第九章 空间解析几何 一、本章学习要求与内容提要 (一)学习要求 1.理解空间直角坐标系的概念，掌握两点间的距离公式. 2.理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方 向角、方向余弦概念 3.理解向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念， 4.理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用 向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算， 5.理解平面的点法式方程和空间直线的点向式方程（标准方程）、 参数方程，了解平面和空间直线的一般式方程， 6.理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲面的概 念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面上的旋转曲面及以 坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及其图形， 7.了解空间曲线及其方程，会求空间曲线在坐标面内的投影 8.了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其图形 重点向量的概念，向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念， 用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算， 平面的点法式方程，空间直线的标准式方程和参数方程，球面、以坐 标轴为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形，空间曲线在坐标面内的投 影 难点向量的概念，向量的数量积与向量积的概念与计算，利用
1 第九章 空间解析几何 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1．理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式. 2．理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方 向角、方向余弦概念. 3．理解向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念. 4．理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用 向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算. 5．理解平面的点法式方程和空间直线的点向式方程（标准方程）、 参数方程，了解平面和空间直线的一般式方程. 6．理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲面的概 念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面上的旋转曲面及以 坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及其图形. 7．了解空间曲线及其方程，会求空间曲线在坐标面内的投影. 8．了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其图形. 重点 向量的概念，向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念， 用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算， 平面的点法式方程，空间直线的标准式方程和参数方程，球面、以坐 标轴为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形，空间曲线在坐标面内的投 影. 难点 向量的概念，向量的数量积与向量积的概念与计算，利用
向量的数量积与向量积去建立平面方程与空间直线方程的方法，利用 曲面的方程画出空间图形 (二)内容提要 1.空间直角坐标系 在空间，使三条数轴相互垂直且相交于一点0，这三条数轴分别 称为x轴、y轴和z轴，一般是把x轴和轴放置在水平面上，：轴垂直 于水平面.：轴的正向按下述法则规定如下：伸出右手，让四指与大 拇指垂直，并使四指先指向x轴的正向，然后让四指沿握拳方向旋转 90°指向y轴的正向，这时大拇指所指的方向就是：轴的正向（该法则 称为右手法则).这样就组成了右手空间直角坐标系O.在此空间直 角坐标系中，x轴称为横轴，y轴称为纵轴，z轴称为竖轴，O称为坐 标原点；每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.x轴与y轴 所确定的坐标面称为xOy坐标面，类似地有Oz坐标面，Ox坐标面。 这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限。 在空间直角坐标系中建立了空间的一点M与一组有序数(x,y,) 之间的一一对应关系。有序数组(x,y,)称为点M的坐标：x,y,z分别称 为x坐标，y坐标，坐标
2 向量的数量积与向量积去建立平面方程与空间直线方程的方法，利用 曲面的方程画出空间图形. （二）内容提要 1. 空间直角坐标系 在空间,使三条数轴相互垂直且相交于一点O，这三条数轴分别 称为 x 轴、 y 轴和 z 轴，一般是把 x轴和y轴 放置在水平面上， z 轴垂直 于水平面. z 轴的正向按下述法则规定如下：伸出右手，让四指与大 拇指垂直，并使四指先指向 x轴的正向，然后让四指沿握拳方向旋转 90 0指向 y 轴的正向，这时大拇指所指的方向就是 z 轴的正向(该法则 称为右手法则).这样就组成了右手空间直角坐标系Oxyz .在此空间直 角坐标系中，x轴称为横轴，y 轴称为纵轴，z 轴称为竖轴，O称为坐 标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面. x 轴与 y 轴 所确定的坐标面称为 xOy 坐标面，类似地有 yOz 坐标面， zOx坐标面。 这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限. 在空间直角坐标系中建立了空间的一点M 与一组有序数(x, y,z) 之间的一一对应关系。有序数组(x, y,z)称为点M 的坐标；x, y,z 分别称 为x 坐标， y 坐标， z 坐标
2.向量的基本概念 ()向量的定义既有大小，又有方向的量，称为向量或矢量， (2)向量的模向量的大小称为向量的模，用a或AB表示向量的 模 (3)单位向量模为1的向量称为单位向量. (4)零向量模为0的向量称为零向量，零向量的方向是任意的. (⑤)向量的相等大小相等且方向相同的向量称为相等的向量， (6)自由向量在空间任意地平行移动后不变的向量，称为自由向 量. (7)向径终点为P的向量OP称为点P的向径，记为OP. 3.向量的线性运算 (1)向量的加法 ①三角形法则若将向量a的终点与向量b的起点放在一起，则 以a的起点为起点，以b的终点为终点的向量称为向量a与b的和向 量，记为a+b.这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则， ②平行四边形法则将两个向量a和b的起点放在一起，并以a 和b为邻边作平行四边形，则从起点到对角顶点的向量称为a+b.这 种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则. 向量的加法满足下列运算律 交换律：a+b=b+a; 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
3 2. 向量的基本概念 ⑴向量的定义 既有大小，又有方向的量，称为向量或矢量． ⑵向量的模 向量的大小称为向量的模，用 a 或 AB 表示向量的 模． ⑶单位向量 模为 1 的向量称为单位向量． ⑷零向量 模为０的向量称为零向量，零向量的方向是任意的. ⑸向量的相等 大小相等且方向相同的向量称为相等的向量. ⑹自由向量 在空间任意地平行移动后不变的向量,称为自由向 量. ⑺向径 终点为P 的向量OP 称为点P 的向径,记为OP . 3. 向量的线性运算 ⑴ 向量的加法 ① 三角形法则 若将向量a 的终点与向量b 的起点放在一起，则 以a 的起点为起点，以b 的终点为终点的向量称为向量a 与b 的和向 量，记为a b .这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则. ② 平行四边形法则 将两个向量a 和b 的起点放在一起，并以a 和b 为邻边作平行四边形，则从起点到对角顶点的向量称为a b .这 种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则. 向量的加法满足下列运算律. 交换律：a b =b a ； 结合律：（a b ）+c =a +（b +c）
(2)向量与数的乘法运算 实数2与向量a的乘积是一个向量，称为向量a与数2的乘积，记 作a,并且规定：①al-a: ②当1>0时，a与a的方向相同；当2<0时，a与a的方向相反； ③当1=0时，a是零向量. 设元，“都是实数，向量与数的乘法满足下列运算律： 结合律：(ua=()a=(2a); 分配律：(2+)a=a+4a,(a+b)=a+b. 向量的加法运算和向量与数的乘法运算统称为向量的线性运 算. (3)求与a同向的单位向量的方法设向量a是一个非零向量，则 与a同向的单位向量e。= a (4)负向量当元=-1时，记(1)a=-a,则-a与a的方向相反，模 相等，-a称为向量a的负向量. (⑤)向量的减法两向量的减法（即向量的差）规定为a-b=a +(-1)b. 向量的减法也可按三角形法则进行，只要把a与b的起点放在一 起，a-b即是以b的终点为起点，以a的终点为终点的向量. 4.向量的坐标表示 4
4 ⑵ 向量与数的乘法运算 实数 与向量a 的乘积是一个向量，称为向量a 与数 的乘积，记 作a ，并且规定： ① a a ； ②当 0时，a 与a 的方向相同；当 0时，a 与a 的方向相反； ③当 0时，a 是零向量. 设, 都是实数，向量与数的乘法满足下列运算律： 结合律：( a) () a ( a)； 分配律：( )a a a , (a +b )=a + b . 向量的加法运算和向量与数的乘法运算统称为向量的线性运 算. ⑶ 求与a 同向的单位向量的方法 设向量a 是一个非零向量，则 与a 同向的单位向量 a a e a . ⑷ 负向量 当 1时，记(-1)a =-a ，则-a 与a 的方向相反，模 相等，-a 称为向量a 的负向量. ⑸ 向量的减法 两向量的减法（即向量的差）规定为 a - b = a +(-1)b . 向量的减法也可按三角形法则进行，只要把a 与b 的起点放在一 起，a -b 即是以b 的终点为起点，以a 的终点为终点的向量. 4. 向量的坐标表示
(1)基本单位向量i,j,k分别为与x轴，y轴，z轴同向的单位向 量 (2)向径的坐标表示点P(a,a,a,)的向径OP的坐标表达式为 0P=a,i+a,j+a,k或简记为 OP={a1,a2,a3}· (3)M,M,的坐标表示设以M11,1,)为起点，以M2x2,y2,2)为终 点的向 M,M,的坐标表达式为 M1M2=(x2-x)i+(y2-1)j+(32-1)k. (4)向量a=a,i+a2j+a,k的模a=Va+a+a. 5.坐标表示下的向量的线性运算 设a=a,i+a2j+a,k,b=b,i+b2j+b,k,则有 (1)a+b=(a1+b)i+(a2+b2)j+(a3+b3)k; (2)a-b=(a1-b)i+(a2-b2)j+(a3-b3)k; (3)ha=A(a i+azj+a;k)=hai+hazj+hask. 6.向量的数量积 (I)定义设向量a,b之间的夹角为0(0≤0≤)，则称acos0为向 量a与b的数 量积，记作a·b,即a·b=a cos8. 向量的数量积又称“点积”或“内积
5 ⑴ 基本单位向量 i , j , k 分别为与 x 轴, y 轴, z 轴同向的单位向 量. ⑵ 向径的坐标表示 点 ( , , ) 1 2 3 P a a a 的向径 OP 的坐标表达式为 OP = i j k 1 2 3 a a a 或简记为 OP ={ , , } 1 2 3 a a a . ⑶ M1M 2 的坐标表示 设以 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 为起点,以 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 为终 点的向 M1M 2 的坐标表达式为 M1M 2 =( )i ( ) j ( )k 2 1 2 1 2 1 x x y y z z . ⑷ 向量a i j k 1 2 3 a a a 的模 a = 2 3 2 2 2 1 a a a . 5. 坐标表示下的向量的线性运算 设a i j k 1 2 3 a a a ，b i j k 1 2 3 b b b ，则有 （1） ( )i ( ) j ( )k 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b ； （2） ( )i ( ) j ( )k 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b ； （3） i j k i j k 1 2 3 1 2 3 a (a a a ) a a a . 6. 向量的数量积 ⑴定义 设向量a,b之间的夹角为 (0 π)，则称 a b cos 为向 量a与b的数 量积，记作a ·b ，即 a ·b = a b cos . 向量的数量积又称“点积”或“内积
向量的数量积还满足下列运算律： 交换律：a·b=b·a; 分配律：（a+b)·c=a·c+b·c; 结合律：（a·b)=(a)·b(其中为常数). (2)数量积的坐标表示 设a=a,i+a2j+a,k,b=b,i+bj+bk,则a·b=a1b+a2b2+ab: (3)向量a与b的夹角余弦 设a=a,i+a2j+a,k,b=b,i+b2j+b,k,则 cose=a.b a by azb2 a3b3 a啊 (0≤0≤π). √a+a好+a好Vb+b好+b好 (4)向量的方向余弦 设向量a=a,i+a,j+a,k与x轴，y轴，z轴的正向夹角分别为 a,B,y0≤a,B,y≤)，称其为向量a的三个方向角，并称 cosa,cosB,cosy为a的方向余弦，向量a的方向余弦的坐标表示为 a az cosa= -COSy= a+a+aj √a+a+a ai+a+a Ecos2 a+cos2 B+cos2y=1. 7.向量的向量积 (1)定义两个向量a与b的向量积是一个向量，记作a×b,它的模 和方向分别规定如下： ①aXb=a sine0其中是向量a与b的夹角； ②a×b的方向为既垂直于a又垂直于b,并且按顺序a,b,a×b
6 向量的数量积还满足下列运算律: 交换律：a ·b = b ·a ； 分配律：(a +b )·c = a ·c +b ·c； 结合律： (a ·b )=( a )·b (其中为常数) . ⑵ 数量积的坐标表示 设a i j k 1 2 3 a a a ，b i j k 1 2 3 b b b ,则a ·b = 1 1 2 2 3 3 a b a b a b . ⑶ 向量a 与b 的夹角余弦 设a i j k 1 2 3 a a a ，b i j k 1 2 3 b b b ,则 a b a b cos = 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 1 1 2 2 3 3 a a a b b b a b a b a b (0 π) . ⑷ 向量的方向余弦 设向量 a i j k 1 2 3 a a a 与 x 轴 ,y 轴 ,z 轴 的正向夹角分别为 , , (0 , , π) , 称 其 为 向 量 a 的 三 个 方 向 角 ， 并 称 cos ,cos ,cos 为a 的方向余弦，向量a 的方向余弦的坐标表示为 2 3 2 2 2 1 3 2 3 2 2 2 1 2 2 3 2 2 2 1 1 cos , cos , cos a a a a a a a a a a a a ， 且cos cos cos 1 2 2 2 . 7．向量的向量积 ⑴定义 两个向量a 与b 的向量积是一个向量，记作a ×b ，它的模 和方向分别规定如下： ①a ×b = a b sin 其中是向量a与b的夹角； ②a ×b 的方向为既垂直于a 又垂直于b ，并且按顺序a , b , a ×b
符合右手法则. 向量的向量积满足如下运算律， 反交换律：a×b=-bXa: 分配律：(a+b)Xc=aXc+bXc; 结合律：1(a×b)=(2a)×b=a×(2b)(其中为常数). (2)向量积的坐标表示 设a=ai+a2j+a,k,b=b,i+b2j+bk,则 a x b=(ab-ab2 )i-(a b:-ab)j+(a b2-ab )k. 可将a×b表示成一个三阶行列式的形式，计算时，只需将其按第 一行展开即可.即 i j k b b2 b3 8.三个重要结论 (1)a=b白a1=b1,a2=b2,a3=b3; (2)a⊥b-ab=0-a1b1+a2b2+a3b3=0 (3)a∥b台a=元b台4=a2=a台axb=0. b1 b2 b3 其中，“一”表示“充分必要条件” 9.平面方程 (1)平面的点法式方程 7
7 符合右手法则. 向量的向量积满足如下运算律. 反交换律：a ×b =-b ×a ； 分配律：(a +b )×c =a ×c +b ×c； 结合律： (a ×b )=( a )×b =a ×( b )(其中为常数) . ⑵向量积的坐标表示 设a i j k 1 2 3 a a a ，b i j k 1 2 3 b b b ，则 a ×b =( )i ( ) j ( )k 2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1 a b a b a b a b a b a b . 可将a ×b 表示成一个三阶行列式的形式，计算时，只需将其按第 一行展开即可.即 a ×b = 1 2 3 1 2 3 b b b a a a i j k . 8.三个重要结论 ⑴a b 1 1 2 2 3 3 a b ,a b ,a b ; ⑵a ⊥b a b 0 0 a1b1 a2b2 a3b3 ; ⑶a ∥b a = b 3 3 2 2 1 1 b a b a b a a b 0 . 其中，“ ”表示“充分必要条件”． ９.平面方程 ⑴平面的点法式方程
如果一非零向量垂直于平面π，则称此向量为该平面的法向量. 过点M(xo,o,o),以n={4,B,C}为法向量的点法式平面方程为 A(x-x)+B(y-)+C(z-0)=0(A,B,C至少有一个不为零). (2)平面的一般式方程 以n={4,B,C}为法向量的一般式平面方程为 Ax+By+Cz+D=0 (A,B,C至少有一个不为零). (3)两个平面的位置关系 设两个平面π，与π，的方程分别为 π1：Ax+By+C1z+D,=0, π2：A2x+B2y+C2z+D2=0, 其法向量分别为n={4,B,C},n,={4,B2,C2},有如下结论： ①π1⊥π2一m1⊥n2台A4+BB2+CC2=0 ②x∥2台m,∥m,台4=B-9￥D: A B2 C2 D2 ③π1与m2重合台4=B=9-D」 A2 B2 C2 D2 (4)平面π，与π，的夹角0，即为两个平面法向量夹角，其公式为 cos0= mnAA2 +B,B2 +C C2 n√A+B+CVA+B好+C 0≤0分 (5)点P(x,,)到平面πA+By+Cz+D=0的距离公式为 d=+By+Cz,+Dl VA2+B2+C2 10.直线方程 8
8 如果一非零向量n垂直于平面 ，则称此向量为该平面的法向量. 过点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z ，以n=A,B,C为法向量的点法式平面方程为 A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 (A, B,C 至少有一个不为零）. ⑵平面的一般式方程 以n =A,B,C为法向量的一般式平面方程为 Ax By Cz D 0 (A, B,C 至少有一个不为零）. ⑶两个平面的位置关系 设两个平面 1与 2的方程分别为 : 0 , : 0 , 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D 其法向量分别为n1 ={ , , } A1 B1 C1 ，n2 ={ , , } A2 B2 C2 ，有如下结论： ①1 2 n1⊥n2 0; A1A2 B1B2 C1C2 ②1∥ 2 n1∥n2 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A ； ③ 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 D D C C B B A A 与 重合 . （4）平面 1与 2的夹角 ，即为两个平面法向量夹角，其公式为 1 2 1 2 cos n n n n = ) 2 π (0 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 A B C A B C A A B B C C . （5）点 ( , , ) 1 1 1 1 P x y z 到平面 Ax By Cz D 0的距离公式为 2 2 2 1 1 1 A B C Ax By Cz D d . 10. 直线方程
(I)如果一个非零向量s平行于直线L,则称s为直线的方向向量. (2)直线的标准式方程设直线L过点Moo,o,o)且以s={a,b,c;为 方向向量，则直线L的标准式方程（也称为点向式方程）为 x-x=y-%=-0 a b (3)直线的参数方程设直线L过点Mo(,yo,o)且以s={a,b,c;为方 向向量，则直线L的参数方程为 x=xo+at, y=Yo+bt, z=20+C1, 其中1为参数. (4)直线的一般式方程若直线L作为平面4x+By+C1:+D1=0和平 面 A2x+B2y+C2:+D2=0的交线，则该直线L的一般式方程为 Ax+By+C+D=0, A,x+B,y+C,Z+D,=0, 其中{A,B,C,}与{A2,B2,C2}不成比例. (⑤)两条直线的位置关系 设直线L与L,的标准方程分别为 L1:-x=y-4=-a 12X-业='2= C2 其方向向量分别为s,={a,b,c,52={a,b,c,则有 ①4∥2白s∥s,台g=4=9: az b2 C2
9 ⑴如果一个非零向量s平行于直线L ,则称s为直线L的方向向量. ⑵直线的标准式方程 设直线 L 过点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 且以 s {a,b, c}为 方向向量,则直线L的标准式方程(也称为点向式方程)为 c z z b y y a x x0 0 0 . ⑶ 直线的参数方程 设直线L 过点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 且以 s {a, b, c}为方 向向量,则直线L的参数方程为 , , , 0 0 0 z z ct y y bt x x at 其中t为参数. ⑷ 直线的一般式方程 若直线 L 作为平面 0 A1x B1 y C1 z D1 和平 面 0 A2 x B2 y C2 z D2 的交线，则该直线L的一般式方程为 0 , 0 , 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C Z D A x B y C z D 其中{ 1 1 1 A , B ,C }与{ 2 2 2 A ,B ,C }不成比例. ⑸ 两条直线的位置关系 设直线L1与L2的标准方程分别为 : , : , 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 c z z b y y a x x L c z z b y y a x x L 其方向向量分别为 1 s { , , }, 1 1 1 a b c 2 s { , , }, 1 1 1 a b c 则有 ① 1 2 L // L 1 s ∥ 2 s 2 1 2 1 2 1 c c b b a a ；
②L1⊥L2台s1⊥52台a4a2+bb2+cc2=0. 11.直线与平面的位置关系 直线与它在平面上的投影线间的夹角0≤p≤》 称为直线与平 面的夹角. 设直线L和平面π的方程分别为 L:X-x0=y-0=3-0 a b c π：Ax+By+CZ+D=0, 则直线L的方向向量为s={a,b,c,平面π的法向量为n={A,B,C},向 量s与向量n间的夹角为0，于是0-子-0（或0=0-引所以 aA+bB+cC sin=cos= ma2+b2+c242+B2+c2 由此可知：元∥2台L⊥L2台S上52： ① L在π内 → S n (或aA+bB+cC=0)且M(xo,yo,2o)既在L上，又 在π内； ② L n(或aA+bB+cC=0)且Mo(xo,yo,2o)在L上，而不 在π内； ⑧11台∥州⊙只名-名 o
10 ②L1⊥L2 1 s ⊥ 2 s 0 a1a2 b1b2 c1c2 . 11．直线与平面的位置关系 直线与它在平面上的投影线间的夹角 2 π 0 ，称为直线与平 面的夹角. 设直线L和平面π 的方程分别为 : 0 , : , 0 0 0 Ax By CZ D c z z b y y a x x L 则直线L 的方向向量为s {a, b, c}，平面 的法向量为n {A, B,C}，向 量s与向量n间的夹角为 ，于是 2 π 2 π 或 ,所以 sin cos = s n sn = 2 2 2 2 2 2 a b c A B C aA bB cC . 由此可知：1∥ 2 L1⊥L2 1 s ⊥ 2 s . ① L在π内 s ⊥ n (或 aA bB cC 0) ( , , ) , 且 M 0 x0 y0 z0 既在 L 上 又 在 内 ; ② L ∥ s ⊥ n (或aA bB cC 0 ）且 M 0 (x0 , y0 ,z0 ) 在 L 上,而不 在 内 ; ③L s ∥n C c B b A a