习题五偏导数的几何应用 1设曲面方程为2=x2+少2-1在点(21,4) 处的切平面方程为 A.4x+2y=10 0B.4x+2y+2=14 0C.4x+2y-z=6 0D.2x+2y-z=2 2.设曲面方程为z=x2+y2-1,在点(2,1,4)处的法线方程为 0Ax+2-y+1=2+4 BX-2-y-1-2-4 4 2-1 -4-21 cx-2=y-1=2-4 D-2=y-12-4 2 1 42-1 x=1, y=2 3.若曲线为(2= ’则与平面9x-6y+z=1平行的曲线的切线方程 x-3=y-9=2-27 x-1=y-1--l 0A12 3 0B.123 x+1=y+1=+1 x-1=y-1=-1 0c.1=2=3 0D.9=-6-1 4.曲面z=x2+2y2的与平面2x-4y+z=0平行的切平面方程为 0A2(x-)-40y+1)+亿+3)=0 0B.2(x+1)-40y-1)+(2-3)=0 0c.2(x+1)+40y-0+e-3)=00D.2(x+1)-20y-1)+a-3)=0
习题五 偏导数的几何应用 1. 设曲面方程为 ,在点 处的切平面方程为_____________ ． A. B. C. D. 2．设曲面方程为 ,在点 处的法线方程为____________． A. B. C. D. 3．若曲线为 则与平面 平行的曲线的切线方程________． A. B. C. D. 4．曲面 的与平面 平行的切平面方程为_______． A. = B. = C. = D. = 2 3 , , , x t y t z t 3 27 2 9 1 3 x y z 3 1 2 1 1 1 x y z 3 1 2 1 1 1 x y z 1 1 6 1 9 1 x y z
1.C.解设f(x,y)=x2+y2-1, (x,y)=2x,f(x,y)=2y, f(1,2)=4f'(2,1)=2, 在点(2,1,4)处的切平面方程为4(x-2)+2(y-1)-(z-4)=0, 即：4x+2y-z=6. 2.D.解由偏导数的几何应用公式得-2=y-1_三-4 42-1 3.B.解曲线切线的方向向量为t=1,21,32},平面的法向量为n=9,-6,1, 因为t∥n,所以9-121+312=0，解之得t=1,t=3, 所以曲线上的切点为(1,1,1)，(3,9,27)，切线方程为 x-1-y-1-2-1 123 4.B.解设F(x,y,z)=x2+2y2-z, 则F(x,y,z)=2x,F,(x,y,z)=4y，F(x,y,z)=-1, 因为两平面平行，设曲面与切平面的交点为(x,%,0), 所似2受==片， 解之得x=-1,%=1,0=3, 故切平面方程为：2(x+1)-4(y-1)+(z-3)=0·
1. C．解 设 ( , ) 1 2 2 f x y x y ， 则 f x y x x ( , ) 2 ， f x y y y ( , ) 2 ， f x (1,2) 4 (2,1) 2 y f ， 在点 (2,1,4) 处的切平面方程为 4(x 2) 2( y 1) (z 4) 0 ， 即： 4x 2y z 6 . 2. D．解 由偏导数的几何应用公式得 1 4 2 1 4 2 x y z . 3. B．解 曲线切线的方向向量为 τ = 2 1,2t,3t ，平面的法向量为 n =9,6,1， 因为 τ ∥ n ，所以 9 12 3 0 2 t t ，解之得 t 1 ，t 3， 所以曲线上的切点为 (1,1,1) ，(3,9,27) ，切线方程为 3 1 2 1 1 1 x y z 4. B．解 设 F(x, y,z) = x y z 2 2 2 ， 则 F (x, y,z) x = 2x ， F (x, y,z) y = 4 y ， F (x, y,z) z = 1， 因为两平面平行，设曲面与切平面的交点为 ( , , ) 0 0 0 x y z ， 所以 1 1 4 4 2 2 0 0 x y ， 解之得 0 x = 1， 0 y =1， 0 z =3， 故切平面方程为： 2(x 1) 4( y 1) (z 3) = 0