1)适当选择坐标系，以便简化计算.如题(2)若采用直角坐 标系计算就比较麻烦.一般地曲边梯形宜采用直角坐标系，曲边扇形 宜采用极坐标系 (2)要考虑图形的对称性. (3)积分区间尽量少分块。 2.求旋转体体积的方法 例2求由曲线y=4,直线x=1,x=4,y=0绕x轴旋转一周而 形成的立体体积. 解先画图形，因为图形绕x轴旋转，所以取x为积分变量，x的 变化区间为[1,4]，相应于[1,4幻上任取一子区间[x,x+dr]的小窄条， 绕x轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为r,底面积为y的小 圆柱体体积近似代替， 即体积微元为 dW=y2dr=π()2dr, 于是，体积 v-zS'd xx+dx 4 =16x是dk =-16元=12x。 6
6 =2 2 a （ + 2 1 sin 2 ） 2π 0 = π 2 a , 事实上，r 2a cos 表示一个半径为a的圆.面积 A = π 2 a 是正确的. 小结 计算面积时要注意： （1） 适当选择坐标系，以便简化计算.如题（2）若采用直角坐 标系计算就比较麻烦.一般地曲边梯形宜采用直角坐标系，曲边扇形 宜采用极坐标系. （2）要考虑图形的对称性. （3）积分区间尽量少分块. 2．求旋转体体积的方法 例 2 求由曲线 xy 4 , 直线 x 1, x 4 , y 0绕 x 轴旋转一周而 形成的立体体积. 解 先画图形，因为图形绕 x轴旋转，所以取 x为积分变量，x 的 变化区间为[1,4]，相应于[1，4]上任取一子区间[ x , x +dx ]的小窄条， 绕 x 轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为dx ，底面积为 2 πy 的小 圆柱体体积近似代替， 即体积微元为 dV = 2 πy dx = π 2 ) 4 ( x dx , 于是，体积 V = π 4 1 2 ) d 4 ( x x =16 π 4 1 2 d 1 x x 16 π 4 1 1 x =12 π . O x x+dx x xy=4 y 1 4
小结求旋转体体积时，第一要明确形成旋转的平面图形是由哪 些曲线围成，这些曲线的方程是什么；第二要明确图形绕哪一条坐标 轴或平行于坐标轴的直线旋转，正确选择积分变量，写出定积分的表 达式及积分上下限. 3.求曲线的弧长的方法 例3（①）求曲线y=2x上从0到3一段弧的长度， 3 (2)求圆的渐开线方程 x=a(cos1+isin）,上相应于1从0到π的一 y=a(sint-tcost) 段弧的长度 解(1)由公式s=∫V1+y严dr（a<b)知，弧长为 =+y-+a号0+啡-9-号号 (2)因为曲线方程以参数形式给出，所以弧微元为 ds =x(t)+y2(t)dt, x'(t)=a(-sint+sint+tcost) atcost y'(t)=a(cost-cost+tsint)=atsint x()+y2(t)=va't"cos't+a't"sin2t=at 故所求弧长为 s0*y0a-at-a5号a… 4.求变力做功的方法 7
7 小结 求旋转体体积时，第一要明确形成旋转的平面图形是由哪 些曲线围成，这些曲线的方程是什么；第二要明确图形绕哪一条坐标 轴或平行于坐标轴的直线旋转,正确选择积分变量，写出定积分的表 达式及积分上下限. 3.求曲线的弧长的方法 例 3 (1)求曲线 2 3 3 2 y x 上从 0 到 3 一段弧的长度, (2)求圆的渐开线方程 (sin cos ) (cos sin ) y a t t t x a t t t ,上相应于t从0到π的一 段弧的长度. 解 (1) 由公式 s = y x b a 1 d 2 （ a b）知,弧长为 s = 1 y dx 3 0 2 = x x 3 0 1 d = 3 2 3 0 2 3 (1 x) = 3 16 3 2 = 3 14 . (2) 因 为 曲 线 方 程 以 参 数 形 式 给 出 ， 所 以 弧 微 元 为 ds x (t) y (t)dt 2 2 , x(t) a(sin t sin t t cost) = at cost , y(t) a(cost cost tsin t) = atsin t , 故 ( ) ( ) 2 2 x t y t = a t t a t t 2 2 2 2 2 2 cos sin =at , 故所求弧长为 s = x (t) y (t)dt π 0 2 2 = atdt π 0 =a π 0 2 ) 2 ( t = 2 π 2 a . 4．求变力做功的方法
例4设有一弹簧，假定被压缩0.5cm时需用力1N(牛顿)，现弹 簧在外力的作用下 被压缩3cm,求外力所做的功. 解根据胡克定理，在一定的弹性范围内，将弹簧拉伸（或压缩） 所需的力F与伸长量（压缩量）x成正比，即 F=kx(k>0为弹性系数) 按假设当x=0.005m时，F=1N,代入上式得k=2N/m,即有 F=200x, 所以取x为积分变量，x的变化区间为[0,0.03]， 功微元为dW=F(x)dr=200xdr, 于是弹簧被压缩了3cm时，外力所做的功为 w=j8200xd=10xr28-0.09(J). 5.求液体对侧面的压力的方法 例5一梯形闸门倒置于水中，两底边的长度分别为2a,2b (a<b),高为h,水面与闸门顶齐平，试求闸门上所受的压力F. 解取坐标系如图所示， 则AB的方程为y=a-b x+b, 取水深x为积分变量，x的变化区间为[0，h],在[0，h]上任取一子 区间[x,x+dr], 与这个小区间相对应的小梯形上各 点处的压强P=yx（y为水的比重)， x+dx 8
8 例 4 设有一弹簧，假定被压缩 0.5cm 时需用力 1N（牛顿）,现弹 簧在外力的作用下 被压缩 3cm，求外力所做的功. 解 根据胡克定理，在一定的弹性范围内，将弹簧拉伸（或压缩） 所需的力F 与伸长量（压缩量） x成正比，即 F =k x （k 0为弹性系数） 按假设 当 x =0.005m 时 ，F =1N， 代入上式得 k =2N/m,即有 F =200 x , 所以取 x为积分变量， x的变化区间为[0，0.03]， 功微元为 dW = F(x) dx =200 x dx , 于是弹簧被压缩了 3cm 时，外力所做的功为 W = 200xdx 0.03 0 = 0.03 0 2 (100x ) =0.09（J）. 5．求液体对侧面的压力的方法 例 5 一梯形闸门倒置于水中，两底边的长度分别为 2a ， 2b （a b）,高为h，水面与闸门顶齐平，试求闸门上所受的压力F . 解 取坐标系如图所示, 则 AB 的方程为 x b h a b y , 取水深 x为积分变量，x的变化区间为[0，h ]，在[0，h ]上任取一子 区间[ x ，x +dx ]， 与这个小区间相对应的小梯形上各 点处的压强 P = x ( 为水的比重), O x h x+dx y x
小梯形上所受的水压力 dP=(2ydx)yx=2yx (a-bx+b)dx h 小梯形上所受的总压力为 P-3y分+b地 =2y2片r+b加 32 3 三、学法建议 1.本章的重点是定积分的微元法，利用微元法求平面图形的面积 和旋转体的体积.学好本章内容的关键是如何应用微元法，解决一些 实际问题，这也是本章的难点 2.首先要弄清楚哪种量可以用积分表达，即用微元法来求它，所 求的量F必须满足(1)与分布区间有关，且具有可加性；(2)分布 不均匀，而部分量可以表示出来 3.用微元法解决实际问题的关键是如何定出部分量的近似表达 式，即微元.如面积微元，功微元.微元一般是部分量的线性主部，求 它虽有一定规律，可以套用一些公式，但我们不希望死套公式，而应
9 小梯形上所受的水压力 dP =( 2y dx ) x =2 x（ x b h a b ）dx 小梯形上所受的总压力为 P x b x h a b x h 2 ( )d 0 =2 x bx x h h a b 0 2 ( )d =2 x h b x h a b 0 3 2 ) 3 2 ( =2 （ 3 2 a b b ） 2 h = 3 1 （2a b ） 2 h . 三、学法建议 1．本章的重点是定积分的微元法，利用微元法求平面图形的面积 和旋转体的体积.学好本章内容的关键是如何应用微元法，解决一些 实际问题，这也是本章的难点. 2．首先要弄清楚哪种量可以用积分表达，即用微元法来求它，所 求的量F 必须满足 （1）与分布区间有关，且具有可加性；（2）分布 不均匀，而部分量可以表示出来. 3．用微元法解决实际问题的关键是如何定出部分量的近似表达 式，即微元.如面积微元，功微元.微元一般是部分量的线性主部，求 它虽有一定规律，可以套用一些公式，但我们不希望死套公式，而应
用所学知识学会自己去建立积分公式，这就需要多下工夫了. 4.用微元法解决实际问题应注意： (1)选好坐标系，这关系到计算简繁问题： (2)取好微元(x)dr,经常应用“以匀代变”“以直代曲”的思 想决定△A的线性主 部，这关系到结果正确与否的问题， (3)核对f(x)dx的量纲是否与所求总量的量纲一致. 10
10 用所学知识学会自己去建立积分公式,这就需要多下工夫了. 4．用微元法解决实际问题应注意： （1）选好坐标系，这关系到计算简繁问题； （2）取好微元 f (x)dx，经常应用“以匀代变”“以直代曲”的思 想决定A的线性主 部，这关系到结果正确与否的问题. （3）核对 f (x)dx的量纲是否与所求总量的量纲一致