第四章不定积分习题全解 习题4-1 1.选择题 (1)设f(x)有连续导数，下列等式中正确的结果是(A). (A)J/d=f)(B)∫fxd=f)(C)∫)=f)(D)dfx=f) (2)在区间(a,b)内的任一点x,如果总有f()=gx)成立，则下列各式中必定成 立的是(C). (A)f(x)=g(x) (B)f(x)=g(x)+1 (C)f(x)=g(x)+C (D) [xJ-[jg(a] ③)设1=片，则1=B) (A)-3x4+C B)京+c(C)+c0)+c (4)若nx是函数fx)的原函数，那末f)的另一原函数是(A) (A)Inlaxl; (B)IInlaxl ;(C)Inlx+al (D)(Inx) 2.填空题 (1)己知fxd=ln1+x2)+C,则fx)=。 f'(x)= 解，应填：=2经) 2-2x2 1+x2F ②已知eヅ，则 解：应填：f(x)=ln(arctanx+C). (3)若f"nx)=1+x,且f0)=1,则fx)= 解：应填：f(x)=x+e。 (④)若∫f(xr=x-x+C,则f)= 解：两边求导得f'(x3)=4x3-1,令x3=u,得f"(4t,所以
1 第四章 不定积分习题全解 习题 4-1 1．选择题 (1) 设 f (x) 有连续导数，下列等式中正确的结果是（ A ）． （A） ( )d ( ) d d f x x f x x （B） f (x)dx f (x) （C） df (x) f (x) （D） d f (x)dx f (x) (2) 在区间 ( , ) a b 内的任一点 x ，如果总有 f x g x ( ) ( ) 成立，，则下列各式中必定成 立的是（ C ）． （ A ） f x g x ( ) ( ) （ B ） f x g x ( ) ( ) 1 （ C ） f x g x C ( ) ( ) （ D ） f x x g x x ( )d ( )d (3) 设 I x x d 1 3 ，则 I （B ）． （A） x C 4 3 （B） C x 2 2 1 （C） x C 2 2 1 （D） x C 2 2 1 （4）若 ln | | x 是函数 f (x) 的原函数，那末 f (x) 的另一原函数是（ A ） （A） ln | | ax ； （B） 1 ln | | ax a ；（C） ln | | x a ； （D） 1 2 (ln ) 2 x 。 2．填空题 (1) 已知 2 f x x x C ( )d ln(1 ) ，则 f x( ) ， f x ( ) ． 解：应填： 2 2 2 2 2 2 2 ( ) , ( ) 1 (1 ) x x f x f x x x ， (2) 已知 ( ) 2 1 1 f x e x ，则 f x( ) ． 解：应填： f x x C ( ) ln(arctan ). (3) 若 f (ln x) 1 x ，且 f (0) 1 ，则 f x( ) ． 解：应填： ( ) x f x x e 。 (4) 若 3 4 f x x x x C ( )d ，则 f x( ) ． 解：两边求导得 3 3 f x x ( ) 4 1 ， 令 3 x u ， 得 f u u ( ) 4 1 ，所以
f()=22-u+C,即f(x)=2x2-x+C。故应填：f(x)=2x2-x+C。 3.求下列不定积分 (I)∫x乐d: 解：j=x=x+c. 2∫： 解∫=小h=-子+c 3 (3)∫x2+12dr: 解J+-+2+Is-写+号r+r+c. ④： 解：∫'=-∫=2-号+c o0 dx o 解： Jx2(x2+1) (7)1 cos2x -dx: cosx-sinx 解： cos2x -j-jas4aa=am4c cosx-sinx 或 a-片s-eh+a-分mx+分+C 2
2 2 f u u u C ( ) 2 ，即 2 f x x x C ( ) 2 。故应填： 2 f x x x C ( ) 2 。 3．求下列不定积分 (1) x x dx ； 解： 3 5 2 2 2 5 x xdx x dx x C 。 (2) x x x d 1 2 ； 解： 5 3 2 2 2 1 2 3 dx x dx x C x x 。 (3) 2 2 ( 1) d x x ； 解： 2 2 4 2 5 3 1 2 ( 1) d ( 2 1)d 5 3 x x x x x x x x C 。 (4) 1 d x x x ； 解： 1 1 2 3/ 2 d d d 2 3 x x x x x x x C x x x 。 (5) 2 2 d (1 ) x x x ； 解： 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 d arctan ( 1) ( 1) 1 x x x dx dx dx x C x x x x x x x 。 (6) x x x x d ( 1) 1 3 2 2 2 ； 解： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 2 1 2 1 d d d d 2 1 1 1 arctan ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x C x x x x x x x 。 (7) cos2 d cos sin x x x x ； 解： 2 2 cos2 cos sin d d (cos sin ) sin cos cos sin cos sin x x x x x x x dx x x C x x x x ， 或 2 2 2 2 1 cos 1 cos 1 1 1 1 sec tan 1 cos2 2cos 2 2 2 2 x x dx dx xdx dx x x C x x
(8) 解 (9)[(e*+2cosx+x)dx: 解je+2esx+万r址=jet+2cost+可rd=e+2snx++c. (10）j2rG-+3Ed: 解25-t3=je-存+3如-2-2+h+C x (11) sin2x dx: sin2x·cosx 解 sin2x sin2x-cosx F2secx+C。 1 (sin [Gsin(+in)cotx-x+C. 4. 己知F)是x的一个原函数，求dF(sin). 解 由于dF(s刘F(sam,由题意知F)=h,因而 F'(sinx)= Insinx sinx ,所以dF(sinx)=Insinx.cosd sinx 5.己知某物体沿直线作变速运动，在t时刻的加速度为a(t)=e,求启动后t时 刻行驶的路程及t=5时所走的路程。 解设物体沿直线运动方程为s=5(),运动速度为v=),由题设 v=(归d年'，所以v=t=et=-+G。再由 v(9→C=0 s() 则 st)=「(-e+1)d,=e+t+C2,s0)=0,→C2=l,故s(t)=e+t-l,s(⑤)=e5+4. 3
3 (8) 2 4 1 d 1 x x x ； 解： 2 2 4 2 2 2 1 1 1 d d d arcsin 1 (1 )(1 ) 1 x x x x x x C x x x x 。 (9) 3 (e 2cos 2 )d x x x x ； 解 3 (e 2cos 2 )d x x x x x x x x x x e d 2 cos d 2 d 3 x x C x 4 4 2 e 2sin ． (10) x x x x x x x d (2 3 ) 2 ； 解 x x x x x x x d (2 3 ) 2 x x x x C x x )d 2 2 3ln 1 3 1 (2 ． (11) 2 sin d sin 2 cos x x x x ； 解 2 2 2 2 sin sin sin 1 d d d sec tan d sin 2 cos 2 2sin cos 2cos x x x x x x x x x x x x x x 1 sec 2 x C。 (12) 2 2 (sin cot )d 2 x x x ． 解 2 2 2 1 1 (sin cot )d [ (1 cos ) (csc 1)]d ( sin ) cot . 2 2 2 x x x x x x x x x x C 4. 已知 F(x) 是 x ln x 的一个原函数，求 dF(sin x) ． 解 由 于 dF(sin x) F(sin x)cos xdx ， 由 题 意 知 x x F x ln ( ) ，因而 x x F x sin ln sin (sin ) ，所以 d d lnsin (sin ) cos sin x F x x x x ． 5．已知某物体沿直线作变速运动，在 t 时刻的加速度为 ( ) t a t e ，求启动后 t 时 刻行驶的路程及 t 5 时所走的路程。 解 设 物 体 沿 直 线 运 动 方 程 为 s s t ( ) ， 运 动 速 度 为 v v t ( ) ，由题设 ( ) ( ) t v v t a t e ，所以 1 ( ) d t t v v t e t e C 。 再 由 1 v C (0) 0, 1, ( ) ( ) 1, t s t v t e 则 2 ( ) ( 1)d , , t t s t e t e t C 2 s C (0) 0, 1, 故 ( ) 1, t s t e t 5 s e (5) 4.
习题4-2 1.选择题 )设1=小3，则1=(C) (A)In3-4+C (B)邮-4+c(c)-邮-4树+c (D)3-4+c (2)若F)是fx)的一个原函数，则∫xf2nxr=(A). (A)F(2n)+C (B) F(h:x)+C (C)2F(Inx)+C (D)2F2nx)+C ®)设1=小6，则1=(D》 (A)arcsinx+C (B)3arcsin+C (C)-arcsinC (D)aresin+c 3 3 3 3 (④)已知/)=e，则fnr=(B). )+C (B)1+C (C)-Inx+C (D)Inx+C (5)下列等式中，正确的是(B)。 (A)fx)dr=kfx)dr（k是常数)： (B) +C: cosxcosx 2cos2x 1 (C)[f(@x+b)dx=f(ax+b)+C: D)∫6r+ad=写r++C 2.填空题 (1)x(3x2+2)dr=d 解：应填： 3x+x2+C: ()d 解：应填： arctan+C; (3)e*dx= 解：应填：dl-er): (4) - dx= 解：应填：dN1-x2): 3.求下列不定积分 ⑩jd: 解5g2-53n)+c 3 (2)∫x2edr: 4
4 习题 4-2 1．选择题 (1) 设 I x x d 3 4 1 ，则 I （C ）． （A） ln 3 4 x C （B） ln 3 4x C 4 1 （C） ln 34x C 4 1 （D） ln 3 4x C 3 1 (2) 若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则 x f (2ln x)dx 1 （A ）． （A） F(2ln x) C 2 1 （B） F(ln x) C 2 1 （C） 2F(lnx)C （D） 2F(2ln x)C (3) 设 I x x d 9 1 2 ，则 I （ D ）． （A） arcsinx C 3 1 （B） C x 3 3arcsin （C） 1 arcsin 3 3 x C （D） C x 3 arcsin (4) 已知 x f x ( ) e ，则 x x f x d (ln ) （B ）． （A） C x 1 （B） C x 1 （C）ln x C （D） ln x C （5）下列等式中，正确的是（B ）。 （A） k f x x k f x x ( )d ( )d （ k 是常数）； （B） 2 1 1 1 d cos cos 2cos C x x x ； （C） f ax b x f ax b C ( )d ( ) ； （D） 2 3 1 ( )d 3 x a t x ax C 。 2．填空题 (1) 2 x x x (3 2)d d_______. 解：应填： 3 4 2 4 x x C ； (2) 4 d 1 x x x d________ 。 解：应填： 1 arctan 2 C ； (3) 1 2 - e dx x __ 。 解：应填： 1 d(1 e ) 2 x ； (4) x x x d 1 2 __ 。 解：应填： 2 d( 1 ) x ； 3．求下列不定积分 (1) x x x d 5 3 2 2 ； 解： 2 2 2 2 2 1 (5 3 ) 1 ln(5 3 ) 5 3 3 5 3 3 x d x dx x C x x 。 (2) 3 2 d x x e x ；
解：∫xea-jfeu=-e+c (3)∫xW2+x2: 解：j2+d=打2+d2+x)2+xy+C. 解： sind-2fsin rd()--2c+C (5)∫sm2x-e2d: 解jm2x-eh=s2x-2+C (6)r Jx6+2n对 解： dx x(5+2Inx)2 1rd5+2ny=2nl5+2nx刘+C。 5+2Inx 2 (7)∫tan3 xsecxdx: 解：jmre达=小tn0-J(wx--ldcc- .sec3x-secx+C。 (8）)「coso1+p)sin(o1+p)d1: 解： jood )sinirin) 1 sin2(ot+p)+C。 2 (9).d sinxcosx 解： dx 1 J sinxcosx tanxcos2 -dx= dtanx=Inltanxl+C。 tanx aojee: e 解： J(e)2+ =arctane+C。 解 5
5 解： 3 3 3 2 3 1 1 d d 3 3 x x x x e x e x e C 。 (3) x 2 x dx 2 ； 解： 2 2 2 2 3/2 1 1 2 d 2 d(2 ) (2 ) 2 3 x x x x x x C 。 (4) u u u d sin ； 解： sin 2 sin ( ) 2cos u du ud u u C u 。 (5) x x x (sin 2 e )d 2 ； 解： /2 /2 1 (sin 2 ) cos2 2 2 x x x e dx x e C 。 (6) ( 5 2ln ) d x x x ； 解： 1 (5 2ln ) 1 ln | 5 2ln | (5 2ln ) 2 5 2ln 2 dx d x x C x x x 。 (7) tan xsec x dx 3 ； 解： 3 2 2 3 1 tan sec tan (sec ) (sec 1) (sec ) sec sec 3 x xdx xd x x d x x x C 。 (8) cos( t )sin( t ) d t ； 解： 1 cos( )sin( ) sin( ) (sin( )) t t dt t d t 1 2 sin ( ) 2 t C 。 (9) x x x sin cos d ； 解： x x x sin cos d 2 1 d tan d ln | tan | tan cos tan x x x C x x x 。 (10) x x x d e e 1 ； 解： 2 1 ( ) arctan ( ) 1 x x x x x d e dx e C e e e 。 （11) x x x d 2 5 2 ； 解： 2 2 2 2 1 (2 5 ) 1 2 5 2 5 2 5 10 5 x d x dx x C x x
u2到小miie 解，ja+本-j5m=-ei++C. (13)∫sim2xdr: 解：∫sin3xdk=-∫0-cos2x)dcos)=-cosx 3c0s3x+C。 1 (14)∫V+tanx·sec2xdr: 解：∫小+amd+anr)=名+ammP+C。 a 解品-e-w+20n 42 (16)[sin3xcos5xdx: 解： ∫Smosiat=sm8x-m2nt=Gos8x+os2x4C. (17） COSx -dx; sinx+coSx 解 cosx J sinx+cosx =If(cosx+sinx)+(cosx-smd sinx+cosx g)kinoc. 11 sinx+cosx -e+-4le+0=哥安e++wc。 uo2x dx dx 6
6 (12) x x x x d 1 sin 1 2 2 ； 解： 2 2 2 2 2 sin 1 sin 1 ( 1 ) cos 1 1 x x dx x d x x C x 。 (13) sin x dx 3 ； 解： 3 2 3 1 sin (1 cos ) (cos ) cos cos 3 xdx x d x x x C 。 (14) 2 1 tan sec d x x x ； 解： 2 3/ 2 1 tan d(1+ tan ) (1+ tan ) 3 x x x C 。 (15) x x x d 1 2 5 ； 解： 5 4 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 d d ( 1)d d(1+ ) 1 2 1 2 2 1 x x x x x x x x x x 1 1 1 4 2 2 ln(1+ ) 4 2 2 x x x C 。 (16) sin 3 xcos 5 x dx ； 解： 1 1 1 sin3 cos5 d (sin8 sin2 )d cos8 cos2 2 16 4 x x x x x x x x C 。 (17) x x x x d sin cos cos ； 解 x x x x d sin cos cos x x x x x x x d sin cos (cos sin ) (cos sin ) 21 x x x x x sin cos d(sin cos ) d 21 1 1 ln sin cos 2 2 x x x C ． (18) x x x d ( 1 ) 6 100 11 ； 解 ： x x x d ( 1 ) 6 100 11 d ( 1 ) ( 1 ) 1 1 61 d ( 1 ) 6 6 100 6 6 100 6 5 x xx x xx x ( 1 ) ( 1 ) d ( 1 ) 61 6 99 6 100 6 x x x x x C 6 98 6 99 ( 1 ) 991 ( 1 ) 981 61 ． (19) 2 d 2 3 x x x ； 解： 2 2 d d ( 2 1) 2 ( 1) 2 x x x x x 2 1 1 1 1 1 d arctan 2 2 2 1 2 1 2 x x C x
(20) dx 解安 dx ho-foa d 习题4-3 1.计算下列各题 「o0: 2 =a1-asin1cost+C=(arcsin--)+C. 4 aa (2) 解w--小o-owa 1+x2)2 =llscct+tantl-sin/+C-Inx+C. V1+x2 (3) 解：」 三xm-小eh=m4c=+c. ( 解.∫后点∫=小m0-写-e+c =3I+x)2-P+1+C. 7
7 (20) 2 d 4 10 x x x 解： 2 d 4 10 x x x 2 2 d 1 1 2 1 2 d arctan ( 4 4) 6 6 6 6 6 2 1 6 x x x C x x x 。 习题 4-3 1.计算下列各题 （1） 2 2 2 d ( 0) x x a a x ； 解： 2 2 2 sin 2 2 2 sin 1 cos2 d cos d d cos 2 x a t x a t t x a t t a t a x a t 1 1 2 2 sin cos 2 4 a t a t t C 2 2 2 2 (arcsin ) 2 a x x a x C a a 。 （2） 3 2 2 2 d (1 ) x x x ； 解： 2 2 2 tan 2 3 3 2 2 tan sec 1 sec (sec cos ) sec sec (1 ) x t x t t dx tdt dt t t dt t t x 2 2 ln | sec tan | sin ln | 1 | 1 x t t t C x x C x 。 （3） 2 d 1 x x x ； 解： sec 2 2 2 sec sec tan sec tan 1 1 tan x t x t dx t tdt tdt t C x C x t 。 （4） 3 2 d 1 x x x ； 解： 3 3 tan 2 2 3 2 tan 1 sec tan (sec ) sec sec 1 sec 3 x t x t dx tdt td t t t C x t 1 2 3/2 2 (1 ) 1 3 x x C。 （5） 2 2 4 9 d x x x ；
x=sect 解：∫V4r-9k= 3tant 3 x2 J9 =2 =2h1ser+m1-2sn+C-=2n1答+1-29C 3 2x =2n12x+4-91-42-9+C. (6)∫1 x+V-d: 解+-∫aamt sint+cost Insint+C rcsinx+C. 2 2 2 1 -dx; 1V4-x -+C。 4 x 2cos2! 1 L+C 2 =+C. (9) 6
8 解： 3 sec 2 2 2 2 2 4 9 3tan 3 tan sec tan 2 9 2 sec sec 4 x t x t t dx t tdt dt x t t 2 2 2 4 9 4 9 2ln | sec tan | 2sin 2ln | | 2 3 3 2 x x x t t t C C x 2 2 4 9 2ln | 2 4 9 | x x x C x 。 （ 6 ） 2 1 d 1 x x x ； 解： sin 2 1 cos 1 (cos sin ) (cos sin ) d d d 1 sin cos 2 sin cos x t t t t t t x t t x x t t t t 1 1 1 1 2 ln | sin cos | ln | 1 | arcsin 2 2 2 2 t t t C x x x C 。 （ 7 ） x x x d 41 2 2 ； 解： 2sin 2 2 2 2 1 1 1 1 2cos csc cot 4 4sin 2cos 4 4 x t dx tdt tdt t C x x t t 2 1 4 4 x C x 。 （ 8 ） x x d 1 11 2 ． 解： 2 sin 2 2 2cos 1 1 1 2 cos ( ) tan 1 1 1 cos 2 2 cos 2 x t t t t dx tdt d t C t t x 2 1 1 arcsin x x C x x 。 （ 9 ） x x x d 1 1 2 ； 解 x x x d 1 1 2 ) 21 d( ) 21 ( 45 1 d 41 45 1 2 2 x x x x x
1 x- =arcsin- +C=. 5 5 2 aojx+l02 dx 解：令√x+2=t,x=t2-2,dr=2dt,则 dx hga.ceh c 解：令=t,x=t,dr=6tdt, j--q-u-+地 =32-6t+6ln(l+)+C=3F-6F+6ln(1+)+C. 2.己知∫rfx)dr=2-l+C,求∫fx)dr. 解已知∫-可+C,两边求导，得六四 于是 ow可8可- 4,2 -frd(-)"Ja-ww--w+c--F-(-F)+c .c. 习题4-4 用分部积分法求下列不定积分 解：=可aea=tr-小ad=xtm+到C. 9
9 C x C x 5 2 1 arcsin 2 5 2 1 arcsin ． （10） d ( 1) 2 x x x ； 解：令 2 x t x t x t t 2 , 2,d 2 d ，则 2 2 d 2 d d 2 ( 1) 2 ( 1) 1 x t t t x x t t t 1 2 1 ln ln . 1 2 1 t x C C t x （11） 3 2 1 dx x x ； 解：令 6 6 5 x t x t x t t , ,d 6 d ， 5 2 3 4 3 2 1 6 d d 1 d 6 6 [( 1) ]d 1 1 t t t t x t t x x t t t t 2 3 6 6 3 6 6ln(1 ) 3 6 6ln(1 ) . t t t C x x x C 2. 已知 x f x x x C ( )d 1 5 2 ，求 f (x)dx ． 解：已知 x f x x x C ( )d 1 5 2 ，两边求导，得 1 1 , ( ) 1 ( ) 2 4 2 5 x x f x x x x f x ， 于是 f (x)dx d(1 ) 1 2 1 d 1 d 1 1 1 1 1 d 1 1 2 2 2 2 3 2 4 2 1 4 2 t t t t t t t t t t x x x t x 2 1 3 2 2 2 3 2 2 1 1 d 1 (1 )d 1 1 3 3 u t t t u u u u C t t C C x x 3 2 2 1 1 3 1 1 1 ． 习题 4－4 用分部积分法求下列不定积分 （1） 2 d cos x x x ； 解： 2 d d(tan ) tan tan d tan ln | cos | cos x x x x x x x x x x x C x
(2)∫edr: 解：∫xe'dr=∫xd(-e)=-xe+∫edr=-xe-e+C=(x+l)e+C。 (3)「xsin2xdr: 解小ksm=小k上25=方-引os2adr 2 4 8cos2r+C。 (4)∫redr; gje-动rdr)e=e-4c C-jC. 2 (5) xarctanxdx: i解：ad-=acand()=arctan-x引 解：1=hd-=nx+是n迪=nx+nd =-nx-3nx+6可hd=nx-nx+6可血d- X =-1Ix-3Ix-5Ix-5+C=-(ln'x+3lnx+6lx+6)+C. (7)∫nxdx: 解：finxx=-xlnx-小r=xhx-x+C。 (8)「xtan2xdr: 解：∫x2t=∫oc2x-t=小xoc2dr=小damx号 -tnx-ftana-tx+InlcoxC
10 （ 2 ） d x xe x ； 解： d d( ) d ( 1) x x x x x x x xe x x e xe e x xe e C x e C 。 （ 3 ） 2 x x x sin d ； 解： 2 2 1 cos2 1 1 sin d d cos2 d 2 4 2 x x x x x x x x x x 1 1 1 2 sin2 cos2 4 4 8 x x x x C 。 （ 4 ） 3 2 d x x e x ； 解： 2 2 2 3 2 2 1 1 1 1 d d( ) d 2 2 2 2 x t x x t t t x e x x e x te t te e C 2 2 2 1 1 1 2 2 ( 1) 2 2 2 x x x x e e C x e C 。 （ 5 ） x x x arctan d ； 解： 2 2 2 2 1 1 1 arctan d arctan d( ) arctan d 2 2 2 1 x x x x x x x x x x 2 2 2 1 1 1 1 1 1 arctan (1 )d arctan arctan 2 2 1 2 2 2 x x x x x x x C x 。 （6） 32 ln d x x x ； 解： 3 3 2 3 2 2 1 1 3 1 1 I x x x x x x ln d( ) ln ln d ln 3 ln d( ) x x x x x 3 2 3 2 2 1 3 1 1 3 1 ln ln 6 ln d ln ln 6 ln d( ) x x x x x x x x x x x x x 1 3 6 6 1 3 2 3 2 ln ln ln (ln 3ln 6ln 6) x x x C x x x C x x x x x 。 （ 7 ） ln dx x ； 解： 1 ln d ln d ln x x x x x x x x x C x 。 （ 8 ） 2 x x x tan d ； 解： 2 2 2 2 2 1 1 tan d (sec 1)d sec d dtan 2 2 x x x x x x x x x x x x x 1 1 2 2 d tan tan d d tan ln | cos | 2 2 x x x x x x x x x C